湖南省永州市2024届高三一模数学试题

湖南省永州市2024届高三一模数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.已知集合A=[xeN*'=7?^],集合2=卜9-彳训，则AB=()

A.{x|l<x<2}B.{x|O<x<l}C.{0,1,2}D.{1,2}

2.复数z满足i5.z=l+i，贝”在复平面内对应的点位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

3.已知向量a=(-l,2),b=(3,-l),d=(x,l),且(a+26)_Lc,贝！jx=()

A.2B.1C.0D.-1

4.“函数/(x)=/在(O,+司上单调递减”是“函数g(x)=/-(°+1)x是偶函数，，的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

5.在平面直角坐标系中，过直线2x-y-3=0上一点尸作圆。：/+2》+y=1的两条切

线，切点分别为AB，贝Usin/APB的最大值为()

A・孚B

-半L.-------D

5-f

22

6.已知椭圆C:二+谷=l(a>6>0)的左、右焦点分别是耳鸟，点尸是椭圆C上位于第

ab

一象限的一点，且尸此与>轴平行，直线尸片与C的另一个交点为Q,若2尸片=5片Q,

则C的离心率为()

AA/21RA/330币「而

711711

7.若数列｛见｝的前〃项和为S〃,2s=d+l(〃£N*,凡>0),则下列结论正确的是()

>

A.02022”2023>B.。2。23,2023

111

C.S<V2022D.一+一+一++—<19

2023H，2，3Sioo

8.已知函数〃x)=3cos(tyx+°)(ty>0),若/卜：卜3"仁］=0,在区间卜|■，-上

没有零点，则。的取值共有()

A.4个B.5个C.6个D.7个

二、多选题

9.下列关于概率统计说法中正确的是（）

A.两个变量的相关系数为r，则"越小，x与y之间的相关性越弱

B.设随机变量JN（2,l）,若pC>3）=p,则p（l<J<2）=g-p

C.在回归分析中，咒为0.89的模型比尺2为0.98的模型拟合得更好

D.某人解答人个问题,答对题数为X,X~8（10,0.8）,则E（X）=8

10.对数的发明是数学史上的重大事件.我们知道，任何一个正实数N可以表示成

N=axl0"aWa<10,〃eZ）的形式,两边取常用对数，则有lgN=w+lga,现给出部分

常用对数值（如下表），下列结论正确的是（）

真数X2345678910

1股（近似值）0.3010.4770.6020.6990.7780.8450.9030.9541.000

真数X111213141516171819

Igx（近似值）1.0411.0791.1141.1461.1761.2041.2301.2551.279

A.51°在区间（1。6,1。7）内

B.35°是15位数

C.若73。=qxl（r,贝U〃z=Y3

D.若根3°（“EN*）是一个35位正整数，则机二14

11.菱形ABCD的边长为〃，且/84。=60,将沿向上翻折得到△Q5D,

使二面角P-BD-C的余弦值为:，连接PC,球。与三棱锥P-3CD的6条棱都相切，

下列结论正确的是（）

A.尸。工平面BCD

B.球。的表面积为2伍？

C.球。被三棱锥尸-BCD表面截得的截面周长为逑兀a

3

D.过点0与直线PB,CD所成角均为;的直线可作4条

12.已知函数〃x）与g（x）的定义域均为R,〃x+l）+g（x—2）=3,〃x—1）—g（—x）=l,

且g（-l）=2,g（x-l）为偶函数，下列结论正确的是（）

A.4为〃x）的一个周期B.g⑶=1

试卷第2页，共4页

20232023

C.伏）=4045D.出=2023

k=\k=\

三、填空题

13.为全面推进乡村振兴，永州市举办了“村晚兴乡村”活动，晚会有《走，去永州》《扬

鞭催马运粮忙》《数幸福》《乡村振兴唱起来》四个节目，若要对这四个节目进行排序，

要求《数幸福》与《乡村振兴唱起来》相邻，则不同的排列种数为(用数字作

答).

