考点三：不等式-【一轮复习讲义】2024年高考数学复习（解析版）

考点03不等式（9种题型11个易错考点）

Q-、真题多维细目表

考题考点考向

2022新高考2,第12题基本不等式利用基本不等式求最值

2020新高考1,第11题不等式的概念和性质比较大小

u二、命题规律与备考策略

本专题在高考题中多作为载体考查其他知识，例如结合不等式的解法考查集合间的关系与运算、函数的定义

域与值域、函数零点的应用等；或考查用基本不等式解决最值或恒成立问题。考题以中低档为主。主要以选

择题或填空题的形式出现，分值为5分。对于不等式及其性质内容的复习，需要结合函数的图象与性质、三

角函数、数列等知识综合掌握.

U三、2022真题抢先刷，考向提前知

（多选）4.（2022•新高考H）若X,y满足了+/-孙=1,则（）

A.x+yWlB.x+y2-2C.D.f+y221

y

X方:cose

【分析】方法一：原等式可化为，（X-Z）2+2=1,进行三角代换，令,则

2返y=sin0

2

.a,甘

x-smy+cos

l，结合三角函数的性质分别求出x+y与?+/的取值范围即可.

y—3-sme

o

J+y2

方法二：由/+/-盯=1可得，（x+y）2=1+3町＜1+32,7+y2-1=召《―，分别求出x+y

2

与/+/的取值范围即可.

【解答】解：方法一：由/+夕-孙=1可得，G-X）2+2=1,

2

x^-=cos0sinQ+cos0

o

令V3「

「乐•fi

—^―y-sinyy—o-smd

o

，x+y=Esin8+cosS=2sin（8吟）曰一2,2],故A错，B对，

•••内夫除ine+COS0产+（嘤Sin8）2=^in20-jCos291楼十侬今）

专号2】，

故C对，。错，

方法二：对于A,B,由/+y2-孙=1可得，（x+y）2=1+3外4+3（31匕）2,即],

（x+y）2<4,二-2<x+），W2,故A错，B对，

22

对于C,D,由/+y2-孙=1得，/+y2-l=xy4-£/

.,./+/W2,故C对；

2,22,2。/2-2、

*.*-xy<-..--,/.1=x^+y2-xyW/+y2+_^---Y_=0：三----『一人,

222

22

Ax+y>-1,故0错误.

故选：BC.

【点评】本题主要考查了三角代换求最值，考查了三角函数的性质，同时考查了学生分析问题，转化问

题的能力，属于中档题.

（多选）1.（2020•山东）已知a>0,h>0,且a+b=l,则（）

A./+房》上B.2"”>上

22

C.Iog2〃+log2人2-2D.Va+Vb<V2

【分析】直接利用不等式的性质的应用和基本不等式的应用求出结果.

【解答】解：①已知40,匕>0,且〃+力=1,所以（a+h）2f2+2射，则a2+b2）£,故A正确.

②利用分析法：要证2a-b>],只需证明a-Q-1即可，即4/1，由于40,b>0,且”+匕=1,

所以：a>0,-l<b-1<0,故B正确.

2

③log2a+log2b=l°g2ab《log2（W）=-2,故C错误.

④由于a>0,b>0,且a+b=l,

利用分析法：要证4/<正成立，只需对关系式进行平方，整理得a+b+2442,即2^<1，

故日《方=等，当且仅当〃=方=*时;等号成立.故。正确.

故选：ABD.

【点评】本题考查的知识要点：不等式的性质的应用，基本不等式的应用，主要考查学生的运算能力和

转换能力及思维能力，属于基础题型.

u四、考点清单

一.不等式的基本性质

①对称性：a>b=b〈a；

②传递性：a>b,b>c=a>c；

③可加性：a>b^>a+c>b+c.

④同向可加性：a>b,c>d=a+c>b+d；

⑤可积性：a>b,c>O=ac>bc；a>b,c<O=>ac<bc；

⑥同向整数可乘性：a>b>0,c>d>G=ac>bd；

⑦平方法则：a>h>O=>an>bn（nGN,且”>1）；

⑧开方法则：”>6>0=辐>版（〃6N,且〃>1）.

