2023届高考数学二轮复习大题专讲：系数放缩

第42讲系数放缩

若已知W(X)>g(x),其中a>0且a是/(x)的系数,要证明/z(x)•/(x)>g(x)恒成立，

只需要证

明〃(x)Na即可，也就是把//(x)作为的系数来实现放缩，这种放缩方式，称之为系数放

缩.

【例1】证明：4sinx+2xlnx-3x2-l<0.

【解析】证明：所证不等式等价于《3x-21nx+：，4sinx.

由三角不等式可得x〉sinx>0,只需证明3x-21nx+^之4即可.

x

、几ci11\n213%2―2%-1(3x+l)(x-1)

lxh(x)=3x-21nxH—»h(x)=3----..-=----------

XXXX

.•.〃(%)在(0,1)上单调递减，在(1,+00)上单调递增.

/.h{x}>〃(1)=4,BP3%-2Inx+—>4

x

由三角不等式可得x>sinx>0.

/.xf3x-21nx+—j>4sinx,原不等式得证.

［例2］已知函数/(幻=处三，设g(x)=12+“(%),其中广⑴为/(%)的导函数.证明:

对Vx>0,g(x)<1+e-2.

—ex-(Inx+l)exInx-1

【解析】证明：八幻=^-----3-----—--.

e*e

所证不等式等价于：

f---Inx—1j%

(x2+x)x----------<1+e-20l-x]nx-x<——[1+e-2

设j?(x)=\-x\nx-x,则"(x)=-l-lnx-l=-lnx-2.

令//(%)>0=-lnx-2〉0=x<e—2.

.•.〃(%)在(0,。一2)单调递增，在2,+oo)单调递减.

/.p{x)</2(e-2)=l+e-2.

一2),只需证—>1oe">x+1.

)x+1

设,。)=e"—x—1,q'(x)=ex-1,令[(x)>0解得x>0.

.•.9(x)在(0,+8)单调递增.

x

e

>9(°)=0.e>x+1---->1.

x+1

.•.l-xlnx-x<^(l+e-2),即原不等式得证.

x+P)

【例3】已知函数/(x)=---Inx-冽x(加£R).若冽=1,求

x

证:(/(x)+x-tz)ln(x+lj-l<—

e"+

【解析】证明：要证(：-lnx-ajn(x+l)-1<3，

日口、/ln(x+1)ea+i+1

艮口证(1-xlnx-办)义----<-.

t己A(x)=1-xlnx-ax,贝!Jh'(x)=-Inx-1-«.

令1(x)=0得x=e-(a+1).

当XE(0,e—(-i))时，h\x)>0"(%)单调递增.

当了£卜一("+1),+00)时，h\x)<0"(%)单调递减.

二"(x)WMe—S+D)=1+击=•

1—Y

令k(x)=ln(l+x)—x(x>0),贝！Jk\x)=-----1=-----<0，

1+x1+x

.•.左(x)在(0,+oo)上单调递减.

贝(I女(%)〈后(0)=0,

即ln(l+x)<x(x>0)恒成立.

八1、ln(x+1)ea+i+1后—一

/.(1-xlnx-ax)x-------<————怛成乂.

・二(/(%)+%-〃)ln(x+1)-1<

已证不等式放缩

这一类题目无法直接用常用的不等式进行放缩，但其题目特征也比较明显，通常第一小问会

产生一个

不等式，它可用于后面小问的放缩，而且最后一小问的不等式证明一般会比较麻烦.

【例1】已知函数/(x)=xlnx+qx+l,(7eR.

(1)当%>0时，若关于x的不等式“X)2(恒成立，求。的取值范围.

(2)当工£(1,+oo)时，证明：――<Inx<x2-x

e

【解析】⑴由/(x)»0得-aVlnx+~l■恒成立.

X

令〃(x)=lnx+L贝!JM(x)=1-1=土二

xXXX

.•.〃(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+8)上单调递增.

「•》(X)min=〃⑴=L

q«l,即a11,故a的取值范围是[-1,+8).

⑵证明由(1)题知，。=一1时，Wxlnx>x-1,

①要证@二D<lnx,可证过二只需证e'-Gx.

exexx

易证e'2x+l(证明略)，e"-1>x.

②要证Inxvi—x,可证lnx<x-l.

易证Inx<x-1(证明略)，由于x〉1,/.x-1>0./.x-1<x(x-1)=x2-x

:.]nx<x2-x.

综上所述，当%£(l,+oo)时，―—<lnx<x2-%.

【例2】已知函数/(X)=xlnx+e”.

(1)讨论函数g(x)=/(x)-(e+l)x的单调性.

2

(2)证明：对任意X£(0,+00),/(%)>Ty+X—l恒成立.

【解析】⑴g(x)=xlnx+-(e+l)x,定义域为(0,+8),

g'(x)=lnx+l+ex-e-l=lnx+ex-e.

