2023年高考数学一轮复习（全国版理） 第12章 古典概型与几何概型

古典概型与几何概型

【考试要求】1.理解古典概型及其概率计算公式2会计算一些随机事件所含的基本事件的个

数及事件发生的概率.3.了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率.4.了解儿何概型的意义.

【知识梳理)

1.古典概型

(1)古典概型的特征：

①有限性：试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；

②等可能性：每个基本事件出现的可能性相等.

(2)古典概型的概率计算的基本步骤：

①判断本次试验的结果是否是等可能的,设出所求的事件为A；

②分别计算基本事件的总数n和所求的事件4所包含的基本事件的个数m,

③利用古典概型的概率公式尸(A)=T，求出事件A的概率.

(3)频率的计算公式与古典概型的概率计算公式的异同

名称不同点相同点

频率计算中的〃?，〃均随随机试验的变化而

频率计算公式变化，但随着试验次数的增多，它们的比值

都计算了一

逐渐趋近于概率值

个比值々

古典概型的概;是一个定值，对同一个随机事件而言，加，

率计算公式

〃都不会变化

2.几何概型

(1)概念：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例,则称这

样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型.

(2)几何概型的基本特点：

①试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个；

②每个基本事件出现的可能性相等.

小“窗八十―构成事件4的区域长度(面积或体积)

(3)计舁A或："㈤一试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积).

3.概率的几个基本性质

(1)概率的取值范围：OWP(A)W1.

(2)必然事件的概率：P(A)=1.

(3)不可能事件的概率：P(A)=。.

(4)概率的加法公式：若事件A与事件B互斥，则P(AUB)=P(A)+P(B).

(5)对立事件的概率：若事件A与事件3互为对立事件，则AUB为必然事件.尸(AUB)=1，

P⑷=I-P(8).

【常用结论】

若事件4,A2，…,4两两互斥,则P(4U42U…U4)=P(4)+P(42)H----FP(A„).

【思考辨析】

判断下列结论是否正确(请在括号中打“。”或“X”)

(1)从一3,—2,—1,0,1,2中任取一个数，取到的数小于0与不小于0的可能性相同.(J)

(2)在一个正方形区域内任取一点的概率为0.(V)

(3)“在适宜条件下，种下一粒种子观察它是否发芽”属于古典概型，其基本事件是“发芽与

不发芽”.(X)

(4)两个互斥事件的概率和为1.(X)

【教材改编题】

1.袋中装有大小、形状完全相同的6个白球，4个红球，从中任取一球，则取到白球的概率

为()

A.|B.|

C1D1

答案B

2.在数轴的［0,3］上任投一点，则此点坐标小于1的概率为()

111

A，2B.§CqD.1

答案B

解析坐标小于1的区间为［0,1),长度为1,［0,3］的区间长度为3,故所求概率为小

3.抛掷一枚骰子，记A为事件“出现点数是奇数”，B为事件“出现点数是3的倍数”，则

P(AU8)=,P(AnB)=.

Mg21

答案§不

解析抛掷一枚骰子，所有基本事件是123,4,5,6,

2

事件4U8包括出现的点数是1,3,5,6这4个基本事件，故尸(AU8)=手

事件4nB包括出现的点数是3这1个基本事件，故尸(4CB)=1.

题型一古典概型

例1(1)(2022•昆明模拟)2021年，云南省人民政府发布《关于命名”云南省美丽县城”“云

南省特色小镇”的通知》，命名16个“云南省美丽县城”和6个“云南省特色小镇”，其中

这6个云南省特色小镇分别是安宁温泉小镇、腾冲银杏小镇、禄丰黑井古镇、剑川沙溪古镇、

瑞丽喔町小镇、德钦梅里雪山小镇.某人计划在今年暑假期间从这6个云南特色小镇中任意

选两个去旅游，则其中一个是安宁温泉小镇的概率为()

,12小1

A.gB.1C.gD.q

答案A

解析6个云南省特色小镇分别为a,b,c,d,e,f,其中。为安宁温泉小镇，则从6个云

南特色小镇中任意选两个的基本事件有(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(a,fi,(b,c),(b,

d),(b,e),(b,f),(c,d),(c,e),(c,f),(J,e),(d,f),(e,力共15个，其中一个是安宁

温泉小镇有(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(a,力共5个，所以要求的概率为P=^=；.

