河南省2023-2024学年高三年级上册一轮复习摸底测试（一）数学试题

2023-2024学年度高三一轮复习摸底测试卷

数学(一)

本试卷共4页，22题.全卷满分150分.考试用时120分钟.

注意事项：

1.答题前，先将自己的姓名、考号等填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡

上的指定位置.

2.选择题的作答：选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写

在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.

3.填空题和解答题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草

稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.

4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

1.若集合3x<2b7V=p|x<||,则MN=()

A.B-C.(-l,0)U(3,gD.(-1,0](J3；

2.若复数z满足(I—i)W=(2—i)2,则z在复平面内对应的点位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

3.在平行四边形A8CO中，点E满足=CE=+eR),则；l〃=()

4.光岳楼，又称“余木楼"''鼓楼”“东昌楼”，位于山东省聊城市，在《中国名楼》站台票纪念册中，光岳

楼与鹳雀楼、黄鹤楼、岳阳楼、太白楼、滕王阁、蓬莱阁、镇海楼、甲秀楼、大观楼共同组成中国十大名楼.

其墩台为砖石砌成的正四棱台，如图所示，光岳楼的墩台上底面正方形的边长约为32m,下底面正方形的边

长约为34.5m,高的4倍比上底面的边长长4m,则光岳楼墩台的体积约为()

A.9872.75m3B.9954.75m3C.9988.45m3D.9998.25m3

5.如图，A,B,C三个开关控制着1,2,3,4号四盏灯.，其中开关A控制着2,3,4号灯，开关8控制着

1，3,4号灯，开关C控制着1,2,4号灯.开始时，四盏灯都亮着.现先后按动A,B,C这三个开关中的两

个不同的开关，则其中1号灯或2号灯亮的概率为（）

mmrci

［网＜£|满足

6.已知函数jf(x)=sin(2x+。),若/（X）在区间上恰有3个零点,

则实数f的取值范围为（）

25437万)「25449%)377r49叫37%494

A.——,——B.——，——C.D.

L2424JL2424J~249^24~)~1A"~2A

、儿In4.4-In4Venilz

7.设。=---，b=----—，c=—,则()

4e22e

A.a<b<cB.b<c<aC.c<h<aD.c<a<h

8.已知正三棱锥P-A3C的四个顶点均在一个半径为2的球面上，则该正三棱锥体积的最大值为（）

64464百

A.2GB.4

279

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合

题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.如图，两个共底面的正四棱锥组成一个八面体E-ABCD-F,且该八面体的各棱长均相等，则（）

A.异面直线AE与BC所成的角为60°B.BD1CE

C.平面ABF//平面CDED.直线AE与平面8OE所成的角为60°

10.若函数/（为=3%3+/，（1）/+|,则（

A./'⑴=1B./(x)有两个极值点

C.曲线y=的切线的斜率可以为-2D.点(1,1)是曲线y=/(x)的对称中心

II.用于加热水和食物的太阳灶应用了抛物线的光学性质：一束平行于抛物线对称轴的光线，经过抛物面

(抛物线绕它的对称轴旋转所得到的曲面叫抛物面)反射后，集中于它的焦点.用一过抛物线对称轴的平面截

抛物面，将所截得的抛物线C放在平面直角坐标系中，对称轴与x轴重合，顶点与原点重合.若抛物线C：

,2=4%的焦点为F,0为坐标原点，一条平行于X轴的光线4从点M射入，经过C上的点4(%,X)反射，

再经过C上另一点3(%,%)反射后，沿直线4射出，则()

A.C的准线方程为x=—1

B.X%=-2

C.若点/(2,1),则|A却=:

D.设直线A0与C的准线的交点为M则点N在直线乙上

12.已知非常数函数/(x)及其导函数/'(x)的定义域均为R,若"2-x)为奇函数，〃2x+4)为偶函

数，则()

A.42)=1B./(2024)=-〃2020)

C.=⑺D./'(-2021)=/'(2025)

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知-的展开式中各项系数的和为4,则实数a的值为.

14.写出与圆C：(*+1)2+;/=1和圆。：f+()，+&『=1都相切的一条直线的方程.

15.已知直线丁=依+人(左€8：,/?。0)是曲线/(x)=e"-l与g(x)=l+lnx的公切线，则攵+6=.