二.不等关系与不等式

①对任意的”，b,有“>6=4-b>0；-6=0；a<b<^>a-b<0,这三条性质是做差比较法的依据.

②如果。>匕，那么b<a；如果那么b>a.

③如果”>〃，且6>c,那么a>c；如果a>〃，那么n+c>%+c.

推论：如果a>b,且c>d,那么a+c>b+d.

④如果a>b,且c>0,那么ac>bc；如果c<0,那么ac<bc.

三.不等式比较大小

不等式大小比较的常用方法

（1）作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果；

（2）作商（常用于分数指数募的代数式）；

（3）分析法：

（4）平方法；

（5）分子（或分母）有理化；

（6）利用函数的单调性；

（7）寻找中间量或放缩法；

（8）图象法.其中比较法（作差、作商）是最基本的方法.

四.基本不等式及其应用

1、求最值

2、利用基本不等式证明不等式

3、基本不等式与恒成立问题

4、均值定理在比较大小中的应用

【解题方法点拨】

技巧一：凑项

技巧二：凑系数

技巧三：分离

技巧四：换元

五.不等式的综合

1、不等式的性质

名称不等式名称不等式

对称性<2>b=6<。出要条件）传递性a>b,b>c^a>c

>0nac>be

a>boa+c>b+c庆要条件）a>b,c<Q^>ac<bc

同向不等式可加性：

同向正数不等式可乘性：

可加性a>b,c>d=>a+ob+d可乘性a>b>Q,c>d>Q=>a:>bd

异向不等式可威性：

异向正数不等式可除性：

a>b,c<d=>a-c>b-da>Z>>0,0<c<dn%>%

K

乘方法则a>b>0na。>b(neN,n>2)开方法则a>0=%>yJb(neN3n>2)

ab>O.a>d=>—vg

倒数法则常用结论a>bo&侪要条件）

2,利用重要不等式求函数最值：“一正二定三相等，和定积最大，积定和最小”.

3、常用不等式

（1）2i2］（4方€&,当々=方时取得）

ab

（2）a：222次421be凡当a=b时取=^）

4、证明不等式的方法：比较法、分析法、综合法和放缩法.

比较法的步骤是：作差（商）后通过分解因式、配方、通分等手段变形判断符号或与1的大小，然后作出

结论.

常用的放缩技巧有：

—~~--<X<—7-5-~-(右边当n>2时成立)

nn+1n(n+l)n汉”-1)M-1n

J/c+l_y[k=——=■<--="<——=■=>fk-yfk-i

-Jk+l-i-jk2-jk-Jk-i+y/k

5.常系数一元二次不等式的解法：判别式-图象法

步骤：(1)化为一般形似：a^+bx+c^O,其中〃>0；

(2)求根的情况：0?+法+,=0能否因式分解△>()(=0,<0)；

(3)由图写解集：考虑y=a?+版+c(。>0)图象得解.

6.简单的一元高次不等式的解法：标根法：

其步骤是：

(1)分解成若干个一次因式的积，并使每一个因式中最高次项的系数为正；

(2)将每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根右上方依次通过每一点画曲线(奇穿偶回)；

(3)根据曲线显现的符号变化规律，写出不等式的解集.

7.分式不等式的解法：

分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0,再通分并将分子分母分解因式，并使每一个因式中最高

次项的系数为正，最后用标根法求解.解分式不等式时，一般不能去分母，但分母恒为正或恒为负时可去分

母.

8、含参不等式的解法：通法是“定义域为前提，函数增减性为基础，分类讨论是关键

注意：①解完之后要写上：“综上，原不等式的解集是…”.

②按参数讨论，最后应按参数取值分别说明其解集；但若按未知数讨论，最后应求并集.

含参数的一元二次不等式的解法：三级讨论法.

一般地，设关于x的含参数。的一元二次形式的不等式为：/(a)x2+£(a)x+r(a)>0(<0).

(1)第一级讨论：讨论二次项系数/(a)是否为零；

(2)第二级讨论：若，(a)W0时，先观察其左边能否因式分解，否则讨论△的符号；

(3)第三级讨论：若/(a)#0时，△>◊时，先观察两根xi,r大小是否确定，否则讨论两根的大小.

