高等数学微积分公式汇总

高等数学公式

导数公式:

Qgx)'=sec?x(arcsinx)，=/

(ctgx)r=-escx

(arccosx)z=——/1

(secx)'=secx"gxViZ?

(cscx)r=-cscx-ctgx

(arctgxY=—^r

(ax\=ax\na1+x

]

(logx)r=(/arcctgx、，)=--——1-

rtx]nal+x

基本积分表：

三角函数的有理式积分:

「gMx=-ln|cos%|+C[世=fsec2xdx=tgx-\-C

JCOSXJ

Jctgxdx=ln|sinx|+C

[d：-fcsc2xdx--cfgx+C

JsecxtZr=ln|sec^+^+CJsinxJ

rxdx=secx+C

JcscxtZx=ln|cscx一0次乂+C

rdx

J/+f=-arctg-+C

aa2+c

xa

pdx1\-\+cIn。

I22x+M

)X_Q~2ashxdx=chxC

rdx1a+x-

22

Ja-xIn—+cchxdx=shx+C

2aa-x

pdx•x-22

一＜jrr»cin-X.1=ln(x+y/x±a)+C

y)a2-x,2a

7TH

22[

-Jsin"xdx=^cos"xdx=———

J7x2+a1dx=—y/x2+a2+—ln(x+y/x2+a2)+C

JA/X2-a2dx=yjx2-a2-^1-lnx+ylx2-a2+C

fyla2-x2dx=--Ja2-x2+—arcsin—+C

J22a

,2u1-w22du

sinx=------v，COSX=-----7dx=

1+M21+M2\+u'

一些初等函数:两个重要极限:

sinx

双曲正弦:Mx—'e'lim=1

XTO

2X

lim(l+)=e=2.718281828459045...

双曲余弦:Mx=

28X

双曲正切:==

chxex+ex

arshx=ln(x+ylx2+1)

archx=±ln(x+ylx2-1)

l+x

arthx=­In

2

三角函数公式:

•诱导公式：

数

sincostgctg

角A\

-a-sinacosa-tga-ctga

90°-acosasinactgatga

900+acosa-sina-ctga-tga

180°-asina-cosa-tga-ctga

180°+a-sina-cosatgactga

270°-a-cosa-sinactgatga

270°+a-cosasina-ctga-tga

360°-a-sinacosa-tga-ctga

360°+asinacosatgactga

■和差角公式:'和差化积公式:

.0c.a+/3a-(3

sin(a±/?)=sinorcos^±cosasin0sma+smp=2sin—^-cos

2

cos0±0=cosacos^+sincrsinP

exp

tgattg。sina-sin夕=2cos-^-sin

te(a+B)=2

X+tga-tgfica+/3a—(3

cosa+coso/=2cos-----cos......-

/1。、ctga-ctg0斗1

ct虱a±£)二----——22

ctgp±ctgacosa-cos.=2sin—^^sina-(3

2

•倍角公式:

sin2a=2sinacos。

cos2a=2cos26Z-1=l-2sin2a=cos2cir-sin2asin3a=3sina—4sin3a

ctg2a-\cos3a=4cos3a—3cosa

ctg2a=--------

2ctga3/ga-fg3a

tg3a

2tga1—3fg2a

tg2a

1—g2a

•半角公式:

1+cosa

cos—=±

22

a1+cosa1+cosasina

ag,=±

1-cosasina1-cosa

fabc

•正弦定理：-----=-----=-----=2R•余弦定理：c2=a2+b2-2abcosC

sinAsin3sinC

JI71

•反三角函数性质：arcsine=----arcco&xarctgx=——arcctgx

2

高阶导数公式——莱布尼兹(Leibniz)公式：

k=0

=/>v+nu^v'+n(n~])产、〃+...+”("I)•二(，匚".1)+“网

2!%!

中值定理与导数应用:

拉格朗日中值定理：/3)-/(。)=/⑹@-。)

柯西中值定理:rc)

F⑼一F(a)FC)

当F(x)=x时，柯西中值定理就孰格朗日中值定理,

曲率:

弧微分公式：ds=Jl+y，2公,其中y=

平均曲率灭=Aq.Aa:从M点到M，点，切线斜率的倾角变化量；As：弧长。

Ay

Aada

M点的曲率:K=lim

As->0Asds

直线：K=0;

半径为a的圆：K=—,

定积分的近似计算:

矩形法：j/(x)。"@(为+,+…+y,i)

a

梯形法J/(x)«[g(y0+”)+M+…+以t]

a

b卜_

抛物线法:J/(x)=与々(为+X,)+2(%+为+…+%-2)+4(必+%+…+X,-1)]

