重庆市2023-2024学年高二年级上册期中数学试题含解析

重庆市2023-2024学年度上期

高2025级期中考试数学试题（答案在最后）

（满分150分,考试时问120分钠）

注意事项

1.答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，

用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上

无效.

一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分）

X22

—y=]

I.若椭圆25-上一点尸到椭圆一个焦点的距离为7,则P到另一个焦点的距离为（）

A.3B.4C.5D.6

【答案】A

【解析】

【分析】利用椭圆的定义列式计算得解.

【详解】椭圆上+=1的长轴长2a=10,而点P到椭圆一个焦点的距离为7,

25

所以P到另一个焦点的距离为2。-7=3.

故选：A

2.已知点2（3,4）,8（—1,3）,直线/号=h+3与直线垂直，则实数后=（）

11

A.一一B.-C.4D.-4

44

【答案】D

【解析】

【分析】求出直线的方程，根据直线垂直得到,k=-1,求出答案.

4

【详解】直线N3的方程为匕江="，即+

4-33+1-44

因为直线/：＞=区+3与直线垂直，所以4左=一1,解得左=一4.

4

故选：D

3.若点/（d3）在圆。：/+5一以=5外，则实数。的取值范围是（

A.(-oo,-l)B.(-oo,l)C.(-oo,-l)<J(l,+oo)D.(-1,1)

【答案】C

【解析】

【分析】根据圆的方程可得圆心和半径，结合点与圆的位置关系分析求解.

【详解】由题意可知：圆。:/+(了-1『=5的圆心半径—石，

若点/(a,3)在圆。外，则=而_0)2+(3_叶=5+4〉正，

解得a>1或a<-1,所以实数。的取值范围是.

故选：C.

4.已知向量a=(1,2,-y),b=(x,l,2),且(a+2石)〃(2a一),则().

11

A.x=—,v=1B.x=-,y=-4

3'2'

C.x=2,y=--D.x=1,J=-1

【答案】B

【解析】

【分析】根据空间向量的坐标运算及空间向量平行的坐标表示即可求解.

【详解】由题可知，Z+2B=(2x+l,4,4—歹)，2a-Z)=(2-x,3,-2y-2),

因为(a+2石)〃(2a

所以存在实数X,使Z+2B=；l(2Z—b),

2x+l=2(2-x)3

所以4=32,解得|》=二,

2

4-J=2(-2V-2)J=_4

故选：B.

5.如图，长方体48C£>—451GA中，441=48=4,40=2,E、F、G分别是。。1、AB、CCX

的中点，则异面直线同£与GE所成角的余弦值是(

VTo「6

A.0DR.-----------L.--------

52

【答案】A

【解析】

【分析】建立空间直角坐标系，表示&E,GF,然后利用空间向量的夹角公式计算即可.

4（2,0,4）,£（0,0,2）,F（2,2,0）,G（0,4,2）

所以率=（—2,0,—2）,砺=（2,-2,-2）

所以异面直线AXE与GF所成角的余弦值=0

A^GF

故选：A

【点睛】本题考查异面直线所成角的余弦值，利用向量的方法，便于计算，将几何问题代数化，属基础题.

6.已知椭圆\=1的左、右焦点分别为片，F2,P为椭圆。上一点，则满足△尸片鸟为直角三角

形的点尸有（）

A.2个B.4个C.6个D.8个

【答案】B

【解析】

【分析】根据椭圆的对称性及cos/F；2£的值，分类讨论，即可求解.

【详解】当片为直角顶点时，根据椭圆的对称性，可得满足的点P有2个；

当巴为直角顶点时，根据椭圆的对称性，可得满足的点尸有2个；

设椭圆。的上顶点为3,

由椭圆C:FI―=1,可得=25,"=16,可得a=5,Z?=4,c=yja2—b2=3>

2516

则忸周=忸闾=5,闺用=2c=6,

所以COS4%=5-—〉0,故/片8与€[(),£],

~2x5x5I2)

所以不存在以P为直角顶点的△「青鸟，

故满足本题条件的点尸共有4个.

故选：B.

7.“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”是唐代诗人李顽《古从军行》这首诗的开头两句.诗中隐含着一个数

学问题——“将军饮马”：即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能

使总路程最短?在平面直角坐标系中，设军营所在区域为/+/44,若将军从点幺(3,1)处出发，河岸线

所在直线方程为了=-x-5,并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，那么“将军饮马”的最短总路程

为()

A.10B.9C.8D.7

【答案】C

【解析】

【分析】首先利用对称关系求出点A关于直线y=-x-5的对称点的坐标，进一步利用两点间的距离公式

求出最小距离.

