安徽省滁州市2023届高三第二次教学质量监测数学试题 含解析

滁州市2023年高三第二次教学质量监测

数学试题

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的准考证号、姓名和座位号填在答题卡上.将条形码横贴在答题卡

“条形码粘贴处”.

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息，点涂

黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应

位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以

上要求作答无效.

4.考生必须保证答题卡的整洁.考试结束后，监考员将试题卷和答题卡一并收回.

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.设集合'{∣g},{,,贝U'Ca"()

A.0B.{-2,-l}C.{1,2}D.{-2,-1,0)

【答案】D

【解析】

【分析】利用对数的单调性解不等式求集合出再由集合的交、补运算求集合即可.

【详解】由∕={x∣lgx20=lgl}={x∣x21},故4N={x∣x<l},

所以8c44={-2,—1,0}.

故选：D

2.若(l+i)2=(l—i)z,则彳在复平面内对应的点所在象限为()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】C

【解析】

【分析】利用复数的乘除、乘方运算化简求复数，进而求共粗复数彳，根据其对应点坐标判断所在象限.

3

(l+i)2i(l+i)1.πl-

【详解】Z=----------=--------=-l÷ι,则z=-l-i,

(l-i)(l÷i)2

所以I对应点为（-1,-1）,在第三象限.

故选：C

3.在下列区间中，函数/（x）=2SinlX+；J在其中单调递减的区间是（）

4（呜）B-⅛π）C［π4）d'（T'2π

【答案】B

【解析】

【分析】由正弦函数的单调减区间判断.

Ttπ3τtTt7兀

【详解】由2左兀+—<x+—<2Λπd得2左兀+—<X<24兀+一，ZeZ,

23266

π7兀

/（χ）的减区间是（2左兀4—,2kτtH）,kwZ,

66

只有选项B的区间（［,兀］=（；，=），

\2）66

故选：B.

4.由中国古代劳动人民发明于东周春秋时期，距今已2000多年.龙被视为中华古老文明的象征，大型龙类

风筝放飞场面壮观，气势磅碉，因而广受喜爱.某团队耗时4个多月做出一长达200米、重约25公斤，“龙

身”共有180节“鳞片”的巨龙风筝.制作过程中，风筝骨架可采用竹子制作，但竹子易断，还有一种耐用

的碳杆材质也可做骨架，但它比竹质的成本高.最终团队决定骨架材质按图中规律排列（即相邻两碳质骨架

之间的竹质骨架个数成等差数列），则该“龙身”中竹质骨架个数为（）

A.161B.162C.163D.164

【答案】B

【解析】

【分析】设有〃个碳质骨架，由条件列关系式求碳质骨架的个数，此可得结论.

【详解】设有〃个碳质骨架，及wN*,

由已知可得〃+1+2+3H--F(M-I)+??>180,

如果只有n-1个碳质骨架，则骨架总数少于180,

所以(〃-1)+1+2+3+-+(〃-1)<180,

所以〃2+3”N360,且〃2+〃<362,又〃eN*

解得〃=18,

所以共有碳质骨架18个，故竹质骨架有162个,

故选：B.

5.如图是下列某个函数在区间卜2,2］的大致图象，则该函数是()

d+3χ2—3x

b∙/(X)=

X2+1

Cr(∖ɪɜ-X^+XX1-5%

c/(X)=ʒɪvrD/")=—:---COSX

x2+l

【答案】A

【解析】

【分析】用特殊值结合排除法求解.由/(1)正负、/(2)的大小及函数的零点排除三个选项得正确结论.

丫3*a2_&1A

【详解】对B,由/(X)='土?_±L,知/(2)=—>2,但由图象知/(2)<2,故可排除B,

对C,因为/(X)=))■+XSinX=X(L「X+DsinX在X∈(0,D上/(x)>0，而由函数图象知函数一

X2+1X2+1

个零点在(0,1)上，而排除C；

对D,由/(X)=EL型CoSX知/(l)<0,而由函数图象可知/(D>0,故可排除D.

v,X2+1

故选：A.

6.如图，在正四棱台/3CD-44CQ中，AB=2AA∣=2A∣B∖=26,且各顶点都在同一球面上，则该

球体的表面积为()

44

【答案】D

【解析】

【分析】根据题意画出图形，由图构造直角三角形，即可求得&2,由求得表面积公式求得球体的表面积.