注意：每一级的讨论中，都有三种情况可能出现，即“>"，"="，“<”，应做到不重不漏.

9.不等式的恒成立、能成立、恰成立等问题

常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题，也可抓住所给不等式的结构特征，利用数形结合法.

1)恒成立问题

若不等式/(x)>A在区间D上恒成立，则等价于在区间D1.f(x)min>A,

若不等式/(X)<8在区间。上恒成立，则等价于在区间。上/(x)"如<8.

六.指、对数不等式的解法

【概述】

指、对数不等式的解法其实最主要的就是两点，第一点是判断指、对数的单调性，第二点就是学会指数和

指数，对数和对数之间的运算，下面以例题为讲解.

七.二次函数的性质与图象

【二次函数】

二次函数相对于一次函数而言，顾名思义就知道它的次数为二次，且仅有一个自变量，因变量随着自

变量的变化而变化.它的一般表达式为：y—aj^+bx+c(«^0)

【二次函数的性质】

二次函数是一个很重要的知识点，不管在前面的选择题填空题还是解析几何里面，或是代数综合体都

有可能出题，其性质主要有初中学的开口方向、对称性、最值、几个根的判定、韦达定理以及高中学的抛物

线的焦点、准线和曲线的平移.

这里面略谈一下他的一些性质.

①开口、对称轴、最值与x轴交点个数，当a>0(<0)时，图象开口向上(向下)；对称轴x=-且；最

2a

值为：/(一旦)；判别式△=序-4叱，当△=()时，函数与x轴只有一个交点；△>0时:与x轴有两个交

2a

点；当^<0时无交点.

②根与系数的关系.若4》0,且XI、为方程>=—+法+。的两根，则有xi+%2=-上，XI・%2=£；

aa

③二次函数其实也就是抛物线，所以/=2Q，的焦点为(0,1),准线方程为y=-种，含义为抛物线上的

点到到焦点的距离等于到准线的距离.

④平移：当y=a(x+6)2+c向右平移一个单位时，函数变成y=a(x-1+Z>)2+c；

【命题方向】

熟悉二次函数的性质，会画出抛物线的准确形状，特别是注意抛物线焦点和准线的关系，抛物线最值

得取得，这也是一个常考点.

A.一元二次不等式及其应用

【概念】

含有一个未知数且未知数的最高次数为2的不等式叫做一元二次不等式.它的一般形式是ax1+bx+c>

0或ax1+bx+c<0(a不等于0)其中ar2+6x+c是实数域内的二次三项式.

【特征】

当△=庐-4妆>0时，

一元二次方程o^+bx+cuO有两个实根，那么o^+bx+c可写成a(x-xi)(JC-%2)

当△=层-44c=0时，

—元二次方程ar2+%x+c=0仅有一个实根，那么a^+bx+c可写成a(x-xi)2.

当△=层-4%<0时.

一元二次方程a?+法+c=0没有实根，那么aj^+bx+c与x轴没有交点.

【一元二次不等式的常见应用类型】

①一元二次不等式恒成立问题：

一元二次不等式a^+fcr+c>。的解集是R的等价条件是：">0且△<()；一元二次不等式a/+/?x+c<0的解

集是R的等价条件是：a<0且△<().

②分式不等式问题：

f(X)>0可R.ga)>o；

g(x)

可(x)・g(x)<0；

g(x)

f(X)>njf(X)，g(X)>0.

g(x)Ig(x)7t0

f(x)f(X)"g(x)40

g(x)Ig(x)7t0

九.一元二次方程的根的分布与系数的关系

【概述】

一元二次方程根与系数的关系其实可以用一个式子来表达，即当a/+反+c=0(aW0)有解时，不妨设它的

解为xi,X2,那么这个方程可以写成ar2-a(XI+JC2)x+aa，x2=0.即/-(xi+x2)x+x\'xi=Q.它表示根

与系数有如下关系：Xl+JC2=-—,X\'X2=—.

aa

Q五、题型方法

等式与不等式的性质(共1小题)

1.(2023•丰台区一模)设“，b,c6R,且则()

A.ac>bcB.A<AC.a1〉序D.a-c>b-c

ab

【分析】利用不等式的基本性质即可判断出结论.

