2022-2023学年高一数学 人教A版2019必修第一册 同步讲义 第19讲 对数函数常考9大题型总结 含解析

第19讲对数函数常考9大题型总结

【考点分析】

考点一：对数函数的定义

对数函数的定义：函数y=logaX5>0且。WI）叫做对数函数，它是指数函数y=，（。>0且

“≠1）的反函数.

考点二：对数函数的图像及性质

考点三：对数函数底数变化与图象变化的规律

在同一坐标系内，当α>l时，随α的增大，对数函数的图象愈靠近X轴；当O<α<l时，对

数函数的图象随a的增大而远离X轴.（见下图）

α增大

。增大

【题型目录】

题型一：对数函数的概念

题型二：对数函数的定义域

题型三：对数函数的定义域为R和值域为R的区别

题型四：对数函数的定点问题

题型五：对数函数的奇偶性

题型七：对数函数的单调性

题型七：对数函数的值域

题型八：对数函数的图象问题

题型九：由函数性质写函数解析式

【典型例题】

题型一：对数函数的概念

[例1)(2022•全国•高一课时练习)下列函数是对数函数的是()

t2

A.γ=logtt(2x)B.y=IglOC.y=logn(x+x)D.y=lnx

【答案】D

【分析】根据对数函数的概念即得.

【详解】因为函数旷=108〃%(。>0且4#1)为对数函数，

所以ABC均为对数型复合函数，而D是底数为自然常数的对数函数.

故选：D.

【题型专练】

1.(2022•全国•高三专题练习)已知函数①>=4*；②y=log,2；③y=-log?x；@y=Iog02G；

⑤y=l0g3X+l;⑥y=l0g2(x+l).其中是对数函数的是()

A.O@③B.③④⑤

C.③④D.②④⑥

【答案】C

【分析】依据对数函数的定义即可判断.

【详解】根据对数函数的定义，只有符合y=10g.x(α>0且4xl)形式的函数才是对数函

数，其中X是自变量，α是常数.易知，①是指数函数：②中的自变量在对数的底数的位置，

不是对数函数；③中y=T°g3X=log;'是对数函数；④中y=k>g026=k>gωwx，是对数

函数；⑤⑥中函数显然不是对数函数，由此可知只有③④是对数函数.

故选：C.

题型二：对数函数的定义域

【例1】(2022奉新县第一中学高一月考)函数/(x)=∙⅛U的定义域为()

∖∣4-x

A.(1,2]B.[1,4]C.(1,4)D.[2,4]

【答案】C

【详解】对于函数〃X)JF-!),有解得l<x<4.

√4-x[4-x>0

因此，函数“力=可：7)的定义域为(1,4).故选:C

√4-x

【例2】(2022.福建福州.高二期末)函数y=JIog2(3x-2)的定义域是

ʌ-卜W)B∙(|,+8)C.f∣,l]D.

【答案】D

【分析】由对数式有意义及二次根式有意义可得.

【详解】由题意1%（3尸2）20,3x-2>l,x≥l.

故选：D.

【例3】（2022•全国•高三专题练习）已知函数y=Λx+D的定义域为-；，1,则函数

y=Λ∣0g2X）的定义域为（）

A.（0,+∞）B.（0,1）C.［号2］D.［国］

【答案】D

【分析】根据y=∕（x+l）的定义域可知g≤x+l≤2,故g4log2X≤2,即可求出答案.

【详解】解：∙.∙函数y="χ+D的定义域为-；，1

；♦—≤x≤l,—≤x+l≤2

22

函数y=f（log?χ）中，ɪ≤Iog2X<2

y∣2≤x≤4

所以函数3'≈∕（log2X）的定义域为［√Σ,4I.

故选：D

【例4】（2022•全国•高三专题练习）下列函数中，其定义域和值域分别与函数y=10∣g,的定

义域和值域相同的是（）

1

A.y—xB.y=lgxC.y-2xD.y=^j=

【答案】D

【分析】求出函数y=10∣”的定义域和值域，对选项逐一判断即可.

