专题01 集合及集合运算求参（13题型）（解析版）

专题01集合及集合运算求参一、巩固提升练【题型一】空集及其性质【题型二】子集真子集性质【题型三】两个集合包含关系求参数【题型四】集合运算性质：交集【题型五】交集运算求参数范围【题型六】集合运算性质：并集【题型七】并集运算求参数范围【题型八】集合运算性质：全集与补集【题型九】全集补集运算求参数范围【题型十】集合综合运算【题型十一】集合综合运算求参数与最值【题型十二】集合运算综合大题【题型十三】集合新定义综合大题二、能力培优练热点好题归纳【题型一】空集及其性质知识点与技巧：空集定义我们把不包含任何元素的集合，叫做空集记法规定空集是任何集合的子集，即特性（1）空集只有一个子集，即它的本身，（2）若，则A1．（2023·全国·高一专题练习）已知六个关系式①；②；③；④；⑤；⑥，它们中关系表达正确的个数为（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【分析】根据空集的性质、元素与集合、集合与集合的关系判断各关系式的正误.【详解】根据元素与集合、集合与集合关系：是的一个元素，故，①正确；是任何非空集合的真子集，故、，②③正确；没有元素，故，④正确；且、，⑤错误，⑥正确；所以①②③④⑥正确.故选：C2．（2023·全国·高一专题练习）下列各式中，正确的是（

）①

②

③

④

⑤

⑥⑦

⑧A．②⑤⑦⑧ B．②⑤⑦ C．③⑤⑦⑧ D．①⑤⑥⑦【答案】A【分析】利用集合中元素的性质，元素与集合、集合与集合之间的关系依次判断即可.【详解】对于①②③，是空集，空集是任意集合的子集，故正确，余者不正确，故①③错误，②正确；对于④⑤，元素与集合之间的关系用“”或“”表示，故不正确，成立，故④错误，⑤正确；对于⑥⑦，集合与集合之间是包含或不包含的关系，故不正确，正确，故⑥错误，⑦正确；对于⑧，由集合中元素的无序性，可知，故正确，故⑧正确；综上：正确的命题有②⑤⑦⑧.故选：A.3．（2019·全国·高一专题练习）下面四个命题中正确命题的个数是.①；②任何一个集合必有两个或两个以上的子集；③空集没有子集；④空集是任何一个集合的子集.A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【答案】B【详解】试题分析：①是不含有任何元素的集合，含有元素０，故错误；②含有个元素的集合共有个子集，而，故错误；③空集是它本身的子集，故错误；④空集是任何一个集合的子集，故正确．考点：命题真假的判定．4．（2021秋·甘肃白银·高一甘肃省会宁县第一中学校考期中）下列关系正确的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据空集的定义及元素与集合的关系判断可得；【详解】解：不含任何元素的集合为空集，记作，故A、C错误，，故B正确；，故D错误；故选：B5．（2022·高一课时练习）下列四个集合中，是空集的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用空集的定义直接判断选项是否是空集，即可．【详解】解：，，所以，A不是空集．，，所以,B不是空集．，，，；即C是空集．，，，即，所以；D不是空集．故选：C．【题型二】子集真子集性质1．（2021·高一课时练习）设非空集合同时满足下列两个条件：①；②若，则，．则下列结论正确的是A．若为奇数，则集合的个数为B．若为奇数，则集合的个数为C．若为偶数，则集合的个数为D．若为偶数，则集合的个数为【答案】D【详解】试题分析：若为偶数，则集合的元素个数为奇数个，，则，所以从集合符合题意的数共有对，集合不能的空集，集合的个数，若是奇数，则集合的元素个数为偶数个，，则，所以从集合符合题意的数共有对，所以此时集合的个数为，故答案为D．考点：集合的基本性质．2．（2023·全国·高一专题练习）若集合A满足，则集合A所有可能的情形有（

）A．3种 B．5种 C．7种 D．9种【答案】C【分析】由集合的包含关系讨论A所含元素的可能性即可.【详解】由，可知集合A必有元素，即至少有两个元素，至多有四个元素，依次有以下可能：七种可能.故选：C3．（2023·全国·高一专题练习）已知集合，，则满足的集合C的个数为（）A．4 B．7 C．8 D．15【答案】B【分析】由题知，，进而根据集合关系列举即可得答案.【详解】解：由题知，,所以满足的集合有，故集合C的个数为7个.故选：B4．（2021·全国·高一专题练习）已知集合，，若，则满足条件的集合的个数为（

）A．7 B．8 C．15 D．16【答案】C【解析】求出集合A、B，根据集合的包含关系可知集合M中一定包含元素0、1，直接列举出满足条件的集合M.【详解】，，，则集合M中一定包含元素0、1，满足条件的集合M有：，共15个.故选：C【点睛】本题考查集合的包含关系，属于中档题.5．（2018秋·湖南长沙·高一长郡中学校考阶段练习）给定全集U，非空集合A，B满足，，且集合A中的最大元素小于集合B中的最小元素，则称为U的一个有序子集对.若全集，则U的有序子集对的个数为（