(2)(2021•全国甲卷)将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为()

,1「2

A-3B5C3D5

答案C

解析方法一(将4个1和2个0视为完全不同的元素)4个1分别设为141民1(7,1。,2个0

分别设为04,08,将4个1和2个0随机排成一行有A8种排法，将排成一行

有A4种排法，再将0A,0B插空有Ag种排法，所以2个0不相邻的概率p=券=/

方法二(含有相同元素的排列)将4个1和2个0安排在6个位置，则选择2个位置安排0,

共有CZ种排法；将4个1排成一行，把2个0插空，即在5个位置中选2个位置安排0,共

有Cg种排法.所以2个0不相邻的概率P=*|.

【教师备选】

1.(2022・江苏百师联盟联考)将3名男生1名女生共4名同学分配到甲、乙、丙三个社区参加

社会实践，每个社区至少一名同学，则恰好一名女生和一名男生分到甲社区的概率是()

B.gC.；D、

A-12

答案D

解析分配方案的总数为C3A孑，恰好一名女生和一名男生分到甲社区的分法有CJA3,恰好

一名女生和一名男生分到甲社区的概率是2=黑=今

2.(2022•福州模拟)“博饼”是闽南地区中秋佳节的传统民俗游戏，也是国家级非物质文化遗

产的代表性项目.“博饼”的游戏规则是：参与者轮流把6颗骰子同时投进一个大瓷碗里，

而后根据骰子的向上一面点数组合情况，来决定获奖等次，获奖等次分为6类，分别用中国

古代科举的排名名称命名，获奖者投出的骰子组合如图所示，根据你所学的概率知识，投出

“六杯红”的概率为;投出“状元插金花”的概率为.(不需得出具体数值)

答案/玲

解析依题意，6个骰子同时投掷一次，基本事件总数为66.

其中，投出“六杯红”的基本事件数为1；

投出“状元插金花”的基本事件数为CW=15.

故投出“六杯红”的概率为表；投出“状元插金花”的概率为普=备.

思维升华利用公式法求解古典概型问题的步骤

跟踪训练1(1)(2022.深圳模拟)五一国际劳动节放假期间，甲、乙两名同学计划在5月1日

到5月3日期间去敬老院做志愿者，若甲同学在三天中随机选一天，乙同学在前两天中随机

选一天，且两名同学的选择互不影响，则他们在同一天去的概率为()

A.7B.rc4D.f

o323

答案B

解析甲同学在三天中随机选一天共有3种方法，乙同学在前两天中随机选一天共有2种方

法，所以一共有6种方法，他们在同一天去共有2种情况，所以他们在同一天去的概率为旨=

1

3,

⑵(2022•郑州模拟)皮埃尔・德・费马，法国律师和业余数学家，被誉为“业余数学家之王”，

对数学作出了重大贡献，其中在1636年发现了：若p是质数，且a,p互质，那么“的也一

1)次方除以"的余数恒等于1，后来人们称该定理为费马小定理.依此定理，若在数集｛2,3,5,6,8｝

中任取两个数，其中一个作为p,另一个作为则所取两个数符合费马小定理的概率为()

,3r92

A5B20C5D2

答案B

解析在数集｛2,356,8｝中任取两个数，其中一个作为p,另一个作为m基本事件总数为20,

所取两个数(p,4)符合费马小定理包含的基本事件有(2,3),(2,5),(3,2),(3,5),(3,8),(5,2),

9

(5,3),(5,6),(5,8),共9个，，所取两个数符合费马小定理的概率为P=与.

题型二几何概型

例2⑴在区间［—1』］上随机取一个数k,使直线尸网x+3)与圆/+犬=1相交的概率为

()

A.1B.|C.#D芈

答案C

解析因为圆心(0,0),半径r=l,直线与圆相交，

所以圆心到直线的距离1=消超1,

解得一

所以相交的概率「=

24,

（2）刘徽是一个伟大的数学家，他的杰作《九章算术注》和《海岛算经》是中国宝贵的文化遗

产，他提出的割圆术可以估算圆周率兀，理论上能把兀的值计算到任意的精度.割圆术的第

一步是求圆的内接正六边形的面积.若在圆内随机取一点，则此点取自该圆内接正六边形的

概率是（）

A述B州C-LD，

4兀2兀2兀4兀

答案B

解析如图所示，设圆的半径为R,则圆的面积为7tR2,圆内接正六边形的边长为R,面积为

3小R

6x£xKXsin三=殳吟且，则所求的概率尸=~^-=今§.

