2024年中考数学总复习 几何压轴题常用模型二

2024年中考数学总复习吃透这套几何压轴题常用模

型中考数学就稳了

01

全等变换

平移：平行等线段（平行四边形）

对称：角平分线或垂直或半角

旋转：相邻等线段绕公共顶点旋转

对称全等模型

角分线模型

过角分收栗点作■嫉

往角旃边作■姨柱角两边裁取121

说明:

以角平分线为轴在角两边进行截长补短或者作边的垂线，形成对称全

等。两边进行边或者角的等量代换，产生联系。垂直也可以做为轴进

行对称全等。

02

对称半角模型

说明:

上图依次是45。、30。、22.5。、15。及有一个角是30。直角三角形的对称

（翻折），翻折成正方形或者等腰直角三角形、等边三角形、对称全

等。

03

旋转全等模型

半角：有一个角含1/2角及相邻线段

自旋转：有一对相邻等线段，需要构造旋转全等

共旋转：有两对相邻等线段，直接寻找旋转全等

中点旋转：倍长中点相关线段转换成旋转全等问题

04

旋转半角模型

说明：

旋转半角的特征是相邻等线段所成角含一个二分之一角，通过旋转将

另外两个和为二分之一的角拼接在一起，成对称全等。

自旋转模型

构造方法：

遇60度旋60度，造等边三角形

遇90度旋90度，造等腰直角

遇等腰旋顶点，造旋转全等

遇中点旋180度，造中心对称

05

共旋转模型

说明：

旋转中所成的全等三角形，第三边所成的角是一个经常考察的内容。

通过"8〃字模型可以证明。

06

模型变形

D

D.

说明：

模型变形主要是两个正多边形或者等腰三角形的夹角的变化，另外是

等腰直角三角形与正方形的混用。

当遇到复杂图形找不到旋转全等时.，先找两个正多边形或者

等腰三角形的公共顶点，围绕公共顶点找到两组相邻等线段,

分组组成三角形证全等。

中点旋转：

说明:

两个正方形、两个等腰直角三角形或者一个正方形一个等腰直角三角

形及两个图形顶点连线的中点，证明另外两个顶点与中点所成图形为

等腰直角三角形。证明方法是倍长所要证等腰直角三角形的一直角边,

转化成要证明的等腰直角三角形和已知的等腰直角三角形（或者正方

形）公旋转顶点，通过证明旋转全等三角形证明倍长后的大三角形为

等腰直角三角形从而得证。

中点模型

倍长中线连中点构造中位线倍长一边构造中位战

几何最值模型

对称最值（两点间线段最短）

线段和差模型

AM

*'X：

务：孝:

mia期

同侧、异侧两线段之和最短模型同侧、异鲫两线段之基最小模型

轴对称模型

r»u一N

4

UX1--------L---

1

*/”F

三线段之和过桥模型四边形周长三角形周长

依短模型坡小模型最小模型

对称最值

（点到直线垂线段最短）

--小

°尸G

说明：

通过对称进行等量代换，转换成两点间距离及点到直线距离。

旋转最值

（共线有最值）

说明：

找到与所要求最值相关成三角形的两个定长线段，定长线段的和为最

大值，定长线段的差为最小值。

简拼模型

三角形一四边形

四边形一四边形

图11

说明：

剪拼主要是通过中点的180度旋转及平移改变图形的形状。

矩形一正方形

说明：

通过射影定理找到正方形的边长，通过平移与旋转完成形状改变

正方形+等腰直角三角形一正方形

旋转相似模型

DE

B

说明：

两个等腰直角三角形成旋转全等，两个有一个角是300角的直角三角

形成旋转相似。

推广：两个任意相似三角形旋转成一定角度，成旋转相似。

第三边所成夹角符合旋转“8”字的规律。

DCD

说明：

注意边和角的对应，相等线段或者相等比值在证明相似中起到通过等

量代换来构造相似三角形的作用。

说明：

(1)三垂直到一线三等角的演变，三等角以30度、45度、60度形

式出现的居多。

(2)内外角平分线定理到射影定理的演变，注意之间的相

同与不同之处。另外，相似、射影定理、相交弦定理(可以

推广到圆幕定理)之间的比值可以转换成乘积，通过等线段、

等比值、等乘积进行代换，进行证明得到需要的结论。

说明：

相似证明中最常用的辅助线是做平行，根据题目的条件或者结论的比

值来做相应的平行线。

A模型一：手拉手模型-旋转型全等

a耕：ACM8.AOC。均为等边三角形

>雌：①AO-/C•SOBD,②LAEB-60°；③OE平分LAED,

<2）等腰ATA

a条件：A'〃8，A"C/）均为等腰直角三角形

a结论：①ACMC«ACBD,②LAF：H-90°,

a③OE平分乙<£Z）.

