2022平面向量章末检测(B)

第二章平面向量（B）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1•与向量a=（1，虫）的夹角为30°的单位向量是（31B-(2，2)C．C．(0,1)D.(0,1)或(2，2)2•设向量a=（1,0），b=（2，2），则下列结论中正确的是（）A.Ia1=1bI B.a•b=浮C-a—b与b垂直D.a〃b3•已知三个力f1=（—2，—1），f2=（—3,2），f3=（4，—3）同时作用于某物体上一点，为使物体保持平衡，现加上一个力f4，则f4等于（）A．（—1，—2） B.（1，—2）C．（—1,2） D.（1,2）4•平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，若AB=（2,4），AC=（1,3），］则AD•BD等于（A．8B.6 C.—8 D.—65•已知1aI=1，IbI=6，a•（b—a尸2，则向量a与向量b的夹角是（ ）A-A.6A-A.6B.4nC.3D.26•6•关于平面向量a，b，c，有下列四个命题:①若a〃b，aW0，则存在丸£R，使得b=Aa；②若a•b=0，则Ua=0或b=0；③存在不全为零的实数A，〃使得c=%+必④若a•b=a•c，贝Ua±（b—c）.TOC\o"1-5"\h\z其中正确的命题是（ ）A•①③B.①④ C.②③D.②④7•已知1aI=5，IbI=3，且a•b=—12，则向量a在向量b上的投影等于( )12 12A•—4B.4 C.—T D.T8♦设O，A，M，B为平面上四点，OM=XOfB+（1—A）•O）A，且A£（1,2），则（ ）A•点M在线段AB上B•点B在线段AM上C•点A在线段BM上D-O，A，B，M四点共线9•P是^ABC内的一点，AP=1（AB+AC），则4ABC的面积与^ABP的面积之比为（ ）A.2B.2C.3D.610•在^ABC中，族=2RB，CP=2PR，若AP=mAB+nAC，则m+n等于（ ）2A.3B.7C82A.3B.7C8.9D.1则a则a•（b+c）等于（）DiC.011•已知3a+4b+5c=0，且1aI=IbI=IcI=14A,—512•定义平面向量之间的一种运算“。”如下：对任意的a=（m，n），b=（p，q），令a。b=mq—np.下面说法错误的是（）A•若〃与力共线，则a(Db=OB-aQb=b(z)aC•对任意的丸£R，有(%)。5=〃”。方)D(aQb)2-\-(a-b)2=\a\2\b\2二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)•设向量”=(1,2)，方=(2,3)，若向量九i+A与向量c=(—4，一7)共线，贝1]丸=.•a，b的夹角为120。，kd=l，历1=3，贝1]15”一加=.•已知向量«=(6,2)，b=(—4，1)5直线I过点4(3，-1)，且与向量。+2方垂直，则直线I的方程为.•已知向量5>=(2,1)，04=(1,7)，为=(5,1)，设M是直线OP上任意一点(O为坐标原点)，则而•话的最小值为.三、解答题(本大题共6小题，共70分)•(10分)如图所示，以向量亦=〃，OB=b为边作以05。，又血，CN=1CD，用a，b表示血、而、MN.•(12分)已知a，b的夹角为120。，且1〃1=4，族1=2，求：(1)(。-2办).(4+办)；(2)1。+小；(3)13。一物.19•(12分)已知«=(V55—1)5A=，2J,且存在实数左和t,使得x=a+(t2—3)b，y=—ka+tb，且x，y，试求一二的最小值.

20-（12分）设（JA=（2,5），由=（3,1），次=（6,3）.在线段OC上是否存在点M，使MA±MB?若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.21-（12分）设两个向量e1、e2满足IeJ=2，Ie2I=1，号、e2的夹角为60°，若向量2te1+7e2与e1+te2的夹角为钝角，求实数t的取值范围.22-（12分）已知线段PQ过^OAB的重心G，且P、Q分别在OA、OB上，设6A=a，oB=b，6=ma，OQ=nb.求证:1求证:1+1=3.mn第二章平面向量(B)答案1.D2,CD［根据力的平衡原理有f1+f2+f3+f4=0,，f4=-(f1+f2+f3)=(1,2).］一一->->-> —> —>—> ...A［二AD=BC=AC—A°B=(-1,-1),，BD=AD—A°B=(-1,-1)-(2,4)=(-3,一5),