【详解】设点A关于直线)=-x-5的对称点坐标为B(a,b)

22[a=-6

故LJ，解得7°，即对称点以-6,-8),故原点到点3的距离

b-11b=-S

----二Ii

、a—3

d=7（-6-°）2+（-8-°）2=]0，

所以最短距离为BQ=10-2=8.

故选：C

8.定义两个向量Z与j的向量积Zx1是一个向量，它的模口乂口=”.「卜/（]向，它的方向与Z和s同时

垂直，且以％,D的顺序符合右手法则（如图），在棱长为2的正四面体/BCD中，则（刀X?万）.k=

（）

A.472B.4C.4百D.2G

【答案】A

【解析】

【分析】根据题中条件确定|通乂彳川，设底面△N3D的中心为O,则CO,平面/5D,可求得

cos^AC,OC^=cosZACO=＞又IZx通的方向与双相同，代入计算可得答案.

B

ABxAD,'画.西.sin（丽皿=2X2X曰=2G

设底面的中心为。，连接CO,AO,则。C_L平面/AD,

又AO,AB,N£>u平面/皿故。C_L4。，OC±AB,OCLAD,

丘―手,四寸k片与

2A/6

在△ZCO中,oc'&

cosZACO=----=---=——

AC23

则cos（%，灰）=cosN4c。=?，又血X通的方向与无相同，

所以（万x25）.k=2Gx2x'=4V^.

故选：A.

二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分）

9.下列命题中，是真命题的为（）

A.设万，B是两个空间向量，则》石=讥）

B.若空间向量入3满足同=W，则3=±B

C.若空间向量成，n,万满足玩=方，万=万，则应=万

D.在正方体NBC。—44G。中，必有衣=泪

【答案】ACD

【解析】

【分析】根据空间向量的相关概念和运算逐项分析判断.

【详解】对于选项A：根据数量积的定义可知：a-b=b-a=^\C0S（a,b）,故A为真命题;

对于选项B：根据向量的定义可知，同=|,,但向量的方向无法确定，

所以］=±3不一定成立，故B为假命题；

对于选项C：根据向量相等的定义可知：若成=万，方=/，则加=万，故C真命题；

UUWUUUtt-L1cMuuum

对于选项D：在正方体4BCD—451GA中，AC=AXCX,且ZC,4G方向相同，

所以衣=泪，故D为真命题.

故选：ACD.

10.已知圆O:/+/=4和圆:/+/+4x-2y+4=0相交于2,8两点，下列说法正确的为()

A,两圆外切B.两圆有两条公切线

C.直线AB的方程为y=2x+2D.线段48的长为生5

5

【答案】BD

【解析】

【分析】对于A：根据题意可得两圆的圆心和半径，进而判断两圆的位置关系为相交；对于B：根据两圆相

交分析判断；对于C：根据两圆方程之差即为公共弦所在直线方程，运算求解即可；对于D：利用点到直线

的距离公式结合垂径定理求公共弦长.

【详解】由题意可知：圆0：/+/=4的圆心。(0,0),半径外=2,

圆A/:/+/+4x-2y+4=0,即(x+2)~+(y-1)~=1,可知圆心半径々=1,

对于选项A：因为10M=J(—2y+12=石,则〃—4<|加|<。+73，

所以两圆相交，故A错误；

对于选项B：因为两圆相交，所以两圆有两条公切线，故B正确；

对于选项C：因为两圆相交，则两圆方程之差即为公共弦所在直线方程，

可得直线48的方程为y=2x+4,故C错误；

J4445

对于选项D：因为0(0,0)到直线AB:2x-y+4=0的距离d=万(行=一丁，

所以线段48的长为相=竽,故D正确；

故选：BD.

11.如图，一个底面半径为次的圆柱被与其底面所成的角为6的平面所截，截面为椭圆，若。=60°,则

A.椭圆的短轴长为2G

B.椭圆的离心率为且

2

22

C.椭圆的方程可以为土+匕=1

4812

D.椭圆上的点到焦点的距离的最小值为2G-3

【答案】ABD

【解析】

【分析】利用图中的几何性质即可求出见“c,即可判断A,B,C的正误，利用二次函数的性质即可求出椭

圆上的点到焦点的距离的最小值.

