2019年普通高等学校招生全国统一考试文科数学模拟卷(一)

绝密★启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试文科数学模拟卷（一）本试卷共9页，满分150分。考生注意：答卷前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。考试结束后，监考员将试题卷和答题卡一并交回。一、选择题：共12题每题5分共60分1．已知集合P={x|1≤x≤3},Q={x|2x≤2},那么P∪(∁RQ)=A.(1,3)B.[1,3]C.[1,+∞)D.∅2．已知a+2ii=b+i(a,b∈RA.-1B.1C.-2D.23．甲校有3600名学生,乙校有5400名学生,丙校有1800名学生,为统计三校学生的情况,计划采用分层抽样法,抽取一个容量为90人的样本,应在这三校分别抽取学生（）人.A.30,30,30B.30,45,15C.20,30,10D.30,50,104．在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C:x2a2+A.5-1B.5C.25-2D.5+15．设a,b是非零向量.“a·b=|a||b|”是“a∥b”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件6．函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示,则A.f(x)=2sin(2x-π3B.f(x)=2sin(x-π3C.f(x)=2sin(2x+π3D.f(x)=2sin(x+π37．正项等比数列{an}中,a2016=a2015+2a2014,若aman=16a12,则4A.1B.3C.5D.138．如图,在四棱锥S-ABCD中,底面ABCD为正方形,侧棱SA⊥平面ABCD,SA=3,BC=1,M为线段SB的中点,动点P,Q分别在线段SC,CD上,则2MP+PQ的最小值是A.1B.2C.3D.29．已知函数f(x)=12x,x≥0,2x-A.(-1,1)B.(-1,0)C.(0,1)D.(-2,2)10．函数f(x)=e|x-1|-e(x-1)2的大致图象为A.B.C.D.11．在锐角三角形ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,b2cosAcosC=accos2B,则角B的取值范围为A.(π3,πB.[π3,πC.[π4,πD.(π4,π12．已知过原点O的直线交双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右两支分别于A,BA.2B.3C.2D.5二、填空题：共4题每题5分共20分13．已知函数f(x)=x2f'(2)+3x,则f'(2)=.14．已知在等差数列{an}中,{an}的前n项和为Sn,a1=1,S13=91,若Skak=6,则正整数k=15．已知函数f(x)=x(ex-e-x)-cosx的定义域为[-3,3],则不等式f(x2+1)>f(-2)的解集为.

16．已知△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且cosCcosA=2b-3c3a,点M在边AC上,且cos∠AMB=-217三、解答题：共70分。解答应写出文字说明/证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个考生都必须做答。第22、23为选考题，考生根据要求作答（一）必考题（60分）17．已知公比不为1的等比数列{an}的前n项和为Sn,满足S6=6332,且a2,a4,a3(1)求等比数列{an}的通项公式;(2)若数列{bn}满足bn=nan,求数列{bn}的前n项和Tn.18．如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=BC=2,AB⊥BC,B1C⊥BC,B1A⊥AB,B1C=22.(1)求证:BB1⊥AC;(2)求直线AB1和平面ABC所成角的大小.19．2018年为我国改革开放40周年,某事业单位共有职工600人,其年龄与人数分布表如下:年龄段[22,35)[35,45)[45,55)[55,59)人数(单位:人定:此单位45岁∼59岁为中年人,其余为青年人,现按照分层抽样抽取30人作为全市庆祝晚会的观众.