2024年山东烟台德州高三一模高考数学试题答案详解

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页2024年高考诊断性测试数学注意事项：1.本试题满分150分，考试时间为120分钟.2.答卷前，务必将姓名和准考证号填涂在答题纸上.3.使用答题纸时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写，要字迹工整，笔迹清晰；超出答题区书写的答案无效；在草稿纸､试题卷上答题无效.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．已知集合，集合，则图中阴影部分表示的集合为（

）

A． B． C． D．2．若，则（

）A．100 B．110 C．120 D．1303．若点在抛物线上，为抛物线的焦点，则A．1 B．2 C．3 D．44．若，则（

）A． B． C． D．5．将8个大小形状完全相同的小球放入3个不同的盒子中，要求每个盒子中至少放2个小球，则不同放法的种数为（

）A．3 B．6 C．10 D．156．设为两条不同的直线，为两个不同的平面，下列说法正确的是（

）A．若，则B．若与所成的角相等，则C．若，则D．若，则7．已知定义在上的奇函数满足，当时，，则（

）A． B． C． D．8．在平面直角坐标系中，点，向量，且.若为椭圆上一点，则的最小值为（

）A． B． C． D．二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．已知为复数，下列结论正确的有（

）A．B．C．若，则D．若，则或10．先后抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记向上的点数分别为，设事件“为整数”，“为偶数”，“为奇数”，则（

）A． B．C．事件与事件相互独立 D．11．给定数列，定义差分运算：.若数列满足，数列的首项为1，且，则（

）A．存在，使得恒成立B．存在，使得恒成立C．对任意，总存在，使得D．对任意，总存在，使得三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．若圆关于直线对称的圆恰好过点，则实数的值为.13．在三棱锥中，，且分别是的中点，，则三棱锥外接球的表面积为，该三棱锥外接球与内切球的半径之比为.14．若函数在上恰有5个零点，且在上单调递增，则正实数的取值范围为.四､解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15．已如曲线在处的切线与直线垂直.(1)求的值；(2)若恒成立，求的取值范围.16．如图，在三棱柱中，，为的中点，平面.

(1)求证：；(2)若，求二面角的余弦值.17．联合国新闻部将我国农历二十四节气中的“谷雨”定为联合国中文日，以纪念“中华文字始祖”仓颉的贡献.某大学拟在2024年的联合国中文日举行中文知识竞赛决赛，决赛分为必答､抢答两个环节依次进行.必答环节，共2道题，答对分别记30分､40分，否则记0分；抢答环节，包括多道题，设定比赛中每道题必须进行抢答，抢到并答对者得15分，抢到后未答对，对方得15分；两个环节总分先达到或超过100分者获胜，比赛结束.已知甲､乙两人参加决赛，且在必答环节，甲答对两道题的概率分别，乙答对两道题的概率分别为，在抢答环节，任意一题甲､乙两人抢到的概率都为，甲答对任意一题的概率为，乙答对任意一题的概率为，假定甲､乙两人在各环节､各道题中答题相互独立.(1)在必答环节中，求甲､乙两人得分之和大于100分的概率；(2)在抢答环节中，求任意一题甲获得15分的概率；(3)若在必答环节甲得分为70分，乙得分为40分，设抢答环节经过X道题抢答后比赛结束，求随机变量X的分布列及数学期望.18．已知双曲线经过点，离心率为，直线过点且与双曲线交于两点（异于点）.(1)求证：直线与直线的斜率之积为定值.并求出该定值；(2)过点分别作直线的垂线，垂足分别为，记的面积分别为，求的最大值.19．如图，在平面直角坐标系中，半径为1的圆沿着轴正向无滑动地滚动，点为圆上一个定点，其初始位置为原点为绕点转过的角度（单位：弧度，）.

