2024年中考数学复习考点帮（全国通用）：考点25 直线与圆的位置关系（解析版）

考点25直线与圆的位置关系

在命题趋势

.

直线与圆的位置关系也是各地中考数学中的必考考点之一，主要内容包括直线与圆的位置关系、切线

的性质和判定、三角形的内切圆和内心三块，其中最重要的是切线的性质和判定；出题类型可以是小题也

可以是简答题，一般难度不大，属于中考中必拿分考点,所以需要考生准确掌握对应规律方法，不在此失

分。

在知识导图

相交：直线与圆有2个交点

相切：直线与圆只有一个交点

相离：直线与圆没有交点

经过切点的半径垂直于圆的切线

陋—(

切线长定理：过圆夕1点所作的圆的两条切线长相等

圆心到直线的距离等于半径的直线是圆的切线

判定—(

经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线

定义：三角形的各边均与圆相切

内切圆的圆心------三角形三条角平分线的交点为内心

直角三角形的内切圆

也重点考向

■

【中考考查重点】

一、直线与圆的位置关系

二、切线的性质与判定

三、三角形的内切圆

考向一：直线与圆的位置关系

直线与圆的位置关系

设。。的半径为r,直线/与。。相交=

圆心。到直线/的

距离为d

直线/与。。相切od=r

直线/与Oo相离od>r

・~▲_______Lz

1.如图，在△ABC中，AB=4C=5,BC=8,以A为圆心作一个半径为3的圆，下列结论中正确的是（）

A

A.点8在。A内B.直线BC与OA相离

C.点C在。A上D.直线BC与OA相切

【分析】过A点作AHLBC于H,如图，利用等腰三角形的性质得到8c=4,则利用勾股

2

定理可计算出AH=3,然后根据点与圆的位置关系的判定方法对A选项和8选项进行判断：根据直线与

圆的位置关系对C选项和。选项进行判断.

【解答】解：过A点作于，，如图，

'：AB=AC,

:.BH=CH=LBC=4,

2

在中，A”=VAB2-BH2=V52-42=3>

VAB=5>3,

•••8点在。4外，所以A选项不符合题意；

"：AC=5>3,

.♦.C点在。A外，所以C选项不符合题意；

；.AH=3,AH1BC,

直线BC与。4相切，所以。选项符合题意，B选项不符合题意.

故选：D.

BHC

2.如图，在平面直角坐标系中，直线y=x-4与x轴、y轴分别交于点8、C,半径为2的。P的圆心P从

点A(8,〃])(点A在直线y=x-4上)出发以每秒加个单位长度的速度沿射线AC运动，设点尸运动

2或6或10时,OP与坐标轴相切.

【分析】设。P与坐标轴的切点为D,根据已知条件得到A(8,4),B(4,0),C(0,-4),推出△

O8C是等腰直角三角形，NOBC=45°,①当。P与x轴相切时，②如图，0P与x轴和y轴都相切时,

③当点P只与)，轴相切时，根据等腰直角三角形的性质得到结论.

【解答】解：设。尸与坐标轴的切点为，

;直线y=x-4与x轴、y轴分别交于点8、C,点A(8,m),

，x=0时，y=-4,y=0时，x=4,x=8时，y=4,

/.A(8,4),B(4,0),C(0,-4),

."8=4&,AC=8&，OB=OC=4,

是等腰直角三角形，NO8C=45°,

•••点。是切点，OP的半径是2,

轴，PD=2,

•••△3QP是等腰直角三角形，

：.BD=PD=2,PB=2&,

:.AP=AB-PB=2近,

；点、P的速度为每秒逐个单位长度,

.*.r=2；

②如图，OP与x轴和y轴都相切时,

•尸8=2&,

：.AP=AB+PB=6y[2<

:点p的速度为每秒个单位长度,

.*.r=6；

③当点P只与），轴相切时,

：尸。=2&,

."P=AC+PC=10&,

,/点P的速度为每秒加个单位长度,

.•"=10.

综上所述，则当f=2或6或10秒时，。尸与坐标轴相切，

故答案为：2或6或10.

3.如图，半圆的圆心与坐标原点重合，半圆的半径1,直线/的解析式为），=.若直线/与半圆只有一个

交点，则/的取值范围是/=后或-10<1.

【分析】若直线与半圆只有一个交点，则有两种情况：直线和半圆相切于点C或从直线过点A开始到直

线过点8结束（不包括直线过点4）.