【详解】因函数y=10®的定义域和值域均为（。,+8）,

对于A,y=X的定义域和值域均为R,故A错误：

对于B,y=lgχ的定义域和值域分别为（0,田）,R,故B错误；

对于C,y=2χ的定义域和值域均为R,故C错误；

对于D,y=*定义域和值域均为（0,y）,故D正确；

故选：D.

【例5】（2022•全国•高一课时练习）已知函数/（J+1）的定义域为［1,2］,则函数

g(χ)=∕¾的定义域为()

A.[2,5]B.(2,3)u(3,5]C.(2,5]D.[2,3)u(3,5]

【答案】B

X-2>O

【分析】先求出/O)的定义域为[2,5],再解不等式,x-2≠l即得解.

2≤x≤5

【详解】解：因为l≤x≤2,.∙.l≤χ2≤4,.∙.2≤Y+ι≤5,所以/(χ)的定义域为⑵5],

x-2>0

由题得「工一2工1,所以2vxv3或3<x≤5.

2≤x≤5

所以函数的定义域为(2,3)7(3,5].

故选：B

【题型专练】

1.(2022•云南昆明•高一期末)函数"x)=In(-/+5χ-6)的定义域是.

【答案】(2,3)

【分析】解不等式-f+5χ-6>0,可得出函数/(x)的定义域.

【详解】对于函数/(x)=In(T?+5x—6),由—f+5χ-6>0,即5x+6<0,解得2<x<3.

因此,函数F(X)的定义域为(2,3).

故答案为：(2,3).

2.(2022江苏)已知函数y=f(2，)的定义域是[-1,1],则函数/(bg3X)的定义域是

A.[-1,1]B.g,3C.[1,3]D.[√3,9]

【答案】D

【详解】由x4-l,l],得2*eg,2,所以IogjXeɪ2,所以xw[G,9].故选：D.

3.(2022江苏如皋)函数]OgI(x—l)的定义域为().

A.(F⑵B.(2,+⅛5c.(1,2)D.(1,2]

【答案】C

J-1>0x>lX>∖/\

【详解】由题意知,k>g[(x-l)>0，得“Ogl(X-I)>log11，所以xT<],所以xe(l,2).

1

4.函数/(X)=的定义域为

Iog2(x-3)

【答案】（3,4）"4,y）

x-3>0x>3一、Jɪ>3

【详解岫题意%0”，得!呜（尸3三皿！’”「以.3w］，所以Xe(3,4)kj(4,+∞).

题型三：对数函教耀义璟为R和

【例1】（2022•全国•高三专题练习）已知函数/（x）=Ig（以2+3x+2）的定义域为R,则实数

a的取值范围是.

【答案】*

【分析】先由对数函数的定义域得到“*2+3χ+2>0在R上恒成立，再由判别式求出实数4

的取值范围即可.

9

【详解】根据条件可知o√+3x+2>0在R上恒成立，则。>0,且A=9-8α<O,解得〃>三，

O

故4的取值范围是长,+8].

故答案为：（（+oc）∙

【例2】（2022.全国•高一阶段练习）函数/（x）=lg（2/n√_3χ+4）的值域为R,则实数W的

取值范围为

9

【答案】0，—

【分析】分析可知（0,+纥）为函数"=-3x+4的值域的子集，分机=O和M≠0两种情况讨论,

结合已知条件可得出关于实数机的不等式，综合可得出实数用的取值范围.

【详解】解：由题可知，函数f（x）=lg（2w2-3χ+4）的值域为R,

令〃=2∕MX2-3Λ+4,由题意可知（0,+纥）为函数〃=-3x+4的值域的子集.

①当》1=0时，"=-3x+4,此时〃X）=Ig（-3x+4）,

函数〃=-3x+4的值域为R,合乎题意；

②当"?WO时，若（0,+⑹为函数〃=2nυc-3x+4的值域的子集，

则hf∕π>=O9-32诰。,解得0<相这9

-9^

综上所述，实数〃?的取值范围是0，--

9

故答案为：记.

【题型专练】

1.（2022•全国•高一课时练习）（1）若函数〃切=1。82（加+奴+1）的定义域为R,则实数4

的取值范围是;

(2)若函数，(另=1。&11+⑪+1)的值域为R,则实数。的取值范围是.