【详解】如图所示的正四棱台Z3CZ)-44GA取上下两个底面的中心M,N,连接MN,AyM,AN,

过点4作底面的垂线与ZN相交于点E,

因为四棱台为6C。—44GA为正四棱台，所以外接球的球心一定在直线MN上，

在MN上取一点。为球心，连接。4。4,则。Z=O4=H,设ON=Zz,

A

因为Z8=2A4∣=248∣=2√L所以/N=&，4M=/，

2222

MN=AxE=7JJ1-AE=y∣AA^-(AN-EN)=y∣AA；-(AN-A1M)=ɪ

所以EM√4为正方形，故。必在MN延长线上,

在RtA3N中，OA2=AN2+ON2>即N=指力2,

在RtZ∖O4M中，。彳=OΛ∕2+4Λ∕2,即火2

ɔ15

解得炉=一，所以S=4τιR2=30,

27t

故选：D.

7.已知α=e°4-l,6=0.4-21nl.2,c=0.2,则α,b,c的大小关系为()

A.a>b>cB.a>c>bC.b>a>cD.c>b>a

【答案】B

【解析】

【分析】分别构造/(x)=e2'—Ir和g(x)=x-21n(l+x),求导判断出在(0,1)上的单调性，比较出函

数值与端点值的大小关系，进而得出a,b,c的大小关系.

【详解】令/(x)=e2'_1-x,xe(0,l),

则/'(x)=2e2'-1>0恒成立，即〃x)在(0,1)上单调递增,且/(0)=0,

故/(x)>∕(0)=0,取X=O∙2,则/(0.2)>0,即e°4—1-0.2〉0，

可得e°∙4-1>0.2，即。>。；

令g(x)=x-2In(I+x),Xe(0,1),

2γ_1

则g'(x)=l-------=—；<0恒成立，即g(x)在(0,1)上单调递减，且g⑼=0,

故g(x)<g(0)=0,取X=O.2,则g(0.2)<0,即0.2-21nl.2<0,

可得0.4—21nl.2<0.2,即b<c；

综上可得：α,6,c的大小关系为α>c>6

故选：B

8.若a,b,C均为正数，且满足/+3αb+3αc+9bc=18，则2α+3b+3c的最小值是()

A.6B.4√6C.6√2D.6√3

【答案】C

【解析】

【分析】利用因式分解法，结合基本不等式进行求解即可.

【详解】/+3αb+34c+9bc=18=>α(α+3b)+3c(α+3b)=18=>(α+3b)(α+3c)=18,

因为“，b,C均为正数，

所以有]8=(α+36)(a+3c)≤(α+3∕'+α+3c[=2α+3b+3c≥6√Σ，

当且仅当α+3b=a+3c时取等号，即α+3b=3√∑,b=c时取等号,

故选：C

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.已知4B为两个随机事件，且P(∕)=0.4,P(B)=0.6,则()

A.P(A+B)<∖

B.若48为互斥事件，则尸(力8)=0

C.若尸(ZB)=O.24,贝IJ/,8为相互独立事件

D.若8为相互独立事件，则P(N月)=P(NB)

【答案】BCD

【解析】

【分析】由互斥事件且P(N)+尸(8)=1可得Zc8=0且Z+8=C,即可判断A、B：利用独立事件的

性质及已知概率值判断C、D.

【详解】若48为互斥事件，又P(N)+P(8)=1,则4c8=0且Z+8=C,故P(∕+6)=l,

P(AB)=O,故A错误，B正确；

若尸(ZB)=0.24,即P(NB)=P(Z)P(8),故/,8为相互独立事件，C正确；

若/,8为相互独立事件，则N,耳也相互独立，即尸(彳耳)=P(I)P(A),又尸(I)=O.6,P(与)=0.4,

而P(AB)=P(A)P(B)=[1-P(J)][1-P(B)]=1-[P(J)+P(B)]+P(A)P(B)=P(A)P(B),

故尸(彳可=尸(/8),D正确.

故选：BCD

10.已知抛物线V=4χ的焦点为凡点P在准线上，过点尸作P尸的垂线且与抛物线交于力，8两点，则

()

A.I尸刊最小值为2B.若，训=IpSI,则|4用=2IpFl

C.若∣N8∣=8,则IPbI=2√ΣD.若点尸不在X轴上，则∣E4∣∙∣ES∣>∣尸歼

【答案】ABC

【解析】

【分析】根据抛物线的定义，结合两点间距离公式、抛物线的性质逐一判断即可.