【解答】解：'：a>b,：,a-c>b-c,因此。正确.

cWO时，A不正确；”>0>b时，B不正确；取。=-1,b=-2,C不正确.

故选：D.

【点评】本题考查了不等式的基本性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.

二.不等关系与不等式（共6小题）

2.(2023•重庆一模)设x,>GR,且0<x<y<l,贝I」()

A.x>yB.tanx>tany

C.4，>2VD.X-H—"y（2-y）

x

【分析】对选项进行逐个分析，即可解出.

【解答】解：令工=上，则/Vy2,taarVtany,故选A3错误；

32

令X=L,y=X,则4工=2）',故选项C错误；

4■2

=2

选项。，x+—>2.xx—^'y（2-y）=2y-y<2y<2,x+—>>1（2-y）,故选。正确,

xVXX

故选：D.

【点评】本题考查了不等式的性质，学生的数学运算能力，属于基础题.

3.（2023•吉林模拟）己知工<工<0,则下列不等式不一定成立的是（）

ba

A.a<bB.且二>2C.a」<b’D.1〃（b-a）>0

abab

【分析】A选项，由不等式基本性质得到A正确；

B选项，利用基本不等式求出且二〉2；

ab

C选项，作差法比较出大小关系；

。选项，举出反例即可.

【解答】解：A选项，—<C—<C0>故“<0,b<0,所以帅>0,上〈工两边同乘以外得，a<h,A正

baba

确；

8选项，因为aVZ><0,所以且>0,—>Q,且2#包,

abab

由基本不等式得依>2得=2’故B正确;

C选项，因为a<b〈O,所以a-b<0，—>0-

ab

(b-~)=a-b+a-(a-b)

ababab

所以a1<b二，C正确；

ab

。选项，不妨取a=-2,b=满足a<6<0,此时加(b-a)=/〃l=0,故。错误.

故选：D.

【点评】本题主要考查不等式的性质，属于基础题.

4.(2023•南昌县校级二模)已知x<-l,那么在下列不等式中，不成立的是()

A.x2-1>0B.-2C.sinr-x>0D.co&x+x>0

x

【分析】根据X<-1,利用函数的单调性、不等式的性质、三角函数的单调性即可判断出结论.

【解答】解：.../-I〉。，x+工<-2,

X

又；sinx,cosx6[-1,1],

/.sinx-JC>0,cosx+x<0.

可得：ABC成立,。不成立.

故选：D.

【点评】本题考查了函数的单调性、不等式的性质、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力,

属于基础题.

5.(2023•武汉模拟)下列不等式正确的是()

A.若ac2》从V贝ij

B.若£■>£•,则

ab

C.若〃+b>0,c-h>0,则

D.若a>0,b>0,m>0,且则史里〉包

b-hnb

【分析】利用不等式的性质逐个分析各个选项即可.

【解答】解：对于A,若儿2,当c=。时，。与人的大小关系无法确定，故4错误,

对于8,取。=1,c=Lb=-1,则满足£■>£•,但不满足故8错误；

ab

对于C,取〃=7,b=2,c=3,则满足。+6>0,。-匕>0,但不满足〃>c,故C错误;

对于。，若。>0,。>0,m>0,且4Vb,则〃-q>0,

所以史+2=b(a+m)-a(b+m)=m(b-a)>0,即三也>且，故。正确.

b+mbb(b+m)b(b+m)b+mb

故选：D.

【点评】本题主要考查了不等式的性质，考查了作差法比较大小，属于基础题

6.（2023•宣威市校级模拟）某学生月考数学成绩x不低于100分，英语成绩y和语文成绩z的总成绩高于

200分且低于240分，用不等式组表示为（）

Ax>100fx>100

A...BD.<//

200<y+z<240|200<y+z<240

C（x>100Dp>100

'（200<y+z<240'{200<y+z<240

【分析】根据题目条件直接列出不等式组即可.

