函数的基本性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性)

函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性)「定义域优先”.的思想是研究函数的前提，在求值域、奇偶性、单调性、周期性、换元时易忽略定义域，所以必须先考虑函数的定义域，离开函数的定义域去研究函数的性质没有任何意义。1.奇偶性奇偶性的判定法：首先考察定义域是否关于原点对称，再计算代小)与f(x)之间的关系：①f(-x)=f(x)为偶函数；f(-x)=-f(x)为奇函数；②f(-x)-f(x)=0为偶；f(x)+f(-x)=0为奇；③f(-x”f(x)=1是偶；f(x”f(-x)=T为奇函数.⑴若定义域关于原点对称-/⑶0〔其它-/⑶0〔其它(2)若定义域不关于原点对称..非奇非偶例如：y=%3在［1,-1)上不是奇函数常用性质：-f(%)~0是既奇又偶函数；•奇函数若在%=0处有定义，则必有f⑼—0;f(%)=f(-%)=f(I%|)•偶函数满足 ；•奇函数图象关于原点对称，偶函数图象关于y轴对称；f(%)=0-f()除外的所有函数的奇偶性满足：偶函数土偶函数=偶函数偶函数x偶函数=偶函数偶函数土偶函数=偶函数偶函数x偶函数=偶函数(2)奇函数x奇函数=偶函数奇函数x偶函数=奇函数6•任何函数f(6•任何函数f(%)叭%)=可以写成一个奇函数f(%)-f(-%)和一个偶函数f(%)+f(-%)的和。.单调性定义：函数〉二,⑴定义域为a，区间,Mg且，，若对任意//丘加且/心町①总有＜/(孙)则称7='(X)在区间M上单调递增②总有则称‘=’炽)在区间M上单调递减应用：(一)常用定义法来证明一个函数的的单_调性一般步骤：(1)设值(2)作差(3)变形(4)定号(5)结论(二)求函数的单调区间定义法、图象法、复合函数法、导数法(以后学)注：常用结论奇函数在对称区间上的单调性相同偶函数在对称区间上的单调性相反复合函数单调性 同增异减y=/Wy=式外y==/[gW]TOC\o"1-5"\h\zT T TT J it iJ J T.周期性|(1)一般地对于函数’='(')，若存在一个不为0的常数T，使得五已口一切值时总有/(x+T)=1A力，那么/=丁(口叫做周期函数，T叫做周期，kT(T的整数倍)也是它的周期(2)如果周期函数在所有周期中存在一个最小正数，就把这个最小正数叫最小正周期。注：常用结论(1)若f(x+a)=f(x+b)，贝Uf(x)是周期函数，b―。是它的一个周期(自己证明)(2)若定义在R上的函数y=f(x)图像同时关于直线x=a和直线x=b成轴对称(aWb)，则y=f(x)是周期函数，且2|a—b|是其一个周期。(自己证明)(推论)若定义在R上的偶函数f(x)的图象关于直线x=a(a丰0)对称，则f(x)是周期函数，2a是它的一个周期 、 1 “.、 1(3)若f(x+a)=-f(x)；f(x+a)= ；f(x+a)=— ；则f(x)是周期函数，f(x) f(x)2a是它的一个周期4♦对称性一、函数自身的对称性定理1.函数y=f(x)的图像关于点A(a,b)对称的充要条件是f(x)+f(2a-x)=2bf(a-x)+f(a+x)=2b证明：(必要性)设点P(x,y)是y=f(x)图像上任一点，...点P(x,y)关于点A(a,b)的对称点P(2a-x，2b—y)也在y=f(x)图像上，「.2b—y=f(2a—x)即y+f(2a—x)=2b故f(x)+f(2a—x)=2b，必要性得证。(充分性)设点P(x0,y0)是y=f(x)图像上任一点，则y0=f(x0):f(x)+f(2a—x)=2b：f(x0)+f(2a-x0)=2b，即2b-y0=f(2a-x0)。故点P(2a—x0，2b-y0)也在y=f(x)图像上，而点P与点P关于点A(a,b)对称，充分性得证。推论：函数y=f(x)的图像关于原点O对称的充要条件是f(x)+f(-x)=0定理2.函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称的充要条件是f(a+x)=f(a—x)即f(x)=f(2a—x)(证明留给读者)推论.：函数y=f(x)的图像关于y轴对称的充要条件是f(x)=f(-x)定理3函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称的充要条件是f(a+x)=f(a—x)或f(x)=f(2a—x)定理4.若函数y=f(x)图像同时关于直线x=a和直线x=b成轴对称(aWb)，则y=

