高中数学必修2课时素养评价13-2-3-2直线与平面垂直

课时素养评价二十九直线与平面垂直(20分钟40分)1.已知直线l⊥α,α∥β,则 ()A.l∥β B.l⊂βC.l⊥β D.以上均有可能【解析】选C.由于α∥β,则平面β内存在两条相交直线m,n分别平行于平面α内两条相交直线a,b,又l⊥α,则l⊥a,l⊥b,所以l⊥m,l⊥n,所以l⊥β.2.已知直线a,b和平面α,下列推理中错误的是 ()A.QUOTE⇒a⊥b B.QUOTE⇒b⊥αC.QUOTE⇒a∥α或a⊂α D.QUOTE⇒a∥b【解析】选D.当a∥α,b∥α时,a与b可能平行,也可能相交或异面,即D推理错误.3.直线a⊥平面α,b∥α,则a与b的关系为 ()A.a⊥b且a与b相交B.a⊥b且a与b不相交C.a⊥bD.a与b不一定垂直【解析】选C.因为b∥α,所以b平行于α内的某一条直线,设为b′,因为a⊥α,且b′⊂α,所以a⊥b′,所以a⊥b,但a与b可能相交,也可能异面.4.有下列四种说法,正确的序号是________.

①过空间一点有且只有一条直线与已知平面垂直;②已知两条不重合的直线m,n和平面α,若m⊥n,m⊥α,则n∥α;③a,b,l表示三条不同的直线,α表示平面,若a⊂α,b⊂α,l⊥a,l⊥b,则l⊥α;④若直线a不平行于平面α,则直线a垂直于平面α.【解析】①正确;对于②,若直线n⊂α,也可满足m⊥n,m⊥α,此时n∥α不正确;对于③,只有a,b相交时,才成立,否则不成立;④显然错误,因为不平行时可以相交,而垂直只是相交的一种特殊情况.故只有①正确.答案:①5.如图,在四棱锥SABCD中,AB∥CD,BC⊥CD,侧面SAB为等边三角形,AB=BC=2,CD=SD=1.求证:SD⊥平面SAB.【证明】因为AB∥CD,BC⊥CD,AB=BC=2,CD=1,所以底面ABCD为直角梯形,AD=QUOTE=QUOTE.因为侧面SAB为等边三角形,所以SA=SB=AB=2.又SD=1,所以AD2=SA2+SD2,所以SD⊥SA.连接BD,则BD=QUOTE=QUOTE,所以BD2=SD2+SB2,所以SD⊥SB.又SA∩SB=S,所以SD⊥平面SAB.6.如图,在四棱锥PABCD中,PD⊥平面ABCD,AD⊥CD,DB平分∠ADC,E为PC的中点,AD=CD.(1)证明:PA∥平面BDE;(2)证明:AC⊥平面PBD.【证明】(1)设AC∩BD=H,连接EH.在△ADC中因为AD=CD,且DB平分∠ADC,所以H为AC的中点.又由题设,E为PC的中点,故EH∥PA,又EH⊂平面BDE,且PA⊄平面BDE,所以PA∥平面BDE.(2)因为PD⊥平面ABCD,AC⊂平面ABCD,所以PD⊥AC.由题意可得,DB⊥AC,又PD∩DB=D,故AC⊥平面PBD.(30分钟60分)一、单选题(每小题5分,共20分)1.已知m和n是两条不同的直线,α和β是两个不重合的平面,那么下面给出的条件中一定能推出m⊥β的是 ()A.α⊥β,且m⊂α B.m∥n,且n⊥βC.α⊥β,且m∥α D.m⊥n,且n∥β【解析】选B.QUOTE⇒m⊥β.2.如图,P为△ABC所在平面α外一点,PB⊥α,PC⊥AC,则△ABC的形状为 ()A.锐角三角形 B.直角三角形C.钝角三角形 D.不确定【解析】选B.由PB⊥α,AC⊂α得PB⊥AC,又AC⊥PC,PC∩PB=P,所以AC⊥平面PBC,AC⊥BC.3.如图所示,PA⊥平面ABC,在△ABC中,BC⊥AC,∠PBA=θ1,∠PBC=θ2,∠ABC=θ3.则下列关系一定成立的是 ()A.cosθ1cosθ2=cosθ3B.cosθ1cosθ3=cosθ2C.sinθ1sinθ2=sinθ3D.sinθ1sinθ3=sinθ2【解析】选B.QUOTE⇒QUOTE⇒BC⊥平面PAC⇒BC⊥PC,所以cosθ1=QUOTE,cosθ2=QUOTE,cosθ3=QUOTE.则有cosθ1cosθ3=cosθ2.4.已知PA垂直平行四边形ABCD所在的平面,若PC⊥BD,则平行四边形ABCD一定是 ()A.平行四边形 B.矩形C.正方形 D.菱形【解析】选D.因为PA⊥平面ABCD,所以PA⊥BD.因为PC⊥BD,且PA∩PC=P,所以BD⊥平面PAC,所以AC⊥BD.二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)5.ABCDA1B1C1D1A.BD∥平面CB1D1 B.AC1⊥BDC.AC1⊥平面CB1D1 D.AC1⊥BD1【解析】选ABC.在正方体中BD∥B1D1,可知选项A正确;由BD⊥AC,BD⊥CC1可得BD⊥平面ACC1;从而BD⊥AC1,即选项B正确;由以上可得AC1⊥B1D1,同理AC1⊥D1C因此AC1⊥平面CB1D1,即选项C正确;由于四边形ABC1D1不是菱形,所以AC1⊥BD1不正确.6.如图,在以下四个正方体中,直线AB与平面CDE垂直的有 ()A.① B.② C.③ D.④【解析】选BD.对于①由AB与CE所成角为45°,可得直线AB与平面CDE不垂直;对于②由AB⊥CE,AB⊥ED且CE∩ED=E,可得AB⊥平面CDE;对于③由AB与CE所成角为60°,可得直线AB与平面CDE不垂直;对于④由ED⊥平面ABC,可得ED⊥AB.又可得CE⊥AB,ED∩CE=E,所以AB⊥平面CDE.三、填空题(每小题5分,共10分)7.如图所示,PA⊥平面ABC,M,N分别为PC,AB的中点,使得MN⊥AC的一个条件为________.