当直线和半圆相切于点C时，根据直线的解析式知直线与x轴所形成的锐角是45。，从而求得NOOC

=45°,即可求出点C的坐标，进一步求得f的值；当直线过点8时，直接根据待定系数法求得f的值.

【解答】解：若直线与半圆只有一个交点，则有两种情况：直线和半圆相切于点C或从直线过点A开始

到直线过点8结束（不包括直线过点A）.

直线y=x+r与x轴所形成的锐角是45°.

当直线和半圆相切于点C时，则0C垂直于直线，ZCOD=45°.

又OC=I,则CZ>=OO=亚，即点C（-亚，区•），

222

把点C的坐标代入直线解析式，得

t=y-x=V2>

当直线过点A时，把点A（-1,0）代入直线解析式，得/=厂》=1.

当直线过点8时，把点8（1,0）代入直线解析式，得r=y-x=-1.

即当，=&或-时，直线和圆只有一个公共点；

4.如图，△ABC是。。的内接三角形，NACB=60°,AO经过圆心。交。。于点E,连接B£>,NADB=

30°.

（1）判断直线8。与。。的位置关系，并说明理由；

（2）若AB=2百，求图中阴影部分的面积.

B

【分析】（1）连接BE,根据圆周角定理得到NAEB=NC=60°,连接。8,根据等边三角形的性质得到

NBOO=60°,根据切线的判定定理即可得到结论;

（2）根据圆周角定理得到N48E=90°,解直角三角形得到0B,根据扇形和三角形的面积公式即可得

到结论.

【解答】解：（1）直线与。0相切,

理由：如图，连接8E,

VZACB=60°,

；.NAE8=NC=60°,

连接。8,

■:OB=OC,

.'./XOBE是等边二角形,

AZBOD=60",

VZADB=30°,

.../OBO=180°-60°-30°=90°,

/.OBLBD,

是。。的半径，

直线8。与。。相切;

（2）如（1）中图，

是OO的直径,

AZABE=9Q0,

二AB二2向二匾

•,sinZAEB=sin60°

7E=AE~

：.AE=4.

・•・08=2,

VOB1.BD,ZADB=30°,

,•tanZADB=tan30°=^77

•••BD=2M，

,图中阴影部分的面积=SAOBD-S扇形BOE=92X2V3-喈#爸・

E

C

考向二：切线的性质与判定

定义当直线与圆有且仅有一个公共点时，这条直线叫做圆的切线

判定圆心到直线的距离等于半径的直线是圆的切线

经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线

性质经过切点的半径垂直于圆的切线

切线长定理：过圆外一点所作的圆的两条切线长相等

方技巧

1.切线的判定：常用方法一有切点，连半径，证垂直!

无切点，作垂直，证半径!

☆特别地：

题目中所需证的垂直，一般是由已知垂直转化而来的，故有“想证JL,先找_L”

2.切线的性质：常用方法一见切点，连半径，得垂直！

因切线所得结论必为，，故常以直角三角形来展开后续问题

典例引砥

1.如图，A8是。。的直径，C、。是。。上的点，过点C作。。的切线交84的延长线于点E,/E=50°,

则NCD4等于（)

D

A.20°B.25°C.40°D.70°

【分析】连接OC,根据切线的性质可知NOCE=90。再由直角三角形的性质得出NCOE的度数，由

圆周角定理即可得出结论.

【解答】解：连接OC,AD,

YCE是。。的切线，

AZOCE=90°,

'.•Z£=5O0,

...NCOE=90°-50°=40°,

/.ZCDB=1.ZCOE=20°,

2

.\ZCDA=900-NCDB=10°,

故选：D.

D

2.抖空竹在我国有着悠久的历史，是国家级的非物质文化遗产之一，如图，AC,8。分别与。。相切于点

C,点£）,延长AC,BO交于点P.若/尸=120°,。。的半径为5,则图中弧8的长为（）

冬兀冬兀

A.沙B.汐C.D.

36

【分析】先根据切线的性质得到/。62=/。。2=90°,再利用四边形的内角和计算出NCOO=60°,

然后根据弧长公式计算出弧CD的长度.

【解答】解：8£）分别与。0相切于点C,点E>,

AOC±AC,OD上BD,

：./OCP=NODP=90°,

VZP=120°,

AZCOD=180°-120°=60°,

.••弧CD的长=§0乂兀X5=$n.

1803

故选：A.