14.在平行六面体ABCD-A4G。]中，/必=4,。。=),“)|=c,P为的中点，过PB

的平面a分别与棱A'CG交于点2尸，S.AE=CF,则82+所=(用a,b,c表

示).

15.若函数/(无)=(e'"+?'x_]n尤,当xe(O,+s)时，/(x)>0,则实数f的取值范

围______.

16.已知点N(a,2百人。>0)在抛物线C：y2=2px(O<0<2a)上，F为抛物线C的焦点，

圆N与直线x=号相交于A3两点，与线段NF相交于点R,^.\AB\=245\RF\.若R是

线段N5上靠近产的四等分点，则抛物线C的方程为.

四、解答题

17.已知数列｛4｝是公比4>1的等比数列，前三项和为39,且％+6吗成等差数列.

⑴求数列｛七｝的通项公式；

⑵设'=lo““IaN*),求也,｝的前〃项和T„.

1U&3U2n-l1Ufe3U2n+l

18.在ABC中，设A,8,C所对的边分别为。也c,且满足ccosA-acosC="+b.

⑴求角C；

(2)若c=5,一ABC的内切圆半径厂=走，求ABC的面积.

4

五、证明题

19.如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，侧面PAD为正三角形，且

AD=2AB^4,M.N分别为PD、3c的中点，斤在线段PC上，且PC=3PH.

⑴求证：MN//平面E4B；

(2)当AM1.PC时，求平面与平面HMN的夹角的余弦值.

六、解答题

20.某企业为提高竞争力，成功研发了三种新品A、B、C,其中A、B、C能通过行业

标准检测的概率分别为4彳6;不9，且AB、C是否通过行业标准检测相互独立.

⑴设新品A、B、C通过行业标准检测的品种数为X,求X的分布列；

(2)已知新品A中的一件产品经检测认定为优质产品的概率为0.025,现从足量的新品A

中任意抽取一件进行检测，若取到的不是优质产品，则继续抽取下一件，直至取到优质

产品为止，但抽取的总次数不超过如果抽取次数的期望值不超过5,求”的最大值.

参考数据：0.9754土0.904,0.9755土0.881,0.9756=0.859,0.9757=0.838,0.9758=0.817

七、证明题

21.已知点A为圆C:尤2+丁-2，1鼠-6=0上任意一点，点8的坐标为卜加',0),线

段的垂直平分线与直线AC交于点。.

⑴求点D的轨迹E的方程；

⑵设轨迹E与x轴分别交于A，4两点(A在a的左侧)，过R(3,0)的直线/与轨迹E交

于M,N两点,直线AM与直线的交于P,证明：尸在定直线上.

22.已知函数/(x)=ln(x+l),g(x)=oxe，—21na+31n2+3.

⑴当xe(-l,0)50,y)时，求证：/H>--X+1；

x2

(2)若％£(T+oo)时，g(x)N/a),求实数〃的取值范围.

试卷第4页，共4页

参考答案:

1.D

【分析】求出集合A,8,即可求得答案.

【详解］由4=卜€吓="一斗{1,2},B={^|X2-X>0}={X|X<0BJ<X>1},

故AB={1,2},

故选：D

2.D

【分析】根据虚数单位的性质，结合复数的除法运算可求出z,根据复数的几何意义即可得

答案.

【详解】由i5.z=l+i得i"=l+i,；.z=3,

1

则Z=l+,=l-i,即z在复平面内对应的点为位于第四象限，

1

故选：D

3.C

【分析】根据向量垂直列方程，由此求得x的值.

【详解】a+2^=(-1,2)+(6,-2)=(5,0),

由于(a+26)_L!?,

所以(o+26).e=5x=0,x=0.

故选：C

4.B

【分析】通过求解函数〃x)和g(x)符合条件的。的取值，即可得出结论.

