专题11 圆锥曲线2（解答）-2024届高考数学二轮专题复习考点分层与专项检测（新高考专用）原卷版

2/2专题11圆锥曲线2（解答）（新高考）目录目录【备考指南】 2 【真题在线】 3【基础考点】 5【基础考点一】圆锥曲线弦长问题 5【基础考点二】圆锥曲线点差法 6【基础考点三】圆锥曲线中的定值 8【基础考点四】圆锥曲线中的定点 9【基础考点五】圆锥曲线中的定直线 10【基础考点六】圆锥曲线与韦达定理求参数 12【综合考点】 13【综合考点一】圆锥曲线中的范围与最值 13【综合考点二】圆锥曲线中探究性问题 14【培优考点】 16【培优考点一】圆锥曲线中齐次化处理 16【培优考点二】圆锥曲线中非对称韦达 17【总结提升】 18【专项检测】 20备考指南备考指南考点考情分析考频椭圆2023年新高考Ⅱ卷T52023年全国甲卷T72022年新高考Ⅰ卷T162022年新高考Ⅱ卷T162022年全国甲卷T102021年新高考Ⅰ卷T52021年全国甲卷T152021年全国乙卷T113年8考双曲线2023年新高考Ⅰ卷T162023年新高考Ⅱ卷T212023年全国乙卷T112022年全国甲卷T142022年全国乙卷T112021年新高考Ⅱ卷T132021年全国甲卷T52021年全国乙卷T133年8考抛物线2023年新高考Ⅱ卷T102023年全国甲卷T202022年新高考Ⅰ卷T112022年新高考Ⅱ卷T102022年全国乙卷T52021年新高考Ⅰ卷T142021年新高考Ⅱ卷T33年7考直线与圆锥曲线位置关系2023年新高考Ⅰ卷T222023年新高考Ⅱ卷T212022年新高考Ⅰ卷T212022年新高考Ⅱ卷T212022年全国甲卷T202022年全国乙卷T202021年新高考Ⅰ卷T212021年新高考Ⅱ卷T202021年全国甲卷T202021年全国乙卷T213年10考预测：直线与圆锥曲线的位置关系是高考的必考内容，涉及直线与圆锥曲线的相交、相切、弦长、面积以及弦中点等问题，难度中等.解析几何中的最值与范围问题是解析几何中的典型问题，是教学的重点也是历年高考的热点.解决这类问题不仅要善于利用几何手段对平面图形进行研究，而且要从代数角度进行函数、三角等相关运算.解析几何中的定点问题是高考考查的热点，难度较大，是高考的压轴题，其类型一般为直线过定点与圆过定点等.在解析几何题目中，有些几何量与参数无关，这类问题被称为定值问题.定值问题是高考的热点问题、难度较大，一般作为压轴题出现.解析几何中的探究性问题，一般探究某种命题是否正确，某种位置关系是否成立等，是高考的热点问题，难度较大.二轮复习建议加强训练，尤其是计算与思维的训练，基础生争取在高考中学生尽可能多拿到分数，优等生尽量拿到满分.真题在线真题在线1．（2023·全国·统考高考真题）已知直线与抛物线交于两点，且．(1)求；(2)设F为C的焦点，M，N为C上两点，，求面积的最小值．2．（2023·全国·统考高考真题）已知椭圆的离心率是，点在上．(1)求的方程；(2)过点的直线交于两点，直线与轴的交点分别为，证明：线段的中点为定点．3．（2023·全国·统考高考真题）在直角坐标系中，点到轴的距离等于点到点的距离，记动点的轨迹为．(1)求的方程；(2)已知矩形有三个顶点在上，证明：矩形的周长大于．4．（2023·全国·统考高考真题）已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为，离心率为．(1)求C的方程；(2)记C的左、右顶点分别为，，过点的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线与交于点P．证明:点在定直线上.5．（2022·全国·统考高考真题）已知双曲线的右焦点为，渐近线方程为．(1)求C的方程；(2)过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，点在C上，且．过P且斜率为的直线与过Q且斜率为的直线交于点M.从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立：①M在上；②；③．注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.6．