(1)抽出的青年观众与中年观众分别为多少人?(2)若所抽取出的青年观众与中年观众中分别有12人和5人不热衷关心民生大事,其余人热衷关心民生大事.完成下列2×2列联表,并回答能否有90%的把握认为年龄层与热衷关心民生大事有关?热衷关心民生大事不热衷关心民生大事总计青年12中年5总计30(3)若从热衷关心民生大事的青年观众(其中1人擅长歌舞,3人擅长乐器)中,随机抽取2人上台表演节目,则抽出的2人能胜任的2人能胜任才艺表演的概率是多少?附参考数据与参考公式:P(0.1000.0500.0250.0100.001k2.7063.8415.0246.63510.828K220．设椭圆C:x22+y2=1的右焦点为F,过F的直线l与C(1)当l与x轴垂直时,求直线AM的方程;(2)设O为坐标原点,求∠OMA∠OMB21．已知函数f(x)=lnx+ax2+(2a+1)x.(1)讨论f(x)的单调性;(2)当a<0时,证明f(x)≤-34a-2.（二）选考题（10分）请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分22．在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为x=3cosθ,y=sinθ,(θ为参数),直线l的参数方程为x=a+4t,(1)若a=-1,求C与l的交点坐标;(2)若C上的点到l距离的最大值为17,求a.23．已知f(x)=|x+1|+|2x-1|.(1)画出f(x)的图像并解不等式f(x)≥3;(2)若不等式f(x)≥|x-a|恒成立,求a的取值范围.2019年普通高等学校招生全国统一考试文科数学模拟卷（一）参考答案1.C【解析】本题主要考查集合的并、补运算,指数函数的性质,考查的数学核心素养是数学运算.先根据指数函数的单调性求出集合Q,再利用集合的并、补运算求P∪(∁RQ).∵2x≤2,∴x≤1,∴Q={x|x≤1},∴∁RQ={x|x>1},所以P∪(∁RQ)={x|x≥1}.故选C.2.B【解析】本题考查复数的基本运算以及复数相等的概念,考查考生对基础知识的掌握情况.将等号两边同时乘以i,然后利用复数相等列出方程组求解即可;也可直接利用复数的除法运算化简,然后利用复数相等列出方程组求解即可.解法一由已知可得a+2i=(b+i)i,即a+2i=bi-1.由复数相等可得2=b,a=-1,解法二a+2ii=2-ai=b+i,由复数相等可得2=b,-a=1,解得3.B4.A【解析】本题主要考查椭圆的标准方程和几何性质,考查考生的运算求解能力.由BF⊥AB及OB⊥AF,得到|BO|2=|OF|·|OA|,结合a2=b2+c2得到ca由题意得A(a,0),B(0,b),由BF⊥AB及OB⊥AF,得|BO|2=|OF|·|OA|,即b2=ac,又a2=b2+c2,所以ac=a2-c2,即e2+e-1=0,解得e=ca=5-125.A【解析】本题主要考查向量平行的概念和向量的数量积运算,意在考查考生分析问题、解决问题的能力.解题思路为按充分、必要条件的定义解题.若a·b=|a||b|,则a与b的方向相同,所以a∥b.若a∥b,则a·b=|a||b|,或a·b=-|a||b|,所以“a·b=|a||b|”是“a∥b”的充分而不必要条件,选A.6.C【解析】本题主要考查三角函数的图象与性质,考查考生的读图与识图能力、综合分析问题和解决问题的能力.由题中图象可知A=2,又7π12-π3=π4,所以函数f(x)的最小正周期T=4×π4=π,ω=2πT=2,结合题中图象可知f(π3)=2sin(2π3+φ)=0,所以2π3【备注】【解题思路】首先根据题中图象可以得到A=2,然后由T=4×(7π127.B【解析】先由通项公式列式求公比,再代入已知条件确定n,m的大小关系式,最后用基本不等式求最小值.设{an}的公比为q(q>0),∵a2014q2=a2014q+2a2014,∴q2-q-2=0,∴q=2或q=-1(舍去),又a1qm-1·a1qn-1=16a12,∴qm+n-2=16,∴m+n-2=4,m+n=6,∴4m+1n=(4m+1n)·8.D【解析】本题主要考查立体几何中的动点问题,考查考生的空间想象能力、运算求解能力、推理论证能力.先根据题意证明CD⊥平面SAD,BC⊥平面SAB,得到对于给定的点P,PQ达到最短的条件,然后可以利用函数的有关知识求最值,也可以通过线面位置关系的有关证明及平面几何的有关知识求最值.