23271AZn

【教师备选】

1.已知函数y（x）=sinx+小cosx,当x£[0,兀]时，«x）21的概率为（）

A.|B.；C.1D.g

答案D

解析由次x）=2sinQ+*1,xd[O,nJ,

得不£0,2

71

21

・••所求概率P=：=W.

It2

2.如图，在长方体A8CO—4向GA中，有一动点在此长方体内随机运动，则此动点在三棱

锥A—A山。内的概率为.

答案I

解析设事件M为“动点在三棱锥A—43。内”，则

V

p（刈=匕梭制-A/。旷三棱IfLyAZ?。

卜氏方体ABC。-A81GD（"反方体468-A与GD、

3S&ABD铲矩形AACQ[

七方体ABCO-A/GAAA|・S矩形"co6'

思维升华（1）求解几何概型概率的步臊

（2）与体积有关的几何概型的解题策略

对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积（总空间）以及事件的体积（事件空

间），对于某些较复杂的问题也可利用其对立事件求解.

跟踪训练2（1）（2021.全国乙卷）在区间（0,1）与（1,2）中各随机取一个数，则两数之和大于彳的

概率为（）

723〃92

A.gB.焚'C.交D.g

答案B

解析在区间（0,1）中随机取一个数，记为x,在区间（1,2）中随机取一个数，记为y,两数之和

0<x<l,

大于（，即则

x+总

在如图所示的平面直角坐标系中，点（x,），）构成的区域是边长为1的正方形区域（不含边界）,

77

事件A”两数之和大于即x+），＞；中,点（x,y）构成的区域为图中阴影部分（不含边界），由

23

几何概型计算公式得P（A）=泣

1X132-

（2）阳马是中国古代算术中的一种几何形体，是底面为长方形，且两个三角形侧面与底面垂直

的四棱锥.在阳马「一ABC。中，PC为阳马P-A8C。中最长的棱，AB=\,AQ=2,PC=

3.若在阳马「一ABC。的外接球内部随机取一点，则该点位于阳马内的概率为（）

14-84

A赤B赤C赤D.^

答案C

解析根据题意，得抬，平面A8CD,PC的长等于阳马P—ABC。外接球的直径.

,/PC^PA2+AB2+AD2,

AM=2.

14

VP-ABCD=^X1X2X2=y

4

又V球=1兀X

1)2，

4

3Q

.•.该点位于阳马内的概率P=i=言.

yTCzm

T

题型三概率的基本性质

例3某医院要派医生下乡义诊，派出医生的人数及其概率如下表所示.

人数01234大于等于5

概率

(1)求派出医生至多2个的概率；

(2)求派出医生至少2个的概率.

解设“不派出医生”为事件A,“派出1名医生”为事件“派出2名医生”为事件C,

“派出3名医生”为事件。，“派出4名医生”为事件E,“派出5名及5名以上医生”为

事件F,事件A,B,C,D,E,F彼此互斥，且P(A)=,P(B)=,P(C)=,P(£>)=,尸(£)=,

P(尸=

(1)“派出医生至多2个”的概率为

P(AUBU0=P(A)+P(B)+P(C)=++=

(2)方法一“派出医生至少2人”的概率为

P(CUOUEUF)=P(0+P(0+P(£)+P(F)=+++=

方法二”派出医生至少2个”的概率为

|-P(AUB)=I——=

工教师备选，

1.抛掷一枚质地均匀的骰子，事件A表示“向上的点数是奇数”，事件8表示“向上的点

数不超过3"，则尸(AU8)等于()

125

D.1

A.T2B3.TC6.T

答案B

解析方法一A包含向上点数是1,3,5的情况，8包含向上的点数是1,2,3的情况，

所以AUB包含了向上点数是1,2,3,5的情况，

42

故P(AU8)=w

方法二P(AUB)=P(A)+P(8)—P(A8)

1,1212

2十26133，

2.甲、乙、丙、丁四名同学排成一排照相，则甲与乙相邻且甲与丙之间恰好有一名同学的概

率为()

A-|C4D2

答案C

解析所有的排法有A才=24(种)，

若甲、丙之间恰好为乙，则有A2A3种排法；

若甲、丙之间恰好为丁，则有A3种排法，

故所求的概率为P=7~i—

思维升华求复杂互斥事件的概率的两种方法

⑴直接法

(2)间接法(正难则反，特别是“至多”“至少”型题目，用间接法求解简单).