<3）任意等腰三角形

a轴：A°他A"。均为等腹三龟形

a结论：①^OAC■NOBD.②LAEB-LAOB.

A③（把平分乙

A模型二：手拉手模型-旋转型相似

A条件：CD!AB,将A（）CD旋转至右图位身

A结论：

a右图中①A0C/EAO48=AO/CAOBD$

a②延长/C交8D于点E,必有乙8EC=乙8。4

《2》特殊情况

a条件：67）/〃8,乙〃）8・90°,将4区7）旋转至右图

位肘

a结论：右图中①AOC£>SAO/H=AO/CsOBD.®

延长XC交BD于点E,必有乙BEC-LBOA；

(anLOCD

,@BDLAC

瞬接AD,BC,必福AD+BC，-AB:+C*⑥'""2*""

（对角线互相垂直的四边形）

A模型三：对角互补模型

条件：①LAOB-LDCE-90°,②0c平分&(出

结论：①CD=CE;②°D+()E.4i℃J③

$必*"SAOCQ,S皿/,~OC

证明提示：

睡垂直，如图，证明AC0M・ACG,

②点C作CF1”,如上图（右＞，证明A°X-AF£J

当LDCE的一边交A0的延长线于点D时：

以上三朋论：①CD=CE（不变）j

@OE-OD-41OC；③‘E_§刖-&0t

端论证明方法与前T幡况-致，可自行尝试。

(2)全等型1200

a条件：①乙/08・2ZJX'£・I20°J

a00C平分乙/孙

〉结论：①(・②。・

OC£,Q/O£OC3H

《3》全等型一任意角“

a,2«,乙℃£,18°-2a；②

a结论：&OC^\L.4()B-©OD+OE•2OC•cosa.

A③^ODCC■SADCD+S'OCE="(*sina•cosa.

a当LIKE的一边交AO的延长线于点D时(如右上图)：

原结论变成：①___________________________________

②__________________________________________________________________

③3

可参考上述第②种万法迪亍证明。洁思考被探件价度化时

A对角互木耀型总结：

①常见初始条件：四边形对角互补；注意两点：四点共圆及直帘:

②初始条件“角平分线”与“两边相等”的区别；

③两种常见的铀助线作法；

④注意OC平分乙408时，LCDE-LCED-LCOA-LCO-

上A模型四：角含半角模型90°

(1)龟含半甬模型90°-1

HE'GBE

斜h①正方形"(必②，£4产・45\

结论：①EF=DF+BE,②ACEF的周长为正方形,48CQ周长的一半；

也可以这样：

条件：①正方形制'D，②".=W+BE

结论：LEAF^45°

(2)龟含半角模型90--2

a条件：①正方形X8C。;②LEAF-45°；

A结论：EF-DF-BE,目

A崛1线如下图所示：

a条件：①RT&ABC;②LDAE-45°,

a结论：BD'+CE：=DE,BI）ECBD

若LDAE施期AJ8c外部时，结论BD:+Cf：=仍然成立.

城咽：44*AC（力公不唯一）

VZ/JH<-Z£4Z-45,A

74〃，〃-Z4CA-45..*.XUHMXKE

：.XlHE^XUK

a条件：①正方形ABCD.②LEAF-45°.

A结论：".为等腰直角三角形。

.A模型五：倍长中线类模型

G)信^中物膜型〕

a条件：①)®形••CO；②8/J-8E.③〃•・£/

a牯论："LCF

模型提取：喇平行线AD3BE,②帝亍线间^段有中点DF・EF；

可以构造“8”字全等2DF■MIEF.

（2）^q^s^-2

a条件：①¥行四边形ABCD§②BC・2AB；③A\f-DM；@CE1AD.

a结论：LEMD-iLMEA

.4B//CD.有中点儿"-DM

£长EM.构造XIMEMUTHM构

迨不楼SE\K.WHF

遣过构遭8字全多怪及能与员QK关系.角的大

小转化

,A模型六：相似三角形360°旋转模型

也一

(1)相10三角形《等腰直角)360-旋转的港长申线法MMe:HK[)hMAG.检，FG・DF.H

UCY；.Mi.HUam\HIMi*♦*A加

a条件：①A4〃£、M8C均

为等腰直角三角形，②仅：AiflZX^VW；

EF-CF

睢&HIzau>-zfltG

a结论：①"=8尸；②

DE1B卜'

⑴树听版《等*ft)360。翎理

A条件：①A4O£、A48C均为等腹直角三角脸②样一CT,

a结论：①DF-BF；②DF工BF

辅助N,：构迨等联立MAY反？、&.4J/C

楮劝代.粤路：将D/与抑化到C<i与EH

国的“：MKfiJXAG,«M-.«.廷*

a科：①ACM8sAece,②LOAB-LODC-90°CDM4.H位/W=<7).，卜全VXiB.

