2024届新高考数学小题微点特训28 空间向量与立体几何含答案

微点特训•数学(新)

微点-

28.空间向量与立体几何Ji-J［，*

特训:完成日期：月日

［考点对点练］一保分必拿6.如图，已知点E,F分别是正方体ABCD-A|BiGD|

的棱AB,AAi的中点，点M.N分别是线段D］E.C|F

［考点一］空间向量的运算

上的点.则与平面ABCD垂直的直线MN有()

1.在空间直角坐标系0—才3，=中,记点A(1.2,3)在Mz

平面内的正投影为点B,则.|OBi=()

A.75B.710

c./isD.yn

2.(2020•全国高二课时练习)已知向量a=(1.0.1),

%=(2,0,—2),若(3+b)•(a+班)=2,则/的值

等于()

A.1B.47.如图所示，在直三棱柱ABC-A|B|G中，底面是以

5

NABC为直角的等腰三角形，AC=2a,BB|=3a.D

21

C—D—

55是AiG的中点，点E在棱AAi上，要使CEJ.面

3.如图，在平行六面体(底AcB)DE,则AE=.

面为平行四边形的四棱A,,/、"''、4%'

柱)ABCD-AiB£Di///1>E

中.E为BC延长线上一

点，BC=2CE•则QiE=B

()

A.就+前十疝

8.在正三棱柱A8C-A|8iC|中.侧棱长为2,底面边长

B.AB+}AQ—AA］为1,M为BC的中点，己带=入中.且AB】_LMN,则

A的值为.

C.AB+AD-AA\

［考点三］用向量法求空间角和距离

D.AB+yAD-AAj'

9.如图，在大小为45°的二面角A-EF—D中，四边形

4.已知空间任意一点。和不共线的三点A,B,C,若加ABFE.四边形CDEF都是边长为1的正方形.则B,

=#5X+y加+z5?l,y,zeR).则。=2,y=D两点间的距离是()

-3,2=2”是¥,4,8,(：四点共面”的()

A.必要不充分条件

B.充分不必要条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

A.V3B.V2

［考点二］用向量法证明平行、垂直

5.已知点A(0,1,0),5(-1,0,-1),C(2,1,1),C.1DV3-72

点PQrO,z),若PA_L平面ABC,则点P的坐标为10.已知直线/的方向向量为。=(一1,0,1),点

()在/上，则点P(2,-l,2)到/的距离为()