因为底面ABCD为正方形,所以CD⊥AD,又SA⊥平面ABCD,CD⊂平面ABCD,所以CD⊥SA,又SA∩AD=A,所以CD⊥平面SAD,同理BC⊥平面SAB.解法一易知对于给定的点P,当且仅当PQ⊥CD时,PQ达到最短.设SP=t,t∈[0,5],cos∠BSC=25则PM=1+t2-2×1×t×又PQSD=CPCS⇒PQ2记2y=2(MP+12PQ)⇒y=1+t2移项平方得(y-1+15t)2=1+t2-4化简可得45t2-25(1+y)t+2y-y由方程有解可得Δ=[25(1+y)]2-4×45×(2y-y2)≥0⇒5y解得y≥1或y≤15解法二如图,将四棱锥S-ABCD补成长方体STUV-ABCD,对于给定的点P,当且仅当PQ⊥CD时,PQ达到最短.过点P作PH⊥平面CDVU,连接HQ,由SA=3,BC=1,得SD=2,则cos∠SDA=cos∠HPQ=12则PH=PQ·cos∠HPQ=12则2MP+PQ=2(MP+12当且仅当M,P,H三点共线时MP+PH的值达到最小,易知此时MP+PH=1,即(2MP+PQ)min=2.9.A【解析】本题是函数与不等式的综合题,考查函数的单调性,考查运算求解能力、分类讨论思想、数形结合思想.根据分段函数的单调性,数形结合求解.由题意知,f(x)=12x,x≥0,-(x-1)2+1,x<0,作出函数f(x)的大致图象如图所示,由函数f(x)的图象可知,函数f(x)在R上单调递增,由f(2-a2)>f(|a|),得2-a10.B【解析】先根据函数图象的平移变换可知,函数f(x)的图象关于直线x=1对称,再利用特殊值,排除错误选项.设函数g(x)=e|x|-ex2,则g(-x)=e|x|-ex2=g(x),所以g(x)为偶函数,易知f(x)的图象可以看作是由g(x)的图象向右平移1个单位长度得到的,故f(x)的图象关于直线x=1对称,排除A,D,又f(1)=e0-e×(1-1)2=1,排除C,故选B.11.B【解析】本题主要考查同角三角函数的基本关系、两角和的正切公式、正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用等知识,考查考生的运算求解能力、分析问题与解决问题的能力,考查数学运算、逻辑推理的核心素养.解法一利用正弦定理、同角三角函数的基本关系、两角和的正切公式以及一元二次方程根的判别式进行求解;解法二利用余弦定理进行求解.解法一由b2cosAcosC=accos2B及正弦定理,得sin2BcosAcosC=sinAsinCcos2B,即tan2B=tanAtanC,所以tan2B=-tanAtan(A+B),即tan2B=-tanA·tanA+tanB1-tanAtanB,整理得tan2A-(tan3B-tanB)tanA+tan2B=0,则关于tanA的一元二次方程根的判别式Δ=(tan3B-tanB)2-4tan2B≥0,又△ABC为锐角三角形,所以得(tan2B-3)(tan2B+1)≥0,得tanB≥3,所以π3≤B<解法二由b2cosAcosC=accos2B及余弦定理,得b2·b2+c2-a22bc·b2+a2-c22ba=ac·(c2+a2-b22ca)2,即(b2+c2-a2)·(b2+a2-c2)=(c2+a2-b2)2,即b4-(a2-c2)2=b4+(c2+a2)2-2b2(c12.B【解析】本题考查双曲线的定义和几何性质,考查考生的运算求解能力,考查数形结合思想,考查数学运算的核心素养.先根据双曲线的对称性,构造平行四边形AF1BF,再根据平行四边形的性质,得到|AB|2+|FF1|2=2(|AF|2+|AF1|2),最后根据双曲线的定义即可求解.根据双曲线的对称性,将△ABF补形为平行四边形AF1BF(如图),则F1为双曲线的右焦点,根据平行四边形的性质,得|AB|2+|FF1|2=2(|AF|2+|AF1|2).根据双曲线的定义,得|AF|-|AF1|=2a,两边平方得,|AF|2+|AF1|2-2|AF|·|AF1|=4a2,即|AB|2+|FF1|2=2(4a2+2|AF|·|AF1|),又|AF1|=|BF|,∴|AB|2+(2c)2=2(4a2+2|AF|·|BF|).∵4|AF|·|BF|=|AB|2+2b2,∴4c2=8a2+2b2,又b2=c2-a2,∴c2=3a2,∴双曲线的离心率e=3.13.-1【解析】函数f(x)=x2f'(2)+3x,则f'(x)=2xf'(2)+3,所以f'(2)=4f'(2)+3,解得f'(2)=-1.14.11【解析】本题考查等差数列的性质及前n项和,考查考生的运算能力.