）A．71 B．49 C．35 D．29【答案】B【分析】将A的所有的可能的元素全部列出，分别求出相对应的B的集合，再相加即可得出答案.【详解】A的最大元素为2时，A的个数是1，B的个数是个，满足条件A,B共15对；A的最大元素为3时，A的个数是2，B的个数是个，满足条件A,B共14对；A的最大元素为6时，A的个数是4，B的个数是个，满足条件A,B共12对；A的最大元素为7时，A的个数是8，B的个数是1个，满足条件A,B共8对,所以U的有序子集对的个数为49个.故选：B【点睛】本题主要考查了集合问题，考查了子集和真子集问题，属于中档题.【题型三】两个集合包含关系求参数知识点与技巧：根据集合的运算求参数问题的方法：1、要明确集合中的元素，对子集是否为空集进行分类讨论，做到不漏解，2、若集合元素是一一列举的，依据集合间的关系，转化为解方程（组）求解，此时注意集合中元素的互异性；3、若集合表示的不等式的解集，常依据数轴转化为不等式（组）求解，此时需注意端点值能否取到.1．（2023·全国·高一专题练习）集合或，若，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据，分和两种情况讨论，建立不等关系即可求实数的取值范围．【详解】，①当时，即无解，此时，满足题意．②当时，即有解，当时，可得，要使，则需要，解得．当时，可得，要使，则需要，解得，综上，实数的取值范围是．故选：A．2．（2023·江苏·高一假期作业）若一个集合是另一个集合的子集，则称两个集合构成“鲸吞”；若两个集合有公共元素且互不为对方的子集，则称两个集合构成“蚕食”，对于集合，，若这两个集合构成“鲸吞”或“蚕食”，则a的取值集合为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】讨论和，求得集合，再由新定义，得到的方程，即可解得的值．【详解】解：集合，，，，若，则，即有；若，可得，，不满足；若，两个集合有公共元素，但互不为对方子集，可得或，解得或．综上可得，或或2.故选：A.3．（2022·高一课时练习）已知集合，，若，则实数的取值集合是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】化简集合，再对分三种情况讨论得解.【详解】由题得，因为，所以当时，当时，；当时，；故实数的取值集合是.故选：C4．（2022秋·山东菏泽·高一校考阶段练习）已知，，若且，则实数的取值范围是（

）A．B．C．D．或【答案】B【分析】集合A的的取值范围是确定的，集合B中，二次函数开口向上，要先考虑恒成立的情况；若不恒成立，再结合的条件进行讨论，从而得到的取值范围【详解】集合A中，由得，当时，，（舍）；当时，，，所以集合；集合B中，若，，则，符合要求；若，根据二次函数对称轴为，若，则，，综上可得：故选：B5．（2022秋·湖南株洲·高一株洲二中校考开学考试）已知集合，若且集合中恰有2个元素，则满足条件的集合的个数为（

）．A．1 B．3 C．6 D．10【答案】B【分析】将方程平方整理得，再根据判别式得，故，再依次检验得，最后根据集合关系即可得答案.【详解】解:根据题意将两边平方得，继续平方整理得：，故该方程有解.所以，即，解得，因为，故，当时，,易得方程无解，当时，，有解，满足条件；当时，，方程有解，满足条件；当时，，方程有解，满足条件；故，因为且集合中恰有2个元素，所以集合可以是，，.故选：B.【点睛】本题考查集合的元素，集合关系，解题的关键在于将方程平方转化为，再结合判别式得，进而求出集合.考查运算求解能力，化归转化能力，是中档题.【题型四】集合运算性质：交集集合的基本运算的关注点(1)看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提．(2)有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决．(3)注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn图．1．（2023·江苏·高一专题练习）定义集合运算，若集合，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由题意可得，从而可得或，或，再根据新定义得，再代入验证即可得答案.【详解】解：因为，所以或所以或，或所以或，，代入验证，故.故选：D.2．（2023·江苏·高一专题练习）已知集合，，，．若，则集合A中元素个数的最大值为（

）A．1347 B．1348 C．1349 D．1350【答案】C【分析】通过假设，求出相应的，通过建立不等关系求出相应的值.【详解】设满足题意，其中，则，，，，，，中最小的元素为1，最大的元素为，，，，实际上当时满足题意，证明如下：设，则,由题知，即，故的最小值为674，于是时，中的元素最多，即时满足题意，终上所述，集合中元素的个数的最大值为1349故选：C.3．（2022秋·福建福州·高一福建省福州高级中学校考阶段练习）已知集合，，则所有子集的个数为（

）A．16 B．8 C．7 D．4【答案】B【分析】先解出集合A，B，再求出，可得的所有子集的个数.【详解】因为，，所以，的所有子集的个数为.故选：B.4．（2022秋·湖南衡阳·高一校考阶段练习）已知集合，，则集合的子集个数为（