A.(1,0,-2)B.(1,0.2)A./TB.4

C.(-1.0,2)D.(2,0,-1)C.717D.372

•67•

微点特训・数学（新）

11.如两:定方底八一反五二无E；c；b」而硬浮i：5显

A.fB.f

面AiBi/Di的中心，则0到平面ABgDi的距离

是（）C考D.多后

［素养提升练］一高分必抢

一、单项选择题

1.设向量。=（£,1,1）.8=（1,?,1）.。=（2,一

4,2）,且a_Lc.b〃c,则|a+b|=（）

A-i-B也A.272B.A/W

,2,4

C.3D.4

42nR

l，.？22.在四面体八BCD中，点F在八D上，且AF=2FD,E

为BC中点，则前等于（）

12.如图，直四棱柱ABCD-A|8|GD|的底面是菱形，

AAi=AB=2,NBAD=60",M是BB1的中点.则异A.EF=AC-\-^-AB-^-AD

面直线AM与BQ所成角的余弦值为（）

B.EF=一彳AC—十AB十京AD

C.EF=-ACi-AB+yAD

D.ER=--1-AC+yAB--1-AD

3.若三棱锥P-ABC的三条侧棱两两垂直，且满足

A.一罕B.一q

D0PA=PB=PC=1,则点P到平面ABC的距离是

C.fD.季（）

A西B西

13.如图，已知长方体ABCD—AjBiGDi中.AD=AA］63

=1.AB=3,E为线段AB上一点，且AE=^AB.则「底、、支

c.—6I）.3—

DC1与平面jEC所成的角的正弦值为（）

4.若正四棱柱ABCD-A|B|C|D|的体积为VI,AB=1,

则直线AB|与CD】所成的角为（）

A.30°B.45°

C.60°D.90°

5.在长方体ABCD-AtBjCiDj'I1,AB=BC=2,

AA|=1,则直线BQ与平面所成角的正弦

值为（）

A.fB.空

r73n72

C-TD-T

14.如图所示，已知点P为菱形ABCD外一点，且PA±「二5-［、J10

C.-o1J.-z—5

面ABCD,PA=AD=AC,点F为PC中点.则二面

6.空间直角坐标系O—/不中.经过点P（Ro，）o，&）,且

角C—BF—D的正切值为（）

法向量为加=（A,B,C）的平面方程为A1—孔）+8

（y—NO）+C（N—之。）=0,经过点P（»3>0，％）且一个

方向向量为〃=（〃“，0）（"必六0）的直线I的方程为

匚迎=匚生=匚曳,阅读上面的材料并解决下面

p.V（D

问题:现给出平面a的方程为3/一5）十之一7=0,经过

・68

微点特训•数学（新）

（。,。,。）的直线"的方程为行广告'则直线"与i（）:血函:定为林仄说5二7m；鬲棱K浮匚E.息[答题栏]

平面a所成角的正弦值为（）

B•装

C.空D.第

7

7.在正方体A3CD-A]8iGDi中，点E是棱斗的的

中点，点F是线段CD】上的一个动点.有以下三个A.直线B|C〃平面A|BD

5

命题：B.B1C±BDi

16,.

C.三棱锥C.-BiCE的体积为5

9

D.异面直线BC与BD所成的角为60°

三、填空题-坦

11.已知正方形ABCD的边长为1.PDJ"平面ABCD,J1L

且PD=1,E.F分别为ABIC的中点.则点D到平咚

①异面直线AG与0F所成的角是定值；

面PEF的距离为，直线AC到平面PEF的

②三棱锥B-A.EF的体积是定值；13

距离.

③直线AF与平面BCD1所成的角是定值.14

其中真命题的个数是

A.3B.2

C.1D,0

8.正方体ABCD-A1&CiD|的棱长为1,动点M在线

段CCi上，动点P在平面Ai%GDi上，且八「_1平12.在直四棱柱ABCD-A|B[GD|中，侧棱长为6,底3

面MBD].则线段AP长度的取值范围为（）面是边长为8的菱形，且NABC=120°,点E在边,

BC上，且满足BE=3EC.动点M在该四棱柱的表面

5

上运动,并且总保持则动点M的轨迹围

成的图形的面积为；当MC与平面ABCDg--------

所成角最大时，异面直线MC与AC所成角的余弦值7

B.[l,庖[真题体验练]一实战抢分9

（多选）（2021•新高考I卷.12）在正三棱柱ABC-

c.修匈D.惇阕10

A|BCi中,AB=AA]=1,点P满足BP=aBC+/

二、多项选择题

BBi,其中;则（）

9.正方形AI5CD沿对角线BD折成直二面角.下列结论

A.当;1=1时.△ABiP的周长为定值

正确的有（）

B.当”=1时,三棱锥P-ABC的体积为定值

A.AD与BC所成的角为30°t

C.当;1=十时，有且仅有一个点P.使得A|匕LBP

B.AC与BD所成的角为90°

C.BC与面ACD所成角的正弦值为学

D.当户时，有且仅有一个点P,使得AjBJ_平

D.平面ABC与平面BCD的夹角的正切值是戏'面A&P

•69

微点特训I・数学(新)

微点特洌28空间向量与立体几何7.a或2a［建立如图所示的坐标系.

考点对点练——保分必拿则口（0D,D（铁华,3a），

1.B[点A(1,2,3)在xOz平面内的正投影为点

C（0,寂，0）.设E（7Fa,0,z）（04z

3(1,0,3),则|OB|=A/12+0+32=710.]