【解析】取AC中点Q,连接MQ,NQ,则MQ∥AP,NQ∥BC,由已知条件易得MQ⊥AC,若AC⊥BC,则NQ⊥AC,所以AC⊥平面MNQ,所以AC⊥MN.答案:AC⊥BC8.下列说法中正确的是________.

①如果直线l与平面α内的无数条直线垂直,则l⊥α②如果直线l与平面α内的一条直线垂直,则l⊥α③如果直线l不垂直于平面α,则α内没有与l垂直的直线④如果直线l不垂直于平面α,则α内也可以有无数条直线与l垂直【解析】如图所示,直线l与α内的无数条直线垂直.但l与α斜交,故①不正确;同理②也不正确;同样由图可知,l不垂直于α,但α内有与l垂直的直线,且这样的直线有无数条,故③不正确,④正确.答案:④四、解答题(每小题10分,共20分)9.如图,在四棱锥PABCD中,O是底面正方形ABCD的中心,侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC,E是PC的中点.(1)证明:EO∥平面PAD;(2)证明:DE⊥平面PBC.【证明】(1)连接AC,因为点O是底面正方形ABCD的中心,所以点O是AC的中点,又因为E是PC的中点,所以在△PAC中EO是中位线,所以PA∥EO.因为EO⊄平面PAD,PA⊂平面PAD,所以EO∥平面PAD.(2)因为PD⊥平面ABCD,BC⊂平面ABCD,所以PD⊥BC,因为底面ABCD是正方形,有BC⊥DC,PD∩DC=D,所以BC⊥平面PDC.而DE⊂平面PDC,所以BC⊥DE.因为PD=DC,可知△PDC是等腰直角三角形,而DE是斜边PC的中线,所以DE⊥PC.又BC,PC⊂平面PBC,且BC∩PC=C,所以DE⊥平面PBC.10.如图,在四棱锥PABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=60°,PA=AB=BC,E是PC的中点.证明:(1)CD⊥AE;(2)PD⊥平面ABE.【证明】(1)在四棱锥PABCD中,因为PA⊥底面ABCD,CD⊂平面ABCD,所以PA⊥CD.又因为AC⊥CD,且PA∩AC=A,所以CD⊥平面PAC.而AE⊂平面PAC,所以CD⊥AE.(2)由PA=AB=BC,∠ABC=60°,可得AC=PA.因为E是PC的中点,所以AE⊥PC.由(1)知AE⊥CD,且PC∩CD=C,所以AE⊥平面PCD.而PD⊂平面PCD,所以AE⊥PD.因为PA⊥底面ABCD,AB⊂平面ABCD,所以PA⊥AB.又因为AB⊥AD,且PA∩AD=A,所以AB⊥平面PAD,而PD⊂平面PAD,所以AB⊥PD.又因为AB∩AE=A,所以PD⊥平面ABE.如图,在直三棱柱ABCA1B1C1中,AC=BC=1,∠ACB=90°,AA1=QUOTE,D是A1B1的中点.(1)求证:C1D⊥平面AA1B1B;(2)当点F在BB1上的什么位置时,会使得AB1⊥平面C1DF?并证明你的结论.【解析】(1)因为ABCA1B1C1是直三棱柱,所以A1C1=B1C1=1,且∠A1C1B1=90°,又D是A1B1的中点,所以