16.某休闲广场呈椭圆形，在该椭圆的两个焦点及中心处分别安装有三盏景观灯A,B,C,其中灯8位于灯

A的正东400m处.小王沿着该休闲广场的边沿散步，在散步的过程中，他与灯B的最短距离为50m.当小王行

走到点M处时，他与灯48的距离之比为3:2,则此时他与灯C的距离为m.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（本小题满分10分）

已知等差数列｛a,,｝的前〃项和为S“，%=1,且%，生，44成等比数列.

（1）求数列｛a,,｝的通项公式；

-'

（2）当数列｛《,｝的公差为0时，记数列，/1>的前n项和为7；,求证：Tn<~.

18.（本小题满分12分）

在人钻。中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且ccosCcos（A-B）+c=csin2c+》sinAsinC.

（1）求C；

（2）若c=4,CD_LAB于点。，求线段CD长度的最大值.

19.（本小题满分12分）

如图，已知正方形A8CD是圆柱。01的轴截面（经过旋转轴的截面），点E在底面圆周上，AB=5,

AE=4,点F是CE的中点.

（1）求点B到平面ACE的距离；

（2）求二面角A—BP—E的余弦值.

20.（本小题满分12分）

已知函数”x）=2（x+2）-eX.

（1）求/（x）的极值；

（2）当x20时，证明：—sinx+4.

21.（本小题满分12分）

网络直播带货作为一种新型的销售土特产的方式，受到社会各界的追捧.湖北某地盛产夏橙，为帮助当地农民

销售夏橙，当地政府邀请了甲、乙两名网红在某天通过直播带货销售夏橙.现对某时间段100名观看直播后选

择在甲、乙两名网红的直播间（以下简称甲直播间、乙直播间）购买夏橙的情况进行调查（假定每人只在一

个直播间购买夏橙），得到如下数据：

在直播间购买夏橙的情况

网民类型合计

在甲直播间购买在乙直播间购买

男网民50555

女网民301545

合计8020100

(1)依据小概率值a=0.005的独立性检验，能否认为网民选择在甲、乙直播间购买夏橙与性别有关联？

(2)网民黄蓉上午、下午均从甲、乙两个直播间中选择其中一个购买夏橙，且上午在甲直播间购买夏橙的概

13

率为万.若上午选择在甲直播间购买夏橙，则下午选择在甲直播间购买夏橙的概率为1;若上午选择在乙直播

7

间购买夏橙，则下午选择在甲直播间购买夏橙的概率为一，求黄蓉下午选择在乙直播间购买夏橙的概率；

10

(3)用样本分布的频率估计总体分布的概率，若共有50008名网民在甲、乙直播间购买夏橙，且网民选择在

甲、乙哪个直播间购买夏橙互不影响，记其中在甲直播间购买夏橙的网民人数为X,求使事件“X=A”的

概率取最大值的k的值.

，n(ad-bc]

附：=7-------77—^~~77~~AT------7>

(a+〃)(c+d)(a+c)(b+d)

a0.10.050.010.005

Xa2.7063.8416.6357.879

22.(本小题满分12分)

22

xy1(。>Q,b>0)的右焦点为网2,0),且C的一条渐近线恰好与直线x—y+1=0

已知双曲线C：/一后

垂直.

(1)求c的方程;

(2)直线/：x=/ny+l与C的右支交于A,B两点,点。在C上，且4。_1_%轴.求证：直线8。过点F.

数学(一)

一、选择题

1.D【解析】由题得集合M={M04X2—3X<4}=(—1,0][3,4),又N=卜«弓},所以

r7-

MN=(-1,0]I3,-.故选D.

2.A【解析】由(1—i”=(2—i「得:=^^-=(：―4?(1+：)二’」,所以z=2+」i,故z在复

''''1-i(l-i)(l+i)2222

(71A

平面内对应的点一，一位于第一象限.故选A.

(22)

/\1313

3.A【解析】由=得CD—CB=4(CE—CB,整理得CE=—C£>+—C8=—8A--BC,所

\>4444

以澳=＞卜讣3

-三.故选A.

16

4.B【解析】设光岳楼墩台的高为/?,则〃=；x（32+4）=9m,所以光岳楼墩台的体积约为

V=1X(322+34.52+32x34.5)x9=9954.75m3.故选B.

5.D【解析】先后按动A,B,C中的两个不同的开关，有A；=6种方法，若要1号灯亮，则按第一个开关

时，1号灯灭，按第二个开关时，1号灯亮，此时对应的方法有2种：（B,C）,（C,B）；若要2号灯亮，同

4?

理可得有以下2种方法：（AC），（C,A））故所求的概率为P===*.故选D.

