第03讲一元二次方程的应用（7个知识点10类题型18道强化训练）-八年级数学下册学与练（浙教版）

第03讲一元二次方程的应用（7个知识点+10类题型+18道强化训练）课程标准学习目标1.一元二次方程的应用；2.一元二次方程应用的解题步骤；1.掌握一元二次方程的应用；2.掌握一元二次方程应用的解题步骤；知识点：一元二次方程的应用列一元二次方程解应用题的一般步骤为：审、设、列、解、检、答。具体可分为：①审题，找等量关系，这是列方程解应用题的关键；②设未知数，注意单位;③根据题意找等量关系列出方程；④解方程；⑤检验解是否合理；⑥写出答案作答考点1数字问题数字问题有以下几种常见类型:(1)连续整数.若三个连续整数最中间的整数是，则最小的整数是，最大的整数是.(2)连续偶数.若三个连续偶数最中间的偶数是，则最小的偶数是，最大的偶数是.(3)连续奇数.若三个连续奇数最中间的奇数是，则最小的奇数是，最大的奇数是.(4)两位数.若一个两位数的十位数字是，个位数字是，则这个两位数是.(5)三位数.若一个三位数的百位数字是，十位数字是，个位数字是，则这个三位数是.考点2多边形对角线问题利用一元二次方程解多边形对角线问题时需要用到公式，其中是多边形的边数，是多边形对角线的总条数.考点3循环问题双方参与问题有以下几种常见类型:(1)握手（单循环）.若两个人握1次手，则个人握次手.(2)互送贺卡（双循环）.若两个人互送1张贺卡，则个人互送张贺卡.(3)球赛.①若两个队只比赛1场(单循环)，则个队比赛场;②若两个队相互比赛1场(双循环)，则个队比赛场.考点4传播问题1、病毒传染问题：设每轮传染中平均一个人传染了个人.开始有一人患了流感，第一轮的传染源就是这个人，他传染了个人，用代数式表示第一轮后共有人患了流感.第二轮传染中，人中的每个人又传染了个人，用代数式表示第二轮后共有1×（1+x）+x(1+x)=（1+x）²人患了流感.树枝问题：设一个主干长x个枝干，每个枝干长x个小分支，则一共有1+x+x²个枝。考点5增减率问题增减率问题涉及的公式有:(1)(2)若设原来量是，平均增长率是，增长次数是，增长后的量是，则;若设原来量是，平均降低率是，降低次数是，降低后的量是，则.考点6面积问题利用一元二次方程解面积问题时，有时需要把不规则图形转化为规则图形考点7利润问题利润问题常用公式如下:(1)利润=售价–成本价=标价×折扣–成本价.(2)利润率=(3)销售额=销售价×销售量.(4)销售利润=(销售价–成本价)×销售量【即学即练1】1．（2023下·浙江宁波·九年级浙江省余姚市实验学校校考期末）恼人的新冠病毒．有一个人感染了病毒，经过两轮传染，一共有144个人感染，则每轮传染中，平均一个人传染了（

）个人A．13 B．12 C．11 D．10【答案】C【分析】设每轮传染中，平均一个人传染了x个人，根据题意可列出关于x的一元二次方程，解出x的值，并舍去不合题意的值即可．【详解】解：设每轮传染中，平均一个人传染了x个人，根据题意有：，解得：，．∴每轮传染中，平均一个人传染了11个人．故选C．【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用．理解题意，找出等量关系，列出等式是解题关键．【即学即练2】2．（2023上·浙江台州·九年级校联考期中）电影《八角笼中》讲述了向腾辉倾注心血想把当地无人照料的孩子培养成才，这让生活本没有出路的孩子们看到了一丝通向未来的曙光的故事．一经上映就获得追捧，第一天票房收入约6亿元，第三天票房收入达到了亿元，设第一天到第三天票房收入平均每天增长的百分率为，则可列方程（）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查了一元二次方程与增长率问题．根据题意即可列出方程．【详解】解：∵第一天到第三天票房收入平均每天增长的百分率为，且第一天票房收入约6亿元，第三天票房收入达到了亿元，∴故选：C【即学即练3】3．（2023下·浙江杭州·八年级统考阶段练习）如图，长，宽的矩形基地上有三条宽的小路，剩余种花，依题意列方程（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据题意可得种植花苗的部分可以合成长，宽的矩形，从而即可得出关于的一元二次方程，此题得解．【详解】解：长，宽的矩形基地上有三条宽的小路，种植花苗的部分可以合成长，宽的矩形，根据题意得：，故选：C．【点睛】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．【即学即练4】4．（2023下·浙江杭州·八年级杭州市公益中学校考期中）读诗词，列方程：大江东去浪淘尽，千古风流人物；而立之年督东吴，早逝英年两位数，十位恰小个位三，个位平方与寿符．（诗词大意；周瑜英年早逝，逝世时的年龄是一个两位数，十位数字比个位数字小3，个位数字的平方刚好是周瑜逝世时的年龄），设周瑜逝世时的年龄的个位数字为x，则列出的方程正确的是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】设周瑜逝世时的年龄的个位数字为x，则周瑜逝世时的年龄的十位数字为，根据“个位数字的平方刚好是周瑜逝世时的年龄”，列出方程，即可得出答案．【详解】解：设周瑜逝世时的年龄的个位数字为x，则周瑜逝世时的年龄的十位数字为，根据题意，可得：．故选：B．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解本题的关键在理清题意，正确列出方程．