跟踪训练3(1)(2022・汉中模拟)五声音阶是中国古乐的基本音阶，故有成语“五音不全”，

中国古乐中的五声音阶依次为宫、商、角、徵、羽.如果从这五个音阶中任取两个音阶，排

成一个两个音阶的音序，则这个音序中宫和羽至少有一个的概率为()

1B?

AB10

9H

C20D20

答案B

解析设从这五个音阶中任取两个音阶，排成一个两个音阶的音序，这个音序中宫和羽至少

有一个为事件A,则X表示这个音序中不含宫和羽这两个音序，

・“⑷=—"4)=一忌=一对=而

(2)数学多选题有A,B,C,D四个选项，在给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对

的得5分，部分选对得2分，有选错的不得分.已知某道数学多选题正确答案为B,D,小

明同学不会做这道题目，他随机地填涂了至少一个选项，则他能得分的概率为.

答案5

解析小明随机地填涂了至少一个选项，共有ci+a+a+e=i5(种)涂法，得分的涂法有

3种，所以他能得分的概率为尸=云苔

题型四概率与统计的综合问题

例4饮用水水源的安全是保障饮用水安全的基础.同时国家提倡节约用水，全民积极维护

饮用水水源安全，保障安全饮水.2021年5月13日下午，正在河南省南阳市考察调研的

习近平总书记来到淅川县，先后考察了陶岔渠首枢纽工程、丹江口水库，听取南水北调中线

工程建设管理运行和水源地生态保护等情况介绍.为了提高节约用水意识，为此，某校开展

了“节约用水，从我做起”活动，从参赛的学生中随机选取100人的成绩作为样本，得到如

图所示的频率分布直方图.

(1)求频率分布直方图中q的值，并估计该校此次参赛学生成绩的平均分7(同一组数据用该

组区间的中点值代表)；

(2)在该样本中，若采用分层抽样方法，从成绩低于65分的学生中随机抽取6人调查他们的

答题情况，再从这6人中随机抽取3人进行深入调研，求这3人中至少有1人的成绩低于55

分的概率.

解(1)根据频率分布直方图得到

(+X2++a)X10=l,

解得a=

这组样本数据的平均数为50X+60X+70X+80X+90X=71,

所以x=71.

(2)根据频率分布直方图得到，成绩在［45,55),［55,65)内的频率分别为,，所以采用分层抽样的

方法从样本中抽取的6人，

成绩在［45,55)内的有1人，记为X,

成绩在［55,65)内的有5人，分别记为a,b,c,d,e,

从这6人中随机抽取3人，所有可能的结果为Xab,Xac,Xad,Xae,Xbc,Xbd,Xbe,Xcd,

Xce,Xde,abc,abd,abe,acd,ace,ade,bed,bee,bde,cde,共20种.

这3人中至少有1人的成绩在［45,55)内的有X",Xac,Xad,Xae,Xbc,Xbd,Xbe,Xcd,

Xce,Xde,共10种.所以这3人中至少有1人的成绩低于55分的概率为另=g.

工教师备选】

(2019•天津)2019年，我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大

病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除.某单位老、中、青员

工分别有72,108,120人，现采用分层抽样的方法，从该单位上述员工中抽取25人调查专项附

加扣除的享受情况.

(1)应从老、中、青员工中分别抽取多少人？

(2)抽取的25人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有6人，分别记为4B,C,D,E,

F.享受情况如下表，其中表示享受，“X”表示不享受.现从这6人中随机抽取2人

接受采访.