【答案】[0,4)[4,+∞)

【分析】(1)由题可得dχ2+0r+l>O恒成立，分类讨论结合二次函数的性质即得；

(2)由题可得α√+αr+ι>o的解包含所有的正数，分类讨论结合二次函数的性质即得.

【详解】(1)当a=O时，/(x)=O符合题意；

当QWO时，欲使ɑ/+依+1>O在R上恒成立，

>0

则∣A="2-4α<0'

解得OVaV4,

综上，实数”的取值范围是[0,4)：

(2)当α=0时，/(x)=0,不符合题意；

<7>0

当αxθ时，欲使⑪2+αx+ι取遍所有正数，只须使｛,

[∆,=a2-4a≥0

解得424,

综上，实数”的取值范围是[4,+8).

故答案为：[0.4)；[4,+∞).

2

2.若函数y=log2(^+2x+1)的定义域为R,则4的范围为O

【答案】(l,+∞)

【详解】由题意知加+2x+l>0对XeR恒成立，所以当a=0时，2x+l>0,解得x>-:，

2

ft/>0["0,

不成立,当α≠0时,ʌn，即”,ʌ,解得α>l,

[Δ<0[4-4α<0

【例6】(2022全国高三专题练习(理))若函数/(x)=Ig(OX2-2x+a)的值域为R,则

实数4的取值范围为()

A.(-1,0)B.(0,1)C.[0,1]D.(l,+∞)

【答案】C

【详解】由题意知g(x)=αγ2-2χ+”能取到所有大于O的实数,所以当〃=0时，g(x)=-2x,

/、>0[a>0

所以g+-2X的值域为R,满足题意，当α≠0时，八八，即一、八，解得O<a≤l,

[Δ≥0[Z4-I4α≥0

综上可知0≤α≤1

题型四：对数函数的定点问题

【例1】(2022四川高一开学考试)函数y=log“(2x+7)—2(a>0,且αHl)的图象一定

经过的点是()

A.[-1,-2)B.(-3,-2)C.(-3,-1)D.(-4,-2)

【答案】B

【解析】令2x+7=l,x=—3,则y=-2,即函数图象过定点(一3,-2).故选：B.

【题型专练】

1.(2022镇远县文德民族中学校高一月考)函数y=log“(3x—l)(α>0,ακl)的图象过定点

()

A.(∙∣,1)B.(-1,0)C∙仔。)D.(0,一1)

【答案】C

z、2

【解析】对于函数y=log,,(3x-l)(a>0,αwl),令3x-l=l,可得x=§,则y=∣og"=0,

因此，函数y=log,,(3x-l)(a>0,的图象过定点故选：C.

题型五：对数函数的奇偶性

【例1］判断下列函数的奇偶性：

⑴/(x)=lg^-∣(2)/(x)=lg(√x2+l+x)

【解析】(1)由题意知定义域为卜％<—1或c>l}

/(-χ)=Ig-~~-=Ig2土ɪ,所

以

'7-Λ+1x-l

/(-x)+∕(x)=lg∣tl÷lg∣≤=lg^)(^j=lgl=O,

所以/(—*)=—/(x),所以/(x)为奇函数

(2)由题意知定义域为XeR

/(-x)=Ig+1ix｝所以/(一x)+/(x)=Ig[ΛIX2+1-X)+Ig(JX2+1+x)

=lg(√x2+l+xp√+1-x)=Ig1=0,所以/(-χ)=-∕(χ),所以/(x)为奇函数

注：形如/(x)=IOg“([QnXy+1±如)类型的函数均为奇函数

【例2】(2022天津市武清区杨村第一中学高二阶段练习)设/(x)为偶函数，且当x>0时,

/(x)=l+lnx,则当χ<0时，/(%)=()

A.-l-ln(-ɪ)B.—l+ln(—x)C.1+In(-ɪ)D.I-In(-ɪ)

【答案】C

【分析】利用偶函数的定义经计算即可得解.

【详解】因/(x)为偶函数，且当x>0时，/(x)=l+lnr,

因此，当x<0时，-χ>O,/(x)=f(-x)=1+ln(-x),

所以/(x)=l+ln(τ).