63

6.C【解析】由题意可知，的最小正周期7=女=乃，因为工—工=工＜工，所以

',234124

7171

H----

7771777"7"T1377"

r_34方为小）的一条对称轴，则小）在X—之后的零点依次为才厂可,

224

743T25万745T37万7万7T（TT-

--1--=-----1--=---黄+千=詈，…，若”X）在区间上恰有3个零点，则

2442424424

37兀,49%〃

——<t<——■.故选C.

2424

.42不In4In2,4-In4'n7VeInVeInx

7.D【解析】由题意得。=——=—,b=——=c=—=—设/(x)=—,

42e25e22e五',尤

2

x>0,则「(“)=匕学,故当无«0,e)时，r(x)>。，/(X)单调递增;当xe(e,同时,

/'(x)<0,单调递减，又a=〃4)=〃2),b=f—,c=所以

I2J

a=/(2)>/(6)=c,。=/(4)</—=b,所以.故选D.

\J

8.C【解析】易知当正三棱锥的体积最大时，其外接球的球心在正三棱锥内部.如图,

在正三棱锥P—ABC中，设AB=a,AA3C外接圆的圆心为。，半径为r,正三棱锥外接球的球心为0,

半径R=2,则/•=2x@a=@。，连接「。，则平面A8C,且点0在线段尸。上，连接。A,则

323

PD=R+1R2-r2=2+2,所以正三棱锥P-ABC的体积

V

a2=12—3/,所以V=f（4—/）（2+f）=f（—2产+4f+8）.设

2

/«）=_/一2产+射+8（0</<2）,则/'«）=—3户—书+4,令/'«）=0,得.=（或『=一2（舍去），

090

则当0<f<（时，/'«）>0,/（。单调递增；当（<f<2时，/（/）<0,/（7）单调递减，所以当f

时，/«）取极大值，即最大值，则此时丫最大，匕ax=乎x1-A-■1+|+8）=笔L故选C.

二、选择题

9.ABC【解析】因为BC〃A。，所以NE4。（或其补角）即为异面直线AE与BC所成的角，又

AD=DE=AE,所以NE4D=60°,即异面直线4E与BC所成的角为60°,A正确；连接AC交8。于

点。，则点。为正方形4BCD的中心，连接EF,根据正棱锥的性质可知EF必过点。，且。E_L平面

ABCD,所以OEJ_B£>,又BD_LAC,OE（1AC=O,OE,ACu平面ACE,所以8。，平面ACE,又

CEu平面ACE,所以B£>_LCE,B正确；由对称性可知OE=O尸，OA=OC,所以四边形AFCE为平

行四边形，所以A尸〃CE,又AFZ平面C£»E,CEu平面CDE,所以A尸〃平面CDE,同理班'〃平

面CQE,又A/BF=F,AF,6bu平面A8凡所以平面A6/〃平面CDE,C正确；由A£=A/，

OE=OF,得AOJ_Eb,在正方形ABC。中，AO1BD,又BDEF=O,所以40_L平面8EZW,

所以44£。即为直线AE与平面BOE所成的角，设该八面体的棱长为2,则

AO=1AC=1JA8'+5C2=6,所以EO=JAE2—AO2=6=AO,所以NAEO=45°,D错误.

22

故选ABC.

10.BD【解析】由题得/'(x)=f+2/'(l)x,所以/'(1)=1+2/'(1),解得/'(1)=一1,A错误；所以

32

/(x)=l%_x+|,/'(x)=x2_2x=x(x—2),则当了<0或x〉2时，/'(x)>0；当0<x<2时，

/'(x)<0,所以/(x)在(一8,0)和(2,一)上单调递增，在(0,2)上单调递减，所以“X)有两个极值点，

B正确；y,(x)=x2-2%=(x-l)2-l>-l,所以曲线y=/(x)的切线的斜率不可能为-2,C错误；因为

/(X)+/(2-X)=1X3-X2+|+1(2-X)3-(2-X)2+|=2,所以点(1,1)是曲线y=的对称中

心，D正确.故选BD.