【详解】由题意，

在中，

当函数在(。,+°°)上单调递减时，a<0,

在g(x)=xJ(a+l)x中，函数是偶函数，

答案第1页，共21页

g(T)=(-x)4-(a+l)(-x)

；.<g(x)=x4-(a+l)x,解得：a=-\,

g(x)=g(-x)

“函数"X)=尤"在(。,+巧上单调递减”是“函数g(x)=%4-(«+l)x是偶函数”的必要不充

分条件，

故选：B.

5.A

【分析】由题意圆C:/+2x+y2=l的标准方程为C:(x+1)+V=2,如图

.AC\rr~

sinZAPB=sin2«=2sinczcosa,Xsin<z=-7^F=Ji,2,所以

crl，|c尸I

cosa=Vl-sin2a=,又由圆心到直线的距离可求出|。尸|的最小值，进而求解.

【详解】如下图所示：

由题意圆C的标准方程为C:(x+l)+y2=2,sinZAPB=sin2a=2sincrcosa,

又因为sina=W=J。，所以3戊=，1一m％=3-房，

所以sinZAPB=2sinicosa-

1-2-0-31厂

又圆心c(-l,o)到直线2x-y-3=0的距离为d=国㈠丫=小，

所以|cp|2d=百，所以不妨设，=曰*，［°<，《

答案第2页，共21页

贝hm/AM=2（由［1一嬴12.《1一的=2/4上一?+：=&）,

又因为/⑺在［of单调递增，所以当且仅当/=（即|CP|=6,即当且仅当直线CP垂直已

知直线2x-y-3=0时，

12A/6

sinZAPB有最大值(sinZAPB)=f+—=

\/max"4

故选：A.

6.B

【分析】由P点坐标求得。点坐标，然后代入椭圆。的方程，化简求得椭圆。的离心率.

【详解】由W+［=l令x=c,得y2="i-=］=t,y=土：L,

ab\a）aa

由于尸工与y轴平行，且夕在第一象限，所以尸。，一

Ia

2

由于2P6=5耳3片0=］尸耳,月（一。,0）,

所以0Q=04+KQ=(_c,O)+|_2c,b-yC92b2}

二J十铲〈二)

即。言］,将Q点坐标代入椭圆C的方程得［gc）［一北］

（3-----2-----1------77------1

ab

81c24b281c2+4(a2-c2)77c2+4a2

---1---=----------=------

25a225a225a225a2

2213

77c2+4a2=25a2,77c2=21a2,—r=—=

a27711

答案第3页，共21页

7.D

【分析】根据4,S”之间的关系可求出S'=而，进而求得%=分-册=1,由此结合熟的大

小比较可判断A,B,C,利用放缩法，当时，可推出《<2(赤一而I),累加即可判

断D.

【详解】令〃=1,则250=。：+1,即2a；=a：+l,

由4>0,的％=1；

当〃>2时，2"⑸—S〃T)=⑸—S〃"+l,即S；—S：=l,

又S；=a；=l,故⑸｝为首项是1,公差为1的等差数列，

贝|JS：=1+〃-1=〃，故s〃=G，

所以当时，册=Sn—S葭7=yfH-J〃-1,4=1也适合该式,

故q=y/n-yln-l,

对于A,^22^3=(5/2622-5/2621)(72623-72622)

=~//'/:/<],A错误；

V2022+V2021J2023+J2022

对于B,=V2^3-V2022<^/2023,B错误；

对于C,S2023=72023>72022,C错误；

对于D,当”22时，丁二丁<厂一；~二=2(品7n-l),

»〃7n7n+7n-T

^―+—+—++—<1+2(A/2-1J+2(A/3->/2)++2(5/100-5/99)

¥S2S3£0G''

=1+2(7+10)=19,D正确，

故选：D

8.B

【分析】根据==0可得。=岑+|,根据在区间上没有零点可得

0<<«<6,即可求出。的取值有几个.