【详解】设椭圆的长半轴为短半轴为6,

由已知可知cos60°=2后，解得。=26，

2a

•；b=G，.•.椭圆的短轴长为26，故A正确;

则椭圆的标准方程为三+亡=1，故C不正确；

123

c2=a2—b2=9>c=3,e=—=—=^~，故B正确；

a2G2

2

椭圆上的一点为2（孙方）,其中一个焦点坐标为尸（3,0），且其=3言，

2o

X2OQQ

则歼=（O-3）+J=X-6x0+9+3-=-X-6x0+12^-25/3<x0W2百）

该抛物线的对称轴为x=4,故函数在区间［-2月,2君］上单调递减，

当％=26有最小值，此时|尸尸匕=21—12百=3?—126+（26『=（26—3『，

gplPFl.=26—3,故D正确.

IImin

故选：ABD.

12.如图，棱长为2的正方体45cz）—44GA中，点"、N满足亦=2为，CN=nCD,其中X、

（0,1）,点P是正方体表面上一动点，下列说法正确的是（）

A.当2=g时，ZW〃平面C8Q]

B.当〃=g时，若B.PH平面4NG,则\B,P\的最大值为V3

C.当4=〃=g时，若PMLD[N,则点尸的轨迹长度为4+26

D.过A、M、N三点作正方体的截面，截面图形可以为矩形

【答案】AC

【解析】

【分析】以点A为原点，34、DG、所在直线分别为X、V、z轴建立空间直角坐标系，利用空

间向量法可判断AC选项；分别取48、中点G、H,连接用G、GH、B[H、4G、GN,找出

点尸的轨迹，结合图形求出忸0的最大值，可判断B选项；作出截面，分析截面的形状，可判断D选项.

【详解】以点A为原点，。第1、Dg、。。所在直线分别为X、了、z轴建立如下图所示的空间直角坐

标系，

则A（0,0,0）、4（2,2,0）、C（0,2,2）,/（2,0,2）、。（0,0,2）、（0,2,0）,

1___,___,__»1___»__,1

对于A选项，当;l=§时，W==jl4C；-AD=j（-2,2,-2）-（-2,0,0）

37

设平面C"E>1的法向量为浣=a，%,zj,瓦瓦=（2,2,0）,方e=（0,2,2）,

m-D[B[=2x,+2y,=0一/、

则<―，取％=—i,可得加=。,—i』），

应•£>。=2必+2%=0

____422____.

所以，m-DM=-----=0,则加_L£）M，

因为。平面C8Q],故当时，7/平面C5[。],A对;

对于B选项，当〃=,时，N为CD中点、,

2

分别取48、5c中点G、H,连接用G、GH、B〔H、&G、GN,

因为G、H分别为AB、的中点，所以，GHHAC,

又因为44//CG且Z4=cq,所以，四边形Z4GC为平行四边形，则/c〃4G，

所以，GH/%\,

因为侬①平面4NG，4G<=平面4NC「所以，GT/〃平面&NG，

因为45〃。。且45=8,G、N分别为AB、C£）的中点，

所以，BG//CNS.BG=CN,所以，四边形8CNG为平行四边形，可得GN//BC且GN=BC,

又因为5C〃8]G且与G，所以，GN〃,G且GN=5IG，

故四边形BGNG为平行四边形，则B\GHC\N,

因为gG<Z平面A[NC[,C、Nu平面A\NC[,则BXGH平面AXNCX,

因为耳G。GT/=G,B[G、GHI平面B.GHU平面Ag,

当点P为笈的边上一点（异于点与）时，则4Pu平面86笈，则与P〃平面4NC］,

故点尸的轨迹为△gG/f的边（除去点耳）,

因为忸iG|=JBB；+BC=122+a=石,同理可得忸倒=逐,

结合图形可得14PLx=|8臼=但"|=JLB错;

当/=〃=；时，M、N分别为ZG、3的中点，如下图所示:

此时点N（0,l,2）、M（1,1,1）、口（0,0,0）,丽=（0,1,2）,

当点尸在平面44QQ内运动时，设点尸（X,0,2）,其中0Wx<2,0<z<2,

则赤

因为ANLAff,则型•赤=—l+2（z—l）=2z—3=0,解得2=5,

设点P的轨迹分别交棱441、DD1于点R、Q,则氏12,0,1］、2^0,0,1^,

当点P在平面CG2。内运动时，设点P（0/,z）,其中0«1V2,0<z<2,

赤=（_l,y—l,z-1）,则型.赤=y-l+2（z_l）=y+2z_3=0,

设点P的轨迹交棱CG于点/，则尸］（）,2,3；设点尸的轨迹交棱AB］于点T,

因为平面AAXDXDH平面BBgC,平面RQFT口平面AARD=RQ,

平面R少Tn平面期qC=E/，所以，RQHFT,同理可得。V/RT,

所以，四边形氏。"为平行四边形，且忻7|=|夫0|=2,忸升=归@=

因此，点P的轨迹的长度即为平行四边形RQET的周长2（2+逐）=4+2下，c对;

对于D选项，设截面交棱44于点U,连接GU,

题意可知，截面与平面ZGN重合，

因为平面ABCDH平面44GQ,平面ANCXA平面ABCD=AN,

平面ZNG。平面481GA=G。，所以，ANnep,同理可得/U〃GN,

所以，四边形ZUGN为平行四边形，

易知N（0,2—24,2）,其中。所以，=（-2,2-22,0）,QV=（0,-22,2）,

所以，^V-QV=-22（2-22）=42（2-l）＜0,故ZN与GN不可能垂直，

故平行四边形NUGN不可能为矩形，故过A、M、N三点的截面不可能是矩形，D错.

故选：AC.

【点睛】方法点睛：利用平面的性质确定截面形状的依据如下：

（1）平面的四个公理及推论;.

（2）直线与平面平行的判定与性质；

（3）两个平面平行的性质.

三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）

13.若直线＞的倾斜角为45。，则直线＞=一办的倾斜角为.

【答案】135°

【解析】

【分析】根据题意可得a=1,进而可得直线＞=一办的斜率和倾斜角.

【详解】若直线＞=◎的倾斜角为45°，则a=12!145。=1,

可知直线y=-ax的斜率为—。—1,设倾斜角为0。＜&＜1800，

则tana=—l,所以倾斜角为tz=135°.

故答案为:135°.

22

14.已知方程上二+」—=1表示焦点在丁轴上的椭圆，则实数加的取值范围是.

6-m加一4

【答案】(5,6)

【解析】

【分析】根据椭圆标准方程的结构特征，结合焦点在了轴上可得.

22

【详解】因为方程+一匚=1表示焦点在y轴上的椭圆，所以加—4＞6—加＞0,得5＜加＜6.

6-mm-4

故答案为：(5,6)

15.已知圆C：(x—1)2+「=4上有且只有三个点到直线/：ax+2y+l=0的距离为1,则。=.

3

【答案】-

2

【解析】

【分析】根据圆的半径为2,将问题转化为圆心到直线的距离为1,解方程即可得答案.

【详解】•••圆。的半径为2,圆上有且仅有三个点到直线ax+2y+1=0的距离为1,

.•・圆心C(1,0)到直线的距离为1,

I6Z+1I,、2-)3

d=,=1,贝!]+=如+4,解得a=一.

J/+4')2

3

故答案为：一.

2

16.在三棱锥P—48C中，R4_L底面48C,PA=4,AB=BC=AC=26,M为ZC的中点，球。

为三棱锥P-4W的外接球，。是球。上任一点，则三棱锥。-P/C体积的最大值为.

【答案】4百

【解析】

【分析】分析可知三棱锥P-ABM外接球球心为尸8中点。，求出点。到平面PAC的距离，可得出点。到

平面P/C的距离的最大值，从而可得出答案.

【详解】解：正中，M为NC的中点，则W_L/C,

而PZ,平面48C,平面48C,则8W，尸2,

而R4nzc=z，PA、/Cu平面P/C,则8加1平面R4C,

•••尸河u平面上4C,所以

平面Z8C,28匚平面/5。，，尸2,28，

所以尸8的中点到点A、B、M、尸的距离相等，

即三棱锥P-ABM外接球球心为尸3中点。，

从而点0是三棱锥尸-ABM外接球球心，

设球。的半径为夫，则氏=竺=指，

2

因为的外接圆圆心为W的中点，设为R,连接。尸，

因为。、F分别为PB、W的中点，则故CEJ_平面R4E,

则点D到平面PAC的最大距离为R+OF=巫

2

所以三棱锥。—上4c体积的最大值为工x,x4x2行义地=4道.

322

故答案为：4#I.