（2022·全国·统考高考真题）设抛物线的焦点为F，点，过F的直线交C于M，N两点．当直线MD垂直于x轴时，．(1)求C的方程；(2)设直线与C的另一个交点分别为A，B，记直线的倾斜角分别为．当取得最大值时，求直线AB的方程．7．（2022·全国·统考高考真题）已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过两点．(1)求E的方程；(2)设过点的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足．证明：直线HN过定点．8．（2022·全国·统考高考真题）已知点在双曲线上，直线l交C于P，Q两点，直线的斜率之和为0．(1)求l的斜率；(2)若，求的面积．9．（2021·全国·统考高考真题）已知椭圆C的方程为，右焦点为，且离心率为．（1）求椭圆C的方程；（2）设M，N是椭圆C上的两点，直线与曲线相切．证明：M，N，F三点共线的充要条件是．10．（2021·全国·统考高考真题）已知抛物线的焦点为，且与圆上点的距离的最小值为．（1）求；（2）若点在上，是的两条切线，是切点，求面积的最大值．11．（2021·全国·统考高考真题）抛物线C的顶点为坐标原点O．焦点在x轴上，直线l：交C于P，Q两点，且．已知点，且与l相切．（1）求C，的方程；（2）设是C上的三个点，直线，均与相切．判断直线与的位置关系，并说明理由．12．（2021·全国·统考高考真题）已知抛物线的焦点F到准线的距离为2．（1）求C的方程;（2）已知O为坐标原点，点P在C上，点Q满足，求直线斜率的最大值.基础基础考点【考点一】圆锥曲线弦长问题【典例精讲】（2023下·湖南·高二校联考阶段练习）对于椭圆：，我们称双曲线：为其伴随双曲线．已知椭圆（），它的离心率是其伴随双曲线离心率的倍．

(1)求椭圆伴随双曲线的方程；(2)如图，点，分别为的下顶点和上焦点，过的直线与上支交于，两点，设的面积为，（其中为坐标原点）．若的面积为，求．【变式训练】1．（2023·全国·模拟预测）已知，分别为椭圆Γ：的左、右焦点，过点的直线与椭圆Γ交于A，B两点，且的周长为.(1)求椭圆Γ的标准方程；(2)若过点的直线与椭圆Γ交于C，D两点，且，求四边形ACBD面积的取值范围.2．（2023·河南·校联考模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，.过的直线l交C的右支于M，N两点，且当l垂直于x轴时，l与C的两条渐近线所围成的三角形的面积为4.(1)求C的方程；(2)证明：，求.3．（2023·湖南·湖南师大附中校联考一模）已知抛物线为抛物线外一点，过点作抛物线的两条切线，切点分别为（在轴两侧），与分别交轴于.(1)若点在直线上，证明直线过定点，并求出该定点；(2)若点在曲线上，求四边形的面积的范围.4．（2022·全国·校联考模拟预测）已知椭圆的右焦点为，，为上不同的两点，且，．(1)证明：，，成等差数列；(2)试问：轴上是否存在一点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．5．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）已知抛物线：的焦点为，直线与交于，两点，线段的垂直平分线与轴交于，且.(1)求的值；(2)若的中点为，直线：被以为直径的圆截得的弦长为，被抛物线截得的弦长为，求的最小值.【考点二】圆锥曲线点差法【典例精讲】（2023·四川成都·三模）已知斜率为的直线与抛物线相交于两点．(1)求线段中点纵坐标的值；(2)已知点，直线分别与抛物线相交于两点（异于）．求证：直线恒过定点，并求出该定点的坐标．【变式训练】1．（2023下·山西吕梁·高二校考开学考试）已知椭圆的长轴比短轴长2，椭圆的离心率为．(1)求椭圆的方程；(2)若直线与椭圆交于两点，且线段的中点为，求的方程．2．（2021上·江苏南通·高三海安市曲塘中学校考期末）在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：－＝1(a、b为正常数)的右顶点为A，直线l与双曲线C交于P、Q两点，且P、Q均不是双曲线的顶点，M为PQ的中点．