【详解】点尸(1,0),抛物线的准线方程为X=-1,

222

设P(-l,m),∖PF∖=λ∕[l-(-l)]+τn=√4+w≥"=2，

所以点尸在横轴上时IP可有最小值2,所以选项A正确；

若∖P∕∖=∖PB∖,根据抛物线的对称性可知点P在横轴上，

把x=l代入「=4χ中，得y=±2,|/邳=2-(-2)=4,此时|P耳=2,

于是有∣Z6∣=2∣P产所以选项B正确；

因为|/邳=8,显然点P不在横轴上，

则有％PF=3=>KS=2,

-2m

2

所以直线的方程为y=±(x-1)代入抛物线方程中，得

m

4J?-4X(2+〃?2)+4=0,设/(网，必)，8(》2，歹2)，石+/=2+掰2

∣∕ɪβ∣=x1+l+x2+1=8=>2+m^+2=8=>"∕=4,

IP尸I=-∖∣22+m2=J4+4=2y∣2,所以选项C正确,

2

点尸不在X轴上，由上可知：xi+x2-2+m,XlX2=1，

22

∣E4∣∙∣F5∣=(xl+l)(x2+l)=x1+x2+xix2+∖=2+m+2=m+4,

而IPRI2=4+加2,显然|切卜|用I=IPR『，所以选项D不正确，

故选：ABC

H.已知函数/(χ)及其导函数/(χ)的定义域均为R,记g(χ)=∕'(χ),若/(；一.，g(ι+χ)均为奇

函数，则()

A./(0)=0B.g(0)=0C./(-1)=/(4)D.g(-l)=g(4)

【答案】BD

【解析】

【分析】根据/[g-χ)为奇函数可得/(一χ)=-∕(χ+i),再由导数相等可得g(-χ)=g(χ+i)，又

g(l+χ)为奇函数可得g(l+χ)=-g(i-χ)，两式结合可得g(D=0，g(0)=0,且可推出函数周期为2,

据此判断BD,由上述条件可知/W关于(<,θ)中心对称，g(x)关于(1,0)中心对称且周期为2,取满足条

件的函数，即可判断AC.

【详解】因为—定义域均为R的奇函数，

所以/(；一X)=~∕(→X)，即/(-X)=-/U+1)，

所以以〃一切'=='(X+D，即Λ-X)=f\x+1).

所以g(-χ)=g(χ+i)，

又g(l+x)为奇函数，所以g(l+x)=-g(l-x),

当X=O时，g⑴=-g(l)=g(0),即g⑴=0,g(0)=0,故B正确;

Xg(-x)=-g(l-x),所以g(x)=-g(l+x),

⅛g(x+2)=-g(l+x)=g(x),即函数g(x)的周期为2,

所以g(T)=g⑴=0,g(4)=g(0)=0,即g(-l)=g(4),故D正确;

由一%］为奇函数可知，即/⑴的图象关于成中心对称，不妨取

/(X)=LCOSTI(X-I),则g(x)=—sinπ(x-1)满足周期为2,关于(1,0)中心对称条件，因为八。)=—工，

ππ

/(-l)=ɪ,/(4)=一工，可知AC错误.

ππ

故选：BD

12.在平面直角坐标系XOy中，ANB为等腰三角形，顶角/38=6,点。(3,0)为48的中点，i^∆OΛβ

的面积S=/(。)，则()

ʃ/ʌʌ18Sine

A.f(θ)=------------B.S的最大值为6

5-4cos6

C.卜目的最大值为6D.点B的轨迹方程是x2+∕-4x=0(y≠0)

【答案】ABD

【解析】

【分析】令N(XJ)且0,根据题设及两点距离公式求A轨迹为(x-4)2+J√=4且y≠0,应用余弦

定理、三角形面积公式求s=/(e)表达式，利用SqlS=smo+s，皿，结合圆的性质求面积、|/用最大

X=6-m

值，令B(m,n),贝八代入A轨迹求8的轨迹方程，即可判断各项的正误.

y=-n≠O

【详解】由NoZB=。，∣CM∣=∣Z邳，。(3,0)为48的中点，

若Z(X,y)且歹#0,则8(6-X,-y),故F+/=(6-2χF+(-2y)2=4(x-3)2+4步,

整理得：(x-4)2+y2=4,则A轨迹是圆心为(4,0),半径为2的圆(去掉与X轴交点),

如下图，由圆的对称性，不妨令A在轨迹圆的上半部分，即0＜以≤2,

令IoH=MBl=2∣ZZ>∣=2a,则∖θD^OA^+∖AD∣2-2∖θA^AD∖cosθ,

ɔ9

所以5。2-4。2cos。=9，则Q=----------»