&3a）.则诠=（北a,一金a,z）,

2.D[由已知得a|=7^"・IbI=2V?.且a•b=0,所以(履

瓦方=（Vfa,0,之一3a）.・・・。£_1_平

+b)・{a-\-kb)=2得A|a|2+4|b|2+(/+i)Q.b=2,

面由题意得

即2E十弘=2.解得笈=1-・【B.DE,ACE±B?E,

32a'+J—3az=0,解得za或2a.故AE=a或2a.J

3.B[如图所示，取BC的中8.15［如图所示，取B.C）的中

点F•连接AF,点P,连接MP.以嬴，而，府方

则AD//FE且AD

XX}}的方向为.r,y,之轴正方向建立

=FE,

空间直角坐标系.因为底面边

・•・四边形ADEF是平行

}i长为1,侧校长为2,则A

四边形，1

-O2

2

・•・A】F〃D】E且A1F=D,E.：.AXF=D}E,

又B方=575+花+k=X^+蒜+俞=一刀T+（2,0・0）,G（5・0.2）,M

—>■1—*■

AB+yAD,

（0,0,0）,设N因为GN=aNC.所以

----A——>1——►►

・・・"£=八8+当40—人人「故选B.］

,、（十，0，白卜所以冠=（—十，一空,2）加=

4.B［当i=2,?=-3,N=2时，即了=2了-35B+

2OC.则江一茄=2示-3（就-启）+2（公-茄）,(十，°'注0.又因为AB」MN,所以AB|"MN=0.

即彳方=一3蒜+2充•根据共面向量定理知，P,A.3,C

所以一十+*=0,所以义=15.]

四点共面；反之•当P,A.B.C四点共面时•根据共面向

量定理，设立=6获+〃公3〃・〃GR）,即3?一示=9.D[因为茄=茄+灌+EB,所以！曲|2=!无]/十

22

"?（35—示）+〃（左一示），即5?=（1一加一〃）示十|FE|-|-|ED|+2BF•灌+2而•茄+2林•茄

一施—北■，所以|访|

m（）13+nOC♦即］=1—〃？一〃，？=〃？，之=〃，这组数显然=1+1+1*=3=73-72.]

不止2,—3,2.故。=2,3，=-3,Z=2”是“P,A,B,C四10.C[根据题意•得西=(-1,3,—3),。=(一1,0・1),

点共面”的充分不必要条件.］

1+0-3_

5.C［由题意知法=（一1,一1,一1）,公=（2,0,1）,cos<a,PA)=

V2X/I?

江=（1,一1,之），又尸八，平面八8。，所以茄・丘・

持又；?A|=，T§\・••点P（2,—l・2）到直线/的

（―1«—1,-1）,（1,—1,N）=0,得一彳+1—z=0,AC•

存（）・（）①

=2,0,1n—l,z=0,距离为|PA|sin〈a.尸A〉=/J

得21+z=0,②

11.B［以D为坐标原点，以DA,

联立①②，得i=-l,z=2,故点F的坐标为（一1,0,2）.【

DC,DDi所在直线分别为

6.B［假设存在满足条件的直线MN.建立空间直角标

轴建立空间直角坐标系•则有

系，不妨设正方体棱长为2,则D1（2,0,2）.E（l,2,0）,

Di（0,0.1）,D（0,0,0）,A（l,0・

Mi（1.0,D.C,（0,

AC的中点，所以

,C?O=

传,一-1-,0),AR=(—1,0,13(8=(0,1,03设平

面ABGD,的法向量为〃=(1,y，z3则有

设M(a'y,z)mD)，所以(、—

f,D]M=1a2,y,z(n•ADj=0,彳+之=o,

—2)=〃?(—1,2,-2),i=2—〃？.J，=2〃2,Z=2—2?n，所)—>由，|取〃=(1,0,1),；・()至4平面

[〃・AB=0,ly=o，

以M(2—m«2m,2—2m),

同理.若设}&=君？(0&1),可得N(2〃，2〃，2-〃).

