专题03 直线的方程及其位置关系（考点清单）（原卷版）

专题03直线的方程及其位置关系（考点清单）目录TOC\o"1-3"\h\u一、思维导图 2二、知识回归 3三、典型例题讲与练 7考点清单01：斜率与倾斜角变化关系 7【考试题型1】斜率与倾斜角变换关系 7考点清单02：求斜率或倾斜角的取值范围 8【考试题型1】直线与线段有公共点，求斜率取值范围 8考点清单03：斜率公式的几何意义的应用 8【考试题型1】利用斜率的几何意义求代数值（范围） 8考点清单04：直线方程 9【考试题型1】求直线方程 9考点清单05：两条直线平行与垂直关系 10【考试题型1】两条直线平行与垂直关系的判定 10【考试题型2】根据两条直线平行与垂直关系求参数 11考点清单06：根据直线平行，垂直求直线方程 11【考试题型1】求平行，垂直的直线方程 11考点清单07：直线过定点问题 12【考试题型1】直线过定点问题 12考点清单08：直线与坐标轴围成图形面积问题 13【考试题型1】直线与坐标轴围成图形面积问题（定值） 13【考试题型2】直线与坐标轴围成图形面积问题（最值） 14考点清单09：易错点根据截距求直线方程 15【考试题型1】易错忽略过原点的直线 15考点清单10：对称问题 16【考试题型1】点关于直线对称点 16【考试题型2】直线关于点对称问题(求关于点的对称直线，则） 17【考试题型3】直线关于直线对称问题（两直线相交） 18【考试题型4】直线关于直线对称问题（两直线平行） 19【考试题型5】将军饮马问题 19一、思维导图二、知识回归知识点01：直线斜率的坐标公式如果直线经过两点，（），那么可得到如下斜率公式：（1）当时，直线与轴垂直，直线的倾斜角，斜率不存在；（2）斜率公式与两点坐标的顺序无关，横纵坐标的次序可以同时调换；（3）当时，斜率，直线的倾斜角，直线与轴重合或者平行。知识点02：两条直线平行对于两条不重合的直线，，其斜率分别为，，有.对两直线平行与斜率的关系要注意以下几点(1)成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在；②与不重合．(2)当两条直线不重合且斜率都不存在时，与的倾斜角都是，则.(3)两条不重合直线平行的判定的一般结论是：或，斜率都不存在.知识点03：两条直线垂直如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于；反之，如果它们的斜率之积等于，那么它们互相垂直，即.对两直线垂直与斜率的关系要注意以下几点(1)成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在；②且.(2)两条直线中，一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零，则两条直线垂直．(3)判定两条直线垂直的一般结论为：或一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零．知识点04：直线的点斜式方程已知条件（使用前提）直线过点和斜率（已知一点+斜率）图示点斜式方程形式适用条件斜率存在（注直线若斜率不存在不可使用该形式直线方程）知识点05：直线的斜截式方程已知条件（使用前提）直线的斜率为且在轴上的纵截距为（已知斜率+纵截距）图示点斜式方程形式适用条件斜率存在（注直线若斜率不存在不可使用该形式直线方程）知识点06：直线的截距式方程已知条件（使用前提）直线在轴上的截距为，在轴上的截距为图示点斜式方程形式适用条件，知识点07：直线的一般式方程定义:关于,的二元一次方程都表示一条直线.我们把关于,的二元一次方程(其中,不同时为0)叫做直线的一般式方程,简称一般式.说明：1．、不全为零才能表示一条直线，若、全为零则不能表示一条直线.当时，方程可变形为，它表示过点，斜率为的直线．当，时，方程可变形为，即，它表示一条与轴垂直的直线．由上可知，关于、的二元一次方程，它都表示一条直线．2．在平面直角坐标系中，一个关于、的二元一次方程对应着唯一的一条直线，反过来，一条直线可以对应着无数个关于、的一次方程.3.解题时,如无特殊说明,应把最终结果化为一般式.知识点08：两条直线的交点坐标直线：（）和：（）的公共点的坐标与方程组的解一一对应.与相交方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解；与平行方程组无解；与重合方程组有无数个解.知识点09：两点间的距离平面上任意两点，间的距离公式为特别地，原点与任一点的距离.知识点10：点到直线的距离平面上任意一点到直线：的距离.知识点11：两条平行线间的距离一般地，两条平行直线：（）：（）间的距离.知识点12：对称问题点关于直线对称问题（联立两个方程）求点关于直线：的对称点①设中点为利用中点坐标公式得，将代入直线：中；②整理得：三、典型例题讲与练01：斜率与倾斜角变化关系【考试题型1】斜率与倾斜角变换关系【解题方法】图象法【典例1】（2023上·福建泉州·高二福建省德化第一中学校考阶段练习）直线，，，的图象如图所示，则斜率最小和最大的直线是（