3.如图，PA.PB、CE分别与O。相切于点A、B、D点,若圆O的半径为6,。尸=10,则的周长

【分析】连接OA，由切线的性质得。4,以，到由切线长定理得到CA=CC,ED=EB,PA=PB,推出

△PCE周长=2必，由勾股定理求出必的长即可.

【解答】解：连接。4，

,：PA,PB、CE分别与。。相切于点4、B、/）点，

：.CA=CD,ED=EB,PA=PB,OAVPA,

/\PCE1^=PE+PC+EC=PE+PC+EB+CA=PB+PA=2PA,

在Rt△巩。中，PA1=PO1-OA2,

...用=、102_62=8,

.♦.△PCE周长=2%=16.

故选：C.

4.如图所示，A8是O。的直径，。。交3c的中点于。，OE_LAC于E,连接AZ）,则下列结论：①ADL

BC;@ZEDA=ZB；③。A=」MC；④OE是。。的切线，正确的有（）

2

A.1个B.2个C.3个D.4个

【分析】由直径所对的圆周角是直角，即可判断出选项①正确；由。为A8中点，得到A0为A8的一半，

故A0为AC的一半，选项③正确；由0D为三角形ABC的中位线，根据三角形的中位线定理得到0D

与AC平行，由4c与。E垂直得到。。与OE垂直，即/ODE为90°,故。E为圆。的切线，选项④

正确.

【解答】解：是。。直径，

.•.乙4。8=90°,

C.ADLBC,选项①正确；

连接。£>,如图，

•。为5c中点，。为AB中点，

二。。为△ABC的中位线，

.'.OD//AC,

XDE±AC,.,.ZD£A=90°,

：.ZODE^90°,

为圆。的切线，选项④正确；

又OB=OD,

：.ZODB=ZB,

为圆。的直径，

AZADB=90°,

VZED4+ZADO=90°,ZBDO+ZADO=90a,

：.ZEDA=ZBDO,

；.NEDA=NB,选项②正确；

由。为BC中点，且4D_LBC,

...AC垂直平分BC,

：.AC^AB,又。A=L1B,

2

：.OA=kAC,选项③正确;

2

则正确结论的个数为4个.

故选：D.

5.如图，在AAOB中，ZAOB=90°,OB=3,半径为1的。。与OB交于点C,且AB与。。相切，过点

C作CDLO8交AB于点。，点M是边OA上动点.则△MCZ）周长最小值为（）

【分析】如图，延长C。交。。于点£,连接EQ,交AO于点〃，此时MC+MQ的值最小.设A8与。。

相切于凡连接OF,得到NOF8=90°,根据勾股定理得到BF=>/0B2_0F2=>y32_12=2V2；根

据切线的性质得到DF=CD,再根据勾股定理即可得结论.

【解答】解：如图，延长CO交。。于点E,连接ED交AO于点M,此时MC+M0的值最小.

设A8与00相切于F,

连接OF,

则NOFB=90°,

•:0C=1,

:.OF=OC^\,

BF=7OB2-OF2=^32-122&；

,：CDLOB,OC为OO的半径，

...CO是。。的切线，

:.DF=CD,

VZDCB=90°,

CD1+CB2=BD2,

ACD2+22=(2V2-CD)2,

解得：CD=e,

2____________

•,•£,£=VCD2<E2=^(2J-)2+22=-^

二△MCQ周长最小值为1_+则2=2芯,

22

故选：A.

考向三：三角形的内切圆

三角形外接圆与内切圆之间的关系

三角形的外接圆三角形的内切圆

A

图形

圆心O为外心：三边垂直平分线的交点0为内心：三条角平分线的交点

特征三角形各顶点均在圆上三角形各边均与圆相切

性质三角形的外心到三角形三个顶点的距离三角形的内心到三角形三边的距离相等

相等

常用直角三角形外接圆的圆心为斜边中点

S/\ARC=-f(Q+b+C)(a、b、c为AABC的三边

结论

长，r为OO的半径)；ZBOC=90°+-ZA

2

典例引

1.如图，。。是△ABC的内切圆，切点分别为。，E,F,且/A=90°,AB=5,BC=\3,则。。的半径

是()

A.1B.V3C.2D.2A/3

【分析】设OO=Of=AF=A0=x,利用切线长定理，构建方程，解方程即可解决问题.

