《建筑力学与结构》 课件 第二章　平面力系的平衡

第一节力的投影第三节力矩和力偶第二节平面汇交力系第二章平面力系的平衡75第四节平面一般力系能熟练计算力在直角坐标轴上的投影，能用平面汇交力系的平衡条件求约束反力，能熟练计算力矩，能理解力偶的性质并运用到实际计算中，能用平面一般力系平衡方程计算约束反力。学习目标7677在工程实际中，平面力系极为常见，根据力系中各力作用线分布情况的不同，可将力系分为平面力系和空间力系两大类。力系中各力作用线均位于同一平面内时，该力系称为平面力系。平面力系又可分为平面汇交力系、平面平行力系和平面一般力系。本章主要讨论平面力系的平衡问题。力的投影第一节7879一、力在直角坐标轴上的投影如图所示，设力F作用在物体上的A点，其大小和方向均已知，F的大小用线段AB表示。在F作用平面内取直角坐标系xOy。分别从A点和B点向x轴作垂线，得到垂足a点和b点，并在x轴上取得线段ab。线段ab加上正号或负号称为力F在x轴上的投影，用Fx来表示。同理，分别从A点和B点向y轴作垂线，得到垂足a′和b′，并在y轴上取得线段a′b′。线段a′b′加上正号或负号称为力F在y轴上的投影，用Fy来表示。80力在坐标轴上的投影81投影的正负号规定如下：从投影的起点a到终点b的指向与坐标轴x轴的正向一致时，该力在x轴上的投影取正号；从投影的起点a到终点b的指向与坐标轴x轴的正向相反时，该力在x轴上的投影取负号。在y轴上的投影正负规定与在x轴上的投影正负规定一致。上图中，力F在x轴的投影为正，在y轴上的投影为负。一般情况下，若已知力F与x轴所夹的锐角为α，则该力在x、y轴上的投影可用式计算：82需要注意的是：（1）当力与坐标轴垂直时，力在该轴上的投影为零。（2）当力与坐标轴平行时，其投影大小的绝对值等于该力的大小，正负由力的指向来定。（3）当力平行移动后，在坐标轴上的投影不变。若将力F沿x、y轴分解，可得分力Fx、Fy，如上图所示。应当注意，投影和分力是两个不同的概念，投影是代数量，分力是矢量。只有在直角坐标系中，分力

Fx与Fy的大小才分别与投影Fx、Fy的绝对值相等。83二、合力投影定理合力投影定理建立了合力投影与分力投影之间的关系。如图a所示，设有一平面汇交力系，F1、F2、F3作用在物体的O点，其合力为R。将各力都投影在x轴上，并且令F1x、F2x、F3x和Rx分别表示各分力F1、F2、F3和合力R在x轴上的投影，由图b可见：F1x=ab，F2x=bc，F3x=-cd，Rx=ad而

ad=ab+bc-cd因此可得：

Rx=F1x+F2x+F3x84这一关系可推广到任意一个汇交力系的情形，即：由此可见，合力在任一轴上的投影，等于各分力在同一轴上投影的代数和，这就是合力投影定理。合力投影与分力投影间的关系a）平面汇交力系b）合力与分力的关系平面汇交力系第二节8586当平面力系中的各力作用线均汇交于一点时，该力系即为平面汇交力系。本节将讨论平面汇交力系的合成及平衡分析。一、平面汇交力系合成的解析法如图a所示平面汇交力系，选直角坐标系，先求出力系中各力在x轴和y轴上的投影，再根据合力投影定理求得合力R在x、y轴上的投影Rx、Ry，合力R的大小和方向由下式确定：87式中，α为合力R与x轴所夹的锐角，R在哪个象限由∑Fx和∑Fy的正负号来确定，具体如图b所示。合力的作用线通过力系的汇交点O。平面汇交力系合成a）平面汇交力系b）合力作用线确定88二、平面汇交力系平衡的解析条件对于平面汇交力系，若力系平衡，则该力系的合力为零；反之，若平面汇交力系的合力为零，则该力系就是平衡力系，即平面汇交力系平衡的充分必要条件是该力系的合力为零。根据平面汇交力系合成的解析法，合力的解析表达式为：89当平面汇交力系平衡时，该合力R应为零。此时，合力R在x轴和y轴上的投影Rx和Ry也全为零，可用下式表示：上式称为平面汇交力系的平衡方程。平面汇交力系平衡的解析条件是力系中的各分力在两个互相垂直的坐标轴上的投影的代数和都等于零。应用这两个独立的平衡方程，可以求解平面汇交力系的两个未知量。力矩和力偶第三节9091一、力矩力对物体的作用除了能使物体产生移动之外，还能使物体产生转动。如图所示，用扳手拧螺钉时，在A点作用力F，扳手便会绕着O点转动，用力越大，转动速度就越快；d1为O点到F的垂直距离，若将F移至距离O点d2的位置B点上，其力虽然未变小，但转动速度减小了。此外，当力的大小和作用线均不变而指向相反方向时，扳手也将会向相反方向转动。所以，力使物体产生转动的效果，除了与力的大小有关外，还与转动中心至力的作用线的垂直距离有关。把这一垂直距离称为力臂，转动中心称为力矩中心。92力臂力矩93求解力的力臂大小步骤如下：第一步，找出力矩中心。第二步，延长力的作用线。第三步，从力矩中心向力的作用线作垂线，垂线长度为力臂大小。在平面一般力系中，力矩的定义为：力矩是一个代数量，它的绝对值等于力的大小与力臂的乘积，并且规定力使物体绕力矩中心逆时针方向转动时为正，顺时针方向转动时为负。94力F对O点的力矩用MO（F）表示，计算公式为：