）A．2 B．4 C．8 D．16【答案】B【分析】求出抛物线和曲线的交点，确定集合的元素个数，即可确定答案.【详解】由题意得，当时，联立，解得；当时，联立，解得；故抛物线与曲线有两个公共点，分别为，，则集合有两个元素，所以的子集个数为，故选:B．5．（2022秋·辽宁·高一辽宁实验中学校考阶段练习）已知集合，下列描述正确的是（

）A． B．C． D．以上选项都不对【答案】A【分析】将两个集合等价变形，从而可判断两个集合的关系，从而可得出答案.【详解】解：，分子取到的整数倍加1，，分子取全体整数，所以，所以.故选：A.【题型五】交集运算求参数范围交集运算性质：，A，，，，1．（2020秋·四川成都·高一四川省成都市第四十九中学校校考阶段练习）已知集合，，若，且中恰好有两个整数解，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】求出中不等式的解集确定出,求出集合对应的一元二次方程的根,表示出B集合,由的范围判断出两整数解为和,从而得到关于的不等式.【详解】，令，由题意，，又，所以，设，又.所以要使中恰好有两个整数解，则只能是和，所以应满足,解得.故选A【点睛】本题考查利用集合间的交运算求参数的范围;判断出中的两个整数解为4和5和结合一元二次函数图象得出关于a的不等式是求解本题的关键;属于难度大型试题.2．（2023秋·安徽安庆·高一安庆市第二中学校考开学考试）设集合.若，则（

）A． B．C．1 D．3【答案】B【分析】根据包含关系结合交集的结果可求的值.【详解】因为，故，故或，若，则，，此时，符合；若，则，，此时，不符合；故选：B3．（2023·全国·高一专题练习）设集合，则，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据可得，从而可讨论B是否为空集建立不等关系解出m的范围即可【详解】∵，∴，①时，，解得；②时，，解得，∴实数的取值范围是．故选：B．4．（2022秋·湖北武汉·高一湖北省水果湖高级中学校考阶段练习）设或，，若，，则有（

）A．， B．， C．， D．，【答案】D【分析】由题知，再解方程即可.【详解】解：因为或，，，所以，，解得，故选：D5．（2021秋·江苏镇江·高一扬中市第二高级中学校考阶段练习）已知集合，集合，若集合中有个元素，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】联立，可得出，设，可知函数在上有两个不等的零点，利用二次函数的零点分布可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围.【详解】联立，消去得，设，所以，函数在上有两个不等的零点，所以，，解得.因此，实数的取值范围是.故选：C.【点睛】本题考查利用交集的元素个数求参数的取值范围，同时也考查了利用二次函数的零点分布求参数，考查计算能力，属于中等题.【题型六】集合运算性质：并集并集运算性质，A，A，1．（2023·江苏·高一专题练习）已知集合都是的子集，中都至少含有两个元素，且满足：①对于任意，若，则；②对于任意，若，则.若中含有4个元素，则中含有元素的个数是（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】C【分析】令且，，根据已知条件确定可能元素，进而写出且时的可能元素，讨论、，结合确定的关系，即可得集合A、B并求出并集中元素个数.【详解】令且，，如下表行列分别表示，集合可能元素如下：----------则，若，不妨令，下表行列分别表示，---------------------由，而，且，显然中元素超过4个，不合题设；若，则，下表行列分别表示，---------------由，而，且，要使中元素不超过4个，只需，此时，显然，即，则，即且，故，所以，即，而，故，共7个元素.故选：C【点睛】关键点点睛：令且，，结合已知写出可能元素，由且时的可能元素且研究的关系.2．（2023·江苏·高一专题练习）已知集合，、、满足：①；②每个集合都恰有5个元素.集合中最大元素与最小元素之和称为的特征数，记为，则的值不可能为（

）A．37 B．39 C．48 D．57【答案】A【分析】根据题意得到集合的性质，再由特征数的性质推得最小数值的元素与最大数值的元素必为特征数的组成部分，又利用要使最大，需要废弃掉数值较小的元素，要使最小，需要废弃掉数值较大的元素，依次得到集合中的元素，从而推得的取值范围，由此得解.【详解】因为集合，又因为集合中，每个集合恰有个元素，且有个元素，所以集合中没有重复元素，因为是集合中数值最小的元素，是集合中数值最大的元素，所以在的特征数构成中，必有和，不妨设，要使最大，则应该在集合中首先放置数值较小的元素，即，所以与是剩下元素中数值最小或最大的元素，同理，不妨设，接着在中再次放置数值较小的元素，即，则，此时有最大值为，即；要使最小，则在集合中首先放置数值较大的元素，即，所以与是剩下元素中数值最小或最大的元素，同理，不妨设，接着在中再次放置数值较大的元素，即，则，此时有最小值为，即，综上：，显然，选项A不满足，故A正确；选项BCD都满足，故BCD错误.故选：A.【点睛】关键点睛：本题解题的关键在于理解特征数的组成中，一定含有最小数值的元素与最大数值的元素，从而推理得要使取得最值时，中的元素情况，由此得解.3．（2022秋·四川成都·高一校联考期中）已知正整数集合，，其中．若，且，则中所有元素之和为（