【即学即练5】5．（2023下·浙江温州·八年级校考期中）某商场销售一款恤，进价为每件40元，当售价为每件60元时，平均每周可卖出200件，为扩大销售，增加利润，商场准备降价销售．经市场调查发现，每件每降价1元，平均每周可多卖出8件，若要使每周销售该款恤获利8450元，设每件降低元，则可列方程为（）A． B．C． D．【答案】D【分析】当每件降低元时，每件的销售利润为元，平均每周可售出件，利用每周销售该款恤获得的总利润每件的销售利润每周的销售量，可得出关于的一元二次方程，此题得解．【详解】解：当每件降低元时，每件的销售利润为元，平均每周可售出件，根据题意得：，故选：D．【点睛】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．【即学即练6】6．（2021下·浙江·八年级期末）在中，，，，动点P，Q分别从点A，B同时开始移动（移动方向如图所示），点P的速度为，点Q的速度为，点Q移动到点C后停止，点P也随之停止运动，若使的面积为，则点P运动的时间是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】设出动点P，Q运动t秒，能使的面积为，用t分别表示出和的长，利用三角形的面积计算公式即可解答．此题考查一元二次方程的应用，借助三角形的面积计算公式来研究图形中的动点问题．【详解】解：设动点P，Q运动t秒后，能使的面积为，则为，为，由三角形的面积计算公式列方程得，，解得（当时，，不合题意，舍去）．∴动点P，Q运动3秒时，能使的面积为．故选：B．【即学即练7】7．（2023下·浙江·八年级专题练习）《九章算术》中有一题：“今有二人同立，甲行率六，乙行率四，乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会，问甲乙各行几何？”大意是说：“甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为6，乙的速度为4，乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇，甲、乙各走了多少步？”请问乙走的步数是（

）A．36 B．26 C．24 D．10【答案】C【分析】设甲、乙两人相遇的时间为t，则乙走了步，甲斜向北偏东方向走了步，利用勾股定理即可得出关于t的一元二次方程，解之即可得出t值，将其值代入中即可求出结论．【详解】解：设甲、乙两人相遇的时间为t，则乙走了步，甲斜向北偏东方向走了步，依题意得：，整理得：，解得：（不合题意，舍去），∴．故乙走的步数是．故选：C．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及勾股定理，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．【即学即练8】8．（2023下·浙江·八年级专题练习）某超市经销一种水果，每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进价不变的情况下，出售价格每涨价1元，日销售量将减少20千克，现该超市要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价（

）元A．5元 B．5元或10元 C．10元或15元 D．15元【答案】A【分析】设每千克水果涨了x元，那么就少卖了千克，根据市场每天销售这种水果盈利了6000元，可列方程求解；【详解】解：设每千克水果涨了x元，根据题意，得，解得或．因为同时又要使顾客得到最大优惠，所以应该上涨5元．故选：A．【点睛】本题考查一元二次方程的应用及理解题意的能力，关键是以利润作为等量关系列方程求解．题型01传播问题1．（2024上·四川泸州·九年级统考期末）小明在研学实践中发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是，则这种植物每个支干长出的小分支个数是（

）A．7 B．6 C．5 D．4【答案】D【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设这种植物每个支干长出的小分支个数是,则支干个数为，小分支个数为，根据主干、支干和小分支的总数是即可求解．【详解】解：设这种植物每个支干长出的小分支个数是,则支干个数为，小分支个数为，由题意得：，解得：（舍），故选：D．2．（2023上·陕西咸阳·九年级咸阳市实验中学校考阶段练习）某种植物的一个主干长出个支干，每个支干又长出个小分支，主干、支干、小分支一共是43个，根据题意列出关于的方程为．【答案】【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据主干、支干、小分支一共43个，列出方程．【详解】解：∵一个主干长出个支干，每个支干又长出个小分支，∴一个主干，可以长出支干的个数为x，分支的个数为，∴根据题意列出关于的方程为：．故答案为：．3．（2024上·安徽阜阳·九年级统考期末）冬春季是传染病高发季节，据统计，去年冬春之交，有一人患了流感，在没有采取医疗手段的情况下，经过两轮传染后共有64人患流感．(1)求每轮传染中平均一个人传染了多少人？(2)若不及时控制，则第三轮感染后，患流感的共有多少人？【答案】(1)7(2)512【分析】本题考查了一元二次方程的应用，先求出每轮传染中平均每人传染了多少人数是解题关键．（1）设每轮传染中平均每人传染了人，根据经过两轮传染后共有64人患了流感，可求出；（2）用第二轮每轮传染中平均每人传染的人数，可求出第三轮过后，患流感的人数．【详解】（1）设每轮传染中平均每人传染了人，或(舍去)．答：每轮传染中平均一个人传染了7个人；（2）(人．答：第三轮感染后，患流感的共有512人．题型02增长率问题1．（2024上·浙江台州·九年级统考期末）某学校图书馆2021年图书借阅总量是5000本，2023年图书借阅总量是7200本，设该图书馆的图书借阅总量的年平均增长率为x，则下列方程中，正确的是(