【解答】解：在RtAABC中,

VZ4=90°,A8=5,8c=13,

；•Ac=VBC2-AB2=12,

；。。为Rt^ABC的内切圆，切点分别为。，E,F,

：.BD=BE,AD=AF,CF=CE,

如图，连接0£>,OF,

：OO是aABC的内切圆，切点分别为D,E,F,

：.ODA.AB,OFA.AC,OD=OF,

：.ZODA=ZA=ZOM=90°,

四边形A。。尸是正方形，

设O£>=OF=AF=AO=x,贝ijCE=CF=12-x,BD=BE=5-x,

；8E+CE=13,

A5-x+12-x=13,

：.x=2,

则圆。的半径为2.

故选：C.

2.如图，△ABC的内切圆与AB,BC,CA分别相切于点。，E,F,若NDE尸=50°,则的度数是

()

C.90°D.80°

【分析】连接O。、OF,如图，先根据圆周角定理得到/£>OF=2/Z)EF=10()°,再根据切线的性质得

OD1.AB,OF1.AC,则/A£)O=/AFO=90°,然后根据四边形内角和计算/A的度数.

【解答】解：连接。。、OF,如图：

VZD£F=50°,

VZDOF^2ZDEF=100°,

：OO是△A8C的内切圆，与48、C4分别相切于点。、F,

：.OD^AB,OFX.AC,

ZADO=ZAFO=90a,

.../A+/OOF=180°,

.•./A=180°-100°=80°.

故选：D.

3.如图，在△ABC中，ZC=90°,AC=4,BC=3.。。是△ABC的内切圆，分别与AC、BC、AB相切

于点£>、E、F,则圆心O到顶点A的距离是()

A.272B.3C.V10D.2V3

【分析】如图，连结OO,OE,OF,设O。半径为r,根据勾股定理得到A8=YAC2+BC2=5,根据切

线的性质得到AC1OD,ABVOF,BCLOE,且OF=OD=OE=r,根据正方形的性质得到CE=CD=

OD=r,根据勾股定理得到40=｛人口240口2=0^・

【解答】解：如图，连结00,0E,0F,设。0半径为小

A

VZC=90°,AC=4,BC=3,

Ay4B=7AC2+BC2=5,

・・,G)O是△ABC的内切圆，分别与AC、BC、AB相切于点。、E、F,,

：.AC±OD.ABLOF,BC1OE,OF=OD=OE=n

・・・四边形OEC尸是正方形，

：.CE=CD=OD=r,

：.AD=AF=AC-CD=4-r,BF=BE=BC-CE=3-r,

9：AF+BF=AB=5,

A3-r+4-r=5,

r~-1.

：・OD=CD=1,

.\AD=3.

•，M6>=VAD2-K)D2=<'/^'

故选：c.

4.如图，在aABC中，N4=80°,半径为3c/n的是△ABC的内切圆，连接OB,OC,分别交。。于

D,E两点，则征的长为—整£_.(结果用含TT的式子表示)

-6-

【分析】根据角A的度数和内切圆的性质，得出圆心角。OE的度数即可得出阴影部分的面积.

【解答】解：；NA=80°,。。是△48C的内切圆,

ZDOE=180°-(yZABC+yZACB)=18。°--1(180°-NA)=130。,

...OE的弧长=@1上3=@三(cm),

1806

故答案为：1321.

6

5.已知，如图，AB为。0的直径，ZVIBC内接于。0,BOAC,点尸是△ABC的内心，延长CP交00

于点力，连接BP.

(1)求证：BD=PD；

(2)已知。。的半径是3&,CC=8,求BC的长.

A

D

【分析】(1)由圆周角定理得出NAC8=90°,由内心得出NACD=NBCP=45°,NCBP=NEBP,Z

ABD=ZACD=45°,由三角形的外角性质得出NOPB=NO8P,即可得出结论；

(2)连接AO,由圆周角定理得出NA8Q=45°,证出△ABO是等腰直角三角形，得出亚A8=6,

2

由勾股定理可求8H的长，即可得出结果.

【解答】(1)证明：:AB为直径，

AZACB=90°,

1点P是AABC的内心，

...NAC£)=N8CP=45°,NCBP=NEBP,

.../A8D=NAC£>=45°,

■:NDPB=NBCP+NCBP=45°+ZCBP,NDBP=NABD+NEBP=45°+ZEBP,

:.NDPB=NDBP,

；.BD=DP；

(2)解：连接AC,过点8作8H_LCL>于H,如图所示:

."8=6&,△A8O是等腰直角三角形,

,80=2^^48=亚X6&=6,

22

'：ZBCD=45°,BHLCD,

:.NBCH=/CBH=45°,

：.BH=CH,

：.8C=&8”,

,;BN=DH2+BH2,

.\36=(8-BH)2+BH2,

:.BH=4±风,

；.8C=4&±2.