(1)用表示点的横坐标和纵坐标；(2)设点的轨迹在点处的切线存在，且倾斜角为，求证：为定值；(3)若平面内一条光滑曲线上每个点的坐标均可表示为，则该光滑曲线长度为，其中函数满足.当点自点滚动到点时，其轨迹为一条光滑曲线，求的长度.答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页1．A【分析】解不等式化简集合A，再结合韦恩图，利用交集的定义求解即得.【详解】解不等式，得，即，由，得，所以图中阴影部分表示的集合为.故选：A2．C【分析】利用二项式定理分别求出即可计算得解.【详解】在中，，，所以.故选：C3．B【解析】由抛物线的定义转化即可求值.【详解】因为点在抛物线上，即，所以，故故选：B【点睛】本题考查由抛物线的定义转化求值问题，属于基础题.4．C【分析】根据二倍角公式以及诱导公式即可求解.【详解】由可得，故，故选：C5．B【分析】对每个盒子放入2个球，再看余下2个球的去向即可得解.【详解】依题意，每个盒子放入2个球，余下2个球可以放入一个盒子有种方法，放入两个盒子有种方法，所以不同放法的种数为.故选：B6．D【分析】根据空间中点线面的位置关系，即可结合选项逐一求解.【详解】对于A，平行于同一平面的两条直线可能平行，也可能异面，故A错误，对于B，与所成的角相等，则可能异面，可能相交，也可能平行，故B错误，对于C，，则可能垂直，但也可能平行或者相交或者异面，故C错误，对于D，，则，D正确，故选：D7．A【分析】根据给定条件，探讨函数的周期，再利用对数函数单调性及指对数运算计算即得.【详解】在上的奇函数满足，则，于是，即函数的周期为4，而，则，，又当时，，所以.故选：A8．A【分析】根据给定条件，求出点的轨迹，再借助三角代换及点到直线距离公式求出最小值.【详解】设点，由及，得，即，而，消去得：，设椭圆上的点，则点到直线的距离，其中锐角由确定，当时，，而，所以的最小值为.故选：A【点睛】思路点睛：求出椭圆上的点与其相离的直线上点的距离最小值，可转化为求椭圆上的点到直线距离有最小值解决.9．ABD【分析】设出复数的代数形式，结合共轭复数的意义计算判断ABD；举例说明判断C.【详解】设复数，对于A，，A正确；对于B，，，，，B正确；对于C，取，满足，而，C错误；对于D，由，得，即，则，即，因此或，即或，D正确.故选：ABD10．BCD【分析】列举所有的基本事件，再由古典概型的概率公式，相互独立事件的定义及条件概率的概率公式计算可得.【详解】先后两次抛掷一枚质地均匀的骰子，得到向上的点数分别为，，则基本事件总数为，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共36种情况，满足事件的有，，，，，，，，，，，共种，其概率，故A错误；满足事件的有，，，，，，，，，，，，，，，，，，共个，故；满足事件的有，，共个，所以，故B正确；满足事件的有，，，，，，，，，，，，，，，，，，共个，故，满足事件的有，，，，，，，，，共个，所以，所以事件与事件相互独立，故C正确；满足事件的有，，，，，，，共种，所以，则，故D正确.故选：BCD11．BC【分析】由已知求出及范围判断AB；利用累加法结合错位相减法求和求出及范围判断C；求出及的范围判断D.【详解】对于A，由，得，显然有最小值4，无最大值，因此不存在，使得恒成立，A错误；对于B，由选项A知，，则，显然当时，恒成立，B正确；对于C，由，得，当时，即，于是，两式相减得，因此，显然满足上式，则，由，得数列是递增数列，有最小值1，无最大值，从而对任意，总存在，使得，C正确；对于D，，由选项C得，显然数列是递减数列，，因此对任意，不存在，使得成立，D错误.故选：BC【点睛】关键点睛：涉及数列新定义问题，关键是正确理解给出的定义，由给定的数列结合新定义探求数列的相关性质，并进行合理的计算、分析、推理等方法综合解决.12．4【分析】利用轴对称列式求出点关于直线的对称点的坐标，再代入圆方程即得.【详解】依题意，点关于直线的对称点在圆上，则，解得，因此点在圆上，则，解得，所以实数的值为4.故答案为：413．【分析】第一空作出辅助线，证明三三垂直，将三棱锥放入长方体中求解外接球半径即可，第二空利用体积相等求出内切球半径，再求比值即可.【详解】如图，，且，故，可得，则，取中点，连接，则，又，面，可得面又面，则，又分别是的中点，连接，则//由题意得，故，，又，面，故面，又，则，可得，则两两垂直，故以作长方体，如图所示，则该长方体外接球即为所求三棱锥的外接球，连接，其中点为所求外接球的球心，设其半径为，可得，故，解得，而，设该三棱锥内切球半径为，球心为，连接，则，可得，故，而，，，易知是的中点，由，得，故得，而由勾股定理得，则，故可将一式化为，解得，而半径比为，故答案为：；【点睛】关键点点睛：本题考查内切球和外接球的半径问题，解题关键是构造出长方体，将三棱锥放入其中，然后求出外接球半径，得到面积，进而由体积关系转化得到所要求的内切球半径，再求比值即可．14．【分析】根据给定条件，利用辅助角公式化简函数，再利用正弦函数的性质求解即得.【详解】依题意，函数，由，得，则或，由，得，由在上恰有5个零点，得，解得，由，得，即函数在上单调递增，因此，即，且，解得，所以正实数的取值范围为.故答案为：【点睛】方法点睛：求函数的单调区间时，可把看成一个整体，由求得函数的单调递减区间，由求得函数的单调递增区间．15．(1)(2)【分析】（1）根据斜率关系，即可求导求解，（2）求导判断函数的单调性，即可求解函数的最值求解.【详解】（1）由于的斜率为，所以，又,故，解得，（2）由（1）知，所以，故当时，单调递增，当时，单调递减，故当时，取最小值，要使恒成立，故，解得，故的取值范围为16．(1)证明见解析；(2).【分析】（1）根据给定条件，借助余弦定理及勾股定理的逆定理证得，再利用线面垂直的判定、性质推理即得.（2）由（1）的信息以为原点建立空间直角坐标系，利用面面角的向量求法求解即可.【详解】（1）在三棱柱中，，则，由，得，在中，，由余弦定理，得，，于是，由平面平面，得，而平面，因此平面，又平面，所以，（2）由（1）知，两两垂直，以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，由，得，则，于是，设为平面的一个法向量，则，取，得，显然为平面的一个法向量，因此，显然二面角的大小为锐角，所以二面角的余弦值为.