(1)设直线PQ与直线OM的斜率分别为k1、k2，求k1·k2的值；(2)若＝，试探究直线l是否过定点？若过定点，求出该定点坐标；否则，说明理由．3．（2023·四川成都·三模）已知斜率为的直线l与抛物线相交于P，Q两点．(1)求线段PQ中点纵坐标的值；(2)已知点，直线TP，TQ分别与抛物线相交于M，N两点（异于P，Q）．则在y轴上是否存在一定点S，使得直线MN恒过该点？若存在，求出点S的坐标；若不存在，请说明理由．4．（2023·内蒙古呼和浩特·统考二模）已知抛物线T：和椭圆C：，过抛物线T的焦点F的直线l交抛物线于A，B两点，线段AB的中垂线交椭圆C于M，N两点．(1)若F恰是椭圆C的焦点，求的值；(2)若，且恰好被平分，求的面积．5．（2023·广东深圳·统考一模）已知双曲线E：与直线l：相交于A、B两点，M为线段AB的中点．(1)当k变化时，求点M的轨迹方程；(2)若l与双曲线E的两条渐近线分别相交于C、D两点，问：是否存在实数k，使得A、B是线段CD的两个三等分点？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．【考点三】圆锥曲线中的定值【典例精讲】（2023·上海黄浦·上海市大同中学校考三模）如图，已知椭圆：的离心率为，点为其左顶点．过A的直线交抛物线于B、C两点，C是AB的中点．

(1)求椭圆的方程；(2)求证：点C的横坐标是定值，并求出该定值；(3)若直线m过C点，其倾斜角和直线l的倾斜角互补，且交椭圆于M，N两点，求p的值，使得的面积最大．【变式训练】1．（2023·全国·模拟预测）已知椭圆E：的左、右焦点分别为，，左顶点为A，，P是椭圆E上一点（异于顶点），O是坐标原点，Q在线段上，且∥，．(1)求椭圆E的标准方程；(2)若直线l与x轴交于点C、与椭圆E交于点M，N，B与N关于x轴对称，直线MB与x轴交于点D，证明：为定值．2．（2023·湖北·武汉市第三中学校联考一模）已知点是圆：上一动点（为圆心），点的坐标为，线段的垂直平分线交线段于点，动点的轨迹为曲线．(1)求曲线的方程；(2)，是曲线上的两个动点，为坐标原点，直线、的斜率分别为和，且，则的面积是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，请说明理由；(3)设为曲线上任意一点，延长至，使，点的轨迹为曲线，过点的直线交曲线于、两点，求面积的最大值．3．（2023·安徽·统考一模）我们约定，如果一个椭圆的长轴和短轴分别是另一条双曲线的实轴和虚轴，则称它们互为“姊妹”圆锥曲线.已知椭圆：，双曲线是椭圆的“姊妹”圆锥曲线，，分别为，的离心率，且，点M，N分别为椭圆的左、右顶点，设过点的动直线l交双曲线右支A，B两点，若直线AM，BN的斜率分别为，.(1)求双曲线的方程；(2)试探究与的是否定值.若是定值，求出这个定值；若不是定值，请说明理由；(3)求的取值范围.4．（2023·河南·校联考模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，.过的直线l交C的右支于M，N两点，当l垂直于x轴时，M，N到C的一条渐近线的距离之和为.(1)求C的方程；(2)证明：为定值.5．（2023·吉林长春·统考一模）过抛物线焦点，斜率为的直线与抛物线交于、两点，．(1)求抛物线的方程；(2)过焦点的直线，交抛物线于、两点，直线与的交点是否在一条直线上．若是，求出该直线的方程；否则，说明理由．【考点四】圆锥曲线中的定点【典例精讲】（2023·湖南·校联考模拟预测）已知椭圆：的长轴长为，且其离心率小于，为椭圆上一点，、分别为椭圆的左、右焦点，的面积的最大值为.(1)求椭圆的标准方程；(2)为椭圆的上顶点，过点且斜率为的直线与椭圆交于，两点，直线为过点且与平行的直线，设与直线的交点为.证明：直线过定点.【变式训练】1．（2023·吉林长春·东北师大附中模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线E：的焦点为F，E的准线交轴于点K，过K的直线l与拋物线E相切于点A，且交轴正半轴于点P.