11.AD【解析】由题意可得尸(1,0),准线方程为x=—1,A正确；由抛物线的光学性质可知，直线AB经

过焦点F,且斜率不为0,设直线AB：x=my+l,联立+L消去尤得/一4加>一4=0,

=4x

A>0,所以乂%=-4,B错误；若点M(2,l),则y=l,所以%=-4,所以王=；,x2=4,所以

|AB|=x+X2+2=—+4+2=」，C错误；易知直线。4：y=联立｛%,解得

"x=-l

>N=-乂=一与=一±，由yy,=T，得%=於，所以%=%，所以点N在直线。上，D正确.故选

x2L乂％

4

12.BCD【解析】因为非常数函数/(x)及其导函数/'(x)的定义域均为R,若"2—x)为奇函数，则

f(2+x)=-f(2-x),则/(x)的图象关于点(2,0)对称，且"2)=0,故A错误；因为〃2x+4)为偶

函数，所以〃2x+4)=.f(—2x+4),即〃X+4)=〃T+4),则/(X)=/(8—X),又

/(2+x)=-/(2-x),所以〃x)=—"4—x),所以〃8—x)=—〃4—x),即〃x+4)=-f(x),所

以〃x+8)=/(x),故"X)的周期为8,所以“2024)="0),”2()20)="4),在

〃x+4)=-中，令x=0,得/(4)=一/(0),所以/(2024)=-〃2020),故B正确；对

〃x+8)=〃x)两边同时求导，得/'(x+8)=/'(%),所以导函数)'(X)的周期为8,所以

广(―1)=4(7),故C正确;由r(x)周期T=8,得[(—2021)=1f(3),/'(2025)=/'⑴，对

〃力=一〃4一月两边同时求导，得r(x)=r(4—x),令x=i,得/'⑴=/'⑶，所以

/'(一2021)=/'(2025),故D正确.故选BCD.

三、填空题

13.7【解析】令x=l,得(3—a)(—1)7=4,解得a=7.

14.x—Jiy-1=0(或后+y+6+2=0或6+y+G—2=0,写出一个即可)【解析】由题意

得，圆C与圆。相外切，且C(—1,0),D(0,-V3),将两圆的方程相减即得两圆的内公切线方程：

%-6丁-1=0.因为圆(？与圆。的半径相等，故外公切线与直线CD平行，又％°=上芭=-百，所以

—1—0

厂r|-x/3+0-Z?|

圆C与圆。的外公切线的方程可设为y=-百x+8，即氐+y-8=(),则J——-——^=1,解得

6=-百+2或6=-百一2,所以两条外公切线的方程为小:+y+6+2=0或由x+y+6一2=0.综

上所述，圆C与圆。公切线的方程为X-ey-1=()或Jir+y+省+2=0或氐+y+Ji—2=().

15.e-1【解析】设，,e'—1)是曲线〃x)上的一点，/'(x)=e、，所以/(x)在点，,e'—l)处的切线方

程为y-e'+l=e'(x-f),即y=e'x+(lT)e'一1,令g'(x)=，=e',解得x=e-',又g(e-')=l-7,

I_/_,1

e+f

所以一t=e,l—r=(l—r)e',所以t=0或/=1.当/=()时，切线方程为y=x,此时方=0,不

符合题意，舍去.当，=1时，切线方程为y=ex-l,故左=e,b=-l,所以Z+b=e—l.

16.50V10【解析】以点C为原点，AB所在直线为X轴建立平面直角坐标系，设椭圆的方程为

22_________

]+%=1(。>/?>0),且°=亚—从,由小王与灯B的最短距离为50m,得a-c=50,又

|A却=2C=400,则C=2(X),a=25().由于点M与灯A,8的距离之比为3:2,所以可设点M与灯A,B

的距离分别为3%,2k,k>Q,由椭圆的定义可知3Z+2Z=2x250=500,解得％=100,所以

\MAf+\MBf-\ABf3002+2002-40021「

|M4|=300,|入倒=200,所以cos/AM8=------------------=一.由

2x300x2004

MC=~^MA+MB）,得MC?=；（M42+MB2+2|M4bM@cosZAM6）=25000,所以

|MC卜50V10,即此时小王与灯C的距离为50Vi0m.

四、解答题

17.解：⑴设数列｛4｝的公差为",

由%，％，44成等比数列，得。；=%44,

即（1+44）2=（l+d）（l+13d）,

即d2—2d=O,解得1=0或d=2.（3分）

当d=0时,=1；

当d=2时，an=cty+（〃一l）d=2n-l.