【详解】由题意，在〃x)=3cos3x+0)(o>O)中，/f-^=3,Jf-|Ko,

答案第4页，共21页

3对-卜+。712

=3---(D-\-(P—2Z]兀

，所以一,k[,k?£Z,

兀771

3cos/=0—a)+(p=kTi+—

、222

两式相减得亲=(&-2匕)呜，

494〃2

所以6y=耳(左2—2匕)+§,即G=〃EZ,

(兀71\兀71

因为X£［一耳,一石>@>。，所以GX+9eI--co+cp^—af+cp

7171

令CDX+(p=t,

(兀71］

由题意知y=3cos/在/£［一§啰+上无零点,

兀7兀7),

故卜10+9,_/+可—+K71,—+K71,kWZ,

22J

7171兀、兀，

——o)+(p>——+rE——CO+(D>——+也

3232

所以,n即n《

——兀CO+(P<,兀—+K7ll—兀co—(p、2---兀---k7u

、62[6"2

JT

两式相加得一-兀，所以0<GW6,

6

立4〃2

X^=—+—,

33

210、“。.14

所以，当〃=0时，g=§；当〃=1时，刃=2；当〃=2时,co=­•当〃=3时n，=—

当”=4时，a)-6,

所以。的取值有5个.

故选：B.

9.BD

【分析】A项，通过相关系数的定义即可得出结论；B项,通过求出P(2<J<3)即可求出

P(-l<J<0)的值；C项，通过比较相关指数即可得出哪个模型拟合更好；D项，通过计算

即可求出E(x).

【详解】由题意,

A项,

两个变量％y的相关系数为乙H越小，x与y之间的相关性越弱,

故A错误,

答案第5页，共21页

对于B,

随机变量4服从正态分布N(2,l),由正态分布概念知若P«>3)=p,则

尸(_1<J<O)=P(2<J<3)=PC>2)_PC>3)=；_0,

故B正确，

对于C,

在回归分析中，R2越接近于1,模型的拟合效果越好，

R2为0.98的模型比片为0.89的模型拟合的更好

故C错误，

对于D,

某人在10次答题中，答对题数为-5(10,0.8),则数学期望E(X)=10x0.8=8,

故D正确.

故选：BD.

10.ACD

【分析】根据lgN=〃+lga,分别求出各个选项中N的常用对数的值，对照所给常用对数值

判断

【详解】解：因为坨5叫=10因5。6.99,IglO6=61gl0=6<6.99,lgl07=71gl0=7>6.99,所

以5Kle(HAU),故A正确；

因为1g3，。=501g3。23.85,3$。名1。2工85,所以35。是24位数，故B错误；

因为lg7'=-501g7a-42.25,所以7应。10皿”，又7一5°="10",则/=-43,故C正确；

lgm30=301gm,因为〃严(根eN*)是一个35位正整数，所以34W301g机<35，即，Vig相<£,

即1.126741g加<1.1667,则m=14,故D正确.

故选：ACD

11.AC

【分析】利用余弦定理求得尸C=a，说明三棱锥尸-BCD为正四面体，进而补成正方体，

则说明。点为正方体的中心，结合线面垂直的判定可判断A；求得球O的半径可判断B；

求出球。被三棱锥一个侧面所截得的截面的周长，即可求得球。被三棱锥尸-BCD表面截

得的截面周长，判断C；根据平行公理以及直线所成角的概念可判断D.

