2024年九年级中考数学复习最短路径模型专项练习

最短路径模型专项练习“两定一动”模型如图，A，B两定点在定直线l的同侧，在直线l上找一动点P，使得PA+PB最小.模型证明作法：过点A作关于直线l的对称点A'，连接A'B交直线l于点P，此时点P为所求.证明:依题意PA=PA',∴PA+PB=PA'+PB≥A'B.当A',P,B三点共线时,(PA+PB经典例题如图,在△ABC中,BC=10,CD是∠ACB的平分线.若点P,Q分别是CD和AC上的动点,且△ABC的面积为24,则PA+PQ的最小值是().A.125B.4完全解答答:C.解:过点A作AQ'⊥BC于点Q',交CD于点P,过点P作PQ⊥AC.如图所示：∵CD平分∠ACB,点P,Q分别是CD和AC上的动点,∴PQ'=PQ,点Q与Q'关于CD对称.∴此时,AQ'=(PA+PQ)最小值·∵BC=10,S△ABC=24,∴AQ∴PA+PQ的最小值是24实战演练1.如图,等腰三角形ABC的底边BC长为4cm,面积为16cm²,腰AC的垂直平分线EF交AC于点E，交AB于点F，点D为BC的中点，点M为直线EF上的动点.则△CDM周长的最小值为().A.6cmB.8cmC.9cmD.10cm2.如图,在△ABC中,∠BCA=90°,BC=3,CA=4,AD平分∠BAC,点M,N分别为AD,AC上的动点,则CM+MN的最小值是().A.1.2B.2C.2.4D.5如图,A(4,3),B(2,1),在x轴上取P,Q两点,使PA+PB的值最小,|QA-QB|的值最大,则PQ=.“一定两动”模型如图,在∠AOB中有一定点P,在射线OA,OB上分别找M,N两点,使得△PMN的周长最小.模型证明作法：过点P作关于射线OB的对称点.P₁,，作关于射线OA的对称点.P₂连接P₁P₂交直线OA,OB于M,N两点,此时点M,点N为所求.证明：依题意PN=P₁N,PM=MP₂,∴C=P₂M+P₁N+MN≥P₁P₂,即当P₁,N,M,P₂四点共线时,△PMN的周长取得最小值，为P₁P₂.经典例题如图,在五边形ABCDE中,∠BAE=136°,∠B=∠E=90°,在BC,DE上分别找一点M,N,使得△AMN的周长最小时,则∠AMN+∠ANM的度数为().A.84°B.88°C.90°D.96°完全解答答:B.解：如图所示，作点A关于BC和ED的对称点A',A'',连接A'A'',交BC于点M,交ED于点N,则A'A''即为△AMN的周长最小值.延长EA,作A'H⊥AE于H点.∵∠BAE=136°,∴∠HAA'=44°.∴∠A又∵∠AA'M=∠MAA',∠NAE=∠A'',且∠AA'M+∠MAA'=∠AMN,∠NAE+∠A''=∠ANM,·.∠AMN+∠ANM=∠A=2(∠A=2×44°=88°.实战演练1.如图,点P是∠AOB内任意一点,OP=8cm,点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点,若PN+PM+MN的最小值是8cm,则∠AOB的度数是.2.四边形ABCD中,∠B=∠D=90°,∠C=70°,在BC,CD上分别找一点M，N，当△AMN的周长最小时，∠AMN+∠ANM的度数为.“两定两动”模型如图,在∠AOB中有两定点P,Q,在射线OA，OB上分别找M，N两点，使得四边形PMNQ的周长最小.模型证明作法：过点P作关于射线OA的对称点P₁，过点Q作关于射线OB的对称点Q₁，连接P₁Q₁交射线OA,OB于点M,N,此时点M，N为所求.证明:依题意PM=MP₁,NQ=NQ₁,则C四边形PQNM=PQ+QN+NM+MP=PQ+NQ₁+MN+MP₁≥PQ+P₁Q₁.当P₁，M，N，Q₁四点共线时，四边形PMNQ的周长取得最小值，为PQ+P₁Q₁.