)A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据2023年图书借阅总量2021年图书借阅总量列出方程即可得．【详解】解：由题意，可列方程为，故选：D．2．（2024上·四川成都·九年级统考期末）新能源汽车节能、环保．某款新能源汽车年销量为万辆，销量逐年增加，年销量为万辆，设这款新能源汽车销量的年平均增长率为，则可列方程为．【答案】【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，利用预计到年的销量年的销量年到年的年平均增长率，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．【详解】解：根据题意得：．故答案为：．3．（2024上·湖南岳阳·九年级统考期末）随着电商的火爆，某小区新建菜鸟驿站9月份每日平均接收快递64件，11月份该菜鸟驿站每日平均接收快递恰好达到100件，预计10、11、12月每个月内日均接收快递件数的增长率不变．(1)求每个月内日均接收快递件数的增长率；(2)请根据月平均增长率预测12月份日均接收快递数量．【答案】(1)每个月中日均接收快递件数量的增长率为25%(2)预测12月份日均接收快递件数为125件【分析】本题考查了一元二次方程的应用，（1）设每个月中日均接收快递件数的增长率为x，根据题意列出一元二次方程，解方程即可求解；（2）利用11月的快递量乘以（1）中所求得的增长率，即可求出增长量，问题随之得解．【详解】（1）设每个月中日均接收快递件数的增长率为x，根据题意得：，解得：，（不符合题意，舍去）．答：每个月中日均接收快递件数量的增长率为25%；（2）根据题意得：（件）．答：预测12月份日均接收快递件数为125件．题型03与图形有关的问题1．（2023·四川广安·统考一模）如图，某园林公司计划将一块长200m、宽80m的矩形荒地改造成绿色公园，公园内部修建四条宽度相等的石板路，余下区域（阴影部分）种植植被．若要使种植植被区域的面积占整个公园总面积的90%，求小路的宽．设小路的宽为，则可列方程为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，找准等量关系，是正确列出一元二次方程的关键．根据矩形的面积公式结合种植植被区域的面积占整个公园总面积的90%，即可得出关于x的一元二次方程.【详解】解：设小路的宽为x米，则种植植被区域的面积相当于长为米，宽为米的矩形面积，∴，故选：A．2．（2024·全国·九年级竞赛）有一面墙长米，高米，中间有一个背景墙（阴影部分与黑色部分），如图所示，已知背景墙的边框（黑色部分）长度为米，高米，面积为整面墙的面积的，那么背景墙边框的宽度为米．【答案】/【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设背景墙边框的宽度为，可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．【详解】解：设背景墙边框的宽度为，得解得（舍）故答案为：．3．（2024上·山东临沂·九年级统考期末）如图，为了便于劳动课程的开展，学校打算建一个矩形生态园，生态园一面靠墙，若墙长为，另三边用竹篱笆围成，篱笆总长．(1)要围成生态园的面积为，请求出的长．(2)围成生态园的面积能否达到？请说明理由．【答案】(1)的长为米．(2)围成生态园的面积不能达到．理由见解析【分析】本题考查的是一元二次方程的应用，根的判别式的应用，确定相等关系建立方程是解本题的关键；（1）设米，则米，再根据面积建立方程即可；（2）由面积可得，再结合根的判别式可得答案．【详解】（1）解：设米，则米，根据题意得，，解得：，当时，不符合题意，舍去，答：的长为米．（2）由（1）得：，整理得：，∴，∴方程无解，∴围成生态园的面积不能达到．题型04数字问题1．（2023上·福建南平·九年级统考期中）若两个连续负偶数的积为528，则这两个负偶数的和为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查了一元二次方程的应用，能用代数式表示出两个连续的偶数，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键．设较小偶数为x，则较大偶数是，根据两个连续偶数的积为528即可列出方程，解方程求得x的值，再求它们的和即可．【详解】解：设较小偶数为x，则较大偶数是，则有，解得（不合题意，舍去），，∴二者之和为，故选：B．2．（2023上·河南信阳·九年级校联考阶段练习）读诗词解题：大江东去浪淘尽，千古风流人物；而立之年督东吴，早逝英年两位数；十位恰小个位三，个位平方与寿符；哪位同学算得快，多少年华属周瑜？