5-4COSe

所以S.°AB=SmD+久皿=；IoHIZ8∣Sine=2/sin6=,A正确；

25-4cos^

由SQB=SmD+-∖0D∖+^∖yβ∖-∖0D∖=3为e(0,6],则S的最大值为6,B正确;

由下图知：∣04∣=∣48∣e(2,6),所以“却无最大值，C错误;

x=6-m、c

令8(加,〃)，则VjC代入A轨迹得(加一2p+"2=4,即加2_痴+〃2=0，

旧=一〃¥0

所以8轨迹为M-4χ+j?=O且D正确;

故选：ABD

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

1"+:)展开式中的常数项为

13.

【答案】—##105

2

【解析】

【分析】写出展开式的通项公式，令X的指数为0,求得参数%即可求得答案.

119ς3Γ

【详解】由题意的通项公式为&I=CK4)9τ(一y=(_yc"2“=0,1,2,…,9,

2x2

9-3r

令7D=o,.•.尸=3,

21

展开式中的常数项为

T

21

故答案为：±1

2

X22

14.已知椭圆+:=l(0<b<2)与X轴正半轴交于点儿与N轴正半轴交于点8,点F是椭圆的一个

焦点，若A∕8尸是等腰三角形，则从的值为.

【答案】

【解析】

【分析】根据椭圆的对称性，结合等腰三角形的性质进行求解即可.

【详解】由题意可知：A(b,0),β(0,2),因为0<b<2,所以0=2,c=6F，

因为尸是等腰三角形，

所以由椭圆的性质可知尸是椭圆的下焦点，

所以∣∕8∣=∖BF∖=>2+y∣4-b2=-∖∣4+b2=>b，=2∙∖∕3，

故答案为：2JG

15.已知平面向量,，B满足同=1,∣2万一同=2,贝阳+孙3的最大值为-

【答案】20

【解析】

【分析】不妨设£=(1,0)，b=(x,y),可求得(X-2)2+∕=4,计算

C+B)∙B=(1+X,y)∙(XJ)=(X+g)2+V_；,尸(χ,y)表示圆(X—2)2+歹2=4上的点，(χ+；)2+y2表

1

示IPC「9(其中C(―二。))，由圆的性质可得最大值.

【详解】不妨设Q=(1,0)，b=(x9y),则2α-B=(2-x,-y)

则忻-Λ∣=√(2-x)2+/=2,即(x—2)2+/=4,

222Zɪ\22ɪ

(a+b)∙b=(l+x,j^)∙(x9y)=x(x+l)+γ,

%+X+By=X+a+'~~4

取6(2,0),ɑ(-ɪ,θ),∣^C∣=∣-

设点P(x,丁)在圆(x-2)2+/=4上，(χ+；/+/表示PCI2,

1CQ1

因此(x+-)2+y2的最大值为(→2)2=j,

从而(xH—)2+V—最大值为------=20.

2444

故答案为：20.

16.如图，正方体48CD—44G。的棱长为2,点E,F在棱月B上，点H,G在棱CD上，点E∣,HI在

棱4A上，点£,Gl在棱与£上，NE=BE=IW=CG=4片=8尸I=I=GGt=g,则六面体

EFGH-EIFlGIHl的体积为________.

13

【答案】y

【解析】

【分析】根据所给图形观察，六面体的体积可以看作正方体去掉四个相同的三棱柱和四个相同的五面体,

五面体可分割为四棱锥和一个三棱锥，分别求出体积即可得解.

【详解】取∕N=OΛ∕=2P=g,连接MH,MHPH∣,ME1,NE,NE],HP,如图，

所求几何体可以看作正方体去掉4个体积相同的三棱柱（如图中三棱柱。）,

再去掉四个五面体（如图中HlEl-MNEH）,

五面体可分割为一个四棱锥g-MVE”与一个三棱锥H-Hl”耳,

因为七棱柱。；DH-DM-DDi=/i×*2=：,

小棱锥马-A/NEH=§S梯形MN∙NEx=-×(l+2)×-×-×2

匕棱锥〃-M〃禺=gs^w〃声=:χ:χ2χlχg=

所以修

13

故答案为：—

3

四、解答题：本题共6小题，共70分•解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.已知等差数列｛为｝的前〃项和为S,,,若%=1,且％,a2,S3成等比数列.

