数列求和及其综合应用讲义-高考数学二轮复习讲义-学生版

专题12数列求和及其综合应用

探究1：裂项相消法

【典例剖析】

例1.（2022•浙江省金丽衢十二校联考）已知递增的等差数列满足：的=1,且a5，

a8,的3成等比数列•数列｛“｝满足：3Sn=2+bn（nGJV*），其中％为｛4｝的前n项和.

（I）求数列｛厮｝，｛%｝的通项公式；

1

（口）设“=荷嬴而37瓦，祟为数列｛%｝的前几项和，是否存在实数九使得不等式弟V

2WSn对一切neN*恒成立•若存在，求出2的值;若不存在，说明理由.

J-----------------------------------------------------------------------------------------

I选题意图：裂项相消法是一种重要的数列求和的方法，该类问题背景选择面广，可与等差、等比数

i列、函数、不等式等知识综合，在知识交汇点处命题.

i思维引导：第（2）问中由“与册的关系式呈分式结构，容易联想到要利用裂项求和法求罩，cn通项

公式需要借助厂』=号2，再进一步转化从而裂项.

।ivn+Vn+fck

【变式训练】

练1-1（2022•江苏省南通市月考）已知等差数列满足$6=21,S7=28,其中%是数

列｛为｝的前n项和.

（1）求数列｛厮｝的通项；

4n

(2)令%=(一1尸证明:b1+b2+-+bn<^.

(2an-l)(2an+l)

练1-2（2022•山东省潍坊市联考）已知数列｛a“｝满足a】=l,an+1=^=（nEN*）,记

5n为数列｛&J的前几项和，贝1k）

■2Q

A.2<S50<3B.|<S50<3C.3Vsso<4D.4<S50<|

【规律方法】

数列求和就是通过观察分析数列的类型,变形得出熟悉的等差、等比数列，或者构建出数列的

模型，找到求和的方法.裂项相消法较为灵活，一方面对数列的通项公式进行裂项求和，故

要熟悉常见的裂项的形式；另一方面对于本来无法裂项的数列，进行适当放缩使数列可进

行裂项求和.

技巧策略：（1）常见的裂项相消法主要是将数列的通项分解成两个式子（或多个式子）的差的

形式，借助裂开的项进行合理抵消,方便运算；

（2）裂项相消中要注意抵消了哪些项,保留了哪些项,不要出现遗漏或增加；

（3）消项规律:对称抵消（消项后前边剩几项（或第几项）,后边就剩几项（或倒数第几项））.

常见方法有：

1.常见的裂项形式：要注意消项的规律具有对称性，即前剩多少项则后剩多少项.

①若｛斯｝为等差数列，则工），即分母为同一个等差数列中的两项相乘即

kd\anan+kJ

可裂项；

n2(n+1)2n2(n+1)2*n(n+l)(n+2)2Ln(n+1)(n+l)(n+2).

④—1—=恒-®⑤_____S_______=

Vn+Vn+kk，(2n+l)(2n+1+l)2n+l2n+1+l，

个n+211-n-2n+12n+22n+1

(o)-------------------=------------------------------•)---------------------------------------:

(n2+n)-2n+1n-2n(n+l)-2n+1(n+l)(n+2)n+2n+1

2.放缩后裂项

①/=W）；〈丧〈;^5N2）；

1

)--------;------<——=-------<---------;-------<工=」<

Vn+Vn+1y/n2y/ny/n+y/n-1"Vn+n+1V2nyjn+nVn+n-1

探究2：并项求和

【典例剖析】

例2.（2022•广东省模拟）已知数列｛a"的各项均不为零，S”为其前n项和，且与斯+1=

2Sn-l.

（1）证明：an+2-an=2;

（2）若的=一1,数列｛%｝为等比数列,比=的，为=。3•求数列｛%A｝的前2022项和72022・

n

‘选题意图：并项求和最常见的一种类型是，若｛an｝为等差数列，则数列｛（—l）-an｝中的项，正负交

替，可先求相邻两项的和，从而求出前几项的和.

思维引导：第（2）问由瓦=%/2=。3,得出“的通项公式为（—1严，故anbn即为（―1严与等差数列

的乘积，相邻两项的和为定值，利用并项求和法求72022.

【变式训练】

练2-1(2022•江苏省苏州市联考)已知数列｛an｝各项均为正数，且的=2,a"】-

3+]tzI3ct-j^•

(1)求｛an｝的通项公式；

n

(2)设%=(-l)an,求瓦+b2+b3+■■■+b20.

练2-2(2022•重庆市模拟)己知函数f(x)=sin(3久+》(其中3>0)在区间有汨上单调递

减.