已知的面积为2.(1)求抛物线E的方程；(2)过点P的直线交E于M，N两点，过M且平行于y轴的直线与线段OA交于点T，点H满足.证明：直线过定点.2．（2023·湖南郴州·统考一模）已知点在抛物线上，为抛物线上两个动点，不垂直轴，为焦点，且满足.(1)求的值，并证明：线段的垂直平分线过定点；(2)设（1）中定点为，当的面积最大时，求直线的斜率.3．（2023·全国·模拟预测）设动点P到定点的距离与到定直线l：的距离之比为2．(1)求动点P的轨迹E的方程；(2)若Q为l上的动点，A，B为E与x轴的交点，且点A在点B的左侧，QA与E的另一个交点为M，QB与E的另一个交点为N，求证：直线MN过定点．4．（2023·云南大理·统考一模）已知双曲线：，其渐近线方程为，点在上.(1)求双曲线的方程；(2)过点的两条直线AP，AQ分别与双曲线交于P，Q两点（不与点A重合），且两条直线的斜率之和为1，求证：直线PQ过定点.5．（2023·全国·模拟预测）已知圆，圆，动圆与圆和圆均相切，且一个内切、一个外切．(1)求动圆圆心的轨迹的方程．(2)已知点，过点的直线与轨迹交于两点，记直线与直线的交点为．试问：点是否在一条定直线上？若在，求出该定直线；若不在，请说明理由．【考点五】圆锥曲线中的定直线【典例精讲】（2023·山东泰安·统考模拟预测）已知曲线上的动点满足，且.(1)求的方程；(2)若直线与交于、两点，过、分别做的切线，两切线交于点.在以下两个条件①②中选择一个条件，证明另外一个条件成立.①直线经过定点；②点在定直线上.【变式训练】1．（2023·全国·模拟预测）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，上顶点为，到直线的距离为，且.(1)求椭圆的标准方程；(2)若过且斜率为的直线与椭圆交于，两点，椭圆的左、右顶点分别为，，证明：直线与的交点在定直线上.2．（2023·全国·模拟预测）已知在平面直角坐标系中，抛物线的焦点与椭圆的一个顶点重合，抛物线经过点，点是椭圆上任意一点，椭圆的左、右焦点分别为，且的最大值为．(1)求椭圆和抛物线的标准方程；(2)过抛物线上在第一象限内的一点作抛物线的切线，交椭圆于两点，线段的中点为，过点作垂直于轴的直线，与直线交于点，求证：点在定直线上．3．（2023·山东·山东省实验中学校考二模）已知抛物线，过点的两条直线、分别交于、两点和、两点．当的斜率为时，．(1)求的标准方程；(2)设为直线与的交点，证明：点在定直线上．4．（2020·陕西西安·西北工业大学附属中学校考一模）已知抛物线和圆，倾斜角为45°的直线过的焦点且与相切．(1)求p的值：(2)点M在的准线上，动点A在上，在A点处的切线l2交y轴于点B，设，求证：点N在定直线上，并求该定直线的方程．5．（2023·湖南永州·统考一模）已知点A为圆上任意一点，点的坐标为，线段的垂直平分线与直线交于点．(1)求点的轨迹的方程；(2)设轨迹E与轴分别交于两点（在的左侧），过的直线与轨迹交于两点，直线与直线的交于，证明：在定直线上．【考点六】圆锥曲线与韦达定理求参数【典例精讲】（2023·贵州遵义·统考模拟预测）已知为椭圆的两个焦点，为椭圆上异于左､右顶点的任意一点，的周长为6，面积的最大值为：(1)求椭圆的方程；(2)直线与椭圆的另一交点为，与轴的交点为.若，.试问：是否为定值？并说明理由.【变式训练】1．（2023·江西九江·统考一模）已知过点的直线与抛物线交于两点，过线段的中点作直线轴，垂足为，且.(1)求抛物线的方程；(2)若为上异于点的任意一点，且直线与直线交于点，证明：以为直径的圆过定点.2．（2023·贵州毕节·校考模拟预测）已知是抛物线的焦点，过点的直线交抛物线于两点，当平行于轴时，.(1)求抛物线的方程；(2)若为坐标原点，过点作轴的垂线交直线于点，过点作直线的垂线与抛物线的另一交点为的中点为，证明：三点共线.3．（2023·浙江金华·校联考模拟预测）已知双曲线，直线过双曲线的右焦点且交右支于两点，点为线段的中点，点在轴上，．(1)求双曲线的渐近线方程；(2)若，求直线的方程．4．（2023·辽宁抚顺·校考模拟预测）已知双曲线C：的离心率为，F为C的左焦点，P是C右支上的点，点P到C的两条渐近线的距离之积为．