则周瑜去世时的年龄是岁．【答案】36【分析】设个位数字，则十位数字为，根据个位平方与寿符，列出一元二次方程进行求解即可．【详解】解：设个位数字，则十位数字为，由题意，得：，整理，得：，解得：，当时，两位数为：；当时，两位数为，∵而立之年，∴25不合题意，舍去；∴周瑜去世时的年龄是岁；故答案为：．【点睛】本题考查一元二次方程的应用．读懂题意，找准等量关系，正确的列出方程，是解题的关键．3．（2023上·山西晋中·九年级统考期中）2023年9月23日，杭州第19届亚运会在浙江杭州奥体中心体育场举行了盛大的开幕仪式，在本月日历表上可以用一个黑色方框圈出3个数（如图所示），若圈出的三个数中，最小数与最大数的乘积为207，求中间的数（请用方程知识解答）．【答案】中间的数为16【分析】本题考查一元二次方程的应用．设中间的数为，根据日历上数字的规律用含的代数式表示上面和下面的数字，结合最小数与最大数的乘积为207，列出方程进行求解即可．找准等量关系，正确的列出方程，是解题的关键．【详解】解：设中间的数为x．根据题意，得：解得，（不合题意，舍去）．答：中间的数为16．题型05营销问题1．（2024上·辽宁·九年级统考期末）辽南是“中国苹果之乡”，某超市将进价为每千克元的苹果按每千克元卖出，平均一天能卖出千克，为了尽快减少库存，决定降价销售，超市发现当售价每千克下降元时，其日销售量就增加千克，设售价下降元，超市每天销售苹果的利润为元，则可列方程为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．当售价下降元时，每千克苹果的销售利润为元，平均每天的销售量为千克，利用超市每天销售苹果获得的利润每千克的销售利润平均每天的销售量，即可得出关于的一元二次方程．【详解】解：当售价下降元时，每千克苹果的销售利润为元，平均每天的销售量为千克，依题意得：，故选：B．2．（2024上·山西晋城·九年级统考期末）某商品进价每件30元，有一段时间若以元卖出，则可卖件，商场计划要赚1200元，同时又让顾客得到实惠，则该商品的售价元．【答案】60【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意，得，解方程即可．【详解】根据题意，得，整理得，解方程，得，要让顾客得到实惠，价格取较低的，故，故答案为：60．3．（2023上·四川成都·九年级统考期末）某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为100元，每桶水的进价是2元，规定销售单价不得高于5元/桶，也不得低于3元/桶，调查发现日均销售量y（桶）与销售单价x（元）的函数图象如图所示．(1)求日均销售量y（桶）与销售单价x（元）的函数关系；(2)若该经营部希望日均获利620元，那么销售单价应是多少元？【答案】(1)；(2)销售单价应是4元．【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式的运用，一元二次方程的解法的运用．（1）直接运用待定系数法就可以求出日均销售量（桶与销售单价（元的函数关系式；（2）由（1）的解析式，根据销售利润销售数量每桶利润固定成本就可以求出结论．【详解】（1）解：设日均销售量（桶与销售单价（元的函数关系为，根据题意得：，解得：，日均销售量（桶与销售单价（元的函数关系为；（2）解：根据题意得一元二次方程，解得，（不合题意舍去），销售单价应是4元．题型06动态几何问题1．（2023上·河南周口·九年级统考阶段练习）如图，在中，分别是上的动点，若点同时从两点出发分别沿方向向点匀速运动，它们的速度都是，则经过秒后，的面积为面积的一半．（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，找到等量关系列出方程求解解题的关键．设经过x秒后的面积为面积的一半，则，，然后列方程求解即可．【详解】解：经过x秒后的面积为面积的一半，根据题意，得，化简得，解得，（不符合题意，舍去）∴经过2秒后的面积为面积的一半．故选：A．2．（2023上·甘肃定西·九年级统考期中）如图，三角形ABC中，，一动点从出发沿着边以的速度运动，另一动点从出发沿着边以的速度运动，，两点同时出发，运动时间为．当为秒时，的面积为．【答案】【分析】本题考查了一元二次方程的应用动点问题，根据题意，求得的长，进而求得，根据的面积是，列出方程，解方程即可解决问题．【详解】解：依题意，的面积为．解得故答案为：．3．（2023上·河南新乡·九年级校考阶段练习）如图，在中，，点P，Q为边及边上的两个动点，若点P从点A沿边向点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动，两个点同时出发(1)经过几秒，的面积等于(2)是否存在这样的时刻，使的面积等于?如果存在请求出来，如果不存在，请说明理由【答案】(1)经过2或4秒，的面积等于(2)不存在这样的时刻，使的面积等于【分析】本题考查了图形动点运动以及解一元二次方程：（1）设运动时间为t(s)，根据的面积等于，列式计算，即可作答；（2）依题意，列式，得，即可作答．【详解】（1）解:设运动时间为t(s)，∵的面积等于∴，解得．故经过2或4秒，的面积等于；（2）解：依题意有，即，那么故不存在这样的时刻，使的面积等于．题型07行程问题1．（2021·陕西·九年级专题练习）甲，乙两人分别骑车从两地相向而行，甲先行1小时后，乙才出发，又经过4小时两人在途中的C地相遇．相遇后两人按原来的方向继续前进，乙在由C地到达A地的途中因故障停了20分钟，结果乙由C地到达A地比甲由C地到达B地还提前了40分钟．已知乙比甲每小时多行驶4千米，则甲、乙两人骑车的速度分别为（

