直线方程的五种形式

关于直线方程的五种形式复习1、直线的倾斜角范围？2、如何求直线的斜率？3、在直角坐标系内如何确定一条直线？答（1）已知两点可以确定一条直线。（2）已知直线上的一点和直线的倾斜角（斜率）可以确定一条直线。第2页,共63页，2024年2月25日，星期天1、过点，斜率为的直线上的每一点的坐标都满足方程（1）。（1）——

直线方程的点斜式（1）直线上任意一点的坐标是方程的解（满足方程）（2）方程的任意一个解是直线上点的坐标注：点斜式适用范围：斜率k存在直线和方程的关系第3页,共63页，2024年2月25日，星期天1、当直线的倾斜角为零度时（图2）tan0=0,即k=0.这时直线的方程就是特属情况2、当直线的倾斜角为时,直线没有斜率这时直线与y轴平行或重合，它的方程不能用点斜式表示。但因直线上每一点的横坐标都等于(图3），所以它的方程是oxy图2oyx图3第4页,共63页，2024年2月25日，星期天例1直线经过点，且倾斜角，求直线的点斜式方程第5页,共63页，2024年2月25日，星期天课堂练习：1.写出下列直线的点斜式方程：（1）经过点A(3,－1)，斜率是（2）经过点B(,2)，倾斜角是30°；（3）经过点C(0,3)，倾斜角是0°；（4）经过点D(－4,－2)，倾斜角是120°.2.填空题：（1）已知直线的点斜式方程是y－2=x－1，那么此直线的斜率是__________,倾斜角是_____________.（2）已知直线的点斜式方程是y＋2=(x＋1)，那么此直线的斜率是__________,倾斜角是_____________.第6页,共63页，2024年2月25日，星期天lyOxP0(0,b)直线经过点，且斜率为的点斜式方程？斜率在y轴的截距探索【注意】适用范围：斜率K存在——直线的斜截式方程

第7页,共63页，2024年2月25日，星期天

y=kx+b

——直线方程的斜截式.OyxP(0,b)截距与距离不一样，截距可正、可零、可负,而距离不能为负。思考2：截距与距离一样吗？第8页,共63页，2024年2月25日，星期天练习：写出下列直线的斜率和在y轴上的截距：第9页,共63页，2024年2月25日，星期天例2:直线l的倾斜角

＝60º，且l在y轴上的截距为3，求直线l的斜截式方程。第10页,共63页，2024年2月25日，星期天练习:写出下列直线的斜截式方程。（1）斜率是，在y轴上的截距是-2；（2）斜率是-2，在y轴上的截距是4；答案：答案：第11页,共63页，2024年2月25日，星期天2.两点式:已知直线经过点和(≠)求直线的方程.

这个方程是由直线上两点确定的，叫做直线方程的两点式。第12页,共63页，2024年2月25日，星期天例：求经过两点P（a,0）,Q(0,b)的直线l方程

截距式:这个方程是由直线在x轴和y轴的截距式确定的,叫做直线方程的截距式

.第13页,共63页，2024年2月25日，星期天

例2.已知直线在x轴和y轴上的截距分别是2和3，求直线的方程。第14页,共63页，2024年2月25日，星期天温故知新复习回顾①指明直线方程几种形式的应用范围.点斜式y－y0=k（x－x0）斜截式y=kx+b两点式截距式第15页,共63页，2024年2月25日，星期天

5.一般式:关于x和y的一次方程都表示一条直线.我们把方程

Ax+By+C=0(其中A、B不全为零)叫做直线方程的一般式.第16页,共63页，2024年2月25日，星期天练习求下列直线方程。1.经过点A(2,5),斜率是4;2.经过两点M(2,1)和N(0,-3);3..经过两点M(0,5)和N(5,0)4..经过M(6,-4),-4/3为斜率的直线的一般方程5已知直线l的方程为第17页,共63页，2024年2月25日，星期天5、已知直线经过点A（4,-3），斜率为-2\3求直线的点斜式方程，并化为一般式方程.6、已知三角形三个顶点分别为A(-3，0)，B(2，-2),C(0，1)求这个三角形三边各自所在直线的方程。第18页,共63页，2024年2月25日，星期天说明