故选：C

【例3】(2022全国高一专题练习)己知函数/(X)=j+ln型也三-1,若定义在R上的

ax+∖2019-x

奇函数g(x),有g⑴=/(log225)+/(log&(),则g(-l)=()

A.2B.0C.-1D.-2

【答案】A

×_12019÷γ

【详解】因为y=巴π二为奇函数，J=In----------也为奇函数，设

Jax+∖2019—X

Λ(x)=≤zl+∣n∣^∣^,则MX)为奇函数，所以〃(—6=一MX)，所以/(x)=MX)-1，

f(-x)+∕(X)=〃(-X)T+〃(X)T=-2,因

g(1)=/(Iog225)+/(logχβɪ)=/(2log,5)+/(-2Iog25)=-2,又因g(x)为奇函数，所以

g(T)=-g⑴=2

21

【例4】(2022全国高一专题练习)已知函数/(X)=--+--满足条件

1+2Λ1+4V

/(loga(√2+1))=1,其中a>l,则/(1Og“(五一1))=()

A.1B.2C.3D.4

【答案】A

ɔ1

【详解】因/(χ)=τW7+士，则

1+21+4

,/ʌ,/ʌ21212,211

-----1--------1------1-----=---：—I------1----：—I------

f(~χ)÷fix)=x

''''1+2Tl+4^1+2*1+4*1+X1+2*j+X1+4"

F47

22+1)+-3,

+工+上+」因

^2x+l1+2*4r+ll+4x2-t+l4t+l

如〃(&T)Mbg"b⅛))=∕(-log,,(√2+l)),所以

/(log.(√2+1))+/(-log.第+1))=3,所以/(log,,(√2-1))=2

【例5】(2022全国高一专题练习)函数=L+log,小?为奇函数，则实数。

Xl-x

【答案】a=±↑

【详解】因为/(x)为奇函数，所以/(—x)+∕(x)=O,所以

”∖∠√∖ɪ.∖~ax1,∖+axCπ,l,(∖-axl+0x)C,v

/(-x)+∕(X)=一—+lθg2-+-+Iog2-=O,即log?--------:=O-所

X1+xX1-xI1+xI-X)

以

log,:=0,所以:=1,所以/=1,所以。=±1,经检验知均满足题意

^l-x2l-x2

【题型专练】

1.(2023・全国•高三阶段练习)关于函数y=lg(占-1)说法正确的是()

A.定义域为(T/)B.图象关于〉轴对称

C.图象关于原点对称D.在(0,1)内单调递增

【答案】ACD

2

【分析】由^——1>0即可求出其的定义域；利用/(τ)=-∕(x)可判断/(X)为奇函数；求

I-X

利用复合函数的单调性即可判断/(X)在(0,1)内的单调性.

【详解】因为/*)=Ig(占1=‹≡

所以---->0=-----<0=>-l<x<l,

Xx—\

所以定义域为(T,l),故A正确；

因为/(-χ)=Ig(三)=-f(χ)，

所以/(X)图象关于原点对称，故B错误，C正确；

又y=lτ>0在(0,1)上单调递减，

所以y=^A-ι>o在(o,ι)上单调递增，

又y=igX在(o,+e)上单调递增,

所以y=ig(占-1)在(0,1)上单调递增，故D正确.

故选：ACD.

2.(2022・湖北•高二学业考试)下列函数的图象关于丫轴对称的是()

A.7(X)=巴二B./(x)=≤-≤

X-2

C./(x)=In(X2+2X)D./(X)=Ig

【答案】A

【分析】根据偶函数的定义判断即可;

【详解】解：对于A：/(X)=巴;定义域为{x∣x≠0},所以

X

-X._X.Λ.-X

ʃ(-ɪ)=7~ʃ=--------2-=f(X),

(-χ)X

故Ax)=/二为偶函数，函数图象关于y轴对称，故A正确；

X

对于B:/(χ)=q≤定义域为R,且f(τ)=宝二=-£萨=-/*)，

故F(X)=q≤为奇函数，函数图象关于原点对称，故B错误；

对于C：/(x)=In(X2+2X)定义域为(一,-2)U(0,M),定义域不关于原点对称，

故函数/(%)=In(X2+2x)是非奇非偶函数，故C错误；

对于D：/(x)=lg±l定义域为(一8,_1)。(1,十动，定义域关于原点对称，

x+1

_y_1X—]

