江苏省重点中学2015届高三年级第一次联合考试

第3页共10页江苏省重点中学2015届高三年级第一次联合考试数学试卷数学Ⅰ一、填空题：本大题共14个小题，每小题5分，共70分．把答案填在答卷纸相应的位置上．1.若集合，则集合▲．2.设是虚数单位，复数为纯虚数，则实数的值为▲．3.函数的单调递减区间为▲．4.直线经过两点，那么直线的倾斜角的取值范围是▲．5.在中，，且,则边AB的长为▲．6.已知,则▲．7.直线：与圆：相交于两点，则“”是“的面积为”的▲条件.(填写“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”之一)8．设是空间的不同直线或不同平面，下列条件中能保证“若，且，则”为真命题的是▲．（填所正确条件的代号）①为直线；②为平面；③为直线，为平面；④为直线，为平面.9.已知，则的值为▲．10.长方体中，，则四面体的体积为▲．11.在△ABC中，已知，，，则边的长为▲．12．不等式对于任意的，存在成立，则实数的取值范围为▲．13.函数，当时，恒成立，求▲．14.数列、都是等比数列，当时，，若数列唯一，则=▲．二、解答题：本大题共6小题，共计90分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．(本小题满分14分)已知函数．（１）求的最小正周期； （２）若将的图像向左平移个单位，得到函数的图像， 求函数在区间上的最大值和最小值．16．(本小题满分14分)如图，在四棱锥中，底面是矩形，侧棱PD⊥底面，，是的中点，作⊥交于点.（１）证明：∥平面；（２）证明：⊥平面.17．(本小题满分14分)某单位有员工1000名，平均每人每年创造利润10万元．为了增加企业竞争力，决定优化产业结构，调整出x(x∈)名员工从事第三产业，调整后他们平均每人每年创造利润为万元(a＞0)，剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高0.2x%．（１）若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润，则最多调整出多少名员工从事第三产业？（２）在（1）的条件下，若调整出的员工创造出的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，则a的取值范围是多少？18．(本小题满分16分)已知的三个顶点，，，其外接圆为圆．（１）求圆的方程；（２）若直线过点，且被圆截得的弦长为2，求直线的方程；（３）对于线段上的任意一点，若在以为圆心的圆上都存在不同的两点，使得点是线段的中点，求圆的半径的取值范围．19．(本小题满分16分)函数．（１）若，求曲线在的切线方程；（２）若函数在上是增函数，求实数的取值范围；（３）设点，，满足，判断是否存在实数，使得为直角？说明理由．20．(本小题满分16分)若数列的各项均为正数，，为常数，且.（１）求的值；（２）证明：数列为等差数列；（３）若，对任意给定的k∈N*，是否存在p，r∈N*(k<p<r)使eq\f(1,ak)，eq\f(1,ap)，eq\f(1,ar)成等差数列？若存在，用k分别表示一组p和r；若不存在，请说明理由．江苏省重点中学2015届高三年级第一次联合考试数学试卷数学=2\*ROMANII（附加题）21．【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做两题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A．选修4—1：几何证明选讲OAEBDFC如图，是⊙的直径，是⊙上的两点，⊥，OAEBDFC过点作⊙的切线FD交的延长线于点．连结交于点.求证：.B．选修4—2：矩阵与变换已知矩阵，若矩阵属于特征值6的一个特征向量为，属于特征值1的一个特征向量为．求矩阵的逆矩阵．C．选修4—4：坐标系与参数方程已知曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为，判断两曲线的位置关系．D．选修4—5：不等式选讲设，求证：．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．(本小题满分10分)袋中装有大小相同的黑球和白球共9个，从中任取2个都是白球的概率为．现甲、乙两人从袋中轮流摸球，甲先取，乙后取，然后甲再取…，每次摸取1个球，取出的球不放回，直到其中有一人取到白球时终止．用X表示取球终止时取球的总次数．（１）求袋中原有白球的个数；（２）求随机变量X的概率分布及数学期望．23．（本题满分10分）已知数列是等差数列，且是展开式的前三项的系数.（１）求展开式的中间项；（２）当时，试比较与的大小.