,/g(x)=—+ex>0,

x

：.函数g<x)在(0,+8)上单调递增,且g⑴=0.

.•.在(0,1)上，g<x)<0.在(1,+8)上，g\x)>0.

函数g(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+8)上单调递增.

⑵证明由(1)题可知，g(x)1nhi=g(l)=—l｝，即/(x)2(e+l)x—1.

要证f(x)>+x-1,只需证(e+l)x—l2-^y+x—l,.

e“—ex~eex

y1—y

令h(x)=——,则〃(x)=——.当xe(0,1)时，〃(x)>0/(x)单调递增.

ex/

当xe(1,+oo)时h'(x)<0,h(x)单调递减.

11y

故人(X)max=硝)=一，即一2二.

eee

2一

，对任意X£(0,+8)x+%—1恒成立.

【例3】已知〃x)=lnx+Qx2+(a+2)x+l(aeR).

(1)讨论函数/(x)的单调性；

(2)设aeZ,对任意x>0,/(%)40恒成立，求整数a的最大值;

(3)求证：当x>0时，ex-xlnx+2x3-x2+x-1>0.

【解析】⑴/(x)=Inx+ax2+(tz+2)x+1(tzGR),

1+2ax2+(a+2)x_(2x+1)(QX+1)

f(%)——F2dv+(a+2)—(x>0)

xxx

①若a20,则r(X)>0,函数在(0,+8)上为增函数.

②若a<0,由广(x)>0可得0<x<-■-.由f'{x)<0可得%>--

aa

因此〃x)在(0,-L1］上为增函数，在1-1

，+00上为减函数.

aa

(2)若〃之0,则/⑴=2Q+3>0,不满足题意.

0,则/(x)在(0,-J上为增函数，在1

若4V——,+00上为减函数.

a

J/(\x)/max=f,In<0.

设g(x)=Inx+x,贝！Jg<0.

•.•g，(x)=L+l>0,;.g(x)在(0,+oo)上单调递增.

且g(l)=l>0,gln-+-<0.

22

(g,1)使得g(x())=0.

故存在唯一£

当X£(O,Xo)时，g(x)<0.当XG(x0,+oo)时，g(x)>0.

0<—WXQ，角举得QW---.---G(—2,—1)J1.q£Z,QW—2.

a%而

综上，a的最大值为-2.

⑶证明由(2)题可知，a=-2时，/(x)=lnx-2x2+1<0.

:.]nx<2x2-1,-xlnx>-2x3+x.

ex-xlnx+2x3-x1+x-\>ex-2x3+x+2x3-x2+x-1=ex-x2+2x-1.

t己〃(x)=ex-x2+2x-l(x>0),则u\x)=ex-2x+2.

记h(x)=ex-2x+2,贝！J〃(x)=ex-2.

由h，(x)=/一2=0可得％=1112.

xG(0,In2),hf(x)<0；x£(ln2,+8),/(x)〉0.

函数〃(%)在(0,ln2)上单调递减，在(ln2,+oo)上单调递增.

〃('>皿诂="Qn2)=e1n2—21n2+2=4—21n2〉0.

/.h(x)>0.优(x)>0,函数〃(x)>0.

.•.〃0)在(0,+oo)上单调递增..•./%)>〃(0)=0.

BPex—x2+2x-1>0,ex—xlnx+2x3—x2+x—1>0.

凹凸性切线放缩

如果要证明的两个函数一个是凹函数/(x)(向下凸出的函数)，一个是凸函数g(x)(向上凸

出的函数)，

则证明了(x)Wg(x)时，去找它们的共切线y=+6,只需要证明了(x)NyNg(x)即可，这

个证明过程称为凹凸性切线放缩.

【例1】已知函数〃x)=lnx_L2,证明：/(x)w』ljx4+1_3.

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【解析】证明：将原式变形为41nx-fw077工-3,两个函数有公共点(1,-1),

函数e(x)=41n无一f在(1,一1)的切线为y=2x-3.g(x)=JiJZI-3在(1,-1)的切线

也是y=2x-3,两个曲线一个上凸，•个下凸，41nx-尤2M2x-3W也《X，+1-3.

e(x)和g(x)图像,如下图所示.

【例2】已知函数〃x)=e，*.

(1)求曲线〃x)在x=l处的切线方程;

e<+2ex1

(2)求证：当x>0时，(-)->inx+i.

X

【解析】(1)/(x)=ex-x2,f\x)=ex-2x,由题设得/'⑴=e-2,〃l)=e-l.

曲线f(x)在x=l处的切线方程为尸=(e-2)(x-1)+e-1,即y=(e-2)x+1.

(2)证明令g(x)=/，(x),则g<x)=e*-2,

当x<In2时，g\x)<0.当x>In2时，g〈x)>0.

函数g(x)=/，(x)在(-8,In2)上单调递减，在(ln2,+oo)上单调递增，

g(》心=g(ln2)=/,(In2)=2-21n2