（1）求数列｛q｝的通项公式;

（2）设“=右二，求数列也｝的前〃项和人

43.一1

【答案】（1）«„=2«-1

【解析】

【分析】（1）由等比中项的性质及等差数列通项公式、前〃项和公式列方程求公差，即可写出通项公式;

（2）由（1）得6.=」（一1-------）,应用裂项相消法求7；.

22n-∖2〃+1

【小问1详解】

若等差数列｛%｝的公差为d,由W=%S3,则（l+d）2=lx»（2；2d）=3（i+d）,

所以d=—1或d=2,

当d=T时，a2=Q,与外,a2,S3成等比数列矛盾,排除；

所以d=2,则%=1+2(〃-1)=2〃-1.

【小问2详解】

n(l+2n-l),11111、

由(1)知：S----------------n2,W∣Jb=­：—=------------------=—(z-----------------)

"2"4/-I(2/7-1)(2/7+1)22Λ-12n+Y

L…F111111、1八1、n

所以北=—a—+—+...+----------------)=—(1--------)=—.

,2335212/7+122/7+12w+l

18.在446C中，角4B,C所对的边分别为α,b,c,且2万•就+3瓦彳・万心=而♦诉.

（1）求2；

c

71

（2）已知8=—，α=2,求ZU5C的面积.

4

【答案】（I）√3

（2）

2

【解析】

【分析】（1）利用平面向量的数量积的定义结合余弦定理即可求出结果;

（2）由正弦边角关系得SinC=Y5，cosC=-.结合SinN=Sin（5+C）求值，应用正弦定理求c,

66

进而求出三角形的面积.

【小问1详解】

由已知2同同COS/+3画画cos8=∣画冏CoSC,

所以2bccosA÷3。CCOSB=ClbcosC,

结合余弦定理，2（∕>2+c2-α2）+3（a2+c2-b2>）=a2+b2-c2,

化简得：3。2=/，所以2=百.

c

【小问2详解】

bsinB.ʌsinBTr

由正弦定理知一=——，即SmC=又6='，所以SinC=之，

csmC√346

>C，即8>c,故COSC=画,

显然6=y∣3c

6

由sin∕=sin(8+C)=sin8cosC+cos8sinC=^χ^+^χ^=^i2^,

26266

πacr1.asɪnC>∕66√fθ^-S^

又一.---=—√>则C=-----------=——x-=——J==---------------,

sιnJSinCSinN3√j15+√32

所以一3。的面积S^c=LaCSin8=4x2x而一&x克=避二ɪ

“以22222

19.大气污染物PM25（大气中直径小于或等于2.5μm的颗粒物）的浓度超过一定的限度会影响人的身体健

康.为了研究PMZ5的浓度是否受到汽车流量等因素的影响，研究人员选择了24个社会经济发展水平相近的

城市，在每个城市选择一个交通点建立监测点，统计每个监测点24h内过往的汽车流量（单位：千辆），同

时在低空相同的高度测定每个监测点空气中PM”的平均浓度（单位：μg∕m3）,得到的数据如下表：

城市编号汽车流量PM25浓度城市编号汽车流量PM25浓度

11.3066111.82135

21.4476121.4399

30.7821130.9235

41.65170141.4458

51.75156151.1029

61.75120161.84140

71.2072171.1143

81.51120181.6569

91.20100191.5387

101.47129200.9145

（1）根据上表，若24h内过往的汽车流量大于等于1500辆属于车流量大，PM”大于等于75μg∕n√属于

空气污染.请结合表中的数据，依据小概率值α=0.05的独立性检验，能否认为车流量大小与空气污染有关

联？

(2)设PM25浓度为y,汽车流量为X.根据这些数据建立PM”浓度关于汽车流量的线性回归模型，并求

出对应的经验回归方程(系数精确到0.01).