）A．52 B．56 C．63 D．64【答案】A【分析】由题意可得，从而可求的值，根据可求，由并集运算可得，从而可求元素之和.【详解】解：因为，且，所以.所以.由，可得.故由可得.所以.故,.所以,所有元素之和为52.故选:A．4．（2021秋·河南许昌·高一校考阶段练习）已知集合若，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用集合的包含关系即求.【详解】由题意，，∵集合，①；②m时，成立；③综上所述，故选：B.5．（2021秋·河南新乡·高一校考阶段练习）设集合，，则（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】根据分式不等式的解法，求得，，再结合集合的并集的运算，即可求解.【详解】由题意，集合，，根据集合的并集的概念及运算，可得.故选：D.【点睛】本题主要考查了集合的并集的概念及运算，以及分式不等式的求解，其中解答中正确求解集合，结合集合的并集的运算求解是解答的关键，着重考查运算与求解能力.【题型七】并集运算求参数范围1．（2023·全国·高一专题练习）已知集合，集合，若，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】将集合化简，根据条件可得，然后分，，讨论，化简集合，列出不等式求解，即可得到结果.【详解】因为或，解得或即，因为，所以当时，，满足要求.当时，则，由，可得，即当时，则，由，可得，即综上所述，故选:B.2．（2022秋·河南南阳·高一校考阶段练习）已知集合A={x|-3≤x≤-2}，集合B={x|m-1≤x≤2m+1}，且A∪B=A，则实数m的取值范围是（

）A．-4≤m≤ B．-4<m<C．m≤ D．m≥【答案】C【分析】依题意得到B⊆A，然后按B=⌀和B≠⌀讨论计算即可.【详解】由A∪B=A，得B⊆A，则有B=⌀和B≠⌀两种情况，当B=⌀时，有m-1>2m+1，∴m<-2；当B≠⌀时，观察右图，由数轴可得，解得-2≤m≤-.综上所述，实数m的取值范围是m≤-.故选：C3．（2021秋·江苏徐州·高一校考阶段练习）已知集合，，若，则实数a满足（）A． B．C． D．【答案】D【分析】先根据集合的并集结果确定出集合的关系，然后根据方程根的个数进行分类讨论，由此求解出的取值范围.【详解】因为，所以，当时，满足，此时，所以；当时，此时，即或，若方程有两个相同的实数根，则，所以；当时，，此时满足，当时，，此时满足，若有两个不同的实根，因为，所以，所以此时无解；综上可知，的取值范围为，故选：D.4．（2021·江苏·高一专题练习）已知表示不超过x的最大整数，称为高斯取整函数，例如，，方程的解集为A，集合，且，则实数a的取值范围是（

）A．或 B．或C．或 D．或【答案】C【解析】根据题意可得，求出集合A，再讨论的取值范围，求出集合，由集合的运算结果即可求解.【详解】由题意可得或，，当时，，满足；当时，或，若，则，解得；当时，或，若，则，解得，综上所述，实数a的取值范围是或.故选：C【点睛】本题考查了由集合的运算结果求参数的取值范围、一元二次不等式的解法，考查了分类讨论的思想，属于中档题.5．（2022秋·上海虹口·高一上海市复兴高级中学校考阶段练习）设A={x|x为合数},B={x|x为质数},N表示自然数集,若E满足,则这样的集合EA．只有一个 B．只有两个 C．至多3个 D．有无数个【答案】D【解析】由题意E中的元素一定有0,1,并且还可以有其它自然数,由此能求出结果.【详解】∵设,,N表示自然数集,∴中只比N中少两个元素:0和1,∵E满足,∴E中的元素一定有0,1,并且还可以有其它自然数,∴这样的集合E有无数个.故选:D.【点睛】本题考查满足条件的集合个数的判断,是基础题,解题时要熟练掌握并集的性质.【题型八】集合运算性质：全集与补集全集与补集性质：①∁U(∁UA)＝A；②∁UU＝；③∁U＝；④A∩(∁UA)＝；⑤A∪(∁UA)＝U；⑥∁U(A∩B)＝(∁UA)(∁UB)；⑦∁U(A∪B)＝(∁UA)(∁UB)．1．（2021·全国·高三专题练习）设全集，集合，那么.【答案】【分析】分析出集合，的各自意义，进而可知的各自意义，从而可求出.【详解】解：由可得，即表示直线除去的点集，表示平面内不在直线上的点集，则表示平面内在直线上的点集，表示不在直线上的点和点的集合，所以.故答案为:.【点睛】本题考查补集的求法，考查交集、补集等基础知识，考查运算求解能力．2．（2023秋·高一课时练习）设全集，若，，，则集合.【答案】【解析】解法一：画出韦恩图如图所示，根据已知，将U中的元素逐一填入，即得答案.解法二：可以直接根据求得【详解】解法一：由已知条件，画出韦恩图如图所示，根据已知，将U中的元素逐一填入，可得A={1,3,5,7}，解法二：，故答案为:{1,3,5,7}.【点睛】本题考查集合的交并补混合运算的意义，利用韦恩图解决是关键诀窍.3．（2023·全国·统考高考真题）设集合，集合，，则（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由题意逐一考查所给的选项运算结果是否为即可.【详解】由题意可得，则，选项A正确；，则，选项B错误；，则或，选项C错误；或，则或，选项D错误；故选：A.4.（2018秋·湖北·高一校联考期中）已知全集，，，，则集合．【答案】【分析】作出韦恩图，根据交集和补集的定义得出集合.【详解】，作出韦恩图如下图所示：由上图可知，集合.故答案为：.【点睛】本题考查集合的求解，考查韦恩图的应用，考查数形结合思想的应用，属于基础题.5.（2020秋·高一课时练习）集合或，而，，则集合.【答案】【分析】由确定的左端点，由确定的右端点，则可解.【详解】解：因为或，，所以，又因为，所以，所以故答案为：.【点睛】考查集合的交集、并集运算，解决的关键是利用集合的运算来求解集合端点的值；只要细心，一般容易得分；属于基础题．【题型九】全集补集运算求参数范围1、（023·全国·高一专题练习）设集合，，，若点，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据列不等式组，由此化简求得的最小值.【详解】、，由于，所以，，所以，即的最小值为.故选：C2．（2018·北京·高三专题练习）设集合，全集,若,则有（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先解不等式得到，再求出，利用数轴法即可得到.【详解】由，解得，故因为，，所以，又因为，由数轴法得.故选：C.3．（2022·浙江·统考模拟预测）已知全集，集合.若，则（