直线的斜率的正负确定直线通过的象限.当斜率大于0时当斜率小于0时y=kx+b(k>0,b>0)y=xy=kx+b(k>0,b<0)yxoy=kx+b(k<0,b>0y=-xy=kx+b(k<0,b<0yxo第19页,共63页，2024年2月25日，星期天课堂练习第20页,共63页，2024年2月25日，星期天课堂练习：1.直线ax+by+c=0，当ab<0,bc<0时，此直线不通过的象限是()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.两条直线2x-y+k=0和4x-2y+1=0的位置关系是()A.平行B.垂直C.相交但不垂直D.平行或重合DD第21页,共63页，2024年2月25日，星期天3.若直线(m+2)x+(2-m)y=2m在x轴上的截距为3，则m的值是_____-64、直线Ax+By+C=0通过第一、二、四象限，则（）(A)A·B>0,A·C>0(B)A·B>0,A·C<0(C)A·B<0,A·C>0(D)A·B<0,A·C<0B第22页,共63页，2024年2月25日，星期天例2、设直线l的方程为（m2-2m-3）x+（2m2+m-1）y=2m-6，根据下列条件确定m的值：（1）l在X轴上的截距是-3；（2）斜率是-1.第23页,共63页，2024年2月25日，星期天1、直线l过点A（1,2）且不过第四象限，那么l的斜率的取值范围为———A、【1,2】B[0，1]C[0，1\2]D[0，1\2]2、若过点p(1-a,1+a)和Q(3,2a)的直线的倾斜角为钝角，那么实数a的取值范围为——3、已知三点A（2，-3）B（4，3）C(5,k\2),在同一条直线上，则k的值为————4、已知A(1,1),B(3,5)C(a,7),D(-1,b)四点在同一条直线上，求直线的斜率k以及a,b的值。3、已知点A(2,-3),B(-3,-2),直线l过点P(3,1)且与线段AB相交，求直线l的斜率的取值范围。(-2,1)12K=2,a=4,b=-3【1\2,4】第24页,共63页，2024年2月25日，星期天[-1,1][450,1350]第25页,共63页，2024年2月25日，星期天定点问题1，直线y=k(x-2)+3必过定点————2，第26页,共63页，2024年2月25日，星期天1、若过点P（-1,-3）的直线l与y轴的正半轴没有公共点，求直线L的斜率2、设线L的方程为（a+1）x+y+2-a=01)若直线l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程2）若直线l不经过第二象限，求实数a的取值范围3、一束光线从点A（-2,3）射入，经x轴上点P反射，通过点B(5,7),求点P的坐标第27页,共63页，2024年2月25日，星期天3、A,B两厂距离一条小河分别为400m和100m，A,B两厂之间的距离为500m,把一条小河看成一条直线，今在小河边建一座提水站，供A,B两厂用水，要使提水站到A,B两厂铺设的水管长度之和最小，提水站应建在什么地方？第28页,共63页，2024年2月25日，星期天1、若直线（2t-3）x+y+6=0不经过第一象限，则t的取值范围为——2、经过点A(1,2)并且在两个坐标轴上的截距的绝对值相等的直线方程有——条33、已知三角形ABC三个顶点的坐标为A(1，2),B(3，6),C(5，2),M为A,B的中点，N为A,C的中点，则中位线MN所在的直线方程为——2x+y-8=04、设点A（4,0），B(0，2),动点P(x,y)在线段AB上运动，1）求xy的最大值。2）在1）中xy取最大值的前提下，是否存在过点P的直线L，使得L与两坐标轴的截距相等？若存在，求L的方程，不存在，说明理由P(2,1)x-2y=0,x+y-3=0第29页,共63页，2024年2月25日，星期天求直线与两坐标轴围成的图形面积和周长1、求斜率为3\4,且与坐标轴围成的三角形周长为12的直线方程2、已知一条直线过点A（-2,2）并且与两坐标轴围成的三角形的面积为1，求此直线方程。第30页,共63页，2024年2月25日，星期天1、设A、B是x轴上的两点，点P的横坐标为2，且│PA│=│PB│，若直线PA的方程为x-y+1=0，则直线PB的方程是—x+y-5=02、求过点A(5,2)且在两坐标轴上截距互为相反数的直线方程3、已知直线L:1）若直线的斜率是2，求m的值2）若直线l与两坐标轴的正半轴围成三角形的面积最大，求此直线的方程第31页,共63页，2024年2月25日，星期天已知直线的方程分别为:

如何用系数表示两条直线的平行与垂直的位置关系?思考题:第32页,共63页，2024年2月25日，星期天例3、已知直线试讨论：（1）的条件是什么？（2）的条件是什么？第33页,共63页，2024年2月25日，星期天练习1、判断下列各对直线是否平行或垂直：第34页,共63页，2024年2月25日，星期天数学之美：巩固练习：1.下列方程表示直线的什么式？倾斜角各为多少度？1)2)3)

2.方程表示()A)通过点的所有直线；

B）通过点的所有直线；

C）通过点且不垂直于x轴的所有直线；

D）通过点且去除x轴的所有直线.C第35页,共63页，2024年2月25日，星期天①过点(2,1)且平行于x轴的直线方程为___②过点(2,1)且平行于y轴的直线方程为___③过点(2,1)且过原点的直线方程为___思维拓展1第36页,共63页，2024年2月25日，星期天（4）一直线过点，其倾斜角等于直线