【详解】如图在菱形ABCD中，连接AC,则AC13。，设AC,8。交于E,

答案第6页，共21页

p

A

则PE±BD,CELBD,PEu平面PBD,CEu平面CBD,

即NPEC为二面角P-BD-C的平面角，即cosZPEC=1,

又/BAD=60，即△ABD为正三角形，即△PBD,△CBD为正三角形，

i&PE=CE=—a,ikPC2=PE2+CE2-2PE-CEcosAPEC

2

331

——4—2x—，x—=Q?,即PC=a,

243

故三棱锥P-BCD为棱长为a的正四面体；

如图，将该四面体补成正方体PHDG-N。®,四面体的各棱为正方体的面对角线,

则正方体棱长为变a,

2

因为球。与三棱锥P-3co的6条棱都相切，则。点即为正方体的中心，

连接PM,则0为正方体体对角线PM的中点，

因为尸N人平面MBNC,3Cu平面MBNC,故PNJ.3C,

又BCLMN而PNMN=N,PN,MNu平面PMN,

故平面PW,PMu平面PMV,故BC_LPM；

同理可证3D_LPM,BCc8。=民8C,5Du平面BCD,

故乃欣，平面BCD,即P01平面BCD,A正确；

因为球。与三棱锥P-BCD的6条棱都相切，

故球0即为正方体尸印）G-NCMB的内切球，球的直径为正方体棱长变a,

2

答案第7页，共21页

则球的半径为亨a,故球。的表面积为47r义(¥42=；兀/，B错误；

球。被平面截得的截面圆即为正三角形3CD的内切圆，

由于3C=a,故正三角形BCD的内切圆半径为lx3°

326

故内切圆周长即球。被平面截得的截面圆周长为2兀xXL=3兀a,

63

故球。被三棱锥P-3c。表面截得的截面周长为4x立侬=述兀”，C正确；

33

连接因为PH〃BM,PH=BM,即四边形尸"MB为平行四边形，

故PB〃HM,而HM_LCD,故尸3_LCD,

不妨取空间一点s,作尸6co的平行线PRIC'D,如图，

则和p®,c'D所成角均为;的直线即为它们形成的角的角平分线乙，，

假设平面a过4且垂直于所确定的平面，当乙绕点S且在a内转动时,

则此时直线/与P®,C。所成角相等，但会变大，大于g,

4

即在P®,CD所确定的平面外过点S不存在直线/与P®,C'。所成角为:，

4

故过点。与直线PB,CD所成角均为二的直线可作2条，D错误，

4

故选：AC

12.ACD

【分析】根据函数的奇偶性、周期性进行分析，从而确定正确答案.

【详解】由于g(x-i)为偶函数，图象关于y轴对称，

所以g(x)图象关于x=-l对称，

所以g(x-2)=g(-l+(x-l))=g(-l-(x-l))=g(—x),

所以/(x+l)+g(x_2)=/(x+l)+g(_x)=3①，

而/(xT)-g(—x)=l②,

答案第8页，共21页

两式相加得〃x—l)+〃x+l)=4,则〃x)+〃x+2)=4③，

所以/(x+4)=/(x+2+2)=4-/(x+2)=4-(4—/(x))=/(x),

所以4是的一个周期，A选项正确.

由③令x=l得〃1)+〃3)=4,

由①令x=2得〃2)+g(-l)=〃2)+2=3J(2)=l,

由②令％=1得〃O)_g(T)=〃O)-2=1,/(0)=3,则〃4)=〃0)=3,

所以“1)+/⑵+/(3)+/(4)=8"⑴+/(2)+/(3)=5,

2023onon

所以X"幻=-^x8+/(l)+/(2)+/(3)=4040+5=4045,C选项正确.

由①令x=-l得"o)+g(l)=3+g(l)=3,g(l)=。，

由/(x+l)+g(x-2)=3,/(x-l)-g(-x)=l,

得f(x)+g(x-3)=3J(x)-g(-x-1)=1,

两式相减得g(x—3)+g(r—l)=2,即g(x-3)+g(x-l)=2,

且g(x)关于(-2,1)对称,g(-2)=1,

所以g(x)+g(x+2)=2④，

所以g(x+4)=g(x+2+2)=2-g(x+2)=2-(2-g(x))=g(x),

所以g(x)是周期为4的周期函数，所以g(3)=g(-l)=2,所以B选项错误.

由④令x=2得g(2)+g(4)=2,所以g(l)+g(2)+g(3)+g(4)=4,

由于g(2)=g(-2+4)=g(—2)=1,所以g(l)+g(2)+g(3)=3

20232020

所以Zg(6==rx4+3=2023,所以D选项正确.

k=l4

故选：ACD

【点睛】有关函数的奇偶性、周期性的题目，关键是要掌握抽象函数运算，还要记忆一些常

用的结论.如/(x+A)=/(x)J(x+a)=-/(x)J(x+a)=京等等，这些都是与周期性有

关；如/(a+尤)=/(ar)J(a+x)=-〃a-x)等等，这些都是与对称性有关.