）A．4 B．3 C．2 D．0【答案】A【分析】首先用列举法表示全集，再根据补集的结果得到，即可得到，从而得解；【详解】解：因为，又，所以，即且，又，所以；故选：A4．（2019·全国·高三专题练习）不等式2ax<1解集为Q，P＝{x|x≤0}，若Q∩∁RP＝，则实数a等于()A． B．C．4 D．2【答案】D【详解】试题分析：∵,∴当时，，∴，∵，∴，∴.考点：1.集合的交集、补集运算；2.含参一元二次不等式.5.（2023·全国·高一专题练习）已知集合，，且，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先求得，得到，结合题意得到不等式，即可求解.【详解】由集合，，可得，因为，所以，解得，即实数的取值范围是.故选：C.【题型十】集合综合运算1．（2022秋·福建三明·高一校考阶段练习）已知集合，则（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】求出集合A,B，求出，根据集合的交集运算求得答案.【详解】由题意得或，或，故，所以或，故选：A2．（2022秋·江苏镇江·高一扬中市第二高级中学校考开学考试）设集合，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据补集运算得，再根据交集运算求解即可.【详解】解：因为，所以，所以故选：B3．（2021·江苏·高一专题练习）已知集合，则下列结果错误的是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】分析集合A与集合B中元素的差异，即可得解.【详解】因为，所以，即等价于，所以集合比集合少一个元素，所以，，正确，错误.故选：B【点睛】本题主要考查了集合的描述法，集合的包含关系，并集，补集运算，属于中档题.4．（2020秋·云南玉溪·高二峨山彝族自治县第一中学校考阶段练习）设全集，集合，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】根据全集，集合，利用补集的运算求得，再利用交集运算求解.【详解】因为全集，集合，所以，又因为，所以，故选：B【点睛】本题主要考查集合的基本运算，属于基础题.【题型十一】集合综合运算求参数与最值型1.（2022秋·河南洛阳·高一宜阳县第一高级中学校考阶段练习）已知集合集合，集合，若，则实数的取值范围是.【答案】【分析】通过集合运算得出，对集合进行分类讨论，时显然成立，时无解.【详解】当时，，满足题意.当时，时，解得综上所述，.故答案为：2．（2022秋·福建宁德·高一福建省宁德第一中学校考阶段练习）已知全集且，，，且，则的值为．【答案】66【分析】由题意，A、B的元素个数最多为2个，分别对集合元素个数（即）分类讨论，即可结合集合的整数元素求得对应的整数解，即可确定非负数【详解】由题意，A、B的元素个数最多为2个.，，对，，如有根可设为；对，，如有根可设为.（1）当，不符合；（2）当，则，则，则，故或且有，即此时与矛盾，不符合；（3）当，则，则，则，i.当，不符合；ii.当，，则，不符合；iii.当，则，则，综上，.故答案为：663．（2021·全国·高一期中）已知集合，设集合，，若，则实数的取值范围是.【答案】【分析】当时，，此时符合题意；当时，，求出再与集合进行交集运算，根运算的结果列不等式，解不等式即可求解.【详解】当时，，解得：，此时，，符合题意；当时，，解得，因为集合，，所以或，因为，所以，解得：，所以时，，综上所述：实数的取值范围是.故答案为：.4．（2020秋·广西桂林·高一校考阶段练习）设全集，集合，且，则实数的取值范围是．【答案】【分析】根据集合的运算结果，结合数轴进行计算即可得解.【详解】，又，，．故答案为：.5．（2022秋·高一课时练习）已知，，若，则的取值范围是．【答案】【解析】根据集合的运算法则，把，转化为，分类讨论，结合集合的运算，即可求解.【详解】由题意，集合，，因为，可得，即，当时，可得，解得；当时，则满足或，解得或，综上可得，实数的取值范围是.故答案为：【点睛】6.（2021·江苏·高一专题练习）由于无理数引发的数学危机一直延续到19世纪，直到1872年，德国数学家戴德金提出了“戴德金分割”才结束了持续200多年的数学史上的第一次大危机.所谓戴德金分割，是指将有理数集Q划分成两个非空的子集M与N，且满足，，M中的每一个元素都小于N中的每一个元素，则称为戴德金分割.试判断，对于任一戴德金分割，下列选项中一定不成立的是.①M没有最大元素，N有一个最小元素；②M没有最大元素，N也没有最小元素；③M有一个最大元素，N有一个最小元素；④M有一个最大元素，N没有最小元素；【答案】③【解析】根据新定义，并正确列举满足条件的集合，判断选项.【详解】①若，，则集合没有最大值，中有最小元素0，故①正确；②若，，则中没有最大元素，也没有最小元素，故②正确；③假设③正确，则中存在两个相邻的有理数，显然这是不可能的，故③不正确；④若，，集合有最大值，没有最小值，故④正确；故答案为：③.