江苏省重点中学2015届高三年级第一次联合考试数学试卷答题纸【考试时间120分钟满分160分】=1\*ROMANI卷一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，满分70分）1．；2．；3．；4．；5．；6．；7．；8．；9．；10．；11．；12．；13．；14．．二、解答题：（解答应写出必要的文字说明、证明过程.共6大题，满分90分）15．（本小题满分14分）解：16．（本小题满分14分）17．（本小题满分14分）18．（本小题满分16分）19．（本小题满分16分）20．（本小题满分16分）江苏省重点中学2015届高三年级第一次联合考试数学试卷答题纸【考试时间30分钟满分40分】数学=2\*ROMANII（附加题）21．（本小题满分10分）解：21．（本小题满分10分）22．（本小题满分10分）23．（本小题满分10分）江苏省重点中学2015届高三年级第一次联合考试数学试卷参考答案（Ⅰ）卷一、填空题（每小题5分，共70分）1. 2. 3.（0,1] 4. 5.1 6. 7.充分而不必要8．③9.10.611.12．13.14.二、解答题（本大题共6小题，共90分）15．(本题满分14分)解(1) ……5分. ………………7分(2)由已知得，………9分，，………………11分故当即时，；当即时，，………………14分16．(本题满分14分)证明：(1)连结交与，连结.∵底面是矩形，∴点是的中点.又∵是的中点∴在△中，为中位线∴∥.而平面，平面，∴∥平面.……7分(2)由⊥底面，得⊥.∵底面是正方形，∴⊥，∴⊥平面.而平面，∴⊥.①∵，是的中点，∴△是等腰三角形，⊥.②由①和②得⊥平面.而平面，∴⊥.又⊥且=，∴⊥平面.……14分17.(本题满分14分)解：（1）由题意，得10(1000－x)(1＋0.2x%)≥10×1000，即－500x≤0，又x＞0，所以0＜x≤500．即最多调整500名员工从事第三产业．……5分（2）从事第三产业的员工创造的年总利润为万元，从事原来产业的员工的年总利润为万元，则≤，……8分所以ax－≤1000＋2x－x－，所以ax≤＋1000＋x，即a≤＋＋1恒成立．……11分因为＋≥＝4，当且仅当＝，即x＝500时等号成立，所以a≤5，又a＞0，所以0＜a≤5．所以a的取值范围为(0，．……14分18.(本题满分16分)解：(1)……………4分(2)或………10分（缺少一个方程扣3分）(3)，即恒成立，，从而.…16分注：多等号扣2分，其它方法类似.19.(本题满分16分)解（1）．……………3分（2）在恒成立，……………5分设，值域，即在恒成立，，．……………10分（3），不存在实数，使得为直角．……………16分20.(本题满分16分)解：（1）由条件，设令，得=1\*GB3①，令，得=2\*GB3②=1\*GB3①—=2\*GB3②，得，，……4分（2）=3\*GB3③，④，④—=3\*GB3③，得……………7分数列为常数数列，，数列为等差数列.……………10分（3）由（2）知，数列为等差数列，设公差为，则由条件，得，又数列的各项为正数，，，.……12分当k＝1时，若存在p，r使eq\f(1,ak)，eq\f(1,ap)，eq\f(1,ar)成等差数列，则eq\f(1,r)＝eq\f(2,p)－1＝eq\f(2－p,p)≤0.与eq\f(1,r)>0矛盾．因此，当k＝1时，不存在．…14分当k≥2时，则eq\f(1,k)＋eq\f(1,r)＝eq\f(2,p)，所以r＝eq\f(kp,2k－p).令p＝2k－1得r＝kp＝k(2k－1)，满足k<p<r．综上所述，当k＝1时，不存在p，r；当k≥2时，存在一组p＝2k－1，r＝k(2k－1)满足题意．……16分（=2\*ROMANII）卷21、【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做两题，每小题10分，共计20分．OAEBOAEBDFC证明：连结OF．因为DF切⊙O于F，所以∠OFD=90°．所以∠OFC+∠CFD=90°．因为OC=OF，所以∠OCF=∠OFC．因为CO⊥AB于O，所以∠OCF+∠CEO=90°．所以∠CFD=∠CEO=∠DEF，所以DF=DE．因为DF是⊙O的切线,所以DF2=DB·DA．所以DE2=DB·DA．B．选修4—2：矩阵与变换解：由矩阵属于特征值6的一个特征向量为，可得＝6，即；由矩阵属于特征值1的一个特征向量为可得，＝，即，解得即＝，逆矩阵是.C．选修4—4：坐标系与参数方程解：将曲线化为直角坐标方程得：，即，圆心到直线的距离，∴曲线相离．D．选修4—5：不等式选讲证明：由==．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．22．解：（1）设袋中原有个白球，则从9个球中任取2个球都是白球的概率为， 由题意知=，即，化简得．解得或（舍去） 故袋中原有白球的个数为6.（2）由题意