(1)求C的方程；(2)若线段PF与C的左支交于点Q，与两条渐近线交于点A，B，且，求．5．（2023·全国·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别是，，上顶点为A，椭圆的焦距等于椭圆的长半轴长，且的面积为．(1)求椭圆的标准方程；(2)若B，C是椭圆上不同的两点，且直线AB和直线AC的斜率之积为，求面积的最大值．综合考点综合考点【考点一】圆锥曲线中的范围与最值【典例精讲】（2023·全国·模拟预测）已知椭圆C：的离心率为，椭圆上一动点P与左、右焦点构成的三角形面积的最大值为．(1)求椭圆C的方程；(2)设椭圆C的左、右顶点分别为A，B，直线PQ交椭圆C于P，Q两点，记直线AP的斜率为，直线BQ的斜率为，已知，设和的面积分别为，，求的最大值．【变式训练】1．（2023·辽宁抚顺·校考模拟预测）已知动点到定点的距离与动点到定直线的距离之比为．(1)求点的轨迹的方程；(2)对，曲线上是否始终存在两点，关于直线对称？若存在，求实数的取值范围；若不存在，请说明理由．2．（2023·浙江金华·统考模拟预测）已知双曲线的方程为：，左右焦点分别为，是线段的中点，过点作斜率为的直线，l与双曲线的左支交于两点，连结与双曲线的右支分别交于两点.(1)设直线的斜率为，求的取值范围.(2)求证：直线过定点，并求出定点坐标.3．（2023·全国·模拟预测）已知O为坐标原点，双曲线C：的渐近线方程为．(1)求C的标准方程；(2)过点的直线l交C于M，N两点，交x轴于Q点．若，问是否存在？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．4．（2023·海南·校联考模拟预测）已知抛物线（）的焦点F到双曲线的渐近线的距离是．(1)求p的值；(2)已知过点F的直线与E交于A，B两点，线段的中垂线与E的准线l交于点P，且线段的中点为M，设，求实数的取值范围．5．（2023·河北石家庄·统考三模）已知为抛物线上不同两点，为坐标原点，，过作于，且点.(1)求直线的方程及抛物线的方程；(2)若直线与直线关于原点对称，为抛物线上一动点，求到直线的距离最短时，点的坐标.【考点二】圆锥曲线中探究性问题【典例精讲】（2023·四川绵阳·统考二模）已知椭圆C：的焦距为4，左右顶点分别为，，椭圆上异于，的任意一点P，都满足直线，的斜率之积为．(1)若椭圆上存在两点，关于直线对称，求实数m的取值范围；(2)过右焦点的直线交椭圆于M，N两点，过原点O作直线MN的垂线并延长交椭圆于点Q．那么，是否存在实数k，使得为定值？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由．【变式训练】1．（2023·全国·模拟预测）已知抛物线的顶点为坐标原点，焦点为．椭圆的中心为，左焦点为，上顶点为，右顶点为，且．(1)求抛物线和椭圆的标准方程．(2)设直线经过点，与抛物线交于，两点，与椭圆交于，两点．记和的面积分别为和，是否存在直线，使得？若存在，求出的方程；若不存在，请说明理由．2．（2023·全国·模拟预测）已知椭圆C：的离心率为，点在椭圆C上．(1)求椭圆C的标准方程；(2)若O为坐标原点，过点的直线l与椭圆C交于M，N两点，椭圆C上是否存在点Q，使得直线与直线分别交于点A，B，且点A，B关于x轴对称？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．3．（2023·浙江绍兴·统考模拟预测）已知双曲线，过点的直线与该双曲线的左、右两支分别交于点．(1)当直线的斜率为时，求；(2)是否存在定点，使得？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．4．（2023·全国·模拟预测）已知双曲线的一个顶点为，D，E是C上关于原点O对称的两点，且直线AD，AE的斜率之积为．(1)求C的标准方程．(2)设Q是C上任意一点，过Q作与C的两条渐近线平行的直线，与x轴分别交于点M，N，判断x轴上是否存在点G，使得为定值．5．（2023·广西·统考一模）如图：小明同学先把一根直尺固定在画板上面，把一块三角板的一条直角边紧靠在直尺边沿，再取一根细绳，它的长度与另一直角边相等，让细绳的一端固定在三角板的顶点处，另一端固定在画板上点处，用铅笔尖扣紧绳子（使两段细绳绷直），靠住三角板，然后将三角板沿着直尺上下滑动，这时笔尖在平面上画出了圆锥曲线的一部分图象．已知细绳长度为，经测量，当笔尖运动到点处，此时，，．设直尺边沿所在直线为，以过垂直于直尺的直线为轴，以过垂直于的垂线段的中垂线为轴，建立平面直角坐标系．