处跟踪训练

■.

1.（2022秋•太仓市期末）如图，AB是。。的切线，切点为B,连接AO与。0交于点C,点。为BIIC上一

点，连接B。，CD.若NA=36°,则N8OC的度数为（）

A.32°B.18°C.27°D.36°

【分析】连接08,由切线的性质得出/A8O=90°,由圆周角定理可得出答案.

【解答】解:连接。8,

•.S8为。。的切线，

OBA.AB,

：.ZABO=90Q,

：NA=36°,

.•.408=90°-乙4=90°-36°=54°,

.•./B£>C=2/AOB=27°,

2

故选：C.

2.（2020•南通二模）如图，AB是。。的直径，DB、分别切。。于点B、C,若NAC£=25°,则

的度数是（）

A.50°B.55°C.60°D.65°

【分析】连接BC,由弦切角定理得/ACE=/ABC,再由切线的性质求得/O8C,最后由切线长定理求

得/。的度数.

【解答】

,:DB、DE分别切OO于点8、C,

：.BD=DC,

,：ZACE=25°,

AZABC=25°，

•「AB是OO的直径，

AZACB=90°,

：.ZDBC=ZDCB=90°-25°=65°,

：.ZD=50°.

,:DB,0c是。。的切线，B,C是切点，

.\ZOCE=ZOBD=90Q,BD=DC,

U：OA=OC,

:.NA=NOCA,

〈AB是直径，

/.ZACB=90°,

，NA+/A8C=90°,NOC4+N4"=90”，

AZACE=ZABC=25°,

工NBDC=NDCB=90°-25°=65°,

AZD=180°-2X65°=50°,

故选：A.

3.（2022秋•徐州期末）如图，己知OC的半径为J5，正三角形ABC的边长为6,P为AB边上的动点,

过点尸作OC的切线尸。，切点为Q,则尸。的最小值为（）

A.5B.734C.2V10D.6

【分析】连接C。、CP,过点C作于，，根据切线的性质得到CQ_LP。，根据勾股定理求出PQ,

根据等边三角形的性质求出C”，根据垂线段最短解答即可.

【解答】解：连接CQ、CP,过点C作于〃,

是。C的切线，

：.CQLPQ,

；•p2=VPC2-CQ2=VcP2-2,

当CPLAB时，CP最小，2。取最小值,

,/△ABC为等边三角形，

.,.ze=60°,

.•.CH=BUsinB=3禽，

PQ的最小值为：个（）2-2=5，

故选：A.

4.（2022秋•庄河市期末）如图，长方形ABC。中，AB=4,40=2,圆8半径为1,圆A与圆8外切，则

点C、D与圆4的位置关系是（）

A.点C在圆A外，点。在圆A内

B.点C在圆A外，点。在圆A外

C.点C在圆4上，点。在圆A内

D.点C在圆A内，点。在圆A外

【分析】先根据两圆外切求出A的半径，连接AC,根据勾股定理求出AC的长，进而可得出结论.

【解答】解：；4B=4,。8半径为1,。4与。8外切，

：.QA的半径为4-1=3,

'：AD=2<3,

.•.点。在圆内;

连接AC,

"：BC=AD^2,

."。="2+22=2近>3,

.•.点C在圆外.

5.(2022秋•栾城区期末)如图，△ABC内接于00,过A点作直线。E,当NBAE=()时，直线。E

与。。相切.

ZBACC.ZCD.ZDAC

【分析】苜先过点。作直径4凡连接8凡根据同弧所对的圆周角相等可得NC=NAF8,进而可得到

/BAE=NF,再根据直径所对的圆周角是90°,可证出NAF8+NBAF=90°,再利用等量代换可得/

BAE+ZBAF=90°,进而得到直线DE与。0相切.

【解答】解：当NBAE=/C时，直线CE与。。相切.

理由如下：

作直径A尸交圆。于F点，连接BF.

