高中数学 变化率问题 导数的概念 学案

变化率问题导数的概念

:、1.理解函数平均变化率的概念.并会求变化率.(数学抽象)

；22.理解导数的概念及其内涵.(数学抽象)

；.3.会求函数在某点的导数.(数学运算)

\、标

基础认知•自主学习©

1.什么是平均变化率，什么是瞬时变化率？

导思

2.如何求函数在某点的导数？

1.函数y=f(X)从Xi到X2的平均变化率

Ay=fix2)—f(xj

定义式

Axx2-X]

实质函数值的改变量与自变量的改变量之比

意义刻画函数在［Xi,X2］上函数值变化的快慢

，思考

(1)Ax=X2—X1是正数吗？

提示：AX=X2-XI可能是正数，也可能是负数，但不能为0.

(2)平均变化率的几何意义是什么？

提示：平均变化率的几何意义是函数y=f(x)图象上两点P"x"y),P?(X2,yj所在直线的

斜率.

2.函数y=f(x)在x=x。处的瞬时变化率

Ayf(x+Ax)-f(x)

定义式lim=lim----0----------------0—

AXTOAXAx-0Ax

实质瞬时变化率是当自变量的改变量△X趋近于0时，平均变化率趋近的值

作用刻画函数在某点处变化的快慢

■思考

△x趋近于0是什么意思？

提示：Ax趋近于0的距离要多近有多近，即，Ax-0|可以小于给定的任意小的正数，但始

终AxWO.

3.导数的概念

⑴

定义式『（x0）=lim^=limf（Xo+AxT（x。）

AX—OAX以-oAx

记法f'(X。)或

(2)本质：函数y=f(x)在x=x。处的导数就是y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率.

(3)作用：求函数在x=x。处的导数.

■思考

(1)函数y=f(x)在x=xo处的导数一定存在吗？

AV△V

提示：当Axro时，比值选亡的极限存在，则函数y=f(X)在x=x0处可导；若比值三；的

极限不存在，则函数y=f(x)在x=x。处不可导或无导数.

(2)函数y=f(x)在x=xo处的导数的定义表达式是唯一的吗？

提示：不唯一.函数y=f(x)在x=x0处的导数的定义表达式可变形为f'(X。)=!见

f（Xo—△X）—f（Xo）

，或者f，

—△X

XTX0X-Xo

「基础小测

1.辨析记忆(对的打“J”，错的打“义”)

(1)在平均变化率的定义中，自变量X在X。处的变化量Ax可取任意实数.(X)

提示：在平均变化率的定义中，自变量x在X。处的变化量Ax可以是正数，也可以是负数,

但不能为0.

(2)函数y=f(x)从刈到刈的平均变化率尹=‘止)二'区)-公式中Ax与Ay同

号.(X)

提示：函数y=f(x)从XI到X2的平均变化率/=’2T(X"公式中Ax与Ay可

AxX2-Xi

能同号，也可能异号.

(3)函数y=f(x)在x=x0处的导数就是y=f(x)在x=xo处的瞬时变化率.(V)

提示：根据导数的定义可知I,函数y=f(x)在x=x。处的导数就是y=f(x)在x=x。处的瞬时

变化率.

2.某物体的位移公式为s=s(t),从t。到t0+At这段时间内下列理解正确的是

()

A.(t0+At)—。称为函数值增量

。称为函数值增量

C.△s=s(to+At)—s(to)称为函数值增量

D.尧称为函数值增量

【解析】选C.由自变量的变化量、函数值的变化量、平均变化率的概念易得C正确.

3.(教材习题改编)函数f(x)=-d+x在x=T处的瞬时变化率为.

7-(-1+Ax)2+(-1+Ax)+2

【解析=-------------履-------------=3—Ax.

f'(—1)=lim—=lim(3-Ax)=3.

Ax->0AxAx->0

答案：3

吃能力形成•合作探究

类型一求函数的平均变化率(数学运算)

题组训练

1.函数f(x)=x?-l在区间［1,m］上的平均变化率为3,则实数m的值为()

A.3B.2C.1D.4

所以m+l=3,所以m=2.

2.某物体的运动方程为s=5—21,则该物体在时间［1，1+d］上的平均速度为

()

A.2d+4B.—2d+4C.2d-4D.-2d-4

【解析】选D.由平均变化率的定义可知，该物体在时间口，1+d］上的平均速度为

[5-2（l+d）=]-（5-2Xl2）

=—2d—4.

d

3.物体甲、乙在时间0到匕范围内路程的变化情况如图所示，下列说法正确的是()

A.在0到t。范围内甲的平均速度大于乙的平均速度

B.在。到t。范围内甲的平均速度小于乙的平均速度

C.在t。到ti范围内甲的平均速度大于乙的平均速度

D.在to到L范围内甲的平均速度小于乙的平均速度

【解析】。范围内，甲、乙所走的路程相同，时间一样，所以平均速度相同；在t。到储范围

内，甲、乙所用的时间相同，而甲走的路程较多，所以甲的平均速度较大.

解题策略

求函数y=f(x)从X。到x的平均变化率的步骤

(1)求自变量的增量Ax=x-Xo.

(2)求函数的增量Ay=y—yo=f(x)—f(xo)=f(xo+Ax)—f(xo).

△yf(Xo+Ax)—f(xo)

3)求平均变化率丁=--------------------.

提醒：Ax,Ay的值可正，可负，但AxWO,Ay可为零，若函数f(x)为常值函数，贝|Ay

=0.

