高等代数(II)期末考试试卷及答案(A卷)

高等代数〔II〕期末考试试卷与答案〔A卷〕

一、填空题〔每小题3分，共15分〕

1、线性空间?上]的两个子空间的交心(1—%)L(1+%)=

2、设E],%，…，，与J逐2是n维线性空间V的两个基，

由弓,与，…,吃到邑',％'，…，的过渡矩阵是c,列向量x是v

中向量自在基片,与，…，£〃下的坐标，则自在基0'，“'，…，，'下

的坐标是

3、设A、B是n维线性空间V的某一线性变换在不同基下的矩阵，

则A与B的关系是

4、设3阶方阵A的3个行列式因子分别为：1,X,V(X+1),

则其特征矩阵XE-A的标准形是

5、线性方程组AX=5的最小二乘解所满足的线性方程组是：

二、单项选择题〔每小题3分，共15分〕

1、〔)复数域C作为实数域R上的线性空间可与下列哪一个

线性空间同构：

〔A〕数域P上所有二级对角矩阵作成的线性空间；

[B)数域P上所有二级对称矩阵作成的线性空间；

(C〕数域P上所有二级反对称矩阵作成的线性空间；

(D)复数域C作为复数域C上的线性空间.

2、〔)设人是非零线性空间V的线性变换，则下列命题正确的是：

(A)4的核是零子空间的充要条件是4是满射；

(B)4的核是V的充要条件是4是满射；

1/10

4的值域是零子空间的充要条件是4是满射;

（D）4的值域是V的充要条件是4是满射

3、〔）入—矩阵A@）可逆的充要条件是：

（A）|A（X）|^O;（可卜0）|是一个非零常数；

（。）人（九）是满秩的；（Q）A@）是方阵.

4、〔）设实二次型/=XAX〔A为对称阵）经正交变换后化为：

%%+入2y2+…+入"V",则其中的九1，九2，…入〃是：

（A）±l;（B）全是正数；（。）是A的所有特征值；（。）不确定.

5、（）设3阶实对称矩阵A有三重特征根”一2〃，则A的若当

标准形是：

（。）以上各情形皆有可能.

三、是非题〔每小题2分，共10分〕

（请在你认为对的小题对应的括号内打“〃，否则打”义〃〕

1、（）设V1,V2均是n维线性空间V的子空间，且匕匕={0}

则丫=匕㊉匕.

2、〔）n维线性空间的某一线性变换在由特征向量作成的基下

的矩阵是一对角矩阵.

3、〔）同阶方阵A与B相似的充要条件是入E—A与入£—3

等价.

4、1）n维欧氏空间的正交变换在任一基下的矩阵都是正交矩阵.

5、〔〕欧氏空间的内积是一对称的双线性函数.

四、解答题〔每小题10分，共30分〕

2/10

1、在线性空间04中，定义线性变换：

(1)求该线性变换4在自然基：£1=(1,0,0,0)',£2=(0，1，0，°)'

£3=(0,0,1,0)',£4=(0,0,0,1),下的矩阵A；

〔2)求矩阵A的所有特征值和特征向量.

2、11)求线性空间尸［%］中从基(1)：1,(%—1),(%一厅到基

(〃)：l,(x+l),(x+l)2的过渡矩阵；

［2)求线性空间尸［%］中向量—2%+3Y在基

(/)：1,(%-I7下的坐标.

3、在R2中,Va=(%,“2)，P=(412),规定二元函数：

(1)证明：这是R2的一个内积.

(2)求R2的一个标准正交基.

五、证明题〔每小题10分，共30分〕

1、设P3的两个子空间分别为:

x3=0

证明：〔1〕尸3=%+%；

121%+卬2不是直和.

2、设4是数域P上线性空间V的线性变换，证明卬二乙(四,012，...,%)

是4的不变子空间的兖要条件是a”w(1=1,2,....)

3、已知A—石是n级正定矩阵,证明：

〔1)A是正定矩阵；

［2)\A+2E\>T

答案

3/10

一、填空题〔每小题3分，共15分〕

1、线性空间「[%]的两个子空间的交心（1一%）L（l+x）={0}

2、设邑，…，工与£；，“'，…，，'是n维线性空间V的两个基，

由，,%到7，％的过渡矩阵是c,列向量x是v

中向量。在基与，…，工下的坐标，则己在基7'，q'，…，"'下

的坐标是c]x

3、设A、B是n维线性空间V的某一线性变换在不同基下的矩阵，

则A与B的关系是相似关系

4、设3阶方阵A的3个行列式因子分别为：1,X,V（X+1）,

,100、

则其特征矩阵九E—A的标准形是。九°

、00九（九+1、

5、线性方程组AX=5的最小二乘解所满足的线性方程组是：

二、单项选择题〔每小题3分，共15分〕

2、〔A〕复数域C作为实数域R上的线性空间可与下列哪一个

线性空间同构：

（A〕数域P上所有二级对角矩阵作成的线性空间；

[B）数域P上所有二级对称矩阵作成的线性空间；

（C〕数域P上所有二级反对称矩阵作成的线性空间；

〔D〕复数域C作为复数域C上的线性空间.