ABC1D1的距离为4=g0：'L="1z=§.]

MN=(7管+2〃-2,2〃一2加，2加一〃).又因为MNJ_平面"J24

ABCD.CD=(2,0,0),逸=(0.2,0),所以----►-----►----►—►i—►

12.D[由题意可得.,

'=2_

：一即存在满足条件的直线

|+72=0,=’3=，|天江|2+|瓦而2=瓦瓦2=俞一丽.

\2n-2m=0_2

f

r~l~2

\B}C\=A/1BC|+IBBi1=242,cos<AtM,B}C)=

MN,有且只有一条.故选B.]

・158•

微点特训・数学（新）

逊•豆（AB—倒场）・（比一明）A

IAM||B^C|2710

——->■I—►

AB-2X2X

2710

13.A[如图，以D为坐标

原点.DA,DC.DQ1所在

3.D［分别以PA,PB・PC所在的直线为才轴，y轴，之轴

直线分别为工轴,轴，

y建立如图所示的空间直角坐标系.

2轴建立空间直角坐标

ZA

系•则G(0,3,1),"(0,cl

0,l),E(l,l,0),C(0,3,

0).所以DC】=(0,3,1),-2

57^=(1,1,-1),升=,3,-1）.设平面D）EC的

(n•D]E=0,

法向量为n=(],»•?),则J—>即

1〃・DC=0,则A(1,O,O),B(O,1,O),C(O,O,1)MB=(-1,1,0),

汇=(设平面的一个法向量为〃=(工,券之),

:+k]。,叫k,取尸]，得.=(2,1,3).因-1,0,1).A3C

—►

3y-%=0,1之=3),(II,AB=0/—/-|-y=0

由I-得：|',.令1=1,则y=z=1.则

DC】・/_(0,3,1)・(2,1,3)

为cos<DC,.n〉•AC=01-1+之=0

IDC,I•IniTlOX旧平面ABC的一个法向量为〃:(1,1,1).所以点P到平

曾善，所以QG与平面JEC所成的角的正弦值为

面ABC的距离d=二纸[

*Ini；”3

■箸，故选A.14.C［?・,正四棱柱ABCD—AiBGn的体积为畲,AB=

1,・•・AA|=痣，以D为原点、DA为工轴，DC为y轴.

14.D［如图所示.连接AC.BD.ACnbD=O,连接OF,

DD为之轴，建立空间直角坐标系•则A(1,0,0),

以O为原点,O3、OC、OF所在直线分别为轴建｝

)

立空间直角坐标系O—7丁2,B(1,1,73),C(O,1.0),0,(0,0,73),AB]=(0,1,73),

加=（0.一1,疝），设直线A%与CD|所成的角为仇则

\AB-CD\2

cos^=ily,又0°V8<90°,

IAB"・ICD""

・・・8=6O°,・・•直线AB1与CR所成的角为60°.1

F（0,0,4）,C（0.》0）,D（一浮0,0），结合图形可

知，OC=（0,十.0）.且OC为平面BOF的一个法向量,5.D［以D点为坐标原点，以

由於=（冬十）蔗=可求得面

,0.DA.DC.DDl所在的直线为1

轴、），轴、N轴，建立空间直角坐

标系，则八（2,0,0）,3（2,2,0）,

BCF的一个法向量〃=（1,痣,痣），所以cos<w.OC>=

BC

/oi->O―>OC（0,2,0），G（°，2,1）,V}

—•sin〈〃,()(：)=-V7-♦所以tan(n♦()C〉—~]=（-2,0.1）,X?=（-2,2,

素养提升练一高分必抢0）,花为平面BB.D.D的一

l.C[・・・b〃c.・・・2y=-4Xl,y=一2,.二b=(1,一2,1)