类型二求瞬时速度(数学运算、逻辑推理)

【典例】一作直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s(t)=3t-t2(s的单位是：m,

t的单位是：s).求此物体在t=2s时的瞬时速度.

【思路导引】由题意可得二——…=-At-l.

、,,cn*s(2+At)—S(2)

当At-"0时，----------------•-1.

△t

s(2+At)-s(2)

【解析】

△t

3(2+At)—(2+At)z—(3X2—2?)

=­△t—1.

△t

s(2+At)-s(2)

当At-0时,-1,

△t

所以t=2时的瞬时速度为一1m/s.

解题策略

1.求运动物体瞬时速度的三个步骤

(1)求时间改变量At和位移改变量As=s(to+At)-s(to).

—△s

(2)求平均速度v=­.

(3)求瞬时速度，当At无限趋近于。时，告无限趋近于常数v,即为瞬时速度.

△Y

2.求式；(当Ax无限趋近于0时)的极限的方法

(1)在极限表达式中，可把Ax作为一个数来参与运算.

Ay

⑵求出干的表达式后，Ax无限趋近于0可令Ax=0,求出结果即可.

△x

〈•跟踪训练1

1.若质点A按照规律s=3t?运动，则在t=3时的瞬时速度为()

A.6B.18C.54D.81

As3(3+At)2-3x3218At+3(At)2AS

【解析】—=-------------=18+3At,所以hm——=18.

At△tAt^oAt

2+6.5t+10,则起跳后1s的瞬时速度是.

【解析】起跳后1s的瞬时速度

,[-4.9(1+At),+6.5(1+At)+10]-(-4.9X12+6.5X1+1O)

v=lim---------------------------------:-----------------------------------

ALO△t

,-4.9(At)2-3.3At

=地17

=lim(—4.9△t—3.3)=—3.3(m/s).

答案：一3.3m/s

教师

专用【补偿训练】

已知一物体的运动方程是s=6t2-5t+7,贝IJ其在t=时刻的速度为7.

f(t+At)—f(t)

【解析】令s=f(t),由题意知！回

△t

6(t+At)2—5(t+At)+7—(6t2—5t+7)

=驷△t

=lim(12t+6At—5)=12t—5=7,

所以t=l.

答案：1

类型三求函数在某点的导数(数学抽象、数学运算)

角度1数学中的导数问题

【典例】求函数y=x+:在x=l处的导数.

【思路导引】先求会，再求^得结果•

【解析】因为Ay=(l+Ax)+£——(1+1)

1十△X

=Ax+-\—1,

1+Ax

所以F1

△X

△y

所以!国—-=lim=0.

△XAx-*0

角度2物理中的导数问题

【典例】一质点运动的方程为s=8—3t)

(1)求质点在［1,1+At］这段时间内的平均速度.

(2)求质点在t=l时的导数.

【思路导引】(1)首先结合条件求As,然后利用平均速度为芸进行计算即可获得问题的

答案.

(2)定义法：即对平均速度中当At趋向于。时求极限即可获得结论.

【解析】⑴因为s=8-3t?,

所以△s=8—3(1+△t)~—(8—3XI2)=—6△t—3(△t)

—△s

v=—6—3△t.

△t

As

(2)质点在t=l时的导数为［inj—=lim(-6—3At)=-6.

At—0AtAt-0'/

解题策略

求函数y=f(x)在点x。处的导数的三个步骤

题组训练

1.已知函数f(x)在x=x。处可导，若limf(x°+2Ax)—f(Xo)=],则f,员)=

AxfOAx

()

A.2B.1C.1D.0

f(x+2Ax)-f(x)1

【解析】选c.limqn-----------~0=I,

△XTOAX

f(Xo+2Ax)-f(x0)

所以lim

Ax->02Ax

f(x()+2Ax)-f(x())]_

即f'(x(>)=lim

AxfO2Ax2

2.一物体的运动方程为s=7t?+8,则其在t=时的导数为L

7(to+At)J+8—(7to+8)

【解析】由题意可得：47

=.--7△t+14to,

=lim(7At+l4tn)=l4tn,

At-^OAtAT0

令14to=l,可得to=(，即在t=,时的瞬时速度为l.

答案：n

3.利用导数的定义，求函数y=±+2在x=l处的导数.

X

【解析】因为Ay=([+；)-2一件+2)

」(Ax)2—2△x

=(1+Ax)2，

一(Ax)2—2△x

Ay(1+Ax)'—2—△x

-^x=Ax=(1+Ax)2

所以y'|x=i=limAy

Ax-0Ax

-2-Ax

(1+Ax)

〜学情诊断-课堂测评

「f(x+Ax)-f(x)

1.f(x)在X=X°处可导，则n----------(n)

AxrOAX

A.与Xo,Ax有关

B.仅与Xo有关，而与Ax无关

C.仅与Ax有关，而与x。无关

D.与Xo,Ax均无关

【解析】(X)在X。处的导数只与XO有关.

2.自变量x从X。变到xi时，函数值的改变量与相应自变量的改变量之比是函数()

A.在区间［x。，x］上的平均变化率

B.在X。处的变化率

C.在七处的变化量

D.在区间［x°,x,］上的导数

【解析】。变到整时，函数值的改变量与相应自变量的改变量之比是表示函数在区间

［xo,X,］上的平均变化率.

3.函数y=x2在xo到x0+Ax之间的平均变化率为"，在X。-Ax到x。之间的平均变化率为

k2,则k1与k2的大小关系为()

A.k】>k2B.ki<k2

C.ki=k2D.不确定

■f(Xo+Ax)—f(X