）千米/时．A． B． C． D．【答案】C【分析】设甲的速度为x千米/时，则乙的速度为千米/时，根据题意得到乙所用的时间比甲少一小时，列出关于x的分式方程，求出方程的解即可得到结果．【详解】解：设甲每小时行驶x千米，则有乙每小时行驶千米，根据题意得：，去分母得：，即，解得：或（舍去），经检验分式方程的解，且符合题意，，则甲、乙两人骑车的速度分别为千米/时，故选：C．【点睛】本题考查了分式方程的应用，准确找出等量关系布列分式方程是解题的关键．2．（2023上·山西临汾·九年级校考期中）飞机起飞前，先要在跑道上滑行一段路程，滑行时是匀加速运动，其公式为，如果飞机起飞前滑行距离，其中，则飞机起飞的时间．【答案】【分析】本题考查了一元二次方程的应用，将题中所给数据代入进行求解即可．【详解】解：将，代入得：，解得：，（舍去），故答案为：．3．（2023下·浙江杭州·八年级统考期末）已知，一辆汽车在笔直的公路上刹车后，该车的速度米秒与时间秒之间满足一次函数关系，其图象如图所示；(1)求与之间的函数关系式；(2)已知汽车在该运动状态下，一段时间内向前滑行的距离等于这段时间内的平均速度乘以时间该运动状态下的平均速度，表示这段时间起始时刻的速度，表示这段时间结束时刻的速度．若该车刹车后秒内向前滑行了米，求的值．【答案】(1)(2)该车刹车后秒内向前滑行了米【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解；（2）根据题意得出，路程等于速度乘以时间，列出一元二次方程，解方程即可求解．【详解】（1）解：将点，代入，，解得：，∴与之间的函数关系式为；（2）解：依题意，，，，则依题意，，即解得：或（舍去）答：该车刹车后秒内向前滑行了米．【点睛】本题考查了一次函数的应用，一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程，求得一次函数解析式是解题的关键．题型08工程问题1．（2023下·江苏泰州·八年级统考期末）问题：“某工程队准备修建一条长3000米的下水管道，由于采用新的施工方式，________________，提前2天完成任务，求原计划每天修建下水管道的长度？”条件：（1）实际每天修建的长度比原计划多；（2）原计划每天修建的长度比实际少75米．在上述的2个条件中选择1个________________（仅填序号）补充在问题的横线上，并完成解答．【答案】选（1）或（2）；选（1）原计划每天修建下水管道的长度为米；选（2）原计划每天修建下水管道的长度为米【分析】选择（1）时，设原计划每天修建米，则实际每天修建米，根据提前2天完成这一任务，即可得出关于的分式方程，解之经检验即可得出结论；选择（2）时，设原计划每天修建盲道米，则实际每天修建米，根据提前2天完成这一任务，即可得出关于y的分式方程，解之经检验即可得出结论；【详解】选（1）或（2）（1）解：设原计划每天修建下水管道的长度为米经检验：是所列方程的解答：原计划每天修建下水管道的长度为米．（2）解：设原计划每天修建下水管道的长度为米（舍）经检验：是所列方程的解．答：原计划每天修建下水管道的长度为米．【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．2．（2023·重庆开州·校联考一模）某工程队采用A，B两种设备同时对长度为3600米的公路进行施工改造．原计划A型设备每小时铺设路面比B型设备的2倍多30米，则30小时恰好完成改造任务．(1)求A型设备每小时铺设的路面长度；(2)通过勘察，此工程的实际施工里程比最初的3600米多了750米．在实际施工中，B型设备在铺路效率不变的情况下，时间比原计划增加了小时，同时，A型设备的铺路速度比原计划每小时下降了3m米，而使用时间增加了m小时，求m的值．【答案】(1)型设备每小时铺设的路面长度为90米(2)的值为10【分析】（1）设型设备每小时铺设路面米，则型设备每小时铺设路面米，根据题意列出方程求解即可；（2）根据“型设备铺设的路面长度型设备铺设的路面长度”列出方程，求解即可．【详解】（1）解：设型设备每小时铺设路面米，则型设备每小时铺设路面米，根据题意得，，解得：，则，答：型设备每小时铺设的路面长度为90米；（2）根据题意得，，整理得，，解得：，（舍去），∴的值为10．【点睛】本题主要考查一元一次方程、一元二次方程的应用，解题关键是读懂题意，找准等量关系并列出方程．3．（2024上·重庆开州·九年级统考期末）城开高速公路即重庆市城口县至开州区的高速公路，是国家高速银百高速公路（银川至百色）的一段，线路全长公里，甲、乙两工程队共同承建该高速公路某隧道工程，隧道总长2100米，甲、乙分别从隧道两端向中间施工，计划每天各施工6米．因地质结构不同，两支队伍每合格完成1米隧道施工所需成本不一样．甲每合格完成1米隧道施工成本为8万元；乙每合格完成1米隧道施工成本为9万元．(1)若工程结算时乙总施工成本不低于甲总施工成本的，求甲最多施工多少米？(2)实际施工开始后地质情况比预估更复杂，甲乙两队每日完成量和成本都发生变化．甲每合格完成1米隧道施工成本增加m万元时，则每天可多挖米，乙在施工成本不变的情况下，比计划每天少挖米，若最终每天实际总成本比计划多万元，求的值．