个法向量.Acos<BC；,AC>=-5—=・•・直线

丁a_Lb・1・。•b=2i+1•(—4)+2=0,；・1=1,，a=V5•785

(1,1•1),・•・a+b=(2,—1,2),・•・|a+6|=

/22+(—1)2+22=3•故选C.]3G与平面所成角的正弦值为1

2.B[在四面体ABCD中.点尸在AD上.且AF=2FD^6.B［因为平面a的方程为31一53+之一7=0.故其法向

E为8c中点，所以证=其+函+亦=

量为k（3,—5.1）.因为直型的方程为青=宠=嗨'

Y(AB-AC)-A3+>D=-专AC-yAB+

故其方向向量为m=（3,2.一1）,故直线/与平面a所成

一

(即今人(人]).]910—1I

AD.EF=-aAC—8+角的正弦值为■/I4X735|

・159•

微点特训・数学(新)

7.B1以A点分9标原,“A3・AD,AA1所点五灸,

•BA=_/+/=(h

轴，y轴・二轴建立空间直角坐标系.设正方体棱长为1,的法向量为m=(♦,»',/),则一►,取

•BC=，+j/=0,

可得3(l,0,0),C(l.l,0),D(0,l,0).A(0,0(1,

y=1得y'=-1,y=1；•m=(1・一1,1),设两个平面的

0,l)，G(1,1・1),以(0・1,1),设F(/,l.l-D,(04fW

夹角为为锐角)，则〈〃…〉

1),可得元「=(1,1,1),瓦?=(1一1,1,一/),可得位；・a(aCOSa=IcosI=4Hj

万了=0.故异面直线AC1与所的角是定值.故①正

=

确；三棱锥B-A】EF的底面AQE面积为定值.且CR=•故sina—.故tana-J2./.平面ABC与平面

〃BA「点F是线段CD】上的一个动点.可得F点到底BCD的夹角的正切值是成■.故D正确.]

面A/3E的距离为定值，故三棱锥J3-A]EF的体积是10.ABD[如图建立空间直角坐标

支色故②正确；可得无节=(//，一/).瓦2=(0,—

系，A(0,0,0),B(1,0,0),

C(l,l,0),D(0,l,0),A|(0,0,1),

=可得平面B1CDl的一个法向量为n

=(1,1,1),可得cos〈彳1,〃〉不为定值.故③错误门B,(1,0,1),C}(1,1,1),

8.D[以DA,DC,DDi分别为建立空间直角坐标氤

系，则A(l,0,0),B(1,l,0),M(0,l.f),Q(0,0,1),

P(i，y，l)・乔=(①一1，丁，1)，1^=(一1，-1，1)，而=(0.1,-l).BDl=(-1.1.Dy

1).BD=(-1,1,0),=/B

=(一1,0,力，七[0,口，由AP_L平面,则说・寿=0--A——>'X

且说^・族=0,所以1一l+/=0且1一%一？+1=0得(-1.0,1),所以3(・BDi=

-lX0+lXl+(-l)Xl=0.即就所以B.C

①=，+l,y=l—£,所以|AP=J(i—ll+V+i=

_LBD「故B正确；就•BD=-lX0+lXl+(-l)

(f当f=:时,IAP|巾皿=啰，当f=°或

X0=l.IB^CI=71,茄=Vf,设异面直线B,C与BD

AA

(=1时,\AP\所成的角为d.则cose=--&]以一=4■.又ee

13,01-IBDI2

(0,句.所以片名，故D正确；设平面A〔BD的法向

n•BA,=0—z+y=。的

量为n=(1,了,之)，则一,即r+z=0'取"

n-BD=0

=(1,1,1).则fi•B,C=OXH-1X1+1X(-1)=0,Mp

〃_1前，又直线6CU平面A13D,所以直线场C〃平

面A]BD,故A正确“〃产=匕,「产=yB,C,•

9.BD[取BD的中点O,连接AO,CO,则AO_LBD.V正

Szxc'=yX1X1X1J,故C错误.3

方形ABCD沿对角线8D折成直二面角•故平面1(E

ABDJ_BCD平面，而平面A8DD