【解答】解：数学成绩x不低于100分表示为xN100,英语成绩y和语文成绩z的总成绩高于200分且

低于240分表示为200<j+z<240,

即（x>100

1200<y+z<240

故选：D.

【点评】本题主要考查了不等式的实际应用，属于基础题.

5

7.（2023•天津一模）设a=c|）°・5,b=（-1）°-,c=log1（log34）1则（）

7

A.c<b<aB.c<a<bC.a〈b<cD.a<c<b

【分析】根据指数基和对数的取值，分别判断。，6,C的取值范围，然后比较大小.

【解答】解：0<（1）0-5<1，（马0.5〉1，

Vlog34>l,log3（log34）0>

了

即b>\,c<0,

'.c<a<h.

故选：B.

【点评】本题主要考查对数值和指数值的大小比较，利用指数函数和对数函数的图象和性质判断范围是

解决本题的关键，比较基础.

三.不等式比较大小（共1小题）

8.（2023•江宁区校级模拟）三个数。=3万，b=（1）3,c=log3/的大小顺序为（）

A.b<c<aB.b<a<cC.c<a<bD.c<b<a

A10

【分析】根据所给的三个式子和l,和0的关系，把。与3°进行比较，把/，与（_1）进行比较，把。同

logs1进行比较，得到三个数字的大小关系.

£

【解答】解：•.工=乩>3°=1

log3-y<log3l=0

.,.a>b>c

故选：D.

【点评】本题考查不等式比较大小，本题解题的关键是看出需要找两个中间量，把三个数字分成三个层

次，本题是考查指数和对数函数的单调性质.

四.基本不等式及其应用(共5小题)

9.(2023•安庆模拟)已知函数f(x)=log2Cax+b)(a>0,b>0)恒过定点(2,0),则旦二的最小值为

ab

()

A.2V2+1B.2V2C.3D.V2+2

【分析】利用基本不等式常数“1”的代换即可求出结果.

【解答】解：由题意可知2a+6=l,

则旦七却小&华+>2后与+1=2亚+1，

abababVab

当且仅当a/ZLbW^-l时，且二的最小值为蓊+1，

2ab

故选：A.

【点评】本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于基础题.

10.(2023•拉萨一模)已知实数x,y满足2r+y=2,则夕+2义3」的最小值为()

A.6^2B.4V2c.3我D,272

【分析】直接根据基本不等式求解即可.

【解答】解：•.•实数X,y满足2x+y=2,

..9+2X3)'=32x+2X3)'》2{32x><2X3丫=2{2><呼=6近,当且仅当［之了-2时，等号成立.

,32X=2X3y

故选：A.

【点评】本题考查了基本不等式在求最值中的应用，属于基础题.

11.(2023•滁州二模)若小b,c均为正数，且满足d+34b+3ac+9%=18,则2。+3>3c的最小值是()

A.6B.476C.6V2D.673

【分析】利用因式分解法，结合基本不等式进行求解即可.

【解答】解：c^+3ab+3ac+9bc=18=>a(a+3Z>)+3c(a+3b)=I8=>(.a+3b)(a+3<?)=18,

因为a,b,c均为正数，

所以18=(a+3b)(a+3c)<(a+3b；a+3c)2今2a+3b+3c>啦，

当且仅当a+3b=a+3c时取等号，即a+3b=3、历，b=c时取等号，

故选：C.

【点评】本题主要考查了基本不等式的应用，属于基础题.

12.(2023•文昌模拟)设x、y>l,z>0,若z2=x・y,则」工」1巳的最小值为()

21gx41gy

【分析】由已知变形可得出2/gz=/gx+/gy,可得出」丝「JiZ,利用基本不等式可

21gx41gy841gx81gy

求得匹的最小值.

21gx41gy

【解答】解：因为工、y>Ez>0,z1=x-y,则/gz?=/g(xy),即2/gz=/gx+/gy,

由题意可得/gx>0,/g.v>0,

所以，lgz]gz21gz21gz_lgx+lgy]gx+]gy__3_Igy]gx

21gx+41gy41gx+81gy41gx+_81gy_8^lgx+81gy

Jlgy.lgZj.^,

^8T41gx81gy84

当且仅当上了=旨*时,即当火=丫后时，等号成立，

41gx81gyxy

故lgz+Igz的最小值为3J巨.