(1)求曲线的方程；(2)斜率为的直线过点，且与曲线交于不同的两点，已知的取值范围为，探究：是否存在，使得，若存在，求出的范围，若不存在，说明理由．培优考点培优考点【考点一】圆锥曲线中齐次化处理【典例精讲】1．已知椭圆C:的焦点是、，且椭圆经过点。（1）求椭圆C的方程；（2）设直线与椭圆交于两点，且以为直径的圆过椭圆右顶点，求证：直线l恒过定点．【变式训练】1．圆的切线与x轴正半轴，y轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P（如图），双曲线过点P且离心率为.（1）求的方程；（2）椭圆过点P且与有相同的焦点，直线过的右焦点且与交于A，B两点，若以线段AB为直径的圆心过点P，求的方程.2．已知椭圆C：（a>b>0），四点P1（1,1），P2（0,1），P3（–1，），P4（1，）中恰有三点在椭圆C上.（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为–1，证明：l过定点.【考点二】圆锥曲线中非对称韦达【典例精讲】已知A，B分别为椭圆的左右顶点，E为椭圆C的上顶点，F为椭圆C的右焦点，E与F关于直线对称，的面积为，过的直线交椭圆C于两点M，N(异于A，B两点).（1）求椭圆C的方程；（2）证明：直线与的交点P在一条定直线上.【变式训练】1．已知椭圆的左、右焦点是，左右顶点是，离心率是，过的直线与椭圆交于两点P、Q(不是左、右顶点)，且的周长是，直线与交于点M.(1)求椭圆的方程；(2)(ⅰ)求证直线与交点M在一条定直线l上；(ⅱ)N是定直线l上的一点，且PN平行于x轴，证明：是定值．2．已知、分别是离心率的椭圆的左右项点，P是椭圆E的上顶点，且.（1）求椭圆E的方程；（2）若动直线过点，且与椭圆E交于A、B两点，点M与点B关于y轴对称，求证：直线恒过定点.总结提升总结提升1.中点弦问题已知A(x1，y1)，B(x2，y2)为圆锥曲线E上两点，AB的中点C(x0，y0)，直线AB的斜率为k.(1)若椭圆E的方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，则k＝－eq\f(b2,a2)·eq\f(x0,y0)；(2)若双曲线E的方程为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，则k＝eq\f(b2,a2)·eq\f(x0,y0)；(3)若抛物线E的方程为y2＝2px(p>0)，则k＝eq\f(p,y0).2.弦长问题已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的斜率为k(k≠0)，则|AB|＝eq\r(（x1－x2）2＋（y1－y2）2)＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|＝eq\r(1＋k2)eq\r(（x1＋x2）2－4x1x2)或|AB|＝eq\r(1＋\f(1,k2))|y1－y2|＝eq\r(1＋\f(1,k2))eq\r(（y1＋y2）2－4y1y2).3.圆锥曲线的切线问题直线与圆锥曲线相切时，它们的方程组成的方程组消元后所得方程(二次项系数不为零)的判别式为零.椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)在(x0，y0)处的切线方程为eq\f(x0x,a2)＋eq\f(y0y,b2)＝1；双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)在(x0，y0)处的切线方程为eq\f(x0x,a2)－eq\f(y0y,b2)＝1；抛物线y2＝2px(p＞0)在(x0，y0)处的切线方程为y0y＝p(x＋x0).4.