经典例题如图,∠AOB=30°,点M,N分别在边OA,OB上,且OM=2,ON=5,点P,Q分别在边OB,OA上,则当MP+PQ+QN取得最小值时,SNOQ+完全解答解：作点M关于OB的对称点M'，作点N关于OA的对称点N'，如图所示,连接M'N',交OA和OB于点Q与点P,此时MP+PQ+QN的值最小.根据轴对称的定义可知，∠N'OQ=∠M'OB=∠AOB=30°,OM=MO=2,ON=ON'=5,∴∠NOM=∠NOQ+∠MOB+∠AOB=90°.又根据对称，得S=∴实战演练1.如图,∠AOB=30°,点M,N分别是边OA,OB上的定点,点P,Q分别是边OB,OA上的动点,记∠OPM=α,∠OQN=β,当MP+PQ+QN的值最小时，关于α，β的数量关系正确的是().A.β-α=60°B.β+α=210°C.β-2α=30°D.β+2α=240°2.如图,已知.∠AOB=24°,OP平分∠AOB,点C在OA上,点D在OB上,点E在OP上.当CP+CD+DE取最小值时,此时.∠PCD的度数为().A.36°B.48°C.60°D.72°3.如图，已知在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=BC=10,,点D,E在线段BC上，且CD=2,BE=5,,点P,Q分别是线段AC,AB上的动点,则四边形PQED周长的最小值为多少?“两定点一定长”模型如图，已知l₁∥l₂,A,B两定点在定直线l₁和l₂的两侧，在定直线l₁和l₂上分别找M，N两点,使得MN⊥l₁,且AM+MN+NB的值最小.模型证明作法：把点A向下平移至点A₁，使.AA₁=MN,连接A₁B交l₂于点N,作MN⊥l₂交l₁于点M,连接AM,此时点M,N为所求.证明：依题意.AA₁=MN且AA₁∥MN,则四边形AA₁NM是平行四边形.∴AM=A₁N,即.AM+MN+NB=A₁N+MN+NB≥A₁B+MN.当A₁,N,B三点共线时.AM+MN+NB经典例题如图，在平面直角坐标系中，已知点A(0,1),点B(4,2),PQ是x轴上的一条动线段,且PQ=1,当AP+PQ+QB取最小值时，点Q坐标为.完全解答答:(2,0).解：如图，把点A向右平移1个单位长度得到点E(1，1)，作点E关于x轴的对称点F(1,-1),连接BF,BF与x轴的交点即为点Q,此时AP+PQ+QB的值最小.设直线BF的解析式为y=kx+b，则有k+b=−1,4k+b=2解得∴直线BF的解析式为y=x-2.令y=0,得到x=2.∴Q点坐标为(2,0).实战演练1.如图，在平面直角坐标系中，A，B两点的坐标分别为A(0，1)，B(0,2),线段CD(点D在点C右侧)在x轴上移动,且CD=1,连接AC,BD.则AC+BD的最小值为.2.如图,正方形ABCD的边长为4,点E,F为对角线BD上的动点，且EF=2,连接CE,CF,求3.已知正方形ABCD的对角线AC,BD交于点O,点M是AO上一点.(1)如图①,AQ⊥DM于点N,交BO于点Q.①求证:(OM=OQ;②若DQ=DC,求证：QN+NM=(2)如图②，点M是AO的中点，线段EF(点E在点F的左边)在直线BD上运动,连接AF,ME.若AB=4,EF=2,直接写出AF+ME的最小值.4.如图①，直线a，b表示一条河的两岸，且a‖b,，现在要在这条河上建一座桥，使村庄A经桥过河到村庄B.桥的长度等于河宽且桥与河岸垂直.现在由小明、小红两位同学在图②中设计两种建桥方案：小明:作AD⊥a,交a于点D,交b于点C.在CD处建桥.路径是A-C-D-B.小红:把CD平移至BE,连接AE,交b于点G,作GF⊥a于点F.在FG处建桥.路径是A-G-F-B.(1)在图②中，请问：小明、小红