答案第9页，共21页

13.12

【分析】利用捆绑求得正确答案.

【详解】由于《数幸福》与《乡村振兴唱起来》相邻，所以两者“捆绑”,

则不同的排列种数为A；A；=12种.

故答案为：12

14.—2aH—c

2

【分析】由题意设。、R、E、尸分别为AACG,QAHC的中点，容易证明四边形正叱是平

行四边形，即平面P£B尸为符合题意的平面a,进而分解向量即可求解.

【详解】如图所示:

由题意不妨设。、R、E、b分别为AA，CG，QARC的中点，容易证明四边形FEB户是平行四

边形，

即平面PEBF为符合题意的平面a,因此

BP+EF=(BD+DP^+[ED+DF)=[-DA-DC+DP\+[-DE+DF),

又因为DP=gDR,-DE=-DA-AE<DF=DC+CF，S.AE=^-DD[,CF=,

244

所以

BP+EF=^-DA-DC+^DD^+^-DA-^DDi+DC+^DD^=-2DA+^DDl=-2a+1c.

故答案为：-2a+：c.

2

【分析】由/(x)>0进行转化，利用构造函数法，结合多次求导来求得/的取值范围.

【详解】依题意，当彳«0,钙)时，f3=(e*+2)__]nx>0恒成立，

v7x+2

答案第10页，共21页

即(e'*+2)fx>(x+2)lnx恒成立，

即(e"+2).lne'”>(x+2)lnx①恒成立，

设g(x)=(x+2)lnx,g，(x)=l+-+ln%,

,7,、_7

令z=g'(x)=l+—+lnx"(x)=—r—,

xx

所以从用在区间(0,2)上h\x)<0,h(x)单调递减；

在区间(2,+8)上h\x)>0,h(x)单调递增，

所以/z(x)>/z(2)=2+ln2>0,也即g'(x)〉0,g(x)在(0,+。)上单调递增,

InY

所以由①得屋>%,即比>lnxj>—，

%

、几/xInx,/、1-lnx

^m[x)=——,m[x)=——--,

所以根(x)在区间(0,e)上加⑺>0,制力单调递增；

在区间(e,+00)上加(x)<0,m(x)单调递减,

所以mix)<m(e)=—=-,

ee

所以f>:,即f的取值范围是

故答案为：

16.y2=4x

【分析】设|NF|=4®>0),表示出|R用="钻|=26囚尸|=2百，利用抛物线定义、点在

抛物线上以及圆的弦长的几何性质列出关于a，P的方程，即可求得p,即得答案.

【详解】由C:V=2px(0<p<2a)可知F(-1,0),

设|NF|=4t(t>0),贝U|RF|=t,\AB\=245\RF\=2族,

答案第11页，共21页

贝UI取1=3/,故(a-K)2+(凶)2=|NR/，即(a-4)2+(6)2=9』①;

又点N(a,2百)(a>0)在抛物线C：y1=2px(fi<p<2a)上，

故|N尸|=。+"=4②，且12=2pa,即pa=6③，

2

②联立得12a2-20ap+3P2=0,得2。=3。或6a=p,

由于0<p<2a,故2a=30,结合po=6③，

解得。=2,故抛物线方程为V=4无，

故答案为：y2=4x

【点睛】关键点睛：解答本题的关键在于要结合抛物线的定义以及圆的弦长的几何性质，找

出参数a，P间的等量关系，从而列出方程组，即可求解.