f(x)是周期函数，且2|a—b|是其一个周期。三二不同一函数对称性定理5.函数y=f(a+x)与y=f(b—x)的图像关于直线x=(tFa)/2成轴对称定理6.互为反函数的两个函数关于直线y=x对称【典型例题】［例1］判断下列函数奇偶性11v= +—/—I2(竟二0且"1)(2)户城工+历了)(3)》二伍了十五F+sinX-COSKy= 「八 1+sinx+cosx(5)解：(1)(5)解：(1)2f-12五七月且无二口1111L—广5-1+—=—(2 十一二 1—笳2 ——1奇函数(2)xeR奇函数(2)xeR关于原点对称+F)=teC——-^=二+41+汗(5)界曰及且界，关于原点对称3(5)界曰及且界，关于原点对称3二一工(-^2l-2r丁无意义..•非奇非=igO+Ji+/尸二T⑸「.’二/(行奇函数(3) ，关于原点对称/(-^=/W=-/W=o :既奇又偶不 开A=- 1A=——(4)考虑特殊情况验证： 2y=； 2,2K1=x-( —)2"-12:八不为偶函数m［例2］(1)〃=/⑴=1十口,一1,哪为何值时，为奇函数；(2)k/⑴二训五田比为何值时，为偶函数。答案：(1) a（掰-1）/+1

答案：(1) a（掰-1）/+1

ci1—1八境二1十口筮一］ (恒等定理)•产=2时，y=fw（2）"n'a奇函数sin（b-芯）=5in（讨+.）班 湖/1+（喀一1）。* =1H- - sina-cosa-cosor-sina=sincos工+cosorsinx」.2沏相匚钝值=0 （恒等定理）•cosor=0,7TkeZa=上77+—2keZ巩固：已知定义域为氏的函数(I巩固：已知定义域为氏的函数(I)求"］的值；(n)若对任意的‘£区’不等式解析：(I)简解|：取特殊值法fM=-2.x+b2x+l+a是奇函数。于①一为+f*一k<恒成立，求k的取值围；因为于(x)是奇函数，所以f⑼=0b-1 , 1-2x——=0nb=1「.f（x）= 1--—2na=2.即1--—2na=2.又由f（1）=-f（1）知a+4a+11-2x__1 1(n)解法一：由(1)知，x=。1二一2十一，易知〃x)在E+8)上为减函数f(x)一予对u而不小.f(12-21)+f(212-k)<0又因是可函数，从而不等式：f(12-21)<-f(212-k)=f(k-212)等价于 ，因f(x)为减函数，由上式推得：12-21>k-212*A=4+12k<0nk<-1.即对一切teR有：3t2-2t-k>0，从而判别式 3［例3］求函数1二.(口的解析式(1)卜=力於为R上奇函数，升二口时，/⑴：合一沏1+1解：“0时，/(z)=-/(-a)--［(-x)2-sin(-x)+1］=-z2-sinx-1/⑼=QTOC\o"1-5"\h\z■■ -J _-x-smz-1x>0=<0 x=0■-l ,x—sinx+1x<0■• • --l/c、尸=、「n,Y上，X>0,f(x)=x-sinJ+1(2)「八'为R上偶函数，五"时，八'解：走mO时，了⑴=4-元)=(-犷-皿-幻+1=/+泡工+1fx2-sinx+1z>0了⑴=m. 1nx+sinx+1z<0［例4］求下列函数的增区间y=logi(1-1-6)(1)7/、/二/―2|x|-3(2)产 11y=log1£1答案：(1)于，(2)作图-2x-3x>0”+2x—3x<0 •(―1⑼(L”)T［例5］若y='(x)="" -3"+1在区间［一乂*W)J，求直取值围。答案：分类讨论(1)①当"叮=-6芯+1在区间1-22J,符合题意②当以H。时,要在区间［-2十°6J,则有a<0，2(a-3) <0- 三一£.2a,皿［7。］5 1，二八工)^偶函函数^偶函数,^比为偶函数，试比较"""万"守的大小关系。