工

ABCDEF

项目

子女教育OOXOXO

继续教育XXOXOO

大病医疗XXX0XX

住房贷款利息OOXX00

住房租金XXOXXX

赡养老人OOXXXO

①试用所给字母列举出所有可能的抽取结果;

②设M为事件“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”，求事件M发生的概率.

解(1)由已知得老、中、青员工人数之比为6：9：10,由于采用分层抽样的方法从中抽取

25位员工，

因此应从老、中、青员工中分别抽取6人、9人、10人.

(2)①从已知的6人中随机抽取2人的所有可能的结果为(A,B),(A,Q,(A,D),(A,E),

(4,F),(B,O,(B,D),(B,E),(B,F),(C,。)，(C,E),(C,F),(D,E),(D,F),(E,

F),共15个.

②由表格知，符合题意的有(A,B),(A,D),(A,E),(A,F),(B,D),(B,E),(B,F),(C,

E),(C,F),(£>,F),(£,F),共11个.所以事件M发生的概率

思维升华求解古典概型的交汇问题的步骤

(1)将•题目条件中的相关知识转化为事件；

(2)判断事件是否为古典概型；

(3)选用合适的方法确定基本事件个数；

(4)代入古典概型的概率公式求解.

跟踪训练4为了了解某种新型药物对治疗某种疾病的疗效，某机构日前联合医院，进行了

小规模的调查，结果显示，相当多的受访者担心使用新药后会有副作用.为了了解使用该种

新型药品后是否会引起疲乏症状，该机构随机抽取了某地患有这种疾病的275人进行调查，

得到统计数据如表：

无疲乏症状有疲乏症状总计

未使用新药15025t

使用新药Xy100

总计225m275

⑴求2X2列联表中的数据x,)，,如f的值，能否有95%的把握认为有疲乏症状与使用该新

药有关；

(2)从使用该新药的100人中按是否有疲乏症状，采用分层抽样的方法抽出4人，再从这4人

中随机抽取2人做进一步调查，求这2人中恰有1人有疲乏症状的概率.

________"(ad-bc)2______

附:〃=a+/?+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(Z>+d)'

P(群》松)

解(1)由数表知，x=225-150=75,y=100—75=25,加=275—225=50,f=150+25=175,

所以x=75,y=25,m=50,r=175,

根据列联表中的数据，经计算得到

「275X(150X25-75X25>_275

K=-225X50X175X100=石

所以有95%的把握认为有疲乏症状与使用该新药有关.

4

(2)从使用新药的100人中用分层抽样抽取4人的抽样比为丽=卷1，则抽取有疲乏症状的人

数为±X25=l,无疲乏症状的有3人，

抽取的有疲乏症状的I人记为1,无疲乏症状的3人记为“，b,c,从4人中随机抽取2人的

所有可能结果为(1,a),(1,b),(1,c),(a,b),(a,c),(b,c),共6个，它们等可能，

记2人中恰有1人有疲乏症状的事件为它所含基本事件是(1,a),(1,b),(1,c),共3

个，

31

于是得P(A/)=w=],

所以这2人中恰有1人有疲乏症状的概率是:.

课时精练

1.(2021•全国乙卷)在区间(0,0随机取一个数，则取到的数小于;的概率为()

A4B3C3D6

答案B

解析因为区间(o,;)的长度为今区间(o,g的长度为看所以在区间(o,§随机取一个数,

1112

则取到的数小于？的概率p=^2=y

2.(2022.太原模拟)从1,2,3,4,5这5个数中随机抽取2个数，分别记为机，〃，则彳为整数的

概率为()

答案B

解析由题意得，从1,2,3,4,5这5个数中随机抽取2个数，则共有

(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5),(2,1),(3,1),(4,1),(5,1),

(3,2),(4,2),(5,2),(4,3),(5,3),(5,4),20种等可能情况，其中刀为整数的有(2』)，(3,1),(4,1),

(5,1),(4,2),5种情况，所以所求概率为4=1.

