2022-2023学年山东省聊城市高二（上）期末数学试卷含答案

2022-2023学年山东省聊城市高二（上）期末数学试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项符合题目要求.

1.（5分）直线％=-号的倾斜角为（）

TCTC57r

A.0B.-C.-D.—

626

2.（5分）已知出=（V5,x,2）,n2=（-3.W,-2遮）分别是平面a,0的法向量，若

a〃0,则x=（）

A.-7B.-1C.1D.7

3.（5分）抛物线y=2f的准线方程为（）

1111

A.y=—oB.y=一3C.x=-kD.x——不

1

4.（5分）数列｛诙｝满足a九_iH——=l（n>2）,若〃20=-l,则〃1=（）

an

1

A.-1B.-C.1D.2

2

5.（5分）抛物线有一条重要性质：从焦点发出的光线经过抛物线上的一点反射后，反射光

线平行于抛物线的轴.已知抛物线C：/=2为从点尸（m,2）（m>2）发出的一条平行

于无轴的光线，经过C上的点A反射后，与C交于另一点3,则点B的纵坐标为（）

A.B.-1C.-2D.-4

6.（5分）已知圆Ci：/+/=1与圆C2：/+/-8x+6y+m=0相内切，则C1与C2的公切线

方程为（）

A.3x-4y-5=0B.3%-4y+5=0C.4x-3y-5=0D.4x-3y+5=0

7.（5分）如图，在四面体ABC。中，AB±BD,CDLBD,若A8=3,BD=2>/3,CD=2,

4c=g,则平面ABO与平面CBO的夹角为（）

A

BI)

xv

8.（5分）己知尸为椭圆C：=+77=l（a>b>0）的右焦点，尸为C上的动点，过尸且垂

a"b"

直于无轴的直线与C交于M,N两点，若|MN|等于|尸尸|的最小值的3倍，则C的离心率

为（）

11V3V3

A.-B.—C.—D.—

3232

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项

符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.

（多选）9.（5分）己知曲线Ci：4X2+3J2=48,C2：/一1=1,贝！1（）

A.。的长轴长为4

B.C2的渐近线方程为y=±百刀

C.Ci与C2的焦点坐标相同

D.Ci与C2的离心率互为倒数

（多选）10.（5分）已知直线/：lcx-y-1=0,贝lj（）

A./不过第二象限

B./在y轴上的截距为1

C.不存在左使/与直线fcv-y-1=0平行

D.存在左使/被圆/+/=4截得的线段长为2

（多选）11.（5分）记数列｛〃〃｝的前〃项和为品，已知a九=（―1）九（271—11）,贝|（）

A.520=40B.59+511=0

C.即斯+1有最大值1D.匣匕无最小值

an

（多选）12.（5分）在棱长为2鱼的正方体ABC。-481clD中，M,N,尸均为侧面BCC1B1

内的动点，且满足AM=3,点N在线段BiC上，点P到点C1的距离与到平面ALBIC。

的距离相等，则（）

A.AN1BD1

B.平面BiDiALL平面Ai。。

C.直线AM与曲G所成的角为定值

D.的最小值为2

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.（5分）已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是平行四边形，若PD=xPA+yPB+zPC,

则xyz—.

14.（5分）记公差不为0的等差数列｛斯｝的前n项和为Sn,若$9=3（<23+延-2+以+2）,则k

15.（5分）如图，长方体ABC。-AiQCiDi中，若品1=（2,3,1）,贝！I81至U平面AC£h

圆心，C的虚半轴长为半径的圆与C的右支恰有两个交点，记为M、N,若四边形F1MF1N

的周长为4,则C的焦距的取值范围为.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（10分）已知aABC的边AB,AC所在直线的方程分别为y=-1,2x-y+7=0,点P

（1,2）在边8c上.

（1）若△ABC为直角三角形，求边8C所在直线的方程；

（2）若P为5c的中点，求边8C所在直线的方程.

18.（12分）已知各项均为正数的等比数列｛斯｝满足a2a3=。4,3a3+2的=。5.

（1）求｛斯｝的通项公式;

（2）令垢=log3a3〃，将数列｛a〃｝与｛6〃｝中的项合并在一起，按从小到大的顺序重新排列

构成新数列｛Cn｝,求｛Cn｝的前50项的和.

19.（12分）已知直线x-y-2=0经过抛物线C：y2=2px（p>0）的焦点尸，且与C交于

A,8两点.