【答案】(1)甲最多施工900米(2)的值为2【分析】本题主要考查了一元一次不等式的应用、一元二次方程的应用等知识点，审清题意、弄清量之间的关系、正确列出不等式和方程是解题的关键．（1）设甲工程队施工x米，则乙工程队施工米，根据不等关系“工程结算时乙总施工成本不低于甲总施工成本的”列出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可解答；（2）根据“最终每天实际总成本比计划多万元”即可得出关于的一元二次方程求解即可．【详解】（1）解：设甲施工米，由题意可得：，解得：．答：甲最多施工900米．（2）解：由题意可得：，整理得，解得．答：的值为2．题型09图表信息题1．（2021上·宁夏银川·九年级校考阶段练习）根据下表提供的信息，一元二次方程的解大概是（

）23456513A．0 B．3.5 C．3.8 D．4.5【答案】D【分析】根据表格数据，找出代数式从变为时的取值范围即可判断【详解】时，，时，，则的解的范围为，即一元二次方程的解大概是4.5．故选D．【点睛】本题考查了估算一元二次方程的解的近似值，根据表格获得信息是解题的关键．2．（2023上·北京海淀·九年级期中）一组带有标号的红盒内分别装有红球，另一组带有标号的白盒内分别装有白球，具体信息如下表：红盒标号红球数量白盒标号白球数量若相同标号的红盒与白盒中装的球数相等，则盒子的标号是．【答案】【分析】先根据表格，先找出球的个数与盒子的标号的规律，然后设球的个数为，盒子的标号为，根据两盒中球队的个数相等，列方程求解即可．【详解】解：由红盒标号与红球数对应个数的表格可以得出如下规律：当红球个数为，红盒标号为时，有．由白盒标号与白球个数的表格可以得出如下规律：当白球个数为，白盒标号为时，有．当相同标号的红盒和白盒中装球数相等时，有，解得舍去或，当相同标号的红盒和白盒中的装球数相等时，盒子的标号为．故答案为：．【点睛】本题考查观察、比较、归纳的找规律问题，同时利用等量关系列方程解决问题，还考查了一元二次方程的解法．3．（2022上·广东阳江·九年级统考期末）乌克兰危机发生之后，外交战线按照党中央的部署紧急行动，在战火粉飞中已将5200多名同胞安全从乌克兰撤离，电影《万里归途》正是“外交为民”的真实写照，如表是该影片票房的部分数据，（注：票房是指截止发布日期的所有售票累计收入）影片《万里归途》的部分统计数据发布日期10月8日10月11日10月12日发布次数第1次第2次第3次票房10亿元12.1亿元(1)平均每次累计票房增长的百分率是多少？(2)在（1）的条件下，若票价每张40元，求10月11日卖出多少张电影票【答案】(1)10%(2)2500000张【分析】（1）设平均每次累计票房增长的百分率是，利用第3次累计票房=第1次累计票房（1+平均每次累计票房增长的百分率），即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；（2）利用数量=总结单价，即可求出结论；【详解】（1）解：设平均每次累计票房增长的百分率是，依题意得：，解得：，（不符合题意，舍去）．答：平均每次累计票房增长的百分率是10%．（2）解：（张）．答：10月11日卖出2500000张电影票．（或（张）．）【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及统计表，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．题型10其他问题1．（2024上·河北石家庄·九年级统考期末）某学校组织一次足球赛，采取单循环的比赛形式，即每两个球队之间都要比赛一场，计划组织x支球队参加，安排36场比赛，则x为（

）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】D【分析】设计划组织x支球队参加，根据计划安排36场比赛列方程，解方程即可得到答案.此题考查了一元二次方程的应用，读懂题意，准确列出方程是解题的关键.【详解】解：设计划组织x支球队参加，则，解得（不合题意，舍去），∴参赛队数为个故选：D2．（2024上·四川成都·九年级统考期末）学习雷锋好榜样．学校计划建一坐高度为4米的雷锋雕像，使雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，那么该雕像的下部高度是米．【答案】【分析】本题考查一元二次方程的应用．设下部高为米，根据雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比列方程可解得答案．【详解】解：设下部高为米，则上部高度是米，∵雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，∴，解得：或（舍去），经检验，是原方程的解，故答案为：．3．（2024上·重庆渝中·九年级统考期末）下图是今年1月的月历表，用矩形方框按如图所示的方法任意圈出4个数，请解答下列问题：(1)若方框中最大数与最小数的乘积为180，求最小数；(2)方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和能为124吗?若能，求最小数；若不能，请说明理由．【答案】(1)10(2)不能，理由见解析【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．