解：“二为+2）为偶函数,〃-工+2）=加+2）则函数关于直线x=2对称•.）=，⑴在（0,2）手/. 2 2（提示：看离对称轴的远近）[例7]，求修取值围。■/㈤，芯・，2)[例7]，求修取值围。—2<1—a<2 —1<a<3<一24a<220口三（-1」［例<一24a<220口三（-1」［例8］求下列函数是否为周期函数(1)(2)，满足/（五+1）=/（工+3）5/两XL川+心一⑺,/两XL(3)y=J(x),xeR(4)，满足用+0=，满足17w，㈤-1，⑺+i,/a+2,/a+2)・32)=加)（1）令羌+1二£「.T=2周期函数(2)/(x+4)=-7(z+2)=-[-/«]=/W「.T=4周期函数，6十4）二二八工）T=4小+2)-1

力>十2)十1/㈤T]/W+1"/w+l-2-1/(x+8)=———，原十书/.T=8y-f(x\xeR』"上， tc克匕[2,3]f(x)-x[例9]zJ-h，偶函数，周期函数，T=2，l「」，八' ，求当再已LLB时，/(')= °丁J=4;)=£+2)="；)=|答案：右上上 /弋xe[-l?0]/(z)=/(-t)=/(-x+2)=2-z［例io］'HL，偶函数，/自⑴"（一）奇函数，则”。⑺二答案：二z㈤奇一1）♦二丁㈤偶——（一二一1）=〃x+l）偶..八―.m-八月㈤「“L(T)M2g巩固例1：定义在R上的非常数函数满足：f(10+x)为偶函数，且f(5—x)=f(5+x),则f(x)一定是()(A)是偶函数，也是周期函数(B)是偶函数，但不是周期函数(C)是奇函数，也是周期函数(D)是奇函数，但不是周期函数解：.f(10+x)为偶函数，：f(10+x)=f(10-x).：f(x)有两条对称轴x=5与x=10，因此f(x)是以10为其一个周期的周期函数，：x=0即y轴也是f(x)的对称轴，因此f(x)还是一个偶函数。故选(A)例2：设定义域为R的函数y=f(x)、y=g(x)都有反函数，并且f(x—1)和g-1(x—2)函数的图像关于直线y=x对称，若g(5)=1999,那么f(4)=()。1999；(B)2000；(C)2001；(D)2002。解：:丫=f(x—1)和y=g-1(x—2)函数的图像关于直线y=x对称，「.y=g-1(x—2)反函数是y=f(x—1)，而y=g-1(x—2)的反函数是:y=2+g(x),「.f(x-1)=2+g(x),...有f(5—1)=2+g(5)=2001故f(4)=2001，应选(C)例3.设f(x)是定义在R上的偶函数，且f(1+x)=f(1—x),当一1WxW0时，f(x)=一尸，贝f(8.6)=解：「f(x)是定义在R上的偶函数:x=0是y=f(x)对称轴；又..叶(1+*)=f(1—x).「x=1也是y=f(x)对称轴。故y=f(x)是以2为周期的周期函数，.「f(8.6)=f(8+0.6)=f(0.6)=f(-0.6)=0.3例4.设f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x+2)=-f(x)，当0WxW1时，f(x)=x，贝Uf(7.5)=()(A)0.5(B)—0.5(C)1.5(D)—1.5解：:y=f(x)是定义在R上的奇函数，.二点(0，0)是其对称中心；又..吓(*+2)=—f(x)=f(-x)，即f(1+x)=f(1—x)，.二直线x=1是y=f(x)对称轴，故y=f(x)是周期为2的周期函数。.「f(7.5)=f(8—0.5)=f(-0.5)=-f(0.5)=-0.5故选(B)