VZF,NC是同弧A8所对的角，

.\ZC=ZF,

•；NBAE=NC,

：.NBAE=4F,

：A尸为直径，

AZABF=90°,

在三角形ABF中，NF+/8AF=90°,

ZF=NBAE,

，NBAE+NBAF=90°,

J.FAVDE,

•：0A是半径，

直线/）E与。。相切.

故选：C.

6.（2022秋•雄县期末）在黑板上有如下内容：“如图，AB是半圆。所在圆的直径，48=2,点C在半圆上,

过点C的直线交AB的延长线于点。.”王老师要求添加条件后，编制一道题目，下列判断正确的是（）

嘉嘉：若给出NDCB=NBAC,则可证明直线CO是半圆。的切线；

淇淇：若给出直线CQ是。。的切线，且BC=B。，则可求出△AOC的面积.

C.嘉嘉和淇淇的都不正确D.嘉嘉和淇淇的都正确

【分析】根据切线的求证方法，如图所示（见详解），连接。C,证明OCJ_CO即可求解；根据切线的性

质，BC=BD,可求出等腰三角形，等边三角形，根据含特殊角的直角三角形的直线可求出各边的长度,

由此即可求解.

【解答】解：•.ZB是半圆。所在圆的直径，

，N4C8=90°,

：.ZOAC^ZOCA,

VZOCA+ZOCB=90°,

：.ZOAC+ZOCB=90°,

嘉嘉给出的条件是：ZDCB^ZBAC,

:.NDCB+NOCB=90°,BPOC1CD,且点C在圆上,

...直线CD是半圆。的切线，故嘉嘉给出的条件正确；

淇淇给出的条件：直线。是。。的切线，且8c=8£»,如图所示,

：.OCLCD,且△BCD是等腰三角形，

AZDCB+ZHCO^ZACO+ZBCO=90a,

/ACO=NDCB,

ZCOB=2ZACO,ZCB0=2ZDCB,

：.CO^CB,KCO=BO,

...△OBC是等边三角形，

AZCAB=ZACB=ZBCD=Z£>=30°,

：A8=2,

：.OA=OC=OB=BC=BD=I,

."£)=3,

如图所示，过点C作CELOB于E,

故选：D.

7.（2022秋•文登区期末）如图，等边三角形ABC的内切圆与三边的切点分别为点。，E,F.若AB=2«，

则图中阴影部分的面积为（）

【分析】连接。尺设等边三角形A8c的内切圆圆心为。，连接OD,OF,作。GJ_DFF点G,根据等

边三角形A8C的内切圆的性质，利用扇形面积即可解决问题.

【解答】解：如图，连接。F,设等边三角形ABC的内切圆圆心为O,连接OQ,OF,

丫等边三角形ABC的内切圆与三边的切点分别为点。，E,F,

J.ODLAB,OF±AC,

...点。是AB的中点，

,.•/0。4=/0以=90,NA=60°,AD=AF,

N。。斤=120°,△4£)尸是等边三角形，

二A£>=AF=O尸=工48=后

2

作OG，。尸于点G,

'：OD=OF,

...OZ)=2OG=1,

，阴影部分的面积=25A。。尸+扇形OOF=2X_1x0F，OG+⑵冗25R=返+2L.

236023

故选：C.

8.（2022秋•顺平县期末）如图，AB是。0的直径，DC是。0的切线，切点为点D,过点4的直线与。C

交于点C,则下列结论错误的是（）

A.ZBOD=2ZBAD

B.如果A。平分/one,AD=MOD

C.如果AO平分N54C,那么AC_LOC

D.如果CO_L4O,那么4c也是。O的切线

【分析】A.由圆周角定理可得NBOQ=2N84。，便可判断正误；

B.由角平分线与等腰三角形的性质可知△A0。为等腰直角三角形，可得AD与的数量关系，便可

判断正误；

C.由角平分线与等腰三角形的性质得AC〃。。，便可判断正误；

D.证明△OAC丝△OCC,得/。4：=/。£«7=90°,便可判断正误.

【解答】解：A.,：ZBOD./BAD是俞所对的圆心角、圆周角，

：.ZBOD=2ZBADi故选项正确，不合题意；

B.「AD平分/ODC,OC是。。的切线，

•■•ZADC=ZAD0-1Z0DC=450(

'：OA=OD,则NO4O=NO0A=45°,

/.△A。。为等腰直角三角形，

AD=&0D.