3.《易经》是中国传统文化中的精髓.如图是易经先天八卦图，每一卦由三根线组成(“一”

表示一根阳线，“■■”表示一根阴线），现从八卦中任取两卦，这两卦的阳线数目相同的概

率为（）

A—D1Q—F）—

八14D-7口，28

答案C

解析从八卦中任取两卦，基本事件总数为〃=C&=28,这两卦的阳线数目相同的基本事件

有6种，分别为（兑，巽），（兑，离），（巽，离），（坎，艮），（艮，震），（坎，震），.•.这两卦的

阳线数目相同的概率为

ZoIM-

4.（2022.黄山质检）从集合｛1,2,4｝中随机抽取一个数“，从集合｛2,4,5｝中随机抽取一个数6,

则向量m=（a,6）与向量"=（2,—1）垂直的概率为（）

答案B

解析从集合｛1,2,4｝中随机抽取一个数〃，从集合｛2,4,5｝中随机抽取一个数儿可以组成向量

机=3,切的个数是9个，其中与向量〃=（2,—1）垂直的向量是切=（1,2）和m=（2,4）,共2

个，故所求的概率为尸=右2

5.（2022・莆田质检）甲、乙两位同学到莆田市湄洲岛当志愿者，他们同时从“妈祖祖庙”站上

车，乘坐开往“黄金沙滩”站方向的3路公交车（线路图如下）.甲将在“供水公司”站之前

的任意一站下车，乙将在“鹅尾神化石”站之前的任意一站下车.假设每人自“管委会”站

开始在每一站点下车是等可能的，则甲比乙后下车的概率为（）

1c1〃7r3

A-5B4C-3OD-20

答案C

解析甲从“管委会”站到“北康”站的每一站下车都可以，有8种情况，

乙从“管委会”站到“东至”站的每一站下车都可以，有15种情况，

若乙在“管委会”站下车，则甲有7种情况，

若乙在“地税分局”站下车，则甲有6种情况，

若乙在“兴海路”站下车，则甲有5种情况，

若乙在“闽台风情街”站下车，则甲有4种情况，

若乙在“莲池小学”站下车，则甲有3种情况，

若乙在“金沙滩”站下车，则甲有2种情况，

若乙在“莲池沙滩”站下车，则甲有1种情况，

因此，甲比乙后下车的概率为

1+2+3+4+5+6+74X77

P=8X15=8X15=30,

6.(2022•吕梁模拟)北斗导航系统由55颗卫星组亦于2020年6月23日完成全球组网部署,

全面投入使用.北斗七星自古是我国人民辨别方向判断季节的重要依据，北斗七星分别为天

枢、天璇、天矶、天权、玉衡、开阳、摇光，其中玉衡最亮，天权最暗.一名天文爱好者从

七颗星中随机选两颗进行观测，则玉衡和天权至少一颗被选中的概率为()

10c11Jr5

AA五B,2TC,42D2T

答案B

解析因为玉衡和天权都没有被选中的概率为尸=言=当所以玉衡和天权至少一颗被选中

的概率为1—第=11.

7.某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，在正常生产情况下，出现乙级品和

丙级品的概率分别是和，则抽检一件是甲级品的概率为.

答案

解析记抽捡的产品是甲级品为事件4,是乙级品为事件8,是丙级品为事件C,这三个事

件彼此互斥，且事件A和事件BUC是对立事件，因而所求概率为P(A)=1一尸(B)—P(0=

8.已知aG{—2,0,1,2,3},g3,5},则函数/)=(4-2)d+b为减函数的概率是_____.

答案I

解析若函数y(x)=(<72-2)e''+Z?为减函数，

则层一2<0,又。右{—2,0,1,2,3},

2

故只有4=0,。=1满足题意，所以函数1x)=(“2—2)e*+b为减函数的概率是亍

9.某市A,B两所中学的学生组队参加辩论赛，A中学推荐了3名男生、2名女生，8中学

推荐了3名男生、4名女生，两校所推荐的学生一起参加集训.由于集训后队员水平相当，

从参加集训的男生中随机抽取3人、女生中随机抽取3人组成代表队.

(1)求4中学至少有1名学生入选代表队的概率；

(2)某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，求参赛女生人数不少于2人的概

率.

解(1)由题意，参加集训的男生、女生各有6名.

参赛学生全从8中学抽取(等价于A中学没有学生入选代表队)的概率为费=志，

因此，A中学至少有1名学生入选代表队的概率为1一忘1=需co.