综上所述，=1或。〃=2〃一1.（5分）

（2）由（1）可知，当数列｛〃〃｝的公差不为0时，。“二2〃一1,

+1）9

则S=-----------=n,（6分）

〃2

111

所以I\7,（8分）

KX7=7（-2--〃-----1-）（-2-〃---+---1-）\——2I（-2--〃-----1-----2--〃-+1

lf]_M_1__

=212〃+1）24/1+2'

又〃eN”,所以7；＜l.（10分）

18.解：（1）因为ccosCcos（A-3）+c=csin2C+bsinAsinC,

所以由正弦定理得sinCcosCcos（A-B）+sinC=sin3C+sinAsinBsinC,

因为（?£（（）,4）,所以sinCwO,

所以cosCcos（A-3）+l=sin?C+sinAsinB,（3分）

则sinAsin3=cosCcos（A-B）+（1-sin?C）

=cosCcos（A-B）+cos2C

=cosC[cos（A-B）+cosC]

=cosC[cos（A-B）-COS（A+B）]

=2cosCsinAsinB,（4分）

又因为A,3£（0,7），所以sinA,sinB^O,

1

所以cosC=—,所以C=2.（6分）

23

TT

（2）由（1）可知C=一，

3

所以由余弦定理得/=a2+b2-labcosC=cr+b2-ab>lab-ab=ab,

即。6«。2=]6,当且仅当a=》=4时取等号.（9分）

因为△ABC的面积S^BC=ga^sinC=gc-CO,

所以S—"sinC=®w叵9=26

c88

所以线段CO长度的最大值为2百.（12分）

19.解：（1）,••线段AB是圆。的直径，

AEA.BE,

：.BE=」AB?-AE。=3.（1分）

BC1平面ABE,AE,BEu平面ABE,

：.BCA.AE,BCLBE,

：.CE=ylBE2+BC2=V34.（2分）

又BC「BE=B,BC,BEu平面BCE,

AE_L平面BCE,A£J_CE.（3分）

设点B到平面ACE的距离为d,

贝I由匕Y8E=%TCE,得=

.,BEBC3x515734

CEV3434

即点B到平面ACE的距离为身叵.（5分）

34

（2）由（1）可知

以点E为坐标原点，EB,EA所在直线分别为x轴，y轴建立如图所示的空间直角坐标系,

则E((),0,0),8(3,0,0),A(0,4,0),C(3,0,5),

A尸=(|,—4,|),M=(3,T,0),£4=(0,4,0).(7分)

设平面A8/7的法向量为〃=(x,y,z),

35

n•AF=-x-4y+—z=0

则，22,

n-AB=3x-4y=0

取x=4,则〃=(4,3,£),

由（1）可知，平面3"的一个法向量为E4=（0,4,0）.（10分）

设二面角A—E的大小为。，由图可知。为锐角,

4x0+3x4+—x0

n-EA\5157769

则cos0如（〃倒卜眄

769

即二面角A-BF—E的余弦值为15/丽.（12分）

769

20.解：⑴由题得r(x)=2—e",

令/[x)=0,得％=山2,(2分)

当x«fo,ln2）时，f'（x）＞0,f（x）单调递增;

当xe（In2,+8）时，f'（x）<0,/（x）单调递减，

所以当x=ln2时，/（x）取得极大值，且极大值为/（ln2）=21n2+2,无极小值.（5分）

（2）由⑴可知的最大值为〃ln2）=21n2+2,（6分）

故要证当x»0时，/(x)<x-sinx+4,

只需证当xNO时，21n2+2<x—sinx+4,

即证当时，%—sinx+2-21n2>0.(8分)

g(x)=x-sinx+2-21n2,x>0,

贝ijg'(x)=l-cosxNO,

所以g(x)在[(),+00)上单调递增，(10分)

所以g(x)2g(O)=2—21n2=21n]>21nl=O,

所以当x20时，/(x)<x-sinx+4.(12分)

21.解：（1）提出零假设“°：网民选择在甲、乙直播间购买夏橙与性别没有关联.

100x(50x15—30x5)2100

经计算得z2(一方。9.091>7.879=$005,(2分)

80x20x55x45

依据小概率值a=0.005的独立性检验，我们推断不成立，即认为网民选择在甲、乙直播间购买夏橙与性

别有关联.（3分）

（2）记事件A：黄蓉上午在甲直播间购买夏橙，事件B：黄蓉下午在乙直播间购买夏橙，

则P（A）=尸=P（B|A）=1-|=|,

/—\73

P（6|A）=1——=二，（5分）

v1>1010

由全概率公式可得P（8）=尸（A）尸（用力+网可产（却可=9^+3W=3-,

_7

所以黄蓉下午选择在乙直播间购买夏橙的概率为一.（7分）