17.⑴%=3"

(2)7；,=-^-

2/1+1

【分析】(1)根据题意列出方程组，求出首项和公比，即可得答案；

(2)利用(1)的结论化简2=^---------------(〃eN*),利用裂项求和法即可求得答案.

log3a2n-1.log3a2〃+1•

[a,+a+a,=39

【详解】(1)由题意可得J0二、，

[2(%+6)=%+%

即得2(%+6)+4—39,/.出=9,贝lj%+%=30,

[a,q=9°

即1；1+8=30,可得初T0q+3=0，由于31，故得4=3,

则q=3,故%=3x3"T=3"；

答案第12页，共21页

j/7111

=2/112/?+1=

(2)由(1)结论可得«=log3tZ2?t.iog36/2n+1log33-.log33(2H-1)(2H+1)

=-(-------),

22n-l2〃+l

故色｝的前"项和++-贵)

2兀

18.⑴5

16

【分析】(1)利用正弦定理边化角，结合两角和的正弦公式化简，可得cos。的值，即可得

答案；

(2)利用余弦定理得+/=25—〃/?,配方得(Q+Z?)2=25+",再结合，ABC的内切圆半

21

径，利用等面积法推出〃+人=2"-5,即可求得帅=下，从而求得答案.

4

【详解】(1)在ABC中，由。8$24-々85。=々+7得5111。854-51112485。=51114+51115,

即sinCcosA-sinAcosC=sinA+sin(A+C),

故—2sinAcosC=sinA,由于A£(0,7i),，sinAwO,

12兀

故cos。二——，而。£(0,兀)，故。=—.

23

27r

(2)由C=w-可得02="+6+必，而c=5,

故=25-岫，贝！］(a+4=25+"，

由.ABC的内切圆半径厂=且，可得L(a+6+c)•厂=L"sinC,

422

即^^(〃+b+5)=,BPa+b=2ab—5,

42

21

故(2ab-5)2=25+ab角军得ab=—,

f4

故.ABC的面积S=—absinC=—x—x.

224216

19.(1)证明见解析

答案第13页，共21页

【分析】（1）取AD中点Q,连接MQ，NQ,要证MV//平面P4B,只需平面MQV//平面R4B,

结合已知条件即可得证.

（2）当AMLPC时并结合已知条件即可建立如图所示坐标系，根据AO=2AS=4以及中点

关系、PC=3PH即可写出各个点的坐标，进而求出法向量即可求解.

【详解】（1）如图所示：

P

取AD中点Q,连接MQ,NQ,

M,N分别为PD、3c的中点，且底面ABCD为矩形，

所以M。〃尸A,MQ=LpA,且NQ//A8,

~2

又因为MQi平面MQN,平面R记，NQu平面MQN,NQ<Z平面八记,

所以河。〃平面上45,且QN//平面上钻，

又因为MQNQ=Q,MQI平面MQN,NQu平面MQN,

所以平面MQN〃平面上钻，

因为MNu平面MQN,

所以由面面平行的性质可知MN//平面

注意到侧面PAD为正三角形以及/为PO的中点，所以由等边三角形三线合一得AMYPD,

又因为4W_LPC,且尸Du面PDC,PCu面PZJC,PDcPC=P,

所以AMI面尸DC,又因为CDu面尸。C,所以CDJ_AM,

又因为底面ABCD为矩形，所以CDLAD,

答案第14页，共21页

因为ADAM=A,AWu面上M),ADc^PAD,

所以05_1面尸仞，因为PQu面PA。，

所以COLP。，又CD〃NQ,

所以NQLPQ,又由三线合一PQ,AO,又AOLNQ,

所以建立上图所示的空间直角坐标系；

因为AD=2AB=4,

所以A（0,-2,0）,N（2,0,0）,尸（0,0,26）,C（2,2,0）,0（0,2,0）,

又因为M为PD的中点，PC=3PH,

所以贝0,1,⑹,*［竽,

所以肱4=(0,-3,--)，MN=(2,-1,一6),MH=‘2_1叵

(333)

不妨设平面AAW与平面HMN的法向量分别为4=（占,%，4）,%=（x2,y2,z2）,

n.MA=0n-MH=0

所以有以及2

々・MN=0n2-MN=0

21M

一肛一";°以及.~X2~~y2+~T~Z2=0

即分别有:333

2再—%—J3Z]—0

2X2-y2-^z2=0

分别令X=T，%=1,并解得%=(-1,1,-73),^=(1,2,0),

不妨设平面AAW与平面HMN的夹角为0,

-lxl+lx2-百x0

所以cose=

J(-l)+F+(⑹2X712+22+02M

综上所述：平面4WN与平面必W的夹角的余弦值为g.