又因/(-%)+/W=Ig--------+Ig——=O故函数是奇函数，故D错误；

-X+1x+1

故选：A

3.(2019全国卷2)设"力为奇函数，且当XVO时，〃％)=—/,若F(In2)=8,则α=

【答案】a=—3

【详解】因为/(χ)为奇函数，所以

/(M2)=—/(—In2)=一/(Ing)T-Jln2J=e[=出

=8，所以a=—3

4.(2022四川绵阳•(文))已知函数/(x)对任意实数x,满足/(x)+"-x)=O,当x≥0时,

"x)=2*-m(加为常数)，则/(1-1吗3)=()

A.ɪB.—C.—D.—

2233

【答案】B

【详解】由"x)+f(-X)=0,可得"x)为奇函数

由当x≥0时，f^x)-T-m,贝Ij/(0)=2°-Zn=O,解得加=1

所以当XNo时，/(x)=2'-l,所以〃1-10氏3)=-/(地23-1)=—(2啮3τ-i)=-g

故选：B

f∖

5.(2022山西高三月考(理))函数/(χ)=In(Gn-X)+2,则/(log23)+/Iogl3=

\2√

()

A.0B.2Iog23C.4D.1

【答案】C

2

【详解】设g(χ)=ln(√x+l-χ),则g(x)为奇函数，所以g(—x)=-g(x),所以

(\

f(x)=g(x)+2,f(-x)+f(x)=g(-x)+2+g(x)+2=4,因/log,3=/(-Iog23),

k2√

所以

/(log23)+∕θog13=/(log23)+/(-Iog23)=4

1-LV1

6.已知函数/(x)=X+In上土+L,则/Qg5)+/(Ig2-1)=；

1-x2

【答案】1

【详解】设g(x)=x+ln——，则g(x)为奇函数，所以g(-χ)=-g(χ),所以

1-x

/(x)=g(x)+；,/(—x)+/(x)=g(—x)+；+g(x)+；=l,因y(lg2—l)=/(—lg5),

所以

/(lg2-1)+/(lg5)=1

7.己知函数/(x)=In(Ji77—x)+咛，则/[nj]+∕(10*')=()

A.-]B.0C.1D.2

【答案】D

【详解】/(x)=InkI+/-x)+l+L设g(x)=ln(jm^-x)+L则g(x)为奇函数，

所以g(-x)=-g(x),所以/(χ)=g(χ)+l,/(-%)+/(x)=g(-%)+l+g(χ)+l=2,因

/(哈卜/(—x),/(ιo⅛v)=/(尤)所以

小川+/(10叼=2

题型六：对数函数的单调性

【例1】(2021・浙江・玉环中学高一阶段练习)函数〃*)=1°8/一/+3》-2)的单调递减区

间为()

A∙,8,|)B.(岗C∙(|’2)D∙悖+8)

【答案】B

【分析】由对数型复合函数定义域求法可求得了(x)定义域；根据复合函数单调性的判断方

法可得到单调递减区间.

【详解】由τ2+3x-2>0得:l<x<2,即/(x)定义域为(1,2)；

令f=-d+3χ-2,则f在(1，目上单调递增，在(|，2)上单调递减；

乂y=SgJ在(O,+∞)上单调递减，

.∙"(x)=log；+3》-2)的单调递减区间为(IB).

故选：B.

【例2】(2021•云南高一期末)若函数/(x)=bgl(-V+4x+5)在区间(3m-2,m+2)内单调递

2

增，则实数机的取值范围为.

4

【答案】-≤^<2

【解析】由一d+4x+5>0可得χ2-4x-5vθ,解得一IeX<5,

函数/(x)=lOgl(T∖4x+5)是由y=k)gj和f=γ2+4χ+5复合而成，

22

又f=-V+4χ+5=-(χ-2)2+9对称轴为彳=2,开口向下，

所以r=-Y+4x+5在(T,2)上单调递增，在(2,5)上单调递减，

因为y=IogJ为减函数，所以/(x)=log;"+4x+5)的单调增区间为⑵5),

'3m-2≥2

因为f(x)在区间(3机-2,机+2)内单调递增，所以，加+2≤5,解得g≤%<2,

3m-2<m+2

44

所以实数机的取值范围为m≤,W<2,故答案为：^≤m<2.