【点睛】本题是创新型题型，以新定义为背景，考查有理数集的交集和并集，属于中档题型，本题的关键是理解题中的新定义，并合理举例.【题型十二】集合运综合大题1．（2022秋·高一单元测试）已知集合A＝{x|﹣2≤x≤2}，B＝{x|x＞1}.(1)求集合；(2)设集合M＝{x|a＜x＜a+6}，且A∪M＝M，求实数a的取值范围.【答案】(1){x|﹣2≤x≤1}(2)【分析】（1）进行补集和交集的运算即可；（2）根据可得出，然后即可得出，然后解出的范围即可．【详解】（1），则，又，则；（2）∵，∴，且，∴，解得，∴实数的取值范围为:2．（2022秋·吉林白山·高一校考阶段练习）已知集合，，，．(1)求，；(2)若，求m的取值范围．【答案】(1)，(2)【分析】（1）利用集合的交、并、补运算即可求解.（2）利用集合的包含关系列不等式组，解不等式组即可求解.【详解】（1）因为集合，，所以或，故，；（2）因为，且，则，解得，所以m的取值范围为．3．（2022秋·宁夏银川·高一统考期中）设集合，.(1)若，试判断集合与的关系；(2)若，求实数的取值集合.【答案】(1)(2)【分析】（1）直接代值计算判断即可；（2）得到，依次计算即可.【详解】（1）当时，，因为，所以.（2）因为集合至多有一个元素，由，所以当时，；当时，所以；当时，所以.所以.【题型十三】集合新定义综合大题1．（2022·高一单元测试）我们定义两个集合，的差集为且，（1）请选取两个非空集合，，试求与，它们是否相同，为什么？（2）请你将差集与补集的概念作比较，并分析与在什么情况下相等，什么情况下不等．请把你研究的结果整理出来，和同学们分享．【答案】（1）不相同，理由见解析；（2）当是的子集时，与相等；当不是的子集时，与不相等.【分析】（1）任选两个非空集合，根据差集的定义分别求出、，即可判断是否相同.（2）由补集的定义，仅当是的子集时有意义，而差集在任何情况下都有意义，讨论是否是的子集研究与的相等关系即可.【详解】令，，（1）与不相同，理由如下：∴由差集定义知：，而，故不相同.（2）由补集定义知：当是的子集时，有且，而当不是的子集时没有意义，对于差集：在任何情况下都有意义，即任何情况下有对应的集合.∴当是的子集时，与相等；当不是的子集时，与不相等.2．（2022·高一课时练习）若集合具有以下性质：①若，则；②当时，若，则．则称集合是“封闭集”．（1）分别判断集合和有理数集是不是“封闭集”，并说明理由；（2）设集合是“封闭集”，求证：若，则．【答案】（1）集合不是“封闭集”，有理数集为“封闭集”，理由见解析（2）证明见解析【分析】（1）根据题中“封闭集”的定义，根据集合与有理数集中的元素，即可得出结果；（2）根据集合是“封闭集”，得到，推出，从而可得结论成立.【详解】（1）因为，所以集合不是“封闭集”；因为有理数减有理数仍是有理数，1除以非零的有理数仍为有理数，所以有理数集为“封闭集”．（2）由，集合是“封闭集”，可知，所以，所以.【点睛】本题主要考查元素与集合关系的判断，熟记元素与集合间的关系即可，属于常考题型.3．（2021秋·安徽滁州·高一校考阶段练习）中学阶段，对许多特定集合的学习常常是以定义运算（如四则运算）和研究运算律为主要内容．现设集合由全体二元有序实数组组成，在上定义一个运算，记为，对于中的任意两个元素，，规定：．（1）计算：；（2）请用数学符号语言表述运算满足交换律，并给出证明；（3）若“中的元素”是“对，都有成立”的充要条件，试求出元素．【答案】（1）（2）交换律：，证明见解析（3）【分析】（1）根据题中条件，直接计算，即可求出结果；（2）直接得出，再证明，由题中规定，分别得到与，即可证明结论成立；（3）根据题意，由（2）的结果，得到只需，根据题中规定，得到只需，分别讨论和两种情况，即可得出结果.【详解】（1）因为对于中的任意两个元素，，规定：．所以．（2）交换律：，证明如下：由题知：，，∴．（3）若中的元素，对，都有成立，由（2）知只需．故，即．①若，显然有成立；②若，则，解得．∴当对，都有成立时，得，易验证当时，对，都有成立，∴．【点睛】本题主要考查新定义下的运算，是类比推理的题型，解决此类问题的关键在于对新定义的理解，属于常考题型.4．（2023·全国·高一专题练习）设集合S中的元素全是实数，且满足下面两个条件：①；②若，则.(1)求证：若，则；(2)若，则在S中必含有其他的两个元素，试求出这两个元素．【答案】(1)证明见解析(2)集合S中必含有两个元素.【分析】（1）根据集合S中元素的性质，循环迭代即可得出证明；（2）由可得，由可得，由可得，由此可知会循环出现三个数，所以集合S中必含有两个元素.【详解】（1）证明：因为，所以，由，则，可得，即，故若，则.（2）由，得；由，得；而当时，，…，因此当时，集合S中必含有两个元素.培优练一、单选题1．（2022秋·浙江台州·高一校联考期中）已知集合M满足，那么这样的集合的个数为（