【作业】1.两位学生在思考一个开放题“满足,6）=天的点称为函数'二的不动点，请你构造一个分段函数，使其具有无数个不y点，这些不动点构成一个公比不为1的等比数列”。两位学生分别构造了一个函数（修£加）：②A.请你判断，正确的结论是（①②都对B.①对②错V=/(X+1),v=/(I-x)②A.请你判断，正确的结论是（①②都对B.①对②错V=/(X+1),v=/(I-x)2.函数/八'与‘八'C.①错②对 D.①②都错的图像关于（ ）A.y轴对称C.直线x=l对称A.—aA.y轴对称C.直线x=l对称A.—a>—5B.5c.a<-15.若A.a-0.3\i= /=log30.3，则它们的大小关系为（C. D.bB.原点对称D.关于y轴对称且关于直线x=l对称3,若函数/⑴=磔工7一］在（―*7）上是减函数，贝严的取值围是（）A.j2b.㈠2c.口之2 …工24,函数,出=%'+1-2"在（—"）上存在,,使八而）二°,则口的取值围是（）.函/二，）A..函/二，）A.在（1，+00）单调递增.在（1，十0°）单调递减6.如图所示，点P在边长为1的正方形的边上运动，设M是CD边的中点，则当点P沿着A—B—C—M运动时，以点P经过的路程内为自变量，三角形APM的面积函数的图像形状大致是（）

c.在（T—）单调递增 D.在（T—）单调递减8,函数/⑺的定义域为「%，值域为[T引，其反函数为,⑶，则，⑶_2）的（）[二3A.定义域为33，值域为[一1刀[-33]B.定义域为3，值域为L'」占"[-11]C.定义域为§，值域为L'」[-U]D.定义域为33，值域为〔一3司/一口分+1 1y二 y二一.已知函数 无一厘的图象是由函数X的图像平移而得到的，如图所示，则1b'的值是（）a==-2田二一1 d口=一2港二1TOC\o"1-5"\h\zA. D.「0二2酒=1 na=2,b=-}V/. JJ..已知/（2'+1）是偶函数，则,（切图像的对称轴是（ ）11x=— x=-—A.无=0B,2C,A=ID,之.对任意a，，有‘⑴―,xJoj时，/a）n,则（）1 1 15 A.163B-SC.4d.4.方程1g五一2"电"+2一比=□的两个根均大于i,贝产的取值围为（）A（―%]RRZ「[1,2]n[3*）TOC\o"1-5"\h\zA. d. C. u.口13,若函数目口）的图像与函数了伏）=（工_0（xE2）的图像关于直线x-y=0对称，■⑶二（）2—五代之口） 口2+ 0）A. D. -工（工工2） 口j2+x（元之一2）D.14.把长为12cm的细铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形面积之和的最小值是（ ）A.5号B.牝小c,品晨D,2信视/W=15.设函数"+7）/W=15.设函数"+7）二-log3^+l）（A>4）2yE）的反函数为,*)且广―.函数尸=J",。'©—用的定义域是r—。.已知函数/⑴在(TD上有定义当且仅当°J元(1时/㈤《口，且对任意"u'TD对任意"u'TD都有/(X)(—11)上单调递减。试证明：(1),")为奇函数；(2)aa>口?/⑴=—4—18.设 a日”(0，+8)上是增函数。是R上的偶函数，(1)求*的值；(2)证明：/(*)在.设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x恒满足f(2+x)=-f(x)，当x£[0,2]时f(x)=2x-x2⑴求证：f(x)是周期函数；⑵当x£[2,4]时，求f(x)的解析式；⑶计算：f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2005)