【例3】已知函数/(犬)=1。8〃(？一办+2)在(2,+00)上为增函数，则实数α的取值范围为

【答案】。，3]

【解析】令“=χ2-αχ+2,贝IJy=Iog“〃，因为〃一αv+2的对称轴为x=∙∣∙,且

〃一℃+2在(2,+8)上为增函数，所以]<2,解得α≤4

由题意知了=108。"在(2,+8)内递增，所以”>l.乂〃=犬一依+2在(2,+8)t：恒大于0,

所以4-2α+2≥0,即α≤3.

综上，实数a的取值范围是：l<α≤3.故答案为：(1,3］.

【例4】设函数/(x)=ln(l+W)-一二，则使得/(x)>∕(2x-l)成立的X的取值范围是

(A)(―,1)(B)(―∞,—)U(1,÷∞)(C)(——>—)(D)(―∞J——)U(~>+∞)

【答案】A

【解析】因为函数f(x)=ln(l+W)——二，所以/(χ)是定义在R上的偶函数，在［0,+∞)

上是单调递增的，/(x)</(2x-1)/(∣Λ∣)</(∣2%-1|),又因f(x)在［0,+。。)上递增，所

以N<|2x—1］,解得;<x<l

【例5】已知定义在R上的函数/(x)在区间［0,+8)上单调递增，且y=∕(x-l)的图象

关于X=I对称，若实数4满足/(log2α)<∕(2),则“的取值范围是()

A.(0,£jB.C.：,4)D.(4,+∞)

【答案】C

【解析】因为y=/(x—1)的图象关于X=I对称，向左平移1个单位得到y=∕(χ),所以

/O)关于X=O对称，所以“X)是定义在R上的偶函数，在［0,+。。)上是单调递增的，

/(log2a)<f(2)<≠>/(jlog2«|)<f(2),乂因/(x)在［θ,+χ))匕递增，所以∣bg2α∣<2,即

-2<log26z<2,所以1082,<1082。<1。824解得一<。<4

44

(2α-l)x,(x>1)

［例广东•深圳市第二高级中学)已知函数

6］(2022/(x)=∙1z、，当%>°,

IOg(IX-g,(0<xMl)

々>0,且X产X,时，“芮)—)<0,则实数0的取值范围是()

ʌ-(*)b∙［ri)c∙Md∙F

【答案】C

【解析】因为当％>0,¾>0,且内≠当时，"石)T(X2)<0,

2a-∖<0

所以f(χ)在定义域内为单调减函数，因此,0<a<∖解得：o<Ω≤∣,

2"T≤1OgaI

所以实数。的取值范围是(Oq.故选：C.

【例7】(2022年重庆巴蜀)若/(x)是定义域为(0,+8)上的单调递减函数，且对任意实

数x∈(0,+∞)都有/ʃ(ɪ)-ɪ=；+1(无理数e=2.71828…)，则/(ln2)=()

31

A.3B.—C.e+1D.一

22

【答案】B

【解析】因/(x)是定义域为(0,+8)上的单调递减函数，所以为定值，设

f=∕(x)-4,由题意知/0)=1+1，又因/(x)=4+f,令龙=，，得/(f)=4+r='+l,

eeeee

I13

所以f=l,所以f(x)=∙+l,所以/(∣n2)=F+l=i

eτe2

【例8】(2022•全国•高一课时练习)设函数/(x)=ln∣2t+l∣-ln∣2χ-1|,则()

A.是偶函数，且在(；，+8)单调递增

B.是奇函数，且在卜;,g)单调递增

C.是偶函数，且在(-8,-；)单调递增

D.是奇函数，且在单调递增

【答案】B

7ɪ1

【分析】先求出F(X)的定义域结合奇偶函数的定义判断F(X)的奇偶性，设，=I篁r11，则

y=lm,由复合函数的单调性判断/(χ)的单调性，即可求出答案.