由a1=1,S13=91,得出通项公式an,然后求出Sk,从而可求出正整数k的值.解法一设等差数列{an}的公差为d,则由S13=91,得13a1+13(13-1)2d=91,根据a1=1,得d=1,所以an=n,所以Sk=k(k+1)2,由解法二设等差数列{an}的公差为d,在等差数列{an}中,由S13=91及等差数列的性质,可得13a7=91,所以a7=7,由a1=1,a7=7,可得公差d=1,所以an=n,所以Sk=k(k+1)2,由S15.[-2,-1)∪(1,2]【解析】本题主要考查函数的定义域、函数的单调性、一元二次不等式的求解等,考查化归与转化思想,考查考生的运算求解能力、分析问题和解决问题的能力.先判断出函数f(x)的奇偶性,然后判断出函数f(x)在[0,3]上的单调性,最后将不等式转化为一元二次不等式进行求解.因为f(-x)=-x(e-x-ex)-cos(-x)=x(ex-e-x)-cosx=f(x),所以函数f(x)为偶函数,易知函数y=x(ex-1ex)在[0,3]上为增函数,函数y=-cosx在[0,3]上为增函数,故函数f(x)=x(ex-e-x)-cosx在[0,3]上为增函数.由f(x2+1)>f(-2)⇔f(x2+1)>f(2),可得2<x2+1≤3,解得-2≤x<-1或1<x≤2,故不等式f(x2+1)>f(-2)的解集为[-2,-1)∪(1,16.3【解析】本题主要考查利用正、余弦定理解三角形,考查综合分析问题、解决问题的能力,考查运算求解能力和应用意识.首先根据正弦定理,结合cosCcosA在△ABC中,cosCcosA=2b-3c3∴sin(A+C)cosAsinA∴cosA=32,∵0<A<π,∴A=π由cos∠AMB=-217,得sin∠AMB=2在△AMB中,BMsinA=ABsin∠AMB,即设AM=x,在△AMB中,AB2=AM2+BM2-2AM·BMcos∠AMB,∴x2+7-2x×7×(-217)=16,即x2+23x-9=0,解得x=3或x=-33∴S△AMB=12AM·AB·sinA=12×17.(1)设数列{an}的首项为a1,公比为q(q≠1),由题意得S6=6332从而an=a1qn-1=3(-12)n-1.(2)由(1)得bn=3n(-12)n-1由Tn=3×(-12)0+3×2×(-12)+3×3×(-12)2+…+3n×(-12-12Tn=3×(-12)+3×2×(-12)2+3×3×(-12)3+…+3n×(-1由①-②得32Tn=3×(-12)0+3×(-12)+3×(-12)2+…+3×(-12)n-1-3n×(-12)整理得Tn=43-(2n+43)(-1218.(1)如图,取AC的中点E,连接B1E,BE,∵AB=BC,∴BE⊥AC,在△B1CB和△B1AB中,∠B1CB=∠B1AB=90°,BC=AB,B1B=B1B,∴△B1CB≌△B1AB,∴B1C=B1A,∴B1E⊥AC,∵BE,B1E⊂平面B1BE,B1E∩BE=E,∴AC⊥平面B1BE,∵B1B⊂平面B1BE,∴B1B⊥AC.(2)过C作CD∥AB,过A作AD∥BC,连接B1D,则四边形ABCD为平行四边形,∵AB⊥BC,AB=BC=2,∴四边形ABCD为正方形且边长为2,∴BC⊥CD,BA⊥AD,AD⊥CD,∵BC⊥B1C,B1A⊥AB,B1C∩CD=C,B1A∩AD=A,∴BC⊥平面B1CD,BA⊥平面B1AD,∴BC⊥B1D,BA⊥B1D,又BC∩BA=B,∴B1D⊥平面ABCD,∴∠B1AD为直线AB1和平面ABC所成的角.∵B1C=22,∴B1D=2,AB1=B1C=22,∴sin∠B1AD=B1DAB1=219.(1)抽出的青年观众为18人,中年观众12人;(2)2×2列联表如下:热衷关心民生大事不热衷关心民生大事总计青年61218中年7512总计131730K2∴没有90%的把握认为年龄层与热衷关心民生大事有关;(3)热衷关心民生大事的青年观众有6人,记能胜任才艺表演的四人为A1,A(A1,抽出的2人都能胜任才艺表演的有6种情况,所以P=620.(1)由已知得F(1,0),l的方程为x=1,由已知可得,点A的坐标为(1,22)所以AM的方程为y=-22x+(2)当l与x轴重合时,∠OMA=∠OMB=0°,当l与x轴不重合也不垂直时,设l的方程为y=k(x-1)(k≠0),A(x当x1<2,x由y1kMA将y=k