【点睛】解决与球相关的切、接问题，其通法是作出截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其

解题思维流程如下：

（1）定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为球的半径；如果是外接球，球心到接点的距离相

等且为半径；

（2）作截面：选准最佳角度做出截面（要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这些

元素的关系），达到空间问题平面化的目的；

（3）求半径下结论：根据作出截面中的几何元素，建立关于球的半径的方程，并求解.

四、解答题（共70分）

17.已知△48C的顶点幺（1,2）,8（3,4）,C在y轴上.

（1）已知直线/过点/且在两条坐标轴上的截距之和为6,求/的方程;

（2）若C到直线的距离为5行，求点。的坐标.

【答案】（1）2x+y—4=0或x+y—3=0

（2）C（0,ll）,或C（0,—9）

【解析】

【分析】（1）根据直线的截距式方程，代入即可求解,

（2）根据两点坐标，由斜截式求直线方程，进而根据点到直线的距离公式即可求解.

【小问1详解】

由于直线在两条坐标轴上的截距之和为6,可知直线与x，V轴均有截距，且不为0,故设直线方程为:

xy1

ab

a+b=6

[a=2、a=3

因此1121n%=4或％=3

—I—=]

b

即直线/方程为四+上=l或曰+汇=l,

2433

故/方程为：2x+y-4=0或x+y-3=0

【小问2详解】

设直线4s方程为y=Ax+仇C（0,m）

2=k+bk=\

将48坐标代入得L,=><

4=3k+bb=l

所以直线48的方程为：y=x+l,即x-y+l=0,

则点。到直线48的距离为匕［"=5五,化简得加―1=10,故加=H或加=—9

V211

故C（0,ll），或C（0,—9）

18.在直三棱柱48。-44G中，D、E分别是44］、的中点，AC=BC=1,44］=2,ZBCA=90°.

(1)求证：/£〃平面GB。；

(2)求点E到平面CXBD的距离.

【答案】(1)证明见解析

⑵如

6

【解析】

【分析】(1)根据题意，建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算即可证明线面平行；

(2)根据题意，利用空间向量的距离求法，即可得到结果.

【小问1详解】

因为ABC-451G为直三棱柱，

则qc±平面ABC,且NBCA=90°,

以。的原点，赤，兀分别为x轴，y轴，z轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系,

因为ZC=5C=1,24=2,且。，£分别是5。的中点，

则。(0,0,0),2(1,0,0)6(0,0,2),8(0,1,0),。(1,0,1),£0[,()],

所以次==(O,l,-2),QD=(1,0,-1),

设平面QBD的法向量为n=(x,y,z),

n-C.B=y-2z=

则—c,取z=l,则x=l,y=2,

y=2z

n-CxD=x-z=0

则平面GB。的一个法向量为"=(1,2,1),

因为平面GBD,且彳后G=0，

则/£〃平面GAD.

【小问2详解】

由(1)可知，平面的一个法向量为3=(1,2,1),且丽=|o,g,o

P'R•YI2x

则点E到平面CXBD的距离d=।।=_2.=也.

IniV66

19.在平面直角坐标系中，圆C的方程为(x—加/+[y—(2加—3)]=1,eR.

(1)当加=-1时，过原点O作直线/与圆C相切，求直线/的方程；

(2)对于尸(-2,2),若圆C上存在点"，使|九。|=|〃。],求实数加的取值范围.

【答案】(1)x=0或12x-5y=0

(2)加e[5-0,5+0]

【解析】

【分析】(1)分直线/的斜率不存在和存在两种情况讨论，结合点到直线得距离公式即可得解；

(2)要使得|儿牛|=|/。|,则M在线段OP的中垂线上，从而可得线段OP的中垂线与圆C有公共点，则

有圆心到直线得距离小于等于半径，从而可得出答案.

【小问1详解】

当机=-1时，圆C的方程为(x+l『+(y+5)2=1,

圆心。(―L—5),半径厂=1,

①当直线/的斜率不存在时，直线/的方程为x=0,满足条件；

②当直线/的斜率存在时，设直线/的方程为了=丘，

由直线/与圆C相切，则/——1,解得k=~~,

VFTi5

12

所以/的方程为了=彳%，即12x-5y=0,

综上得，直线/的方程为x=0或12x-5了=0；

【小问2详解】

圆心。（加,2加一3）,kop=-1,

则线段OP的中垂线的方程为y—l=x+l,即y=x+2,

要使得=则M在线段OP的中垂线上，

所以存在点M既要在＞=x+2上，又要在圆C上，

所以直线y=x+2与圆。有公共点，

|m-2m+3+2I广广

所以------尸-----L＜1;解得5—Ji＜加＜5+J5，

V2

20.已知椭圆G：*_+_/=1,椭圆。2以G的长轴为短轴，且与q有相同的离心率.