(1)求出3的取值范围；

(2)将“X)的图像向左平移,个单位就得到函数g(x)的图像，记a”=n2-g(mr),nEN*.若

g(x)恰为偶函数，求数列｛5｝前n项和立的表达式.

【规律方法】

并项求和法适用范围：数列不能直接求和，但是可以将几项进行求和(类似于周期性质)，然

后再进行整体求和.

①当数列中常含有(-l)k或者(-l)k+i等符号时,则其项常常体现为正负项间隔出现,此时常

将相邻的正负两项(或三项等)并成一组,然后求和，或者考虑将数列分组为奇数项数列和偶

数项数列,然后采用分组求和法；

②当数列中含有即+an+i=/(n)的形式,或者an+an+1+an+2=/(n)的形式,将两项或

三项的和并成一项，构成一个新的数列再求和，再由新数列的通项公式选择合适的求和方

法.

探究3：数列求和的其他方法

【典例剖析】

例3.(2022•福建省泉州市期中)已知数列｛即｝的前几项和为Sn,且｛斯-蜘｝是公差为:的

等差数列.

(1)求证：｛即｝是等差数列；

(2)用max｛p,q｝表示p,q中的最大值，若的=1,6n=max｛2a与碌｝,求数列｛斯与｝的前n项

和加

选题意图：求数列｛a“bn｝的前几项和，容易联想到要用错位相减法求和，但该题的第二问勾的通项公

式，为分段的形式，要分段求和，增加了试题的难度.

思维引导：第(2)问中表示出勾的通项公式，为分段的形式；故求｛玛勾｝的前n项和要分段讨论；当

nN4时，要利用错位相减法求和，注意化简要仔细.

【变式训练】

练3-1（2022•广东省月考）已知等差数列｛&J中，。5=萼，设函数/⑺=（4郎2?—

O乙

2）smx+cos2x+2,

记%=/（an）,则数列｛%｝的前9项和为（）

A.0B.10C.16D.18

n

练3-2（2022•浙江省模拟）已知数列｛即｝与｛与｝满足%+1即+bnan+1=（-3）+1,

On=,n€N*,且的=2.

l,n为偶数

(1)设“=<^2n+l—a2n-l'n€N*,求q,并证明：数列｛%｝是等比数列；

(2)设%为｛厮｝的前72项和,求S2n.

【规律方法】

常用的数列求和方法：直接利用两个特殊数列（等差数列或等比数列）的前n项和公式、列举

法、分组转化法、并项求和法、错位相减法、裂项相消法、倒序相加法.

①列举法：列举法主要应用于数列项数较少的数列求和问题，通过列举出数列中的各项后加

以数列求和.而在实际解题过程中，若一直没有想到其他思路，也可以借助列举法来思考，在列

举法的基础上进行分析与归纳,再采用合适的方法来处理.

②倒序相加法：若一个数列的首项、尾项能构建出特殊的关系，则可以反向构建关系,先把数

列倒着写一遍再和原来的数列相加，从而得到题中所证或所求.

③分组求和法：当所求解的数列本身不是特殊数列，而通过适当拆分并重新组合后，可以分成

若干个特殊数列，分别求和.

④错位相减法：对一个由等差数列和等比数列对应项之积组成的数列的前n项和问题，常用

错位相减法求和.这种

方法主要用于求数列｛与■%｝的前几项和，其中｛%｝、｛%｝分别是等差数列和等比数列，等式两

端同时乘以公比后进行错位相减，再利用等比数列的求和公式加以转化即可.

探究4：数列求和的综合问题

【典例剖析】

例4.（2022•江苏省南京市联考•多选）已知数列｛厮｝的前几项和为工,%=1,且

4an-an+1=an-3an+1（n=1,2,则（）

A.3a<aB.CI5=-T--C.ln（­）<n+1D.1<S<—

n+1nn14,

!选题意图：数列的多选题，涉及的数列知识较多，综合性较强，考查学生能否灵活的运用数列的基本概

：念，基本方法解决问题.

;思维引导：由递推关系构造数列，求出册的通项公式后逐个判断选项，其中D选项涉及求和，与的通项

；公式不能直接利用上述求和方法，就要通过放缩将不特殊数列化为特殊数列，转化为等比数

【变式训练】

练4-1（2022•广东省佛山市模拟）某科技研发公司2021年全年投入的研发资金为300万

元，在此基础上，计划每年投入的研发资金比上一年增加10%,则该公司全年投入的研发

资金开始超过600万元的年份是（）

（参考数据:lg2=0.301,lg3=0.477,lg5=0.699,Igll=1.041）

A.2027年B.2028年C.2029年D.2030年

练4-2（2022•江苏省模拟）若一个数列的第m项等于这个数列的前a项的乘积，则称该数

列为积数列”.若各项均为正数的等比数列｛册｝是一个“2019积数列”,且的>1