）

A．， B．，C．， D．，【典例2】（2023上·江西南昌·高二校考阶段练习）若直线的倾斜角为，且，则直线斜率的取值范围为（

）A． B． C． D．【专训1-1】（2023上·河南南阳·高二校考阶段练习）已知直线的倾斜角分别为30°，53°，125°，斜率分别为，则（

）A．B．C．D．02：求斜率或倾斜角的取值范围【考试题型1】直线与线段有公共点，求斜率取值范围【解题方法】图象法【典例1】（2023上·四川遂宁·高二射洪中学校考阶段练习）已知直线：，若直线与连接两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角范围为（

）A．B． C．D．【专训1-1】（2023上·山东泰安·高二新泰市第一中学校考阶段练习）已知点，经过点的直线与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（）A．或 B．C． D．03：斜率公式的几何意义的应用【考试题型1】利用斜率的几何意义求代数值（范围）【解题方法】转化【典例1】（多选）（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考二模）点在函数的图象上，当，则可能等于（

）A．-1 B． C． D．0【典例2】（2023·全国·高三专题练习）函数的值域为【专训1-1】（2023·河北·校联考三模）函数的值域是．04：直线方程【考试题型1】求直线方程【解题方法】直线方程五种形式【典例1】（2023上·北京大兴·高二统考期中）已知中，点，点，点．(1)求边上的高所在直线的方程；(2)求角平分线所在直线的方程．【典例2】（2023上·四川内江·高二校考期中）已知直线：.(1)求证：直线与直线总有公共点；(2)若直线交轴的负半轴于点，交轴的正半轴于点，为坐标原点，设的面积为，求的最小值及此时直线的方程.【专训1-1】（2023上·四川内江·高二校考期中）根据下列条件，分别求满足条件的直线的方程：(1)过原点，且点到该直线的距离为1；(2)经过两条直线：和：的交点，且与直线：垂直.【专训1-2】（2023上·全国·高二专题练习）若直线经过直线和的交点且与两坐标轴围成的三角形的面积为，求直线l的方程.05：两条直线平行与垂直关系【考试题型1】两条直线平行与垂直关系的判定【解题方法】斜率相等或斜率相乘为-1【典例1】（2023上·山西朔州·高二校联考阶段练习）下列方程表示的直线中，与直线垂直的是（

）A． B．C． D．【典例2】（2023上·河南·高二校联考期中）“”是“直线和直线平行”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【专训1-1】（多选）（2023上·高二课时练习）下列各直线中，与直线平行的是（

）A． B．C． D．【专训1-2】（2023上·江苏淮安·高二淮阴中学校考开学考试）直线：，：，则“或”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件【考试题型2】根据两条直线平行与垂直关系求参数【解题方法】斜率相等或斜率相乘为-1【典例1】（2023上·湖南·高二嘉禾县第一中学校联考期中）设直线，,若，则可以为（

）A． B． C． D．【典例2】（多选）（2023上·江苏泰州·高二泰州中学校考期中）若三条直线不能围成三角形，则的值可以是（

）A．2 B． C． D．【专训1-1】（2023上·江苏徐州·高二统考期中）已知直线，平行，则这两条平行直线之间的距离为.【专训1-2】（2023上·甘肃武威·高二天祝藏族自治县第一中学校联考期中）已知直线，．(1)若，求实数的值；(2)若，求实数的值．06：根据直线平行，垂直求直线方程【考试题型1】求平行，垂直的直线方程【解题方法】斜率相等或斜率相乘为-1【典例1】（2023·全国·高二课堂例题）已知直线l的方程为，求直线的方程，使满足：(1)过点，且与l平行；(2)过点，且与l垂直；【典例2】（2023上·广东广州·高二华南师大附中校考期中）已知直线满足下列条件，求直线方程：(1)经过两条直线和的交点，且平行于直线；【专训1-1】（2020上·四川成都·高二校考期中）已知直线经过点．(1)若直线平行于直线，求直线的方程．(2)若直线垂直于直线，求直线的方程．07：直线过定点问题【考试题型1】直线过定点问题【解题方法】两条直线相交交点坐标【典例1】3．（2023上·河北石家庄·高二石家庄一中校考期中）不论k为任何实数，直线恒过定点，若直线过此定点其中m，n是正实数，则的最小值是（

）A． B． C． D．【典例2】（2023上·浙江·高二校联考期中）设，若过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点，则的最大值是（

）A． B．2 C．3 D．5【专训1-1】（2023上·全国·高二专题练习）已知，满足，则直线必过定点（

）A． B．C． D．【专训1-2】（2023上·广东深圳·高二校考阶段练习）点到直线的距离最大时，直线的方程为（

）A． B． C． D．08：直线与坐标轴围成图形面积问题【考试题型1】直线与坐标轴围成图形面积问题（定值）【解题方法】三角形面积公式【典例1】（2023上·山东·高二校联考阶段练习）已知直线与直线的斜率相等，且直线与两坐标轴在第一象限内所围成三角形的面积为24，则直线的方程为（