21gx41gy84

故选：A.

【点评】本题主要考查了对数的运算性质及基本不等式在最值求解中的应用，属于基础题.

13.(2023•陕西模拟)已知mb,c为正实数且〃+2b+3c=5.

(1)求/+/+。2的最小值；

(2)当我而47§蓝^^羡》5时，求a+6+c的值.

【分析】(1)由已知条件，应用三元柯西不等式求目标式的最小值，注意等号成立条件；

(2)由基本不等式可得J结合条件得J寿从而求a、b、

c的值，即可得a+b+c的值.

【解答】解：(1)由柯西不等式得，

(a2+fe2+c2)(12+22+32)》(a+26+3c)2=25,

故a2+62+c2>—；

14

当且仅当至=上=£,即a=巨，b=5,。=」反时，等号成立；

12314714

故a2+Z?2+c2的最小值为空；

14

(2)由基本不等式可得，

a+2b22y2ab，

a+3c22{3ac，

2b+3c^yJ6bc>

故2(a+26+3c)22(V2ab+V3ac+V6bc)>

故Y2ab+V3ac+V6bcW5,

当且仅当a=26=3c,且a+26+3c=5,

即〃=£，/)=.§.,c=反时，等号成立，

369

又'•,<V2ab+V3ac+V6bc>5，

V2ab+V3ac+V6bc=5,

即4=5,b=2,c=8,

369

a+b+c—~.

18

【点评】本题考查了三元柯西不等式及基本不等式的应用，属于中档题.

五.不等式的综合(共1小题)

14.(2022•沙河口区校级一模)一般认为，民用住宅窗户面积。与地板面积b的比应不小于10%,即

上<且<1，而且比值越大采光效果越好，若窗户面积与地板面积同时增加m,采光效果变好还是变

10b

坏？请将你的判断用不等式表示采光效果变好，生也〉旦.

b-hnb

【分析】根据题意，设窗户和地板同时增加m平方米，利用作差法分析三也和旦的大小，即可得答案.

b+mb

【解答】解：根据题意，设窗户和地板同时增加，九平方米，有」:《包(1,

10

则有生也_a=ab+birrab-am一(b-a)m

b+mb(b-4n)b(b+m)b

又由。<从则三四-兔>0,即三也>旦，

b+mbb+mb

故采光效果变好，不等式表示为包也〉包，

b-hnb

故答案为：采光效果变好，生也〉包.

b+mb

【点评】本题考查不等式的性质以及应用，涉及不等式大小的比较，属于基础题.

六.指、对数不等式的解法(共4小题)

15.(2023•泸县校级模拟)若log“3<log/>3<0,贝U()

A.0<a<h<lB.0<h<a<lC.a>h>lD.b>a>\

【分析】化Ioga3<logb3<0为log3匕Vlog3a<0,利用函数的单调性求解.

【解答】解：vioga3<logz，3<0,

___--<―-—<0,

logb3loga3

即Iog3/><log3a<0,

故

故选：B.

【点评】本题考查了对数的运算及对数函数单调性的利用，属于基础题.

16.(2023•北京模拟)已知函数f(x)=log2X-(xT)2,则不等式/(》)<0的解集为()

A.(-8,1)u(2,+oo)B.(0,1)U(2,+8)

C.(1,2)D.(1,+8)

【分析】令/(x)=0求得x的值，在同一坐标系内画出对应函数的图象，结合图象求出不等式f(x)<

0的解集.

【解答】解：令f(x)=log2X-(xT)得log2x=(x-1)2,得尸1或x=2；

在同一坐标系内画出y=log2x与y=(x-1)2的图如如图所示，

则不等式f(x)<0的解集为(0,1)U(2,+8).

故选：B.

【点评】本题考查了函数图象与性质应用问题，也考查了结合函数图象求不等式解集的问题，是基础题.

17.(2023•海淀区校级模拟)不等式21ogM-(x-1)(x-2)>0的解集为.