故选项错误，符合题意；

C.YAD平分N8AC,

：.ZCAD=ZOAD,

"：OA^OD,则/。4£>=NOD4,

：.ZCAD^ZODA,

：.AC//OD,

是。。的切线，。。为半径，

ODLCD,

：.ACLDC,

故选项正确，不合题意；

D.'JCOLAD,

AAE=DE-

ZAOC=ZDOC,

'：OC=OC,OC=OC,

.♦.△OAC丝△one(SAS),

：.ZOAC=ZODC=W°,

...AC也是OO的切线，

故选项正确，不合题意；

故选：B.

9.(2022秋•新余期末)如图,在平面直角坐标系中，直线y=x-4与x轴、y轴分别交于点8、C,半径为

2的。尸的圆心户从点A(8,.m)(点A在直线y=x-4上)出发以每秒加个单位长度的速度沿射线AC

运动，设点P运动的时间为f秒，则当f=2或6或10时,0P与坐标轴相切.

yk

【分析】设。P与坐标轴的切点为D,根据已知条件得到4(8,4),B(4,0),C(0,-4),推出△

OBC是等腰直角三角形，NO8C=45°,①当。尸与x轴相切时,②如图，OP与x轴和y轴都相切时,

③当点P只与y轴相切时，根据等腰直角三角形的性质得到结论.

【解答】解：设OP与坐标轴的切点为。，

•.•直线y=x-4与x轴、y轴分别交于点8、C,点A(8,m),

...x=0时，y=-4,y=0时，x=4,x=8时，y=4,

(8,4),B(4,0),C(0,-4),

；.48=4&,AC=8企，OB=OC=4,

...△08C是等腰直角三角形，NO8C=45°,

①当OP与x轴相切时，

•点。是切点，。2的半径是2,

.•.PO_Lx轴，PD=2,

.•.△BOP是等腰直角三角形，

：.BD=PD=2,PB=2近,

:.AP=AB-PB=2近,

•••点P的速度为每秒加个单位长度,

/=2；

；尸8=2&,

:.AP=AB+PB=6近,

•••点P的速度为每秒加个单位长度,

・工，=6；

,:PC=2®,

.•.AP=AC+PC=10&,

..•点P的速度为每秒我个单位长度，

综上所述，则当f=2或6或10秒时，OP与坐标轴相切，

故答案为：2或6或10.

10.(2022秋•自贡期末)在平面直角坐标系xOy中，己知4(4,4),B(10,0),M(0,4),EUn,0),

F(m+3,0),OM与直线A。相切于点C,点。是线段AB上一动点，则CE+OF的最小值为—竽

【分析】过点C作CE±x轴于点E,延长CE至点G使EG=CE,在x轴上截取EF=3,过点F作FD

轴，交A8于点。，延长。尸至点”使FH=EG,找出CE+DF的最小值为。H；连接AM,MC,过

点C作CNLy轴于点M过点A作AK_Lx轴于点K,利用点的坐标的特征表示出相应的线段的长度，再

利用相似三角形的判定与性质求得线段力”的长度，则结论可求.

【解答】解：YE(m,0),F(m+3,0).

：.EF=3.

过点C作CELx轴于点E,延长CE至点G使EG=CE,在x轴上截取E尸=3,过点F作F。Lx轴，交

48于点。，延长DF至点H使FH=EG,如图，

则CE+DF=EG+DF=FH+DF=DH,此时CE+O尸的值最小.

连接AM,MC,过点C作CN，y轴于点M

(4,4),M(0,4),

：.AM±OM,AM=OM=4.

...△AM。为等腰直角三角形，

与直线AO相切于点C,

：.MC1AC,

；.C为A。的中点，

：CN_Ly轴，AMYOM,

：.CN//AM,

：.CN=1AM=2,ON=1.OM=2.

22

■:CNLON,ONLOE,CELOE,

...四边形NOEC为矩形,

：.CE=ON=2,OE=CN=2,

:.FH=EG=CE=2,OF=OE+EF=5.

过点A作AK_Lx轴于点K,则AK=OK=4,

\'B(10,0),

,08=10,

BK=OB-OK=6,BF=OB-OF=5.

轴，F£)_Lx轴,

：.AK//DF,

:.ABDFSABAK,

•BFDF

"BK"AK'

•,•—5二DF,

64

：.DF=-^-.

3

：.DH=DF+FH^2+^-=^-.

33

CE+DF的最小值为西.

3

故答案为：li.