）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】C【分析】由题意可知集合中一定包含元素1和2，集合其他元素构成的集合为集合的子集，从而可求出集合的个数.【详解】因为所以集合中一定包含元素1和2，集合其他元素构成的集合为集合的子集，所以集合的个数为，故选：C2．（2022秋·山东青岛·高一校考阶段练习）若全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据图象判断出阴影部分为，由此求得正确答案.【详解】，由图象可知，阴影部分表示.故选：A3．（2022秋·山东济南·高一济南市章丘区第四中学校考阶段练习）已知集合，且若下列三个关系：①②；③，有且只有一个正确，则A．12 B．21 C．102 D．201【答案】D【分析】根据集合相等的条件，列出所有的取值情况，再判断是否符合条件，求出的值后代入求值.【详解】由得的取值情况如下：当时，，或，，此时不满足条件；当时，或此时不满足条件；当时，此时不满足条件；当时，此时满足条件；综上得，代入.【点睛】本题考查集合相等的定义，考查分类讨论思想，注意分类时做到不重不漏.4．（2021秋·广东佛山·高一校考期中）设，，若，求实数组成的集合的子集个数有A．2 B．3 C．4 D．8【答案】D【分析】先解方程得集合A，再根据得，最后根据包含关系求实数，即得结果.【详解】,因为，所以，因此，对应实数的值为，其组成的集合的子集个数有，选D.【点睛】本题考查集合包含关系以及集合子集，考查基本分析求解能力，属中档题.5．（2020秋·陕西西安·高一长安一中校考阶段练习）已知A，B均为集合U={1，3，5，7，9}的子集,且A∩B={3},∩A={9},则A=（）A．{1，3} B．{3，7，9} C．{3，5，9} D．{3，9}【答案】D【详解】因为A，B均为集合U={1，3，5，7，9}的子集,且A∩B={3},∩A={9},所以，3A，9A，若5∈A，则5∉B，从而5∈∁UB，则(∁UB)∩A={5，9}，与题中条件矛盾，故5∉A.同理可得：1∉A，7∉A.故选D．6．（2022秋·江苏南京·高一校考阶段练习）已知集合，．若，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】讨论两种情况，分别计算得到答案.【详解】当时：成立；当时：解得：.综上所述：故选【点睛】本题考查了集合的关系，忽略掉空集的情况是容易发生的错误.7．（2021秋·黑龙江哈尔滨·高一校考阶段练习）已知对于集合、，定义，.设集合，集合，则中元素个数为（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】先理解新定义，再根据新定义计算即可.【详解】∵，，∴，，∴，其中有个元素，故选D.8．（2022·高一单元测试）对于任意两个数，定义某种运算“◎”如下：①当或时，；②当时，.则集合A＝的子集个数是（