（1）求C的方程；

（2）求圆心在x轴上，且过A,8两点的圆的方程.

20.（12分）如图，在直三棱柱ABC-A121C1中，NBAC=90°,AB=AC=2,=2V2.M

是AB的中点，N是21cl的中点，尸是8。与B1C的交点.

（1）求直线4尸与平面A1CM所成角的正弦值;

（2）线段4N上是否存在点。，使得PQ〃平面4CM?

1

21.（12分）已知数列｛砺｝的前〃项和为曲，｛加｝是等差数列，且%+1=）S九+i，bi=ai

=2,加是.3,63的等差中项.

（1）求｛珈｝,｛加｝的通项公式;

（2）记7^=—4———I———F—I--,求证：7«+1=bn-

。九。九一1an-2

久2y2

22.（12分）已知椭圆C：—+77=l（a>b〉O）的左、右焦点分别为人，尸2（国尸2]<10）,

az匕/

4-73

上顶点为A,AFI_LAF2,且尸1到直线/：%—鱼丫+5=0的距离为有一.

（1）求C的方程;

（2）与/平行的一组直线与C相交时，证明：这些直线被C截得的线段的中点在同一条

直线上;

（3）P为C上的动点，M,N为/上的动点，且|MN|=2V3,求面积的取值范围.

2022-2023学年山东省聊城市高二（上）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项符合题目要求.

1.（5分）直线x=—字的倾斜角为（

）

7Tn5TT

A.0B.-C.—D.—

626

【解答】解：因为直线X=—字与.

无轴垂直，

故直线久=-苧的倾斜角为泉

故选：C.

2.（5分）已知3=（遮，x,2）,n=2（一3,V3/一2遮）分别是平面a,0的法向量，若

a〃B，贝!jx=（）

A.-7B.-1C.1D.7

【解答】解：因为易=（V3,x,2）,

n2=（一3,~2旧）分别是平面a邛的法向量，

且a〃仇

—»—>^3X2

所以町||n2,即三=万=_?瓦解得％=~1.

故选：B.

3.（5分）抛物线y=2f的准线方程为（）

1111

A.y=—nB.y=一不C.x——方D.x——3

O/幺OL

【解答】解：•••抛物线方程可化为/=：,p=1,

抛物线y=2x2的准线方程为y=-f=-1.

故选：A.

4.（5分）数列｛砺｝满足％f=1（九22）,若〃20=-1,贝！J〃1=（）

1

A.-1B.-C.1D.2

2

i11

【解答】解：令罚=420=-1,则/?2=。19=1—7；—=2,b3=a18=1--—=5，人4=

故数列｛阮｝是以3为周期的周期数列，

.,.01=620=63x6+2=62=2,

故选：D.

5.（5分）抛物线有一条重要性质：从焦点发出的光线经过抛物线上的一点反射后，反射光

线平行于抛物线的轴.已知抛物线C：/=2x,从点P（机，2）（m>2）发出的一条平行

于x轴的光线，经过C上的点A反射后，与C交于另一点8,则点8的纵坐标为（）

A.B.-1C.-2D.-4

【解答】解：抛物线C：«=2x的焦点坐标为F6,0）,设A（XA,2）,B（XB,中），

:点A在抛物线上，

._4_„

••-2-L、

又A,B,尸三点在一条直线上，直线的斜率为％尸=立?=彳即直线的方程为

2-2

41

、=式久-力

，_41

联立（久一2）,整理得2y2-3y-2=0,

y2=2x

1

：.2yB=-b解得中=一^,

故选：A.

6.（5分）已知圆Ci：/+『=1与圆Q：x2+^2-8x+6y+m=0相内切，则Ci与Ci的公切线

方程为（）

A.3x-4y-5=0B.3x-4y+5=0C.4x--5=0D.4x-3y+5=0

【解答】解：圆Q：/+『=1的圆心。（0,0）,n=l,圆Q：x2+y2-8x+6y+m=0nf

化为（x-4）2+（y+3）2=25-m,（m<25）,则其圆心为Q（4,-3）,半径为厂2=V25-m,

因为圆Cl与圆Q相内切，所以仁-1=|CC2|,即厂2=，42+32+1=6,故机=-11.

由仔:+,：=；j11n，可得4x-3y+5=0,

（x2+y2-8x+6y-11=0

即Ci与C2的公切线方程为4元-3y+5=0.