一、函数的单调性1．单调性的证明———定义法：例判断函数f(x)=—x3(xeR)的单调性，并用定义证明。练习：已知函数f(x)=1-ax22+25(—5<x<0)，点(-2,-4)在f(x)的反函数图像上。(1)求f(x)的反函数f-1(x)；(2)证明f-1(x)在定义域是减函数2．单调性的简单应用：例1(1)函数y=log01(6+x—2x2)的单调增区间是.(2)已知y=log(2-ax)在［0,1］是减函数，则a的取值围是a练习：若函数f练习：若函数f(x)=log,(x2―kx+3)在区间

kr k］ ,-8,-上是减函数，则实数k的取值围是V 2.高考真题：已知高考真题：已知f(x)=<(3a-1)x+4a,x<1是(-8,+8)上的减函数，那么a的取值围是logx,x>1a

1 11 1(a)(0,1) (b)(0,3)(c)[7,3)(D)[7。例2已知函数尸f(x)的图象与函数尸ax(a>0且a丰1)的图象关于直线丁二x对称，记g称，记g(x)=f(x)[f(x)+f⑵—1]•若丁二g(x)在区间2，2］ a2 上是增函数，则实数a的取值围是()a.3ba.3b.(0，1)u(1，2)cJ"D．1(0,2]例3设函数f(x)=lg(x2+ax一a-1)，给出下述命题：①f(x)有最小值；②当a=0时，f(x)的值域为R;③当a>0时，f(x)在区间［2,+8)上有反函数；④若f(x)在区间［2,+8)上单调递增，则实数a的取值围是a~~4则其中正确的命题是 (要求：把正确命题的序号都填上)f(x) m,ngR f(m+n)=f(m)+f(n)-1 x>0例4函数 对任意的,，都有 ，并且当x>时，f(x)>1，⑴求证：f(x)在R上是增函数；⑵若/⑶二4，解不等式f(a2+a-5)<2二．函数的奇偶性：例1设f(x)是R上的任意函数，则下列叙述正确的是(A)f(x)f(-x)是奇函数(B)f(x)1f(-x)是奇函数(C)f(x)-f(-x)是偶函数(D)f(x)+f(-x)是偶函数例2已知函数f(x)是定义在I，+s)上的偶函数.当xGJ*0)时，"x)=x-x4，则当xg(0,+*)时，f(x)=.f(x)=a-y^-7- f(x) _练习：已知函数 2x+1，若为奇函数，则a—

例3证明例4x例3证明例4f() x,Ye(-1,1)^f(x)-f(Y)=f(——知在(－1，1)上有定义，且满足 xY：f(x)在(－1，1)上为奇函数；若奇函数“x)(xeR)满足f(2)=1，f(x+2)=f(x)+f(2)，则f(5)=式f瓶数f(x)对于任意实数式f瓶数f(x)对于任意实数x满足条件"x+2)=1f(x)f(1)=-5,，若例2f(x)是定义在R上的偶函数，图象关于x=1对称，对任意x,x

12，有f(「x2)=f(x1)f(x2)，且f(1)=°>0⑴求的值⑴求的值33f(-+x)=-f(--33f(-+x)=-f(--x)，恒有2 2例3f(x)是定义在R上的奇函数，且对一切xeR⑴求证：f(x)是周期函数；⑵若f(1)=2，求f(2)+f(3)的值。例4已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=—f(x),贝山f(6)的值为(A)－10例5若存在常数P>0，使得函数"(A)－10例5若存在常数P>0，使得函数"x)一个正周期为 1f(Px)=f(Px—p)满足 2(D)2(xgR)，贝”f(x)的例6已知定义在R上，最小正周期为5的函数f(x)满足f(一x)=一f(x)f⑶二0且则在区间(0,1°)，方程f(x)=0的解的个数至少为例7定义在R上的偶函数f(x)，满足f(2+x)=f(2—x)，在区间〔-2,0〕上单调递减，设a=f(-1-5),b=f(J2),c=f(5)，贝ija,b,c的大小顺序为例8定义在R上的函数f(x)满足于(x+2