11.（2022•南京模拟）如图，ZVIBC中，AB=AC,以A8为直径的。。交BC于E,过8作。。的切线,

交AC的延长线于。.求证：ZCBD=^ZCAB.

【分析】连接AE,利用等腰三角形的性质易证入BAE=/CAE=上/。8,由弦切角定理可得NCBD=

ZBAE,所以ZC8Q二工NCA8.

2

【解答】证明：连接AE,

是圆的直径,

：.AE1,BC,

"：AB=AC,

平分NBAC,

NBAE=ZCAE=1.ZCAB,

2

：8。是。。的切线，

：.ZCBD^ZBAE,

：.ZCBD=^ZCAB.

2

12.(2022秋•承德县期末)如图，已知。。的半径为2,四边形ABC。内接于00,/BA£>=120°,点A

平分BD，连接。8,OD,延长0。至点M,使得£>M=。。，连接AM.

(1)NBOD=120°；

(2)判断AM与。0的位置关系，并说明理由；

(3)当点C在优弧前上移动，且5c在。8左侧时，若/OBC=20°,求&的长.

B

.A

M

【分析】（1）由圆内接四边形的性质求得NC=60°,再利用圆周角定理即可求解；

（2）连接0A,由圆内接四边形及圆周角定理得出/30。=120°,乙4。。=60°,结合图形，利用各

角之间的关系即可得证明；

（3）根据各角之间的数量关系及弧长公式求解即可得.

【解答】解：（1）•••四边形ABC。内接于。。，

：.ZC+ZBAD=\SOQ,

8A£）=120°,

/.ZC=60°,

：.ZBOD=2ZC=\20Q,

故答案为：120；

（2）AM与。。相切.理由：如图1,连接04,

•四边形48co内接于ZBAD=\20°,

/.ZBCD=180°-ZBAD=180°-120°=60°,

：.ZBOD=2ZBCD=\20°,

:点4平分弧BD,

ZA0D=jZB0D=yX120°=60°，

又♦.•在。。中，OA=OD,

是等边三角形，

：.ZOAD=ZODA=()0o,AD=OD,

,:DM=OD,

:.AD=DM,

ZDAM=ZDMA-yZODA=30°，

ZOAMZOAD+ZDAM=60°+30°=90°,

：.OA1,AM,

.•.AM与。。相切.

(3)如图2所示，连接OC,

;在。。中，OB=OC,

.•./OBC=NOC8=20°,

...在△80C中，ZBOC=140°,

\'ZBOD=[20°,NCO£>=360°-120°-140°=100°,

弧CZ)的长为100兀X2=10兀

1809

13.(2023•义乌市校级模拟)如图，AB是圆。的直径，PB,PC是圆O的两条切线，切点分别为8,C.延

长54,PC相交于点D

(I)求证：NCPB=2NABC.

(2)设圆。的半径为2,sin/P8C=2,求PC的长.

【分析】(1)连接OC，根据切线的性质，四边形的内角和，圆周角定理即可证明；

(2)连接OP,OC,。尸和BC交于点E,根据切线长定理求得BELP。，再利用三角函数，勾股定理解

RtAOBE和RtAPBE即可解答.

【解答】（1）证明：如图连结0C,

"：PB,PC是圆。的两条切线，

:.PC=PB,NPCO=NPBO=90",

：.ZCPB+ZBOC=lSOa,

VZDOC+ZB(7C=180°,

：.ZCPB^ZCOD,

'：ZCOD^2ZABC,

：.NCPB=2NABC；

(2)解：如图连接OP,OC,OP和8c交于点£

由切线长定理可得PB=PC,NCPO=NBPO,

,:PE=PE,

:.丛PECg丛PEB(SAS),

:.NPEC=NPEB=90°,

VZPBO=90°,

：.NPOB=4PBE,

'：OB=2,sinNP8C=2,

3

8£=OBsinNFOB=生

3

；.OE=VOB2-BE2=-|VS,cosZPOB=

：.PB=————,

cosZPBC5V

：.PC=

14.(2022秋•玄武区期末)如图，在△ABC中，CA=CB,E为AB上一点,作EF〃BC,与AC交于点凡

经过点A,E,尸的。。与8c相切于点。，连接AD

(1)求证：A。平分/BAC；

(2)若AE=5,BE=4,求CO的长.

【分析】(1)连接由切线的性质得到OZ)_LBC,由垂径定理得到底=命，即可证明问题；

(2)连接DE,DF,由圆周角定理，平行线的性质可以证明△