故选：D.

7.（5分）如图，在四面体ABCQ中，AB1BD,CDLBD,若AB=3,BD=243,CD=2,

AC=/再，则平面A3。与平面的夹角为（）

A

【解答】解：设平面A3。与平面C8。的夹角为8€[0,J],

—>—»—>—>—>—>—>—>—>一

由题意可得：AB•BD=。，BD•DC=0,AB,DC=\AB\\DC\cos{ABfDC)=3X

2cos(ji-0)=-6cos9,

T-»TT

=48+8。+DC,

—»—»—>—>—»—>—>—>—>—>—>—>—>

则心=(28+BD+DC?=AB2+BD2+DC2+2AB-BD+2AB-DC+2BD-DC,

1

即19=9+12+4-12cos9,解得cos。=当

由eG[0/夕，可得e=条

Ti

故平面ABD与平面CBD的夹角为

故选：C.

x2y2

8.(5分)已知尸为椭圆C+三=lQ〉b〉0)的右焦点，尸为。上的动点，过厂且垂

直于无轴的直线与C交于M,N两点，若阿川等于|尸尸|的最小值的3倍，则C的离心率

为()

11V3V3

A.-B.-C.—D.—

3232

久2v2

【解答】解：尸为椭圆C：丁+匕=l(a>b>0)的右焦点，P为C上的动点，

a，b"

由椭圆的性质，可^\PF\min—a-C.

,/过F且垂直于X轴的直线与C交于M,N两点，

：.\MN\=笠-.：|MV|等于|「引的最小值的3倍，

2b2

t---=3(a—c).

a

:椭圆中/-贬=°2,

.'.2(a2-c2)=3a2-3ac,即2c2-3ac+a2=0,

.,.2e2-3e+l=0,解得e=,或e=l（舍）.

故选：B.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项

符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.

（多选）9.（5分）己知曲线Ci：4X2+3J2=48,CI：/一1=1,贝！]（）

A.。的长轴长为4

B.C2的渐近线方程为y=±百刀

C.Ci与C2的焦点坐标相同

D.Ci与C2的离心率互为倒数

工2y2

【解答】解：曲线Cl：4/+3y2=48整理得一+—=1,

1216

则曲线。是焦点在y轴上的椭圆，其中忧=16,b[=12,

所以我=居一必=4,离心率为e1=?=巳=

U--1T1L

故曲线Ci的长轴长2al=8,故A错误；

曲线C2：/-1=1是焦点在x轴上的双曲线，其中谖=1,尻=3,

所以诏=谖+用=4,离心率为e2=%=京=2,故与曲线Ci的焦点位置不同，故C

错误；

C2：比2—1=1的渐近线方程为y=±Wx,故B正确；

]

又e1•02=2X2=1,

所以C1与C2的离心率互为倒数，故。正确.

故选：BD.

（多选）10.（5分）已知直线/：l^x-y-1=0,贝ij（）

A./不过第二象限

B./在y轴上的截距为1

C.不存在上使/与直线fcc-厂1=0平行

D.存在左使/被圆/+廿=4截得的线段长为2

【解答】解：对于A：当x<0时，y=Mx-l<0恒成立，即/不过第二象限，故A正确；

对于3：令x=0,y=-1,即/在y轴上的截距为-1,故8错误；

对于C：若直线y=&-1和y=fcr-1平行，则合=左，且-1W-1,与-1=7矛盾,

即不存在上使/与直线fcc-y-1=0平行，故C正确；

对于。：若/被圆/+『=4截得的线段长为2,则直线/到圆心的距离为百，

但是圆心到直线I的距离下鼻<V3,

Vl+/c4

即不存在上使/被圆/+y=4截得的线段长为2,故。错误；

故选：AC.