（1）求椭圆G的方程；

3

（2）已知与、£为椭圆。2的两焦点，若点尸在椭圆。2上，且COS/片尸鸟二二，求△耳隼面积.

【答案】（1）^+―=1

164

（2）2

【解析】

【分析】（1）根据已知条件求得。2对应的小“C，从而求得椭圆G的方程.

（2）根据已知条件求得\PF.\-\PF.\,结合sinNRPF2求得△片和面积.

【小问1详解】

2cR

2=

椭圆G:'+y=1对应的2,Z?j=1,C1=A/3,ex=—=

所以对于C2,有2b=2ax=4,b=2,—=

a

解得。=4,贝!Jc=2百，

所以椭圆&的方程吟+%.

【小问2详解】

由⑴得片（0,26）名（0,-2@,|甲卡46，

2

2a

在△片尸名中,由余弦定理得（473）-=\PFX|+_2四讣附^匕①,

由椭圆的定义得|「制+|尸闾=2a=8②，

由①②整理得|「「卜|尸闾=5,

34

由于cos/片Pg=《〉0,所以/耳r写为锐角，所以sin/片PR=w，

21.如图，在四棱锥P—/BCD中，PC,底面48CD,4BC£＞是直角梯形,

=点E是盾的中点.

p

(1)证明：平面EZC，平面必C；

(2)若直线PB与平面上4C所成角的正弦值为X二，求平面上4c与平面ZCE所成角的余弦值.

3

【答案】(1)证明见解析

⑵逅

3

【解析】

【分析】(1)由线面垂直的性质定理得尸再根据勾股定理得ZCIBC,从而利用线面垂直的判

定定理得/C,平面可。，从而利用面面垂直的判定定理证明即可；

(2)根据线面角的定义及正弦值求得边长，然后建立空间直角坐标系，利用向量法求得两个平面所成角的

余弦值.

【小问1详解】

•/AB=2,由ND=CD=1,2。，DC且ABCD是直角梯形，

:.AC=飞AD?+DC?=42,BC=AD2+(AB-DC)2=应，

即/。2+8。2=452,...AC±BC.

•.•PCcBC=C,PCu平面PBCBCu平面必C,二/C1平面PBC.

,/ACu平面EAC,平面EAC±平面PBC.

【小问2详解】

•.•尸。，平面48。。,8。匚平面488,PCVBC.

又AC，BC,尸CnzC=C,0Cu平面PZC,ZCu平面上4C,.^.5CJ_平面K4C,

ZBPC即为直线PB与平面PAC所成角.

:.sm^BPC=—=-=—，:.PB=46,则PC=2,

PBPB3

取48的中点G,连接CG,以点C为坐标原点,

分别以CG、CD、CP为x轴、V轴、z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系,

则C(0,0,0),尸(0,0,2),2(1,1,0),8(1,-l,0),E

.-.G4=(l,l,O),C?=(O,O,2),CF=Q,-1,lj.

r,、=0

设加=(xi，%,zj为平面上4。的法向量，贝1"m-_CA.=x,+'v,

应-CP=2zi=0

令再=1,得4=0,必=-1,得加=(1,一1,0),

设〃=(%2，%/2)为平面/砥的法向量，

n-CA=x2-^~y2=0

则《一►11，令％2=1，则为=-1/2=-1，得元

n-CE=-x2--y2+z2=Q--

V6

V2-V3V

平面PAC与平面ACE所成角的余弦值的余弦值为逅.

3

22.已知圆O:x2+y2=i6,点/(6,0),点3为圆。上的动点，线段48的中点M的轨迹为曲线C.

(1)求曲线。的方程；

(2)设7(2,0),过点T作与x轴不重合的直线/交曲线。于£、尸两点.

(i)过点T作与直线/垂直的直线加交曲线C于G、/f两点，求四边形EGEH面积的最大值；

(ii)设曲线C与无轴交于只0两点，直线尸£与直线”相交于点N,试讨论点N是否在定直线上，若

是，求出该直线方程；若不是，请说明理由.

【答案