）A．214个 B．213个 C．211个 D．27个【答案】C【分析】读懂条件中给出的定义，得到对应的取值情况，然后根据所求的集合，列出满足要求的，得到其子集个数.【详解】根据条件中的定义可知，当，且同为奇数或者同为偶数时，有，当，且为偶数，为奇数时，有，故集合中，当同为奇数或者同为偶数时，，可取，，，，，，，，，当为偶数，为奇数时，可取，，所以可取的情况共有11种，即集合中有11个元素，所以集合得子集个数为.故选：C.二、多选题9．（2021·全国·高一专题练习）对于集合，给出如下结论，其中正确的结论是（

）A．如果，那么B．若，对于任意的，则C．如果，那么D．如果，那么【答案】AC【解析】根据集合的表示法特点，对选项进行一一判断，即可得答案；【详解】对A，，总是有，则，故A正确；对B，，若，则存在，使得，因为当一个是偶数，一个是奇数时，是奇数，也是奇数，所以也是奇数，显然是偶数，故，故，故B错误；对C，若，不妨设，则，故，故C正确；对D，设，则，不满足集合的定义，故D错误.故选：AC.【点睛】本题考查集合描述法特点，数论的有关知识，考查逻辑推理能力、运算求解能力.10．（2022·高一单元测试）非空集合A具有下列性质：①若x，，则；②若x，，则.下列选项正确的是（

）A． B．C．若x，，则 D．若x，，则【答案】AC【分析】若，利用条件可得当，时，不满足，可判断A，利用条件可得若且，进而得，，可判断B，利用题设可得若x，，则，可判断CD.【详解】对于A，若，则，此时，而当，时，显然无意义，不满足，所以，故A正确；对于B，若且，则，所以，，以此类推，得对任意的，有，所以，，所以，故B错误；对于C，若x，，则且，又，所以，所以，故C正确；对于D，取，，则，故D错误.故选：AC.11．（2022秋·湖北荆州·高一沙市中学校考阶段练习）已知集合，是两个非空整数集，若，则下列结论正确的是（

）A． B． C． D．【答案】BC【分析】根据题意,作出Venn图，结合图形即可得答案.【详解】依题意，作出Venn图如图所示，由图知，，，，.故选：BC.12．（2022·高一单元测试）已知为给定的非空集合，集合，其中≠，⊆，且，则称集合是集合的覆盖；如果除以上条件外，另有，其中，，且，则称集合是集合的划分.对于集合，下列命题错误的是（

）A．集合是集合的覆盖B．集合是集合的划分C．集合不是集合的划分D．集合既不是集合的覆盖，也不是集合的划分【答案】BC【分析】根据集合新定义以及集合的交、并运算，逐一判断即可.【详解】对于A，集合满足⊆，⊆，且=，故集合是集合的覆盖，选项A正确；对于B，集合中，∩，不满足题目定义中“”，故集合不是集合的划分，选项B错误；对于C，集合是集合的划分，因为⊆，⊆，⊆，且=，∩=，∩=，∩=，满足定义中的所有要求，选项C错误；对于D，集合中，，，故集合既不是集合的覆盖，也不是集合的划分，选项D正确.故选：BC.三、填空题13．（2022秋·高一单元测试）一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下：甲说：“罪犯在乙、丙、丁三人之中”；乙说：“我没有作案，是丙偷的”；丙说：“甲、乙两人中有一人是小偷”；丁说：“乙说的是事实”，经过调查核实，四人中有两人说的是真话，另外两人说的是假话，且这四人中只有一人是罪犯，由此可判断罪犯是.【答案】乙【详解】四人供词中，乙、丁意见一致，或同真或同假，若同真，即丙偷的，而四人有两人说的是真话，甲、丙说的是假话，甲说“乙、丙、丁偷的”是假话，即乙、丙、丁没偷，相互矛盾；若同假，即不是丙偷的，则甲、丙说的是真话，甲说“乙、丙、丁三人之中”，丙说“甲、乙两人中有一人是小偷”是真话，可知犯罪的是乙.【点评】本体是逻辑分析题，应结合题意，根据丁说“乙说的是事实”发现，乙、丁意见一致，从而找到解题的突破口，四人中有两人说的是真话，因此针对乙、丁的供词同真和同假分两种情况分别讨论分析得出结论.14．（2021·全国·高一专题练习）设全集U＝{（x，y）|x∈R，y∈R}，子集A＝{（x，y）|2x﹣y+m＞0}，B＝{（x，y）|x+y﹣n＞0}，那么点P（2，3）∈（A∩∁UB）的充要条件为【答案】m＞﹣1，n≥5【分析】点P既适合2x﹣y+m＞0，也适合x+y﹣n≤0，从而求得结果．【详解】∁UB＝{（x，y）|x+y﹣n≤0}，∵P（2，3）∈A∩（∁UB），∴2×2﹣3+m＞0，2+3﹣n≤0，∴m＞﹣1，n≥5，故答案为：m＞﹣1，n≥5．15．（2020秋·高一单元测试）已知集合，，，若，则实数a的值是．【答案】4【分析】由，可判断为连续区间，再结合确定具体a值【详解】由题意得，集合，，而，所以故答案为4【点睛】本题考查由交集结果求解参数值，属于基础题16．（2023·全国·高一专题练习）设集合且A中任意两数之和不能被5整除，则的最大值为【答案】17【分析】由已知中A⊆{1，2，3，…，37}，且A中任意两数之和不能被5整除，我们可根据1～37中各数除以5的余数将数分为5类，进而分析出集合A中元素的最多个数，得到答案【详解】根据除以5的余数，可将A集合分为5组：A