（多选）11.（5分）记数列｛斯｝的前"项和为S,已知厮=（一1尸（2九一11）,贝U（）

A.520=40B.S9+Su=0

C.斯加+1有最大值1D.久出无最小值

【解答】解：对于A,因为an=(—1尸(2九一11),

当〃€N*且为奇数时，板+而+1=-C2n-11)+[2(n+1)-11]=2,

所以S20=(〃1+〃2)+(〃3+〃4)+…+(。19+。20)=2X10=20,故A错误；

对于3,59=(。1+〃2)+-+(〃7+〃8)+49=2X4-(2X9-11)=1,511=(。1+。2)+-+

(49+Q10)+411=2X5-(2X11-11)=-1,

所以39+511=0,故5正确；

对于C,因为n与〃+1必然一奇一偶，

所以%1&1+1=-(2n-11)[2(n+1)-11]=-4n2+40n-99=-4(n-5)2+1,

当〃=5时，砺劭+1取得最大值1,故C正确；

对于。，因为〃与〃+2必然同为奇数或同为偶数，

。九+22(11+2)—11211—11+4

2n-ll2n-ll

44

令%=1+方中，则b+1=1+万口，

所以匕+1-4

2n^―2n-ll_-(2n―9)(271_11)，

911

令(2〃-9)(2n-11)＜0,得一＜nV—,又让N*,即〃=5,

22

此时bn+\-加＞0,即be~加＞0,即46＞加,

Q11求

令（2M-9）⑵-11）>0,得或芸，又“6N、，即后4或”26,

当“W4时，此时b\-b<0,即b5<b4<-<bi,同时生=1+-=-3,

n+nZXj—.LJ.

当时，b=1+->0,即bn>b5,

nrLZn-il

综上：尻有最小值加=-3,即也心有最小值-3,故。错误.

an

故选：BC.

（多选）12.（5分）在棱长为2位的正方体ABCD-AiBiCiDi中，M,N,尸均为侧面BCCiBi

内的动点，且满足AM=3,点N在线段B1C上，点P到点Ci的距离与到平面AiBxCD

的距离相等，则（）

A.AN1BD1

B.平面Bi£）iN_L平面4C1。

C.直线AM与。Ci所成的角为定值

D.的最小值为2

【解答】解：以A为原点，分别以A。，AB,441所在直线为x,y,z轴，建立空间直角

则A(0,0,0),B(0,2V2,0),D(2V2,0,0),当(0,2VL2夜)，心(2/，0,2V2),

C(2V2,2/，0),4(0,0,2V2),。式2伉2日2夜)，

—>—>—»

所以B£»i=(2也-2V2,2物，BiDi=(2&,-2y[2,0),BrC=(2V2,0,—2场,

—>—»—»

&Q=(2V2,2a0),DA1=(-2V2,0,2&),D©=(0,2正,0),

—>—>

对于A,因为点N在线段B1C上，所以BiN=/IBIC=(2&/L0,-2V2A)(0<A<1),

所以N(2&4,2V2,2V2-2V2A),所以众=(2或4,2V2,2五一2五心,

->—>—>—>

所以4N-B£»i=0,故力NIB%,所以AALLBD1,故A正确;

对于8,因为点N在线段81C上，所以平面B1O1N为平面B1O1C,

<T7

设面B1D1C的一个法向量为扇=(久，y,z),则,坐=之岳-2V2y=0,

、B]C•%=2A/2X—2A/2Z=0

令％=1,则y=l,z=l,故江=(1,1/1),

，T—>

设面4C1。的一个法向量为扇=(a,b,c),则"F二2=2&a+2ab=0,

、£Mi•n2=-2V2a+2y[2c=0

令a=l,则人=-l,c=l,故A=(L-L1),

因为3・A=1WO,所以平面BLDIN与平面4G。不垂直，故5错误；

对于C,因为M为侧面5CC151内的动点，AM=3,

―»

所以设M(d,2V2,/),贝MM=(d,2V2,f),

所以cos〈/"M,。工■】〉=学竺L=丁3=缘，所以直线AM与D1G所成的角为定

|4M||DiCi|3X2423

值，故C正确；

对于。，由寸选项可得14Ml=Jd2+8+尸=3即/+f=1,所以M的轨迹是以2为圆

心，半径为3的圆上(且在侧面BCC181内)，

在平面BCCLBI内过P点作PQL81C,垂足为。，

易得431_L平面BCC1B1,PQu平面BCCiBi,所以AiBi_LPQ,

因为AiBiC8iC=8i,A1B1,BiCu平面481cZ),所以PQ_L平面4BCZ),

所以点P到平面AxB\CD的距离为PQ的长度，即P到B1C的距离，

所以点P到点Ci的距离与到平面AxBiCD的距离相等，等价于点P到点Ci的距离与到

B1C的距离相等，满足抛物线的定义，

所以点P的轨迹为以Q为焦点，准线为直线B1C的抛物线，

以线段BC1的四等分点。(靠近C1)为坐标原点，以2C1为初轴的正方向进行平面直角

坐标系，

由12cli=4可得Ci（1,0）,直线81c为m=7,

则点P的轨迹为〃2=4加，

所以1Mplm=加-1,由图可得当尸与。点重合时，|BP|m加=3,故巡尸|加”=2,故。

正确，

故选：ACD.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

——>—>—>

13.（5分）已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是平行四边形，若PD=xPA+yPB+zPC,

则xyz=-1.