）A． B． C． D．【典例2】（2022上·湖南长沙·高二校联考阶段练习）已知直线.(1)证明：直线过定点；(2)若直线不经过第四象限，求的取值范围；(3)若直线交轴负半轴于，交轴正半轴于，的面积为（为坐标原点），求直线的方程.【专训1-1】（2022·江苏·高二专题练习）直线经过两条直线和的交点，且_____．试从以下两个条件中任选一个补充在上面的问题中，完成解答，若选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．①与直线平行，②直线在轴上的截距为．(1)求直线的方程；(2)求直线与坐标轴围成的三角形面积．【专训1-2】（2022上·北京西城·高二北京市西城外国语学校校考期中）已知平面上的直线，且l与x轴和y轴分别相交于点.(1)当时，求面积的最小值.(2)若的面积为，求k的值.【考试题型2】直线与坐标轴围成图形面积问题（最值）【解题方法】三角形面积公式+基本不等式【典例1】（2022上·四川成都·高二校考阶段练习）已知直线.(1)若直线不经过第四象限，求的取值范围；(2)若直线交轴负半轴于点，交轴正半轴于点，求面积的最小值.【典例2】（2023上·河南洛阳·高二校考期中）已知直线方程为．(1)证明：直线恒过定点；(2)为何值时，点到直线的距离最大，最大值为多少？(3)若直线分别与轴，轴的负半轴交于、两点，求面积的最小值及此时直线的方程．【专训1-1】（2023·高二课时练习）已知定点及定直线，点Q在直线l上（Q在第一象限），直线PQ交x轴正半轴于点M，要使的面积最小（O为原点），求Q点坐标．【专训1-2】（2022上·湖南怀化·高二校考阶段练习）已知直线.(1)若直线不经过第三象限，求的取值范围；(2)若直线交轴的负半轴于点，交轴的正半轴于点为坐标原点，设的面积为，求的最小值及此时直线的方程.09：易错点根据截距求直线方程【考试题型1】易错忽略过原点的直线【解题方法】分类讨论【典例1】（2022上·甘肃金昌·高二永昌县第一高级中学校考阶段练习）已知直线过，且在两坐标轴上的截距为相反数，那么直线的方程是（

）．A．或 B．或C．或 D．或【典例2】（多选）（2023下·河南周口·高二统考期中）已知直线过点，且直线在坐标轴上的截距的绝对值相等，则直线的方程为（

）A． B． C． D．【专训1-1】（2023上·山东日照·高二山东省日照实验高级中学校考阶段练习）过点且在两坐标轴上截距相等的直线的方程为．10：对称问题【考试题型1】点关于直线对称点【解题方法】中点坐标公式+斜率【典例1】（2023上·陕西咸阳·高二咸阳市实验中学校考阶段练习）直线：，直线的一个方向向量的坐标为，直线：与直线垂直(1)求a，b的值；(2)已知点，求点关于直线对称的点的坐标．【典例2】（2023上·河南新乡·高二统考期中）的最小值为（

）A． B． C． D．【专训1-1】（2023上·北京大兴·高二统考期中）如图，已知两点，从点射出的光线经直线反射后射到直线上，再经直线反射后射到点，则光线所经过的路程等于（

）

A． B．C． D．【专训1-2】（2023上·福建龙岩·高二校考阶段练习）平面直角坐标系上有两点，直线的方程为，直线上有一点P，最短，则P点的坐标为.【考试题型2】直线关于点对称问题(求关于点的对称直线，则）【解题方法】方法一：在直线上找一点，求点关于点对称的点，根据，再由点斜式求解；方法二：由，设出的直线方程，由点到两直线的距离相等求参数.方法三：在直线任意一点，求该点关于点对称的点，则该点在直线上.【典例1】（2023·高二单元测试）直线关于点的对称直线方程是．【典例2】（2023上·高二课时练习）求直线关于点对称的直线l的方程．【专训1-1】（2023上·山东·高二校联考阶段练习）直线关于点对称的直线方程为．【专训1-2】（2022·高二课时练习）已知直线，求：(1)直线l关于点对称的直线的方程；(2)直线关于直线l对称的直线的方程．【考试题型3】直线关于直线对称问题（两直线相交）【解题方法】直线：（）和：（）相交,求关于直线的对称直线①求出与的交点②在上任意取一点(非点），求出关于直线的对称点③根据，两点求出直线【典例1】（2023上·安徽芜湖·高二安徽师范大学附属中学校考期中）直线：关于直线：的对称直线方程为．【典例2】（2023·全国·高二课堂例题）求直线关于直线对称的直线的方程．【专训1-1】（2022上·高二校考课时练习）直线关于直线对称的直线方程是.【考试题型4】直线关于直线对称问题（两直线平行）【解题方法】直线：（）和：（）平行,求关于直线的对称直线①②在直线上任取一点，求点关于直线的对称点，利用点斜式求直线.【典例1】（2022·全国·高三专题练习）已知直线，直线，若直线关于直线l的对称直线为，则直线的方程为