20.（1）分布列见解析

(2)5

【分析】（1）由题意X的所有可能取值为：0,1,2,3,由独立事件乘法公式以及互斥事件

加法公式即可分别求出相应的概率，进而求解.

答案第15页，共21页

（2）不妨设抽取第左（14左（7L1）次时取到优质产品，此时对应的概率为

P（左）=0.025*（0.975）1,而第"次抽到优质产品的概率为P（〃）=（0.975）1,

所以抽取次数的期望值为

n-1

Xo.O25x左.(0.975广+〃(O.975)i

E(叫=1k•P(k)+nP(n)=

_k=i__k=\

=0.025x[1+2x0.975++(n-l)x(0.975广?卜〃(0.975广，

对其求和并结合E（n）<5以及参考数据即可求解.

【详解】（1）由题意X的所有可能取值为：0,1,2,3.

尸(X=0)=W=」-

'75710350

P(X=l)g；>116111919

X——+—X—X-------F—X—X—:------

1057105710350'

P(X=2)f141916911457

■X—+—X—><:-----F—X—x——------

1057105710350175

p(X=3)=|x|9216108

,AXZ-_--_--——

--175；

10350

「1一1〃一1

取次数的期望值为£（〃）=(左)+〃P(〃)=^0.025x^.(0.975)+〃(O.975)"T

屋=1」Lk=l

=0.025x[1+2x0.975++(〃-l)x(0.975广〔+“(0.975广，

0.975.£(«)=0.025x[1x0.975++(n-2)x(0.975广2+(,7-i)x(0.975广[+“(0.975)”,

两式相减得

0.025-£(«)=0.025x[1+0.975++(0.975)"-2-(n-l)x(0.975)"-1]+0.025XM(0.975)"-1,

答案第16页，共21页

所以=氏=40[l-（0.975）”]，

又由题意可得E（〃）45,

所以40[1-（0.975）[W5,即（0.975）”>0.875,

注意到当〃=5时，有0.9755,0.881>0.875，

且当"=6时，有0.9756=0.859<0.875;

综上所述：〃的最大值为5.

r2v2

21.⑴上一上=1

（2）证明见解析

【分析】（1）根据题意推出IIOCITO8U=4,结合双曲线定义即可求得答案；

（2）设出直线/的方程，联立双曲线方程，得到根与系数的关系，表示出直线4知和&N的

方程，推得一片=产J,结合根与系数的关系化简，即可证明结论.

x-2tyly2+y1

【详解】（1）由C:x2+y2-2V15x-6=0得C:（x-丽）2+/=16,其半径为4,

因为线段AB的垂直平分线与直线AC交于点。，

故|OB|=|OA|,贝川。C|—|E)B||=||OC|—|a4||=|AC|=4,

而|3C|=8>4,故点。的轨迹E为以民C为焦点的双曲线,

贝！］2a—4,a=2,2c—2-\/?0,C--s/To,b2—c1—a1=6,

22

故点£>的轨迹E的方程为土-匕=1.

46

（2）证明：由题意知A（-2,0）,4（2,0）,

答案第17页，共21页

若直线/斜率为0,则其与双曲线的交点为双曲线的两顶点，不合题意;

故直线/的斜率不能为0,故设其方程为无=0+3,

x=ty+3

联立,得（3产一2）/+18"+15=。，A=144f2+120>0.

146

-18?

-3/一2

故.

15

=

3/2-2

设M（为,％）,NH,%），则直线4"的方程为y=-T7（X+2）=7TT7（X+2）,