->—>—>

【解答】解：因为四棱锥尸-48CD的底面ABCD是平行四边形，所以PD=P4+aD=

—>—>—>—>一

PA+BC=PA-^-PC-PB,

T—>T—>

又因为尸。=xPA+yPB+zPC,

所以x=l,y=-\,z=l,

故％yz=-1.

故答案为：-1.

14.（5分）记公差不为0的等差数列｛斯｝的前〃项和为品，若59=3（〃3+以一2+或+2）,则%

=6.

【解答】解：因为｛劭｝是公差不为0的等差数列，设公差为%

9（a+a）9x2瓯___

以Sg—12g=2=9。5，-2+〃左+22ak,

X59=3（。3+以-2+。%+2）,

所以9〃5=3（。3+2或），即3。5=〃3+2以，

则3（〃i+4d）=〃i+2d+2[m+（左-1）矶,

所以2（k-1）d=10df

又dWO,

所以k-1=5,贝I]k=6.

故答案为：6.

15.(5分)如图，长方体ABCD-AiBiCiDi中，若43=(2,3,1),则B\到平面ACD1

【解答】解：因为=(2,3,1),

—T-

所以AB=2,AD=3,AAi=l,AC=(2,3,0),ADX=(0,3,1),AB1=(2,0,1),

设平面ACDi的法向量为蔡=(x,y,z),

'T->

由年2=°,可得取y=2,则盛=(-3,2,-6),

UOi-n=0+z-u

即Bi到平面ACDi的距离为其四=1-6-61=—.

\n\77

故答案为：苫.

16.(5分)已知双曲线C：b>0)的左、右焦点分别为为、尸2,以尸2为

圆心，C的虚半轴长为半径的圆与C的右支恰有两个交点，记为M、N,若四边形F1MF2N

的周长为4,则C的焦距的取值范围为[&,2).

【解答】解：由题意得点M、N关于x轴对称，且陷歹2|=从

由双曲线的定义得|MB|=b+2a,

由题意可|M"+|ME2|=2a+2b=2,即“+6=1,则旄(0,1),

2222111

Ac=a+b=(1一以+匕2=2b-2b+l=2(6—矛+加[1,1),

V2「

：.—<cVI,BPV2<2c<2.

2

当时，a=2，c=*,此时6>c-a,

即此时以改为圆心，C的虚半轴长为半径的圆与C的右支恰有两个交点，符合题意,

故C的焦距的取值范围为［a,2).

故答案为：［a,2).

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(10分)已知△ABC的边AB,AC所在直线的方程分别为y=-1,2x-y+7=0,点、P

(1,2)在边BC上.

(1)若△ABC为直角三角形，求边2C所在直线的方程；

(2)若P为8C的中点，求边8c所在直线的方程.

【解答】解：(1)由△ABC的边48,AC所在直线的方程分别为y=-1,2x-y+7=0,

可知角A不是直角，

若角3是直角，由点尸在边3c上，

得边BC所在直线的方程为x=1；

若角C是直角，由边AC所在直线的方程为2x-y+7=0,

得边BC所在直线的斜率为-全又点尸在边BC上，

1

所以边BC所在直线的方程为y—2=—2(x—1),即x+2y-5=0,

综上所述，边BC所在直线的方程为x+2y-5=0或尤=1；

(2)由题意可设2(相，-1),由尸为BC的中点，得C(2-w,5),

将点C的坐标代入边AC所在直线的方程2x-y+7=0,

得2(2-m)-5+7=0,

所以6-2加=0,解得根=3,所以C(-l,5),

5-23

得边所在直线的斜率为一1=---

-1-12

所以边8C所在直线的方程为y-2=

即3x+2y-7=0.

18.(12分)已知各项均为正数的等比数列｛。〃｝满足〃243=44,3〃3+244=〃5.