定积分应用相关公式:

功：W=F-s

水压力：F=p-A

引力：f=左色笑,人为引力系数

厂

函数的平均值5=f(x)dx

1b

均方根M

空间解析几何和向量代数：

空间2点的距离：4=明|用2|=4尤2—X)2+(>2—M)2+0-Z1)2

向量在轴上的投影「17”赢=网式05份尹是而与〃轴的夹角。

Prju(a,+a2)=PrJa,+Prja2

a-b=|a|-|^|cos^=a也+%%+a也，是一-^个数量

两向量之间的夹角cos。=a也+'b+ah

g+a；+-2+M

ijk

c-axb-axava_,同=同,卜山夕例：线速度：v=vvxF.

久久A

4ay4

向量的混合积［之应］=(。乂万)々=aby2=忸义斗|*0$£,0为锐角时,

代表平行六面体的体积

平面的方程：

1、点法式:A(Jc-xo)+B(y-yo)+C(z-zo)=O,其中1=｛A,仇。)，“。(/，为马)

2^~1般方程：Ax+By+Cz+£)=0

3、截距世方程3+)+三=1

abc

平面外任意一点到该喃的距离：3=[4%+切。+0"。|

7A2+B2+C2

X=工0+机，

空间直线的方程三当=匕%=三且=r，其中$=｛九”,p｝渗数方程Jy=y0+〃r

mnp

'Iz=z0+m

二次曲面：

222

i、椭球面为+方+彳=1

22

2、抛物面二+匕=z,(p,g同号)

2P2q

3、双曲面：

2

单叶双曲面二4-4=i

a+

Y222一

双叶双曲面J-方V+亍Z=1(马鞍面)

CL

多元函数微分法及应用

人闻八1dz]dz],du.du.du.

全械分：az=­ax+—aydu=—dx+—dy+—az

dxdydxdydz

全微分的近似计算：Mxdz=f、(x,y)Ar+/),(尤,y)Ay

多元复合函数的求导法

dzdzdudzdv

dtdudtdvdt

gdzdzdudzdv

z=f[u(x,y),v(x,y)]—=—+—•—

dxduoxdvox

当瓦=u(x,y),v=v(x,y)时，

,du.du.,dv.dv.

du——dx-\------dydv——dx-\-----dy

dxdydxdy

隐函数的求导公式：

隐函数F(x,y)=O,m=-3仪=枭-务+枭-务苧

dxFyax~oxFydyFydx

dz_F、

隐函数户(九,y,z)=0,—,

dxFz一区

dFdF

F(x,y,u,v)=Oj/(EG)标许_F“F„

隐函数方程组

G(x,y,u,v)=Od(u,v)西亚GuGr

dudv

bu13(£G)dv15(F,G)

dxJd(x,v)dxJd(u,x)

du__i_3(F,G)变___L@(F,G)

SyJO(y,u)dyJ5(H,y)

微分法在几何上的应用：

空间曲线^=“⑺在点”(九0，%*0)处的切线方程±/=与为=三3

小夕”o)沙&))。伉)

Z—co(t)

在点M处的法平面方程：(p'(t0)(x-x0)+)(y-%)+苏(。)(z-Z。)=0

若空间曲线方程为？"'，")=，，则切向量T={Fy工F.

G(x,y,z)=OG、G「G=G：G*G

曲面尸。,y,z)=。上一点M(玉),y0,z0),则：

1、过此点的法向量：为={工岛，加Zo),%(Xo，yo，Zo)，G(Xo，yo，z())}

zzz=0

2、过此点的切平面方程Ft(xo,yo,zo)(x-xo)+Fv(xo,yo,zo)(y-yo)+R(xo^o，o)(-o)

3、过此点的法线方程：x—x°—=—匚％—=—三一

F((x0,y0,z0)Fy(x0,y0,z0)F:(x0,y0,z0)