【分析】利用数形结合思想，结合对数函数和二次函数的图象进行求解即可.

【解答】解：由21。83乂-(x-1)(x-2)>0,log3X〉^~(xT)(x-2>

在同一直角坐标系内画出函数f(x)=log?x,g(x)小(x-l)(x-2)的图象如下图所示：

32

所以由函数的图象可知：当xw(1,3)时，有/G)>g(x),

故答案为：{X|1VR<3}.

【点评】本题主要考查了函数的零点与方程根的关系，考查了数形结合的数学思想，属于基础题.

1

18.(2023•银川模拟)关于x的不等式/2k)gd(〃>0且。对)恒成立，则实数。的取值范围是」6丁一

+8).

【分析】"》logd(a>0且等价于lna>卫生，即lna>(―)，令f(x)工1，对/小)

XxmaxX

求导，得出/G)的单调性，即可得出答案.

【解答】解：因为不等式炉Nlogax(〃>0且。W1)恒成立，可知〃>1,lna>0,

由出力Ogd(”>0且21)可得Jlna〉@(x>0),

Ina

lnx

贝I」xlna-"加e-lnxf

令〃(r)=td,h'(f)=el(r+1),

令》(r)>0,解得：r>-1；令h'(r)<0,解得：V-l,

所以/?(/)在(-1,+8)上单调递增，在(-8,1)上单调递减，

当-V0时，h(力=用<0,当/>0时，h(r)=〃>0,

因为x>0,lna>0f所以

所以要使x山〃,，'""2工/〃氏=/工加:，故只需xlna^lnx即可，

故Ina》处即可，

X

21

令f(x)^V，f'/(x)=^-45-=1-1尸=>解得：x=e，

AXX

令/(x)>0解得：0<x<e；令，(%)<0解得：x>e,

所以/(x)在(0,e)上单调递增，在(e,+8)上单调递减，

所以f(x)=f(e)』，所以Ina》2，即

maxgee

所以实数a的取值范围是［2，Q).

e

故答案为：［ee,+8).

【点评】本题考查了导数的综合应用，属于中档题.

七.二次函数的性质与图象(共7小题)

19.(2023•和平区校级一模)若函数f(x)=f-4x+4在区间［a,4+1］上的最小值为4,则a的取值集合为

{-1,4}.

【分析】函数/(x)=/-4x+4=(x-2)2,对称轴为x=2,再对。分类讨论，即可求解.

【解答】解：函数/(x)=/-4x+4=(x-2)2,对称轴为x=2,

当“+1W2,即aWl时，

2

f(x)min=f(a+1)=4,即(<2+1)-4(a+1)+4=4,解得a=-1或a=3(舍去)，

故a=-1,

当aV2Va+l,即l<a<2时，

/(x)min=f(2)=0,不符合题意，舍去，

当a22H寸，

f(x)min—f(a)=4,即。2-44+4=4,解得a=4或a=o(舍去)，

故a的取值集合为{-1,4}.

【点评】本题主要考查二次函数的性质与图象，属于基础题.

20.(2023•海淀区一模)已知二次函数f(x),对任意的x€R,有/(2x)<2f(x),则/(x)的图象可能是

【分析】由题意可得f(0)>0,所以CQ都不可能，对于B,由图象可知-上)>0,与x=一应时，

a2a

/(2x)=f(-2)<2/(--L)<0相矛盾，所以B不可能.

a2a

【解答】解：二次函数f(x),对任意的x€R,有/(2x)<2f(x),

令x=0得，f(0)<2f(0),即f(0)>0,故CO都不可能，

对于B,二次函数的对称轴方程为x=-且，由图象可知一旦)<0,

2a2a

设f(x)的图象与x轴的两个交点为xi,X2,且0cxicX2,

则x\+x2—-—>0,

a

所以0<*,<上<乂。<-且，所以/(-上)>0,

12azaa

当x=-旦时，y(2x)=f(-t)<2/(-<0,两者相矛盾，故B不可能.

2aa2a

故选：A.

【点评】本题主要考查了二次函数的图象和性质，属于基础题.