（1）设最小数是，则最大数是，根据方框中最大数与最小数的乘积为180，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论；（2）假设方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和能为124，设最小数是，则另外三个数分别是，，，根据方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和为124，可列出关于的一元二次方程，解之可得出的值，由在最后一列，可得出假设不成立，即方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和不能为124．【详解】（1）解：设最小数是，则最大数是，根据题意得：，整理得：，解得：，（不符合题意，舍去）．答：最小数是10；（2）方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和不能为124，理由如下：假设方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和能为124，设最小数是，则另外三个数分别是，，，根据题意得：，整理得：，解得：，（不符合题意，舍去），在最后一列，假设不成立，即方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和不能为124．A夯实基础1．（2024上·海南儋州·九年级统考期末）海口江东新区设立于2018年6月，是海南自贸港11个重点园区之一．随着各项重点项目建设加快推进，海口江东新区面貌日新月异，其中新区税收从2019年的7亿元增长到2021年的45亿元，若设每年的年平均增长率为，则可列方程（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意并列出方程是解决本题的关键．先表示2021年的税收为亿元，再建立方程即可．【详解】解：设每年的年平均增长率为，则，故选：C．2．（2024上·重庆开州·九年级统考期末）冬季是流行性疾病的高发期，某人患了流感，经过两轮传染后共有144人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？设每轮传染中平均一个人传染了个人，可列方程为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查一元二次方程的应用．根据题意，正确的列出一元二次方程，是解题的关键．根据有1人患了流感，经过两轮传染后共有人患了流感，列出方程即可．【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了个人，由题意，得：，故选：C．3．（2024上·河南开封·九年级统考期末）某校九年级组织一次辩论赛，规定进行单循环赛（每两班赛一场），共赛了场，该校九年级共有多少个班级参加了辩论赛？设该校九年级共有个班参加了辩论赛，根据题意，可列方程为．【答案】【分析】本题考查了一元二次方程的应用，由题意得知个班要与各班进行比赛，结合单循环赛即可列出方程．【详解】解：由题意得：个班要与各班进行比赛，∵进行单循环赛（每两班赛一场），∴，故答案为：4、（2024上·山西阳泉·九年级统考期末）一份摄影作品[七寸照片（长7英寸，宽5英寸）]，现将照片贴在一张矩形衬纸的正中央，照片四周外露出衬纸的宽度相同；矩形衬纸的面积为照片面积的2倍．设照片四周外露衬纸的宽度为x英寸（如图），则可列方程为【答案】【分析】本题考查了一元二次方程在图形中的应用，表示出矩形衬纸的长和宽，即可根据矩形衬纸的面积为照片面积的2倍列出方程．【详解】解：∵矩形衬纸的面积为照片面积的2倍，矩形衬纸的长和宽分别为：，∴故答案为：5．（2023上·广东清远·九年级校考期中）某商场销售某款上衣，刚上市时每件可盈利100元，销售一段时间后开始滞销，经过连续两次降价后，每件盈利81元，平均每天可售出20件．(1)求平均每次降价盈利减少的百分率；(2)为尽快减少库存，商场决定再次降价．每件上衣每降价1元，每天可多售出2件．若商场每天要盈利2940元，每件应降价多少元？【答案】(1)平均每次降价盈利减少的百分率为(2)每件应降价60元【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．（1）设每次下降的百分率为x，根据题意，得：，即可求解；（2）设每件应降价元，由题意得方程，进而求解．【详解】（1）解：设平均每次降价盈利减少的百分率为，依题意，得，解得（不合题意，舍去）．答：平均每次降价盈利减少的百分率为．（2）设每件应降价元，则每天可售出件，依题意，得，解得：，．要尽快减少库存，．答：每件应降价60元．6．（2019上·湖北孝感·九年级统考期中）如图是一张长dm，宽6dm的长方形纸板，将纸板四个角各剪去一个同样的边长为xdm的正方形，然后将四周突出部分折起，可制成一个无盖的长方体纸盒．(1)无盖方盒盒底的长为dm，宽为dm（用含x的式子表示）．(2)若要制作一个底面积是40dm2的无盖的长方体纸盒，求剪去的正方形边长．【答案】(1)，(2)dm【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，正确理解题意是解题关键．（1）根据题意即可求解；（2）求解方程即可．