方向导数与梯度：

函数z=/(x,y)在一点p(x,y)沿任一方向/的方向导数为旦=^cos*+且sine

dldxdy

其中夕为龙轴到方向/的转角。

函数z=/(x,y)在一点p(x,y)的梯度：gradf(x,y)=—7+—J

dxdy

它与方向导数的关系是或=grad/(x,y)・。，其中2=cose彳+sin夕•/,为/方向上的

dl

单位向量。

”是gracVQ，y)在/上的投影。

dl

多元函数的极值及其求法：

设小(入0，乂))=人(/，%)=°，令：&(Xo，yo)=A,fxy(x0,y0)=B,fyy(x0,y0)=C

心…时只需尴黑

贝hiAC—32<0日寸，无血

AC-B1=0B寸,不确定

重积分及其应用：

jj/(x,y)dxdy=jjf(rcos^,rsinO^rdrdO

DD1

azV

曲面z=/（》,）0的面积4=04-dxdy

D

JJxp(x,y)dcrJJyp{x,y)da

平面薄片的重心：元=必M

D歹二4xD

MJJ夕(x,y)db'Mjjp(x,y)J(T

DD

平面薄片的转动惯量：对于x轴/*=r3p（x,y）db,对于＞轴/v=JJ/pHyXcr

DD

平面薄片（位于roy平面）对z轴上质点加（0。〃）,3〉0）的引力：F={FV,FV,FJ,其中:

工二川_返必叫F”川0(x,y)y匕£=_前P(x，y)x『

122222D1222

D（x+y+a）D(x+y+/)2(X+y+a)

柱面坐标和球面坐标：

x=rcosO

柱面坐标：y=rsin^,jjj/(x,y,z)dxdydz=JJJF(rf,z)rdrdOdz、

z=zc

其中：尸(r,6,z)=/(rcos6,rsin6,z)

x=rsin^cos^

球面坐标，y=rsin^sin^,dv=rdcp•r$0(p♦d9•dr=户S]n(pdrd(pd3

z=rcos(p

2万n「(>，)

jjjf(x,y,z)dxdydz=JJJF(r,(p,B)户sin(pdrdcpdO=jd(pjF(r,(pf)户sinM”

c000

重心：元/妒9，y-^\\\ypdv,其中M=x=j||pdv

Q

2，y2)“u

转动惯量：lx=J"(y2+z?)pdv，/,=JJj(x+z'pdy,(=J0+

cQc

曲线积分:

第一类曲线积分（对弧长的曲线积分）：

x=(p(t)厂,

药（x,y）在心上连续，L的参数方程为《[…⑺’(IS则:

p___________X=t

j/(x,y)ds=jf[(p(t),i//(t)]yl(p'2(t)+y/'2(t)dt(a<£)特殊情况:

Lay=")

第二类曲线积分（对翊的曲线积分）:

设乙的参数方程为［"=°”），贝k

［y="（，）

P

JP（X,y）dx+Q（x,=J｛尸［。（，）,“（，）］”（，）+Q［0（z）,〃（，）］*（1）｝4

La

两类曲线积分之间的艾系：JPdx+Qdy=J（Pcosct+Qcos/3）ds,其中a和77分别为

LL

心上积分起止点处切向邺］方向角。

格林公式)dxdy=JPdx+Q心格林公式—^-)dxdy=JPdx-\-Qdy

当「=—y,Q=x,即—^^=2时，得至iLO的面积：A=（fdxdy=—fxdy—ydx

6x&y唱2弓

•平面上曲线积分与路径无关的条件：

1、G是一个单连通区域；

2、尸（x,y）,Q（x,y）在G内具有一阶连续偏导数且斐=空。注意奇点，女印0,0）,应

oxoy

减去对此奇点的积分，注意方向相反！

•二元函数的全微分求积

在=时，Pdx+Qdy才是二元函数w(x,y)的全微分，其中：

oxoy

(-r.y)

〃(x,y)=JP(x,y)dx+Q(x,y)dy,通常出()==0。

(XoJo)

曲面积分：

对面积的曲面积分JJ/(x,y,z)ds=JJf[x,y9z(x,y)l[l+z；(x,y)+z；(x,y)dxdy

£4

对坐标的曲面积分JjP(x,y,z)dydz+Q(x,y,z)dzdx+R(x,y,z)dxdy9其中：

JJR(x,y,z)dxdy=±JjR[x,yz(x,y)]dxdy,取曲面的上侧时取正号；

z%

JJP(x,y9z)dydz=±|JP[x(y,z),y,z]dydz取曲面的前侧时取正号；

X%

JJQ(x,y,z)dzdx=±jjQ[x,y(z,x),z]dzdx,取曲面的右侧时取正号。

工D”

两类曲面积分之间的：|JPdydz+Qdzdx-\-Rdxdy=^(Pcosa+Qcos/3+Rcosy)ds

2Z

散度：d…**等即：单位体积内所产生的流体质量，若d…。，则为消失…

通量:屋为杰=jjAnds=jj(Pcosa+Qcos/?+Rcosy)ds,

因此，高斯公式又可写jjjdiy/Adv=Ands

。z

斯托克斯公式——曲线积分与曲面积分的关系:

2嗖嗯)皿+噜一价"7P&Qdy+Rdz

dydzdzdxdxdycosacos万COS/

上式左端又可写成gdddddd

ydx~dz=JJdxSy~dz

PQRPQR

空间曲线积分与路径旗的条件篙誉dP_dRdQ_dP

dzdxdxdy

jk

ia

dA-

旋度：rotA=

dxsQyaRz

P

向量场流沿有向闭曲线T的环流量，Pdx+Qdy+Rdz=^Atds

rr

常数项级数：

等比数歹iJ：l+4+q2+…+g'i=1^1

"q

等差数列1:1+2+34---Fn=("+D"

2

调和级数孑+'+*!•+…是发散的

23n

级数审敛法：

1、正项级数的审敛法-----根植审敛法(柯西光।别法)：

QV1时，级数收敛

设：p—lim贝小夕>1时，级数发散

n—>oo*

夕=1时，不确定

2、比值审敛法：

'/?vl时，级数收敛

设：Q=lim右，贝山0>1时，级数发散

〃一>8TJ

夕=1时，不确定

3、定义法：

s”=〃1+如H----blims”存在，则收敛；否则发孜O

〃一>8

交错级数-“2+M3…(或-/+U2-U3+---,Un>0)的审敛法------莱布尼兹定理:

U„>

如果交错级数满同11nMI。，那么级数收敛且其和其余项乙的绝对倒小”,,铲

、八TOOn

绝对收敛与条件收敛:

(I)/+〃2+…+〃“+…，其中〃”为任意实数；

(2)同+|〃2|+kl+…+同+…

如果(2)收敛，则⑴肯定收敛，且称为绝对收敛级数;

如果(2)发散，而⑴收敛，则称(1)为条件收敛级数。

调和级数发散，而汇斗收敛;

级数》上收敛；

九,

P级数A，7P<1时发散

2>1时收敛

幕级数：

心+¥+“.—+…竹时’收敛于士

、国N1时，发散

对于级数(3)4)+。1》+。2*2+…+a”x"+…，如果它不是仅在原点I攵敛，也不是在全

/国<7?时收敛

数轴上都收敛，则必存在凡使(国>/?时发散其中R称为收敛半径。

\国=R时不定

/夕/0时，R=—

求收敛半径的方法：设1同况=P，其中%，是⑶的系数，贝/0=0时，R=+8

a\

"\p=+8时，7?=0

函数展开成塞级数：

函数展开成泰勒级数：/(x)=/(x°)(x—Xo)+&^(x—/产+…+心史(工一看)"+…

2!nl

余项：Rn=匕乌(》-与严,〃x)可以展开成泰勒级数的应要条件是dimR"=0

Q?+l)!〃f°

%=00寸即为麦克劳林公式：f(x)=y(o)+/(o)x+£^lx2+…++…

2!m

一些函数展开成幕级数：

(1+x)m=1+尔+-------xz+…+-------------------------+…(-1<x<1)

2!nl

52,t

Jrx~'

sinx=x--------1-------------F(—l)'i---------1-…(—oo<x<d-oo)

3!5!(2n-l)!

欧拉公式：

^ix,—ix

e-Fe

cosx=--------

e"=cosx4-Zsinx或？

sinx=

2

三角级数:

/(，)=A>+»A“sin(〃W+<pn)=-y-+£(«„cosnx+sinnx)

n=\N〃=1

其中，a0=a\,an=Awsin(pn.bn=Ancos^„,cot=Xo

正交性4,sinx,cosx,sin2x,cos2x---sinnx,cos〃x…任意两个不同项的乘积在[-巩4]

上的积分R。

傅立叶级数：

f(x)=—+三(%cosnx+sinnx),周期=2TT

2〃=i

an=一ff(x)cosnxdx(n=0,1,2-•­)

71」

其中4

117T21112

14--d----z-+••,=---1t+^~+r++…=一相力口)

325282232426

九

111兀°2

f111=J相减)

-z-d--T-H4--=---1一齐+三一不+…

2242622412

■?兀

正弦级数：a=0,bn=一f/(x)sinnxdxn=1,2,3…/(x)=sin"X是奇函数

o

/(x)=?+£%cosnA>

余弦级数：bn=0,arl=—Jf{x}cosnxdxn=0,1,2…偶函数

兀o

周期为2/的周期函数的傅立叶级数:

/(X)=，+£(%cos巴公+力〃sin-^^),周期=2/

2〃=1I