焦点三角形的面积(1)设P点是椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)上异于长轴端点的任一点，F1，F2为其焦点，记∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积记为S△PF1F2，则S△PF1F2＝b2taneq\f(θ,2).(2)设P点是双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)上异于实轴端点的任一点，F1，F2为其焦点，记∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积记为S△PF1F2，则S△PF1F2＝eq\f(b2,tan\f(θ,2)).5.中心弦的性质设A，B为圆锥曲线关于原点对称的两点，P为该曲线上异于A，B的点.(1)若圆锥曲线为椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，则kPAkPB＝－eq\f(b2,a2)＝e2－1.(2)若圆锥曲线为双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，则kPAkPB＝eq\f(b2,a2)＝e2－1.6.中点弦的性质设圆锥曲线以M(x0，y0)(y0≠0)为中点的弦AB所在的直线的斜率为k.(1)若圆锥曲线为椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，则kAB＝－eq\f(b2x0,a2y0)，kAB·kOM＝－eq\f(b2,a2)＝e2－1.(2)若圆锥曲线为双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)，则kAB＝eq\f(b2x0,a2y0)，kAB·kOM＝eq\f(b2,a2)＝e2－1.(3)若圆锥曲线为抛物线y2＝2px(p＞0)，则kAB＝eq\f(p,y0).7.圆锥曲线的切线方程设M(x0，y0)为圆锥曲线上的点，(1)若圆锥曲线为椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>1)，则椭圆在M处的切线方程为eq\f(x0x,a2)＋eq\f(y0y,b2)＝1.(2)若圆锥曲线为双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，则双曲线在M处的切线方程为eq\f(x0x,a2)－eq\f(y0y,b2)＝1.(3)若圆锥曲线为抛物线y2＝2px(p>0)，则抛物线在M处的切线方程为y0y＝p(x＋x0).8.与抛物线的焦点弦有关的二级结论过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F倾斜角为θ的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则(1)x1x2＝eq\f(p2,4)，y1y2＝－p2；(2)两焦半径长为eq\f(p,1－cosθ)，eq\f(p,1＋cosθ)；(3)eq\f(1,|AF|)＋eq\f(1,|BF|)＝eq\f(2,p)；(4)|AB|＝eq\f(2p,sin2θ)，S△AOB＝eq\f(p2,2sinθ).专项专项检测1．（2023·江西景德镇·统考一模）已知椭圆C：的焦距为，左右顶点分别为A，B.M是C上异于A，B的点，满足MA，MB的斜率之积为.(1)求C的方程；(2)P，Q是椭圆C上的两点（P在Q的左侧），AP，BQ的斜率为，，且.且AQ与PB相交于T，求的取值范围.2．（2023上·湖北·高三校联考期中）已知椭圆的左､右焦点分别为，离心率为，点在椭圆上.(1)求椭圆的标准方程；(2)过点的直线与椭圆相交于，两点，记的面积为，求的最大值.3．（2023·浙江宁波·统考一模）已知双曲线C：的焦距为6，其中一条渐近线的斜率为，过点的直线l与双曲线C的右支交于P，Q两点，M为线段PQ上与端点不重合的任意一点，过点M且与平行的直线分别交