17．(1)；(2)；(3)分布列见解析，.【分析】（1）把得分之和大于100分的事件分拆，再利用相互独立事件及互斥事件的概率公式计算即得.（2）甲获得15分的事件是甲抢到答正确与乙抢到答错的事件和，再列式求出概率.（3）求出的可能值及各个值对应的概率，列出分布列并求出数学期望.【详解】（1）两人得分之和大于100分可分为甲得40分、乙得70分，甲得70分、乙得40分，甲得70分、乙得70分三种情况，所以得分大于100分的概率.（2）抢答环节任意一题甲得15分的概率.（3）的可能取值为2，3，4，5，由抢答任意一题甲得15分的概率为，得抢答任意一题乙得15分的概率为，，，，，所以的分布列为：2345数学期望.18．(1)证明见解析，；(2).【分析】（1）由已知求出双曲线，设出直线的方程，与双曲线方程联立，利用韦达定理结合斜率坐标公式计算即得.（2）设出直线的方程，求出点的纵坐标，再建立面积积的函数关系，借助基本不等式求出最大值即得.【详解】（1）令双曲线半焦距为c，依题意，，由，解得，则双曲线的方程为，显然直线不垂直于y轴，设直线的方程为，由消去得，，，设，则，直线的斜率分别为，所以.（2）设直线的方程为，则直线的方程为，由，得点的纵坐标，用替换上式中的得点的纵坐标，则而，当且仅当时取等号，因此，所以的最大值为.【点睛】思路点睛：圆锥曲线中的几何图形面积范围或最值问题，可以以直线的