【详解】（1）解：由图示可知：无盖方盒盒底的长为dm，宽为dm故答案为：，（2）解：由题意得：，整理得：，解得：（不符合题意，舍去）∴剪去的正方形边长为dmB能力提升1．（2024上·吉林·九年级校考期末）如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为，宽为．停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为，求车道的宽度（单位：）．设停车场内车道的宽度为，根据题意所列方程为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】本题考查根据实际问题列一元二次方程，将两个停车位合在一起，可以得到一个大的长方形，用含x的式子表示出该长方形的长和宽，根据停车位的占地面积为列方程即可．【详解】解：设停车场内车道的宽度为，将两个停车位合在一起，则长为，宽为，因此，故选B．2．（2022·安徽·模拟预测）由于改进了生产工艺，某科技公司决定逐步降低其研发的移动硬盘的价格．已知该移动硬盘2020年的售价是500元/块，2022年的售价为406元/块，若年平均降价率相同，则年平均降价率约是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程，根据若为起始量，为终止量，为增长（或降低）的次数，则平均增长率的公式为，平均下降率的公式为，列出方程解方程即可．【详解】解：设年平均降价率为．依题意，得：，解得（不合题意，舍去），即年平均降价率约是．故选：C．3、（2024·全国·七年级竞赛）星星和希希两个人比赛打乒乓球，其中星星比希希要打得好，所以星星承诺，只要自己输掉比赛，就拿出赛前希希所押资金的7倍作为奖金．希希在第一局下注2元，在后面的比赛中，希希将在每一局前再多押2元．就这样希希一直在输，但最终仍然通过一场胜利把之前所有下注的钱都赢了回来，则希希的这场胜利是在第场．【答案】【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，设希希是在第场胜利,他输掉了之前的n场比赛,在第场前,他押的资金为元,根据题意列方程即可求解．【详解】解：设希希是在第场胜利,他输掉了之前的n场比赛,在第场前,他押的资金为元,由题意得：解得（舍）,∴希希在第场取得胜利.故答案为：4．（2024上·北京海淀·九年级统考期末）如图，将面积为25的正方形的边的长度增加，变为面积为22的矩形．若正方形和矩形的周长相等，则的值是．【答案】【分析】本题考查了矩形、正方形的性质，一元二次方程的解法等．根据正方形的面积可得正方形的边长为，再根据正方形和矩形的周长相等，可得，再由矩形的面积建立方程求解即可得出答案．【详解】∵正方形的面积为，∴正方形的边长为，由题意得：，∵正方形和矩形的周长相等，，，∵矩形的面积为，，即，解得：，，，故答案为：5．（2024上·山东聊城·九年级统考期末）今年小亮家的苹果大丰收，小亮在假期里利用视频直播帮助爸妈卖苹果．第一天他实现了出售苹果的目标，第三天实现了出售苹果的目标．(1)如果第二天、第三天出售苹果重量的增长率相同，求出售苹果重量的平均增长率；(2)按照（1）中增长率，他期望第四天的出售量达到，请通过计算说明他的目标能否实现？【答案】(1)(2)目标能实现，见解析【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，正确理解题意是解题关键．（1）设出售苹果重量的平均增长率为，根据题意列方程即可求解；（2）计算即可判断．【详解】（1）解：设出售苹果重量的平均增长率为，依题意得：，解得：（不合题意，舍去）．答：出售苹果重量的平均增长率为．（2）解：．因为，所以他的目标能实现．6．（2024上·山东济南·九年级统考期末）在我国，博物馆是最受欢迎的旅游景点之一，随着“博物馆热”持续升温，越来越多的人走进博物馆，了解文化历史、感受艺术魅力，某城市博物馆，今年5月份接待游客10万人，7月份接待游客增加到14.4万人．(1)求该博物馆这两个月接待游客的月平均增长率．(2)如果能保持这个月平均增长率，第三季度（7月~9月）该馆接待游客总量能否达到50万人？【答案】(1)(2)能达到50万人【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．（1）设这两个月接待游客人数的月平均增长率为x，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论；（2）求出第三季度接待游客的总人数，则可得出答案．【详解】（1）解：设这两个月接待游客人数的月平均增长率为，依题意，得：，解得：（舍去）；答：这两个月接待游客人数的月平均增长率为．（2）解：8月份接待游客人数：（万人）9月份接待游客人数：（万人）第三季度接待游客总人数为：（万人）答：第三季度（7月～9月）该馆接待游客总量能达到50万人．C综合素养1．（2023上·河南驻马店·九年级平舆县第二初级中学校考期末）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，则每个支干长出（

）小分支．A．8 B．9 C．2 D．8或2【答案】B【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，如果设每个支干分出x个小分支，根据“每个支干又长出同样数目的小分支”可知：支干