f2x+l≠01

【详解】解：由C1,、，得Λ≠4∙

[2x-l≠02

又/(-x)=ln∣-2x+l∣-ln∣-2x-1∣=-(ln∣2x+l∣-ln∣2x-1∣)=-Fa),

：.f(%)为奇函数，

⅛∕(x)=ln∣2x÷.∣-ln∣2x-ll=ln∣-1,

V2X+1=1+2=1+―ɪ-

2x-l2x-lx--

可得内层函数∕=∣2x"+∣l的图象如图，

2x-l

在(-8,-ɪ)>(ɪ>+∞)上单调递减，在(―5，3)上单调递增,

又对数式y=Inr是定义域内的增函数，

由复合函数的单调性可得，f(x)在(-；，上单调递增，

在(-00,-ɪ),(ɪ,+∞)上单调递减.

1.(2022新疆高一期末)函数〃x)=∣°g∣(*-4)的单调递增区间为()

2

A.(0,+∞)B.(-∞,0)C.(2,+∞)D.(-∞,-2)

【答案】D

【解析】对于函数〃x)=l°g4(/—4),有/_4>0,解得X<-2或x>2,

2

故函数/(力的定义域为(-∞,-2[(2,M),

内层函数〃=4在(γ,-2)上单调递减，在(2,+∞)上单调递增，

外层函数y=∣°g["为减函数，

2

由复合函数的单调性可知，函数"x)=l°g[(d-4)的单调递增区间为(_8,_2).故选：D.

2

2.(2022全国高一专题练习)已知函数y=log,,(2-ax)(a>0,且α≠l)在[0,1]上是减函

数，则实数。的取值范围是.

【答案】（1,2）

【解析】令〃=2-"，则y=log”〃，因为a>0,所以〃=2-"递减，

由题意知y=log，在[0』内递增，所以α>l.乂〃=2-打在xe[0,l]上恒大于0,所以

2-。>0,即〃<2.

综上，实数。的取值范围是：l<α<2∙故答案为：（1,2）.

3.（2022贵州凯里一中）己知函数/（x）=Ig（X2-3WX+4）,Vx1,x2∈（→o,l）,且人卢苍时,

关于为，斗的不等式"（为）-〃々）I（X「々）<。恒成立，则实数机的取值范围是（）

252252

A.B.（-∞,-]C.D.[-,+co）

【答案】A

【解析】VΛI,Λ2∈（-∞,l）,RΛI≠X2⅛,关于X∣,*2的不等式"（再）-/。2）]（XI-X2）<0恒成

立，

—≥1

即当x∣<W<l时，/（X1）>/（X2）,所以“X）在（-∞,D上是减函数，所以彳2^,解

l-3∕π+4≥0

,25

得]≤"7≤].故选：A.

4.[2019年高考全国川卷理数】设/（X）是定义域为R的偶函数，且在（0,+⑹单调递减,

贝IJ（）

ICN_21_2_3

ʌ.f(ɪogɜ-)>f(22)>f(23)B.f(ɪogɜ-)>f(2ɜ)›/(22)

44

321-2_31

C.f(2^2)>/(2^^)>/(ɪogɜʌ)D.f(2^^)>/(2^^)>/(ɪogɜʌ)

44

【答案】C

【解析】因）是定义域为的偶函数,

"XR=∕(-∙θgs4)=∕(log34),因

-53

5

log,4>l>2^>2，由题意知/（ɪ）在（。,+8）单调递减,所以

5.（2022.全国.高一单元测试）已知函数/（*）=但，+5-4-1）,下列结论中正确的是（）

A.当α=0时，"x）的定义域为（-∞,T）51,M）

B./（x）一定有最小值

C.当α=0时，/（x）的值域为R

D.若/（尤）在区间[2,+∞）上单调递增，则实数”的取值范围是Ma≥-4}

【答案】AC

【分析】A项代入参数，根据对数型函数定义域求法进行求解；B项为最值问题，问一定举

出反例即可；C项代入参数值即可求出函数的值域；D项为已知单调性求参数范围，根据二

次函数单调性结合对数函数定义域求解即可.

2

【详解】对于A,当α=0时，/(x)=lg(x-l),⅛√-l>0.解得x<T或x>l,则/(x)

的定义域为(-,—1)51,”)，故A正确；

对于B、C,当α=0时，"x)=lg(χ2-l)的值域为R,无最小值，故B错误，C正确；

对于D,若f(x)在区间［2,+∞)上单调递增，则、=/+奴-。-1在［2,+8)上单调递增，且

当x=2时，y>0,

--<2

则J2,解得。>一3,故D错误.