AAD•BD=(—1,—1>(—3,—5)=8.]C[•a(b—a)=a•b—Ia|2=2,..a•b=3,..cos〈a,b〉=।°।।b|=]*6=2,A〈a,b〉n=3-]B[由向量共线定理知①正确；若a-b=0,则a=0或b=0或a±b，所以②错误；在a,b能够作为基底时，对平面上任意向量，存在实数九以使得c=Ra+曲，所以③错误;若a•b若a•b=ac则ab-c=0,所以a±b一c7.A[向量a在向量b上的投影为IaIcos〈a所以④正确，即正确命题序号是①④.]a•ba•bb〉=|a1•丽=而12T=—4.]B[:OM=k()B+(1一丸)Oa=Oa+人Ob—(JAAM=XAB,丸£(1,2),.•.点B在线段AM上，故选B.]2AD

aF•. S一2AD

aF•C[设△ABC边BC的中点为D，则s&=S△ABPS△ABP;AP=3(AB+AC)=2A°，.二AD=2AP,AADI=2|API.AS^=3.]S△ABP—D —> —> —> 2—D —> 22-D —> 4—D 1—0 4.17=_3=—5.B[AP=AC+CP=AC+3CR=AC+3(3AB—AC)=9AB+3AC故有m+n=9=_3=—5.B[由已知得4b=-3a—5c,将等式两边平方得(4b)2=(—3a—5c)2,化简得a•c同理由5c=—3a—4b两边平方得a•b=0,「.a•(b+c)=a•b+a•c=—5.]B[若a=m,n与b=p,q共线，则mq—np=0,依运算"。"知a0b=0,故A正确.由于a0b=mq—np，又b0a=np—mq，因此a0b=—b0a,故B不正确.对于C,由于Ra=Pm,Rn,因此Pa0b=Rmq—Rnp,又Ra0b=Rmq—np=Rmq—Rnp,故C正确.对于D,a0b2+a-b2=m2q2—2mnpq+n2p2+mp+nq2=m2P2+q2+n2P2+q2=m2+n2p2+q2=|al2lb|2,故D正确.]13.2解析:a=(1,2),b=(2,3),,Xa+b=(九2彳)+(2,3)=(2+2,2/+3).二,向量Xa+b与向量c=(—4,—7)共线,A—7(X+2)+4(2X+3)=0.，X=2.14.7解析VI5a—bI2=(5a—b)2=25a2+b2—10a•b=25X12+32—10X1X3X(—2)=49.AI5a—bI=7..2%-3y-9=0解析设P(%,y)是直线上任意一点，根据题意，有AP•(a+2b)=(%—3,y+1>(—2,3)=0,整理化简得2%—3y—9=0..-8解析设oM=t(0P=(21,t),故有M°A•MlB=(1—21,7—t>(5—21,1—t)=512—201+12=5(t—2)2—8,故当t=2时，MA•MB取得最小值一8..解BA=Oa—(b=a—b.AoM=(B+bM=(B+3BC=(B+|BA=1a+|b.又QI)=a+b.(0N=OC+CN=z(OD+7(°=2OD=2a+2b,2 6 3 3 3AM°N=(On—00=3a+3b-6a—|b=a-6b.18.角星a-b=\a\\b\cos120°=4X2X—4.(1)(〃—2))・(〃+))=〃2—2〃・b+a-b-2b2=42—2X(—4)+(—4)—2X22=12.(2)V|a+b|2=(a+b)2=a2+2a-b+b2=16+2X(—4)+4=12.，la+bl=2-,'3.(3)13a—4b|2=9a2—24a-b+16b2=9X42—24X(—4)+16X22=16X19,，l3a—4bl=4\M19.解 由题意有lal=弋(币)2+(—1)2=2,lbl='/a'b=、,^X2—1X岸=0,1.aXb.\冏2+(^)2=1.13—31Vx・y=0,，[a+t2—3b](—ka+tb)=0.化简得k=.k+121 । 1। 71 -一~~==4(12+41-3)=4(t+2)2—4.即t=—2时，一7有最小值为一4..解设OM=O,t£[0,1],则OM=(61,31)，即M(61,31).M=(JA—OM=(2—61,5—31),MB=OB—OM=(3—61,1—31).若MA±MB，则MA-MB=(2—61)(3—6t)+(5—31)(1—31)=0.即4512—481+11=0,t=3或t=11.，存在点M,M点的坐标为(2,1)或.解由向量2teI+7e2与e1+te2的夹角为钝角，得(2te]+7e2>(e]+te2)得12te1+7e2l.le1+te2l<0，即(2te1+7e2>(e1+te2)<0.整理得：2te1+(212+7)e1-e2+7te2<0.(*),「le1l=2,le2l=1,〈e1,e2〉=60°..二e「e2=2X1Xcos60°=1.二(*)式化简得：212+151+7<0.解得：-7<t<—z.当向量2te1+7e2与e1+te2夹角为180°时，设2te1+7e2=A(e1+te2)(A<0).21=A对比系数得J7=AtAA<0,A=-V1414.二所求实数t的取值