⑵设“参赛的4人中女生不少于2人”为事件A,“参赛女生有2人”为事件B,“参赛女

生有3人”为事件C.

e©C33GC41

则P(B)=-^-=G，/0=育=亨

由互斥事件的概率加法公式，得

314

p(A)=p(8)+p(c)=m+m=m，

故所求事件的概率为会4

10.2021年是中国共产党建党100周年，为了使全体党员进一步坚定理想信念，传承红色基

因，市教育局以“学党史、悟思想、办实事、开新局”为主题进行“党史”教育，并举办由

全体党员参加的“学党史”知识竞赛.竞赛共设100个小题，每个小题1分，共100分.现

随机抽取1000名党员的成绩进行统计，并将成绩分成以下七组：［72,76),［76,80),［8。,84),

［84,88),［88,92),［92,96),［96,100］,并绘制成如图所示的频率分布直方图.

(1)根据频率分布直方图，求这1000名党员成绩的众数、中位数；

(2)用分层抽样的方法从低于80分的党员中抽取5人，若在这5人中任选2人进行问卷调查，

求这2人中至少有1人成绩低于76分的概率.

84+

解(1)由频率分布直方图可得，1000名党员成绩的众数为一一=86(分)，

成绩在［72,84)的频率为

(++5)X4=,

成绩在［72,88)的频率为

(++5+)X4=,

故中位数位于［84,88)之间，

中位数是84+4X三=86(分).

(2)：［72,76)与［76,80)的党员人数的比值为2：3,

采用分层抽样方法抽取5人，则在［72,76)中抽取2人，［76,80)中抽3人,

设［72,76)抽取人的编号为Ai,4,［76,80)抽取人的编号为5，&,ft,

则从5人中任选2人进行问卷调查对应的基本事件为(4,Bi),(A,B2),(4,«3),02,Bi),

02»&),(Ai,By),(Ai,AT),(BI,Bi),(Bi,&),(6,B3),共10种，

这2人中至少有1人成绩低于76分的有(4,Bi),(A,,良)，(4,B3),(4,Bi),(A2,&),

7

(4,B3),(AHA2),共7种等可能情况，故这2人中至少有1人成绩低于76分的概率小=讪.

11.算盘是中国传统的计算工具，其形长方，周为木框，内贯直柱，俗称“档”，档中横以

梁，梁上两珠，每珠作数五，梁下五珠，每珠作数一.算珠梁上部分叫上珠，梁下部分叫下

珠.例如：在十位档拨上一颗上珠和一颗下珠，个位档拨上一颗上珠，则表示数字65.若在个、

十、百、千位档中随机选择一档拨一颗上珠，再随机选择两个档位各拨一颗下珠，则所拨数

字大于1000的概率为()

1B3

A6%

-2「5

C3D8

答案D

解析依题意得所拨数字共有C1C2=24（种）可能.要使所拨数字大于1000,

若上珠拨的是千位档，

则所拨数字一定大于1000,有C[&=6（种）；

若上珠拨的是个位档或十位档或百位档，

则下珠一定要拨千位，再从个、十、百里选一个下珠，有GC4=9（种），

则所拨数字大于1000的概率为喏=会=1

12.七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形（两块

全等的小三角形、一块中三角形和两块全等的大三角形）、一块正方形和一块平行四边形组成

的.如图是一个用七巧板拼成的正方形，现从该正方形中任取一点，则此点取自阴影部分的

概率是（）

33〃11

A正B8C4D8

答案A

解析设AB=2,则8C=C£>=Z）E=Ef=l,

.S=_L义与近=L

♦•2效2%24，

ScEFGH=2S"C1=2X，

1.1

.p_也」

,2X2-16-

13.将一个骰子投掷两次，第一次出现的点数记为“，第二次出现的点数记为从设任意投掷

两次使两条不重合直线人ax+hy=2,Z2：x+2y=2平行的概率为外，相交的概率为尸2,若

点（P，P2）在圆（X—，〃）2+方=篙13的7内部，则实数〃?的取值范围是（）

答案D

解析对于a与人各有6种情形，故总数为36种.

两条直线/"ax+by=2,h：x+2y=2平行的情形有a=2,6=4或a=3,b—6,

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所以P尸行=而;

两条直线/i：cvc+by=2,%：x+2y=2相交的情形除平行与重合3=1,6=2）即可，

所以P2=H=*