第十五讲线段角相交线与平行线讲义（原卷版）

第四章第四章三角形第十五讲线段、角、相交线与平行线满分讲义知识梳理夯实基础知识点1：直线、射线、线段点、线、面、体几何图形分为平面图形和立体图形.点动成，线动成，面动成。几何体中面与面相交形成线，线与线相交形成点。直线、射线、线段（1）直线、射线、线段名称端点个数特征图例表示及读法直线无可向两方无限延伸直线AB或直线BA射线1个可向一方无限延伸射线OA线段2个有一定长度，可度量线段AB或线段BA（2）两个基本事实①直线的基本事实：经过两点一条直线。②线段的基本事实：两点之间最短。（3）两点的距离：连接两点之间的线段长度.例：若线段AB=5cm,BC=4cm,则A,C两点间的距离是()【易错】A.1cmB.9cmC.1cm或9cm D.以上答案都不对【答案】D线段的中点及性质①定义：把线段分成相等的两条线段的点，叫做线段的中点。②常用结论：若C是线段AB中点，则AC=BC=AB；AB=2AC=2BC．线段的和差运算如图,点B是线段AC上一点,则有AB=ACBC,BC=ACAB,AC=AB+BC.知识点2：角的相关概念和性质1．角的概念有公共端点的两条射线组成的图形。这个公共端点称为角的顶点，这两条射线是角的两边。2.角的表示角的分类类别锐角直角钝角平角周角度数（α）度、分、秒的换算1°=60′，1′=60″，1°=3600″．1周角=2平角=4直角=360°．余角与补角（1）余角：∠1＋∠2＝90°⇔∠1与∠2互为余角；（2）补角：∠1＋∠2＝180°⇔∠1与∠2互为补角．（3）性质：同角（或等角）的余角相等；同角（或等角）的补角相等．6．角平分线的概念及定理（1）定义：在角的内部，以角的顶点为端点把这个角分成两个相等的角的射线。（2）常用结论：若OC是∠AOB的平分线，则∠AOC=∠BOC=∠AOB，∠AOB=2∠AOC=2∠BOC．（3）定理文字描述角平分线上的点到角两边的距离相等。角的内部到角两边距离相等的点在角平分线上。图例已知条件OP平分∠AOB,PD⊥OA于点D,PE⊥OB于点E.PD=PE,PD⊥OA于点D,PE⊥OB于点E.结论PD=PEOP平分∠AOB7．方向角和方位角在描述方位角时，一般应先说北或南，再说偏西或偏东多少度，而不说成东偏北（南）多少度或西偏北（南）多少度．当方向角在45°方向上时，又常常说成东南、东北、西南、西北方向．知识点3：相交线三线八角直线a，b被直线l所截，构成八个角（如图）．同位角内错角同旁内角对顶角对顶角：（看图举例）性质：邻补角邻补角：（看图举例）性质：垂线及其性质垂线：如图,在两条直线AB和CD相交所成的四个角中,如果有一个角是90°,我们就说这两条直线互相垂直,记作“AB⊥CD”.其中一条直线叫做另一条直线的,它们的交点O叫做.垂线段过直线外一点作已知直线的垂线,该点与垂足之间的线段叫做点到直线的垂线段.点到直线的距离从直线外一点向已知直线作垂线，这一点和垂足之间线段的长度叫做点到直线的距离．垂线的基本性质①在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直;②连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，最短.线段垂直平分线的性质定理①性质定理:线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等.②逆定理:到一条线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.知识点4：平行线的判定及性质相关概念平行线的概念在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，直线a平行于直线b，可记作a∥b。平行线间的距离定义过平行线上的一点作另一条平行线的垂线，的长度叫做这两条平行线间的距离。性质两条平行线间的距离处处相等。平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行。平行公理的推论如果a∥b,c∥b,则a∥c。2.判定和性质知识点5：命题定义对某一事件作出正确或不正确判断的语句叫做命题.命题由题设和结论两部分组成.举反例是判定一个命题为假命题的常用方法.互逆命题如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件,那么这两个命题称为互逆命题,其中一个叫做原命题,另一个就叫做原命题的逆命题.典例解析呈现命题点命题点1线段与直线（2022·广西柳州·统考中考真题）如图，从学校A到书店B有①、②、③、④四条路线，其中最短的路线是（）A．① B．② C．③ D．④（2023·宁夏·统考中考真题）如图，点，，在数轴上，点表示的数是，点是的中点，线段，则点表示的数是．（2022·广西桂林·统考中考真题）如图，点C是线段AB的中点，若AC＝2cm，则AB＝cm．要把木条固定在墙上至少要钉两个钉子，这是因为命题点2相交线与角（2023·陕西西安·西安行知中学校考模拟预测）如图是一把剪刀，若，则的度数为（