4+2a-a-1>0

故选：AC.

2

6.函数/(ɪ)=Iog05(3x-OX+5)在［-1,+8)上是减函数,则实数α的取值范围为.

【答案】(-8,-6］

【详解】令“=3χ2-0r+5,则y=logos",因为〃=3/-奴+5的对称轴为x=：,由题意

知y=log(>s"在［-L+8)内递减，所以“=3χ2-奴+5在［τ,+oθ)上为增函数，所以∙∣≤-1,

解得α≤-6,又〃=3χ2-0v+5在［-1，+8)上恒大于0,所以3+α+5>0,即。>一8.

综上，实数a的取值范围是：-8<α≤-6.故答案为：(-8,-6］.

7.(2022年重庆七中高一上期中)已知函数/(X)=Iogo5(」一+2)在(3,+∞)上单调递减，

''x+a

则。的取值范围为()

A.(-∞,0)B,［-3,0)C.［-2,0)D.(-3,0)

【答案】C

【详解】令“=，一+2,则y=log(λ",由题意知y=log°s”在(3,+∞)内递减，所以

x+a

〃=’一+2在(3,+8)上为增函数，所以。<0且α+3>0,解得—3<α<0,又

x+a

"=，一+2在(3,+∞)上恒大于0,所以，一+220,即a≥-2.

x+a3+。

综上，实数a的取值范围是：一2≤α<0∙故答案为：［-2,0).

8.已知定义在R上的函数/(X)单调递增，且对任意X∈(0,+∞),恒有/(/(%)-Iog2x)=1,

则/(2)的值为.

【答案】2

【详解】因函数/(x)单调递增，所以/(x)-log2》为定值，设，=/(力-1/2》，由题意知

/(f)=l,XISI/(χ)=log,χ+r,令X=/,得/⑺=log2∙+r=l,所以r=l,所以

/(x)=Iog2x+1,所以“2)fog22+1=2

9.(2022年重庆南开)已知定义在R上函数/(x)为单调函数,且对任意的实数X,都有

/，(%)+jɪ)=!,则〃1呜3)=()

12

A.0B.—C.-D.1

23

【答案】B

Oπ

【详解】因/(%)是定义在&上得单调函数，所以“6+豕、为定值，设f=/(x)+£］，

I?21

由题意知/⑺=5,又因F(X)=一岛，令χ=t,得/(f)=，一号=§,所以/=1,

7?1

所以"x)=l-石寸，所以f(log23)=l-Fri=5

题型七：对数函数的值域

【例1】(2022.全国.高一单元测试)已知函数/(x)=Iog“x+2(a>0,且αrl)在［1,3］上

的值域为［2,4］,则实数。的值是()

A.√3B.ɪC.2√3D.与

【答案】A

【分析】分类讨论最值，当”>1时，当0<“<l时，分别求出最值解方程，即可得解.

【详解】若0<α<l,则/(x)=lOgaX+2在［1,3］上单调递减，K∣J10ga3+2≤∕(x)≤2.不符

合题意；

若。>1,则/(x)=Iog“x+2在［1,3］上单调递增，则2≤∕(x)≤log.3+2,

又因为/(x)的值域为［2,4］,所以Iog“3+2=4,解得°=√L

故选：A.

【例2】(2021•江苏♦高一专题练习)已知函数/(x)=log2X+3,xe［l,4］,则函数

g(χ)=fC)-］/(χ)］的最小值为()

A.—11B.-18C.-38D.-6

【答案】A

【分析】先解g(x)的定义域，然后利用换元法求所求函数的值域即可.

,

【详解】illy(χ)=ι0g2χ+3,x∈[1,4]

fl<x<4/、,

则]<d<4得1≤X42,所以g(x)的定义域为r[1,2],

log,%=r,故t∈[0,l],

22

g(x)=/(Y)-(X)=log,x+3-(log2x+3)2=-(log2x)-41og2Λ-6,

βpʃ=-,2-4z-6=-(z+2)2-2,t