2、（D〕设/是非零线性空间V的线性变换，则下列命题正确的是:

[A）4的核是零子空间的充要条件是4是满射；

[B）4的核是V的充要条件是4是满射；

4/10

（C）4的值域是零子空间的充要条件是4是满射；

（D）/的值域是V的充要条件是4是满射

3、（B〕九—矩阵A。）可逆的充要条件是：

（A）|A（X）|^O;（可卜0）|是一个非零常数；

（。）人（九）是满秩的；（Q）A@）是方阵.

4、〔C〕设实二次型/=XAX（A为对称阵）经正交变换后化为:

%%+入2y2+…+入"V",则其中的九1，九2，…入〃是：

（A）±l;（B）全是正数；（。）是A的所有特征值；（。）不确定.

5、（A〕设3阶实对称矩阵A有三重特征根”一2〃，则A的若当

标准形是：

（。）以上各情形皆有可能.

三、是非题〔每小题2分，共10分〕

（请在你认为对的小题对应的括号内打“〃，否则打”义〃〕

1、（X）设Vi,V2均是n维线性空间V的子空间，且匕匕=｛。｝

则V=K㊉匕.

2、（J〕n维线性空间的某一线性变换在由特征向量作成的基下

的矩阵是一对角矩阵.

3、〔J〕同阶方阵A与B相似的充要条件是九E—A与九£—3

等价.

4、（X〕n维欧氏空间的正交变换在任一基下的矩阵都是正交矩阵.

5、（J）欧氏空间的内积是一对称的双线性函数.

5/10

四、解答题〔每小题10分，共30分）

1、在线性空间24中，定义线性变换:

（1）求该线性变换4在自然基：G=（l,0,0,0）',£2=（0，l，0,0）'

£3=（0,0,1,0）,,£4=（0,0,0,下的矩阵A；

（2）求矩阵A的所有特征值和特征向量.

'1000、

0100

解：口）线性变换4在自然基下的矩阵是A=1010(5分1

<010b

（2）因为内石一A|二（九一I），

所以矩阵A的所有特征值是％%二%=九4二1

解齐次线性方程组（石一A）x=0

得矩阵A的所有特征向量：

左1（0,0,1,0）,+左2（0,0,0,1）',其中左1,左2不全为零.15分）

2、（1）求线性空间中从基（/）：1,（X—1）,（X—1）2到基

(〃)：l,(x+1),(*+1)2的过渡矩阵;

（2）求线性空间尸［%］中向量/（X）=1—21+3无2在基

（/）：l,（x—l）,（x—1）2下的坐标.

'1-11'

解：⑴因为《（X—1）,。—1）2卜（1,羽/）。1-2

10。1J

所以

6/10

'124、

即所求的过渡矩阵为014工分)

(2、

4

所以/(%)在基(1)：1,(KT),(%T)2下的坐标是：[5分)

3、在R2中,Va=(%,Q2)，P=色,4),规定二元函数：

(3)证明：这是R2的一个内积.

(4)求R2的一个标准正交基.

⑴证明：(a,P)=afy-axb2-a2b1+4a2b2

(1-1)

因为_14是正定矩阵，

所以这个二元函数是R2的一个内积.〔5分)

⑵解：考察自然基£1=(1,。)，£2二(°』)

(1-1)

它的度量矩阵正是[_]4

令：%=令=(1,

7/10

0t2=82

111

再令:印嚼…，92=网。2=有（1，1）

则瓦02是R2的一个标准正交基.[5分）

[2）解法二：考察自然基7二（1,。），£2=（0,1）

(1-1}

它的度量矩阵正是bl4J

0产〃灼口010、

(1—110、r2+ri(101

1JCX6/M0H/V31/G

-1401几+Cj(O312

1

1OL]=7

£

令

a-/即

Z•2Z*2O

a2=(1/73)(1,1)

2

则ccl?a2的度量矩阵是E,从而是R的一个标准正交基.

五、证明题〔每小题10分，共30分〕

2、设P3的两个子空间分别为:

%3=。}

证明：〔1〕尸3=%+%；

⑵％+卬2不是直和.

证明：（1）Wi的一个基是：0tl=（—1,1,0）,。2=（TO』）

W2的一个基是：ft=(i,i,o),p2=(1,0,1)

因为W1+吗:”四@,Bi，02)

8/10

其中必。2，01是％+%的生成元的一个极大无关组

从而是％+%的一个基，

所以dim（叱+吗）=3=尸3=叱+吗3分）

（2）因dim吗=2,dim（叱+%）=3

即dim他+吗）wdimW；+dimW

所以叱+%不是直和.［5分）

⑵之证法二：因为叱吗="（0,-1,1））"0}

所以叱+也不是直和.

2、设4