的倾斜角的2倍，求直线的方程.第37页,共63页，2024年2月25日，星期天拓展2:①过点(1,1)且与直线y＝2x＋7平行的直线方程为______②过点(1,1)且与直线y＝2x＋7垂直的直线

方程为______第38页,共63页，2024年2月25日，星期天小结：直线方程名称已知条件直线方程使用范围点斜式斜截式斜率k和直线在y轴上的截距点和斜率k斜率必须存在斜率不存在时，第39页,共63页，2024年2月25日，星期天3.2.2

直线的两点式方程第40页,共63页，2024年2月25日，星期天xylP2(x2，y2)P1(x1，y1)探究：已知直线上两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)（x1≠x2,y1≠y2

），求通过这两点的直线方程？【注意】当直线没斜率或斜率为0时，不能用两点式来表示；第41页,共63页，2024年2月25日，星期天1.求经过下列两点的直线的两点式方程，再化斜截式方程.(1)P(2，1)，Q(0，-3)(2)A(0，5)，B(5，0)(3)C(-4，-5)，D(0，0)课堂练习：方法小结已知两点坐标，求直线方程的方法：①用两点式②先求出斜率k，再用点斜式。第42页,共63页，2024年2月25日，星期天截距式方程xylA(a，0)截距式方程B(0，b)代入两点式方程得化简得横截距纵截距【适用范围】截距式适用于横、纵截距都存在且都不为0的直线.横截距——与x轴交点的横坐标纵截距——与y轴交点的纵坐标第43页,共63页，2024年2月25日，星期天2.根据下列条件求直线方程（1）在x轴上的截距为2，在y轴上的截距是3；（2）在x轴上的截距为-5，在y轴上的截距是6；由截距式得：整理得：由截距式得：整理得：第44页,共63页，2024年2月25日，星期天求过(1,2)并且在两个坐标轴上的截距相等的直线?解:y=2x(与x轴和y轴的截距都为0)即：a=3把(1,2)代入得：设直线的方程为:2)当两截距都等于0时1)当两截距都不为0时第45页,共63页，2024年2月25日，星期天解：三条

变：过(1,2)并且在两个坐标轴上的截距的绝对值相等的直线有几条?解得：a=b=3或a=-b=-1直线方程为：y+x-3=0、y-x-1=0或y=2x设对截距概念的深刻理解

【变】：过(1,2)并且在y轴上的截距是x轴上的截距的2倍的直线是（）A、x+y-3=0

B、x+y-3=0或y=2xC、2x+y-4=0

D、2x+y-4=0或y=2x第46页,共63页，2024年2月25日，星期天名称

条件方程适用范围

小结点P(x0,y0)和斜率k点斜式斜截式两点式截距式斜率k,y轴上的纵截距b在x轴上的截距a在y轴上的截距bP1(x1,y1),P2(x2,y2)有斜率有斜率不垂直于x、y轴的直线不垂直于x、y轴，且不过原点的直线第47页,共63页，2024年2月25日，星期天斜截式截距式点斜式应用范围直线方程已知条件方程名称（三）课堂小结两点式存在斜率k存在斜率k不包括垂直于坐标轴的直线不包括垂直于x,y坐标轴和过原点的直线【注】所求直线方程结果最终化简为一般式的形式

Ax+By+C=0第48页,共63页，2024年2月25日，星期天中点坐标公式xyA(x1，y1)B(x2，y2)中点第49页,共63页，2024年2月25日，星期天例2、三角形的顶点是A(-5,0),B(3,-3),C(0,2)，求BC边所在直线的方程?xyOCBA....M变式1:BC边上垂直平分线所在直线的方程?变式2:BC边上高所在直线的方程?3x-5y+15=03x-5y-7=0第50页,共63页，2024年2月25日，星期天练习：第51页,共63页，2024年2月25日，星期天数形结合与对称的灵活应用已知直线l:x-2y+8=0和两点A(2,0)、B(-2,-4)（1）求点A关于直线l的对称点（2）在直线l是求一点P，使|PA|+|PB|最小（3）在直线l是求一点Q，使|

|QA|-|QB||最大A(2,0)A1(x,y)GB(-2,-4)PA(2,0)QB(-2,-4)(-2,8)(-2,3)(12,10)第52页,共63页，2024年2月25日，星期天数形结合与对称的灵活应用已知一条光线从点A(2，-1)发出、经x轴反射后，通过点B(-2,-4)，与x轴交与点P，试求点P坐标A(2,-1)(x,0)B(-2,-4)P变：已知两点A(2，-1)、B(-2,-4)试在x轴上求一点P，使|PA|+|PB|最小变：试在x轴上求一点P，使|PB|-|PA|最大第53页,共63页，2024年2月25日，星期天2.根据下列条件求直线方程（1）在x轴上的截距为2