附：_______n(ad-be^______,

(α+b)(c+d)(α+c)(b+d)

a0.1000.0500.010

2.7063.8416.635

2020202020

2

ZXj=27.8Zy•=1770,40.537,∑λ=193694,ZMj=2680.48,在经验回归方程

/=1/=1/=1/=1/=1

j

ʌb=H∑i----------------

J=bx+G中,∑(χ,.-χ)2-

n

a-y-hx

【答案】(1)依据小概率值α=0.05的独立性检验，能认为车流量大小与空气污染有关联

(2)j>=116.19x-73.00

【解析】

【分析】(1)根据已知完善列联表，应用卡方公式求卡方值，结合独立检验基本思想即可得结论;

(2)应用最小二乘法求回归直线方程即可.

【小问1详解】

由表格，可得如下列联表，

车流量小车流量大合计

空气无污染819

空气污染4711

合计12820

所以上若黑第“5.69。〉3.841

故依据小概率值α=0.05的独立性检验，能认为车流量大小与空气污染有关联.

【小问2详解】

由亍」式=空“39,7=⅛=lZZθ=88.5,

20£'2020孑'20

2020

Z（X,—亍）（匕—歹）=ZXa-20xy=2680.48-20×1.39×88.5=220.18,

Z=I/=1

2020

∑（x,∙-亍）=∑x,2-20X2=40.537-20×1.392=1.895,

I=I1=1

A22018

所以b=—≈H6.19,则G=88.5—116.19x1.3973.00,

1.895

故回归直线为j>=116.19x-73.00.

20.如图，在四棱锥尸-Z8CZ）中，平面PZO_L平面/8CD,底面XBCO是直角梯形,AD//BC,

NDAB=90°,AB=BC=4,PA=PC=5.

(1)求证：PB1AC；

(2)若平面PBZ)_L平面P8C,且AP4Z)中，边上的高为3,求ZO的长.

【答案】(1)证明见解析

、64

(2)—

25

【解析】

【分析】(1)根据线面垂直的判定定理，结合等腰三角形的性质进行证明即可;

(2)建立空间直角坐标系，根据空间向量数量积的运算性质进行求解即可.

【小问1详解】

设线段Ze的中点为E,连接EB,PE,

因为4B=BC,所以BElNC,

又因为H=PC,所以PE_L4C,

因为£8∏尸£=E,EB,PEU平面PBE,

所以ZCJ_平面PBE,PBU平面PBE,

所以「81NC；

【小问2详解】

过点尸作PO垂直直线AD于。，则有OP=3,

因为平面尸/O_L平面/88,平面PZoj"平面"8C。=/。，POU平面PZD,

所以尸Ol平面/8Cr),

连接OC,因为P4=尸C=5,OP=3,

所以可得。C=OZ=4,

而ZB=BC=4,所以四边形ONBC是菱形，而NQNB=90°,

所以四边形。ZBC是正方形，因此建立如图所示的空间直角坐标系，

设。。=α,则P(0,0,3),D(0,α,0),8(4,4,0),C(4,0,0),

P5=(0,α,-3),P5=(4,4,-3),5C=(0,-4,0),PC=(4,0,-3),

设平面尸8。的法向量为浣=(Xl,乂,z∣),

［和上°=口T=O=玩,臼

［w∙P5=014x∣+4%-3z∣=OI43)

同理可得平面PeC的法向量为I=(X2，8，Z2)，

∣H∙PC=0^f4x2-3z2=0

［万∙P6=014x2+4ʃ2-3z2=OI3J

因为平面尸60,平面尸8C,

LLtl一一八Ci-4U4ʌ36._.3664

所以加•〃=O=>-------1+—x—=0=>α=——=>AD=4------=——.

2525

21.已知双曲线C：与一方=1(a>0,⅛>0)的焦距为2百，离心率e=

(1)求双曲线C的方程；

(2)设P,。为双曲线C上异于点〃(缶,b)的两动点，记直线/P,M。的斜率分别为占，k2,若

kx+k1=2kik2,求证：直线PQ过定点.

丫2

【答案】(1)---/ɪl

2

（2）证明过程见解析

【解析】

【分析】（1）根据双曲线离心率公式，结合双曲线焦距定义进行求解即可；

（2）设出直线方程与双曲线方程联立，根据一元二次方程根的判别式、根与系数关系，结合直线斜率公式

进行求解即可.

【小问1详解】

因为双曲线C：⅛-⅛=l（。〉0，⅛>0）的焦距为26，离心率e=Y5,

α2b22

£-12,L=√Jr2

所以有〈a2=（L=°-=L-a~=1=-----y~=l；

2c=2√i1”拉2

【小问2详解】

由题意可知直线尸。存在斜率，所以直线PQ的方程设为y=kx+m,

y=