21.(2023•宁波一模)若函数/(x)=F+MX+〃在区间(-1,1)上有两个零点，则/-，*2+2〃+1的取值范

围是()

A.(0,1)B.(1,2)C.(0,4)D.(1,4)

【分析】由已知结合二次方程实根分布及不等式性质即可求解.

f(-l)=l-m+n^>0

f(l)=ltmtn>0

【解答】解：由题意得、，

△=m2-4n>0

22

所以〃2-m2+2〃+]=(〃+i)-fn=(〃+]+〃力>0,

设/(x)的两个零点为XI,X2,则f(x)=(x-xi)(x-X2),

所以(/1+1+/?2)(n+1-m)=f(1)•/(-1)=(1-xj)(1--)<1.

故选：A.

【点评】本题主要考查了二次方程实根分布及不等式的性质的应用，属于基础题.

22.(2023•会泽县模拟)已知二次函数/(x)=a？-4x+c的值域为[0,+~),则ac的值是4；_^邑

c+1a+6

的最大值是6-276.

【分析】根据二次函数的性质知a>0，A=0,然后通过变形利用基本不等式即得.

【解答】解：由题意知：a>0,f(x)的值域为[0,+8),

工A=16-4ac=0f

则ac=4,<?>0,

所以，=a+6c+12=a+6c+12=p2,

c+1a+6ac+a+6c+6a+6c+10a+6c+10

又a+6c》2>6ac=4^6»当且仅当a=6c=2通时取等号，

即I+641+~-----=6-2^6・

c+1a+64^6+10

故答案为：4；6-276.

【点评】本题主要考查了二次函数的性质，考查了利用基本不等式求最值，属于基础题.

23.(2023•宛城区校级模拟)已知二次函数/(x)=nv?-2x+n(/H,nGR),若函数/(X)的值域是[0,+->),

22

且f(1)W2,则+_§—的取值范围是()

n2+lm2+l

A.[0,12]B.[I,13]C.[2,12]D.[3,13]

【分析】根据二次函数的性质可得，〃〃=I，且，〃>0,又因为/(I)W2,所以切+工W4,再结合基本不

m

等式求解即可.

【解答】解：；二次函数F(x)^mx1-2x+n(m〃6R)的值域是[0,+°°),

A=4-4〃?〃=0,解得mn=1,且m>09

又；f(l)=w-2+”W2,〃=工，

m

n?4-—4,

m

1

2222~242,1.

...mn=mn=-^+』_=m+1=m-m+1=2」

242、2口2口112G2、2m「

n+1m+1n+1m+1l+-ym+1m[1+m)mm

m

由机+_lw4,机>0,可得2Wm?"kE-WM,

mm2

1m2

m

22

即的取值范围是[1,13].

n+1m+1

故选：B.

【点评】本题主要考查了二次函数的性质，考查了基本不等式的应用，属于中档题.

24.(2023•温州模拟)已知次x)=/-ar,|/Q(x))|W2在［1,2］上恒成立，则实数a的最大值为_四叵一

4

【分析】代入x=l,2的值得到关于。的不等式组，解出即可.

【解答】解：|W2在［1,2］上恒成立，

(/(1))|W2,即，(1-a)|W2,

故城-3a+l|W2,

解得：3-VI7WaW封叵

44

同理，-(，(2))|W2,解得：iWa这工,

故

4

当4=亚叵时，设，=/G),此时包<1,

42

VxGll,2］,：.t=f(x)在U，2］递增，

故正［1-a,4-2〃］,

此时包-(4-2a)=2-4>0,

22

故y=/(r)在［1-a,4-2a］递减，

故「(力|W2在［1-a,4-2a］上恒成立,

只需[If(>a)|42,

八IIf(4-2a)I<21

故ams：=.

4

【点评】本题考查了二次函数的性质，考查解绝对值不等式问题，是一道中档题.

25.(2023•和平区校级一模)在①/1(4)=-1,f(3)=2,②当x=2时，/(%)取得最大值3,@f(x+2)

=/(2-x),/(0)=-1这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答.

问题：己知函数/(x)---2ax+b,且.

(1)求/(x)的解析式；