）A． B． C． D．（2023·河南周口·淮阳第一高级中学校考模拟预测）如图，直线相交于点，若，则（

）A． B． C． D．（2023·河南周口·统考二模）如图，直线和交于点，平分，若，则的度数为（

）A． B． C． D．（2023·河南新乡·校联考二模）如图，直线，相交于点，，垂足为，若，则的补角度数为（

）A． B． C． D．（2023·北京顺义·统考一模）如图，直线，相交于点O，，若，则的度数为（

）A．36° B．54° C．64° D．144°计算：（1）；（2）；（3）；（4）．命题点3平行线的判定及性质（2024·陕西西安·校考模拟预测）如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，，，则的度数为（

）A． B． C． D．（2024·湖北·一模）将含角的直角三角板按如图所示摆放，直角顶点在直线m上，其中一个锐角顶点在直线n上．若，，则的度数为（

）A． B． C． D．（2023·广东茂名·统考一模）如图，直线被所截，若，，则∠1的大小是（）A．35° B．40° C．50° D．55°（2023·江苏·统考中考真题）将直角三角板和直尺按照如图位置摆放，若，则的度数是（

）．A． B． C． D．（2023·山东青岛·统考中考真题）如图，直线，，，则的度数为（）A． B． C． D．（2023·四川德阳·统考中考真题）如图，直线，直线l分别交，于点M，N，的平分线交于点F，，则（

）A． B． C． D．要得知作业纸上两相交直线、所夹锐角的大小，发现其交点不在作业纸内，无法直接测量．两同学提供了如下间接测量方案（如图1和图2）：方案Ⅰ：①作一直线，交、于点E，F；②利用尺规作；③测量的大小即可．方案Ⅱ：①作一直线，交、于点E，F；②测量和的大小；③计算即可．对于方案Ⅰ、Ⅱ，说法正确的是（

）A．Ⅰ可行、Ⅱ不可行B．Ⅰ不可行、Ⅱ可行C．Ⅰ、Ⅱ都可行D．Ⅰ、Ⅱ都不可行（2023·广东清远·统考一模）如图，，将的直角三角板与的内角顶点分别放在直线、上，若，则．（2023·江苏镇江·统考中考真题）如图，一条公路经两次转弯后，方向未变．第一次的拐角是，第二次的拐角是°．如图，在三角形中，点E、F在上，点D，G分别在，上，已知，．(1)求证：；(2)若，，求的度数．命题点4命题（2023·四川达州·统考中考真题）下列命题中，是真命题的是（

）A．平行四边形是轴对称图形B．对角线互相垂直的四边形是菱形C．到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上D．在中，若，则是直角三角形（2022·上海·统考中考真题）下列说法正确的是（

）A．命题一定有逆命题 B．所有的定理一定有逆定理C．真命题的逆命题一定是真命题 D．假命题的逆命题一定是假命题（2022·黑龙江绥化·统考中考真题）下列命题中是假命题的是（

）A．三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半B．如果两个角互为邻补角，那么这两个角一定相等C．从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角D．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半（2022·湖南岳阳·统考中考真题）下列命题是真命题的是（

）A．对顶角相