③BE・CE»

OCH的速设I♦粮型.4D£MCG

a结论：①-4£=DE1②LAED-2LABO

与RH.◎息AM化NJ初

(任副的直角三龟形旋转模型语长法

3)360°特财心：«4KD£i,W.<tAF-AJC.将”

》条件：①A(〃8sA"/)ej②/_OAB-LOIX--90°.③4:的㈣伊I•件/化为用叫\JA〃>MHO.此

fi£-C£.

将ZMMAABM维”化今江*1

a常论：①IE-DE,②LAED-2LABO

\4ai.、A.〃〃■.使用部边*比JL突向导

此处单*&您切Z

A模型七:最短路程模型

3”：以上B国勺常晌怯叶你吴景明冷俚问通.

*后与,化对：>•四★.之:立愕我*相"M；*

料点：①动总在A”上:②《息.电点阑%

<2）最矩路程馍里二（点到直线类1）

樽劝毁；将作0关于（XM停&Q'.♦♦化

，V•中.途友W作\fff10.1

垂线也最知

a条件：①OC平分乙4。8,②.“为"8上一定点i③P为a'上T］点,④。为08上一动点,

a求：A"?。最J时，八。的位置？

<3）蹦路程模型二（点到直歌2）

a条件：<4（0.4）,S（-20）,P（0,n）

PB+—PA

AI通i：”为何值时，5最小

____sinL.OAC*,--

a求解方法：①t轴上取（亿0）,使5j②过8作801/C,交『轴于点%即为所求,

tanLEBO«tanLOAC

2,即E（°，l）.

*"(C4OCJI9I*>，<1JtMM.4-4,f¥t-2

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②(庙八♦壬aMO嫌”Qi“4〃•・<・M，Wf♦检件■

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A模型九：相似三角形模型

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(1)相假三角形模型逐本型

4”々甲〃MM-ZVn2金P<M<■«

*件：a京岗港小阳4田)■/“力・”『

体沦］•记X

♦•力典•外国4K宏-二W

2

jnjriyr“论：AC•AE«AH

拈论：叱=匕G上怠时在边要时应)

•・伙・〃・

ABACBC♦ej'flHqea.SK/Xx.

M“-HE*HA.CE”,HE*Ah

(3)相《L三角形模型一线三角型

备件：益国：Z.W-Z.4C/«ZC7^-^r

tm：4次•口CE・4（"»：・U）

GM:Z.4Zrc-^CT-ZCOT-45

州论：所将圉在妁绿企

(£\IMsMIW：(2)JZTx/V■"«・，，)

一修.三答前幔皇£腌拿冏表吨3方闻就美

M上公论功可以通11相似三角打遣竹U明

07

中点模型

【模型1】倍长

1、倍长中线；2、倍长类中线；3、中点遇平行延长相交

A

【模型2】遇多个中点，构造中位线

1、直接连接中点；2、连对角线取中点再相连

【例】在菱形ABCD和正三角形BEF中，NABC=60。，G

是DF的中点，连接GC、GE.

(1)如图1,当点E在BC边上时，若AB=10,BF=4,求

GE的长；

(2)如图2,当点F在AB的延长线上时，线段GC、GE

有怎样的数量和位置关系，写出你的猜想；并给予证明；

(3)如图3,当点F在CB的延长线上时，(2)问中关系还

成立吗？写出你的猜想，并给予证明.

DDD

08

角平分线模型

【模型1】构造轴对称

【模型2】角平分线遇平行构造等腰三角形

【例】如图，平行四边形ABCD中，AE平分/BAD交BC

边于E,EF_LAE交CD边于F,交AD边于H,延长BA到

点G,使AG=CF,连接GF.若BC=7,DF=3,EH=3AE,

则GF的长为

G

手拉手模型

【我】0A=OB,OC=OD,ZAOB=NCOD

【结论】AOAC三AOBD；乙LES=N04B=NCOD（即都是旋转角）;。石平分ZAED;

【例】如图，正方形ABCD的边长为6,点。是对角线AC、

BD的交点，点E在CD上，且DE=2CE,过点C作CF±BE,

垂足为F,连接OF,则OF的长为

09

邻边相等的对角互补模型

【触1】

【条件】如图，四边形ABCD中，4B=4D,ZBAD+ZBCD=ZA3C+Z