(1)求｛珈｝的通项公式；

(2)令加=log3〃3〃，将数列｛劭｝与｛加｝中的项合并在一起，按从小到大的顺序重新排列

构成新数列｛Cn｝,求｛Cn｝的前50项的和.

【解答】解：⑴设等比数列｛金｝的公比为q,由题意得吃的二二差，

因为等比数列｛斯｝中。3#0,44/0,所以｛：i+2；_q2，又q>。，解得4=3,

71n-1n-1

所以an=1x3T=3,即｛an｝的通项公式为即=3.

(2)由(1)知％=log333rlT=3?1—1,

5-16-1

因为645=134,a5=3=81<134,a6=3=243>134,

所以｛Cn｝的前50项是由｛丽｝的前5项与｛加｝的前45项组成，

记｛Cn｝的前50项的和为S50,

贝US50=("1+42+43+…+。5)+(加+/?2+加+…+Z?45)

=(1+3+32+33+34)+[2+5+8+-+(3X45-1)]

=+2+(3：45-1)*45=121+3060=3181.

所以｛cn｝的前50项的和为3181.

19.(12分)已知直线x-y-2=0经过抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点F，且与C交于

A,8两点.

(1)求C的方程；

(2)求圆心在x轴上，且过A,B两点的圆的方程.

【解答】解：⑴依题意，抛物线C的焦点F(S0)在直线尤-y-2=0上，

n

则鼻―2=0,解得p=4,

所以C的方程为/=8x.

(2)由(1)知，抛物线C的准线方程为x=-2,

设A(xi,yi),BCx2,y2),AB的中点为M(xo,yo),

由｛；2一｝.2一°-消去y得/-12x+4=0,

则XI+X2=12,有X。=巧,-2=6,yo=xo-2=4,即M(6,4),

因此线段AB的中垂线方程为y-4=-(x-6),即y=-x+10,

令y=0,得x=10,设所求圆的圆心为E,则£(10,0),

又AB过C的焦点凡

则有以剧=|4/|+|8/|=尤1+2+尤2+2=16,

设所求圆的半径为r,贝1]产=(苧A+\ME\2=82+42+42=96,

故所求圆的方程为(x-10)2+y2=96.

20.(12分)如图，在直三棱柱ABC-AiBiCi中，/A4c=90°,AB=AC=2,=2A/2.M

是AB的中点，N是81cl的中点，尸是2。与BiC的交点.

（1）求直线4P与平面ACM所成角的正弦值；

（2）线段4N上是否存在点。,使得产。〃平面A1CM?

--w

【解答】解：（1）以A为原点，AC,AB,A41所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如

图所示的空间直角坐标系.

因为Ai,C,M的坐标分别为(0,0,2V2),(2,0,0),(0,1,0),

所以a：c=(2,o,-2V2),a评=(0,1,-2V2).

设蓝=(%,y,z)是平面A1CM的法向量，则”=2x-2az=0,=&，贝।%

.n-ArM=y—2V2.Z=0

=2,y=4,则7=(2,4,夜)是平面4CM的一个法向量.

—»

尸点坐标为(1,1,V2),所以41P=(1,1,-V2).

设A1P与平面AiCM所成的角为0,

|7z：P|_|2+4—2|_夜

则sin。=

\n\-\/^P\廖11

(2)由4,N的坐标分别为(0,0,2V2),(1,1,2V2),故力加=(1,1,0),

—>T—>

设&Q=；L4iN(0W；lWl),则4iQ=(；l,4,0),得Q(；l,X,2或)，

―>

又尸点坐标为(L1,V2),所以直线尸。的一个方向向量PQ=(4-1,A-l,V2),

TTTT

若P。〃平面A1CM,需九1PQ,从而展PQ=0,

即2(入-1)+4(A-1)+2=0,解得;1=1这样的点尸存在.

所以线段A1N上存在点。使得P。〃平面4CM,此时，。为线段4N上靠近点N的

三等分点.

1

21.(12分)已知数列｛珈｝的前〃项和为品，｛加｝是等差数列，且%+1=]S九+i，b\=ax

=2,加是。3,加的等差中项.

(1)求｛斯｝，｛5?｝的通项公式；

(2)记+F—F1■殳，求证：Tn+l=bn-

Qn-1an-2

【解答】解：(1)因为%+1=gSn+i，所以当时，得+1=^Sn，

1

a

两式作差得，当〃22时，an=2n+i