MO（F）=±Fd

式中，d为力臂。在国际单位制中，力矩的单位是N·m（牛·米）或kN·m（千牛·米）。由力矩的定义可知，力矩具有如下性质：1.当力的大小等于零，或者力的作用线通过矩心（力臂等于零）时力矩等于零。2.当力沿作用线移动时，不会改变力对某点的力矩。这是因为力的大小、方向及力臂的大小均未改变。95二、合力矩定理平面汇交力系的合力对于平面内任意一点O的力矩等于各分力对于该点的力矩的代数和，这个定理称为合力矩定理，即：MO（R）=∑MO（Fi）式中，R为合力，Fi

为平面汇交力系合力R的分力。这个定理同样适用于有合力的其他平面力系。96三、力偶在生产实践和日常生活中，经常见到司机操纵方向盘、木工钻孔以及人们用两个手指开关自来水龙头或拧钢笔套等动作，这些动作分别在方向盘、木头、自来水龙头、钢笔套等物体上作用了大小相等、方向相反、作用线不重合的两个平行力。力偶的作用97这种两个等值、反向的平行力不能合成为一个力，也不能平衡，这样的两个力只能使物体产生转动效应而不能使物体产生移动效应。所以在力学中，这种大小相等、方向相反、作用线不重合的两个平行力组成的力系称为力偶，用符号（F，F′）表示。力偶的两个力作用线间的垂直距离d称为力偶臂，力偶的两个力所构成的平面称为力偶作用面，如图所示。力偶（F，F′）98根据实践经验，人们发现力偶的转动效应不仅与力偶的大小有关，还与其作用方向以及力偶臂的大小有关。与力矩相同，在力偶和力偶臂的乘积前冠以正、负号作为力偶对物体产生转动效应的度量，称为力偶矩，用M（F，F′）或M表示，即：

M（F，F′）=M=±Fd

式中的正、负号规定同力矩规定，即使物体逆时针方向转动时，力偶矩为正；使物体顺时针方向转动时，力偶矩为负。力偶矩的单位也与力矩相同，为N·m（牛·米）或kN·m（千牛·米）。99四、力偶的性质1. 力偶在任一轴上的投影等于零设在一物体上作用一力偶（F，F′），并且该两力与x轴的夹角为α，如图所示。由图可得∑Fx=Fcosα-F′cosα=0。这说明力偶在任一轴上的投影等于零。由于力偶在轴上的投影为零，所以力偶对物体只能产生转动效应，不会产生移动效应。一个力在一般情况下，对物体可产生移动和转动两种效应。力偶的投影1002. 力偶没有合力，不能用一个力来代替力偶和力对物体的作用效应不同，说明力偶不能用一个力来代替，即力偶不能简化为一个力，因而力偶也不能与一个力平衡，力偶只能与力偶平衡。3. 力偶对其作用面内任一点之矩都等于力偶矩，与矩心位置无关力偶的作用是使物体产生转动效应，所以力偶对物体的转动效应可以用力偶的两个力对其作用面某一点的力矩的代数和来度量。力偶对点的力矩计算1014. 力偶的等效性同一平面内的两个力偶，如果它们的力偶矩大小相等、转向相同，则这两个力偶等效，称为力偶的等效性（证明从略）。从以上性质还可得出两个推论：（1）力偶可在其作用面内任意移转，而不会改变它对物体的转动效应。例如，作用在方向盘上的两个力偶只要它们的力偶矩大小相等、转向相同，即使作用位置不同，转动效应也是相同的。（2）在保持力偶矩大小和转向不变的条件下，可以任意改变力偶中力的大小和力偶臂的长短，而不改变它对物体的转动效应。102由以上分析可知，力偶对于物体的转动效应完全取决于力偶矩的大小、力偶的转向及力偶作用面，即力偶的三要素。因此，在力学计算中，有时也用一个带箭头的弧线表示力偶，如图所示，其中箭头表示力偶的转向，M表示力偶矩的大小。力偶的表示平面一般力系第四节103104平面一般力系是指各力的作用线位于同一平面内但不全汇交于一点，也不全平行的力系。平面一般力系是工程上最常见的力系，很多实际问题都可简化成平面一般力系问题来处理。三角形屋架a）三角形屋架b）三角形屋架的结构计算简图105在工程中，有些结构构件所受的力本来不是平面力系，但这些结构（包括支撑和荷载）都对称于某一个平面。这时，作用在构件上的力系就可以简化为在这个对称面内的平面力系。如图a所示的挡土墙，它的纵向较长，横截面相同，且长度相等的各段受力情况也相同，对其进行受力分析时，往往取1m的堤段来考虑，它所受到的重力、土压力和地基反力也可简化到1m长坝身的对称面上，从而组成平面力系，如图b所示。106挡土墙a）挡土墙b）挡土墙的结构计算简图107一、力的平移定理如图a所示，在刚体A点上作用一力F，现将该力平移到刚体平面上的任意一点O。先在O点添加一对平衡力F′和F″，且使这对平衡力的大小等于F，作用线平行于F作用线，如图b所示。根据平衡力系的性质，添加平衡力系不会影响原力系的作用效应，因此图b和图a等效。因为F和F″大小相等、方向相反、作用线平行，所以F和F″便形成了一对力偶（F，F′），该力偶称为附加力偶。108只要知道O点到F作用线的距离d，就能求出该力偶矩的大小： M（F，F′）=Fd=MO（F）由上式可知，附加力偶矩的大小及方向与F对O点的力矩相同。这样，原作用于A点的力F就与作用于O点的力F′加上F对O点产生的力矩等效，如图c所示。由此可得力的平移定理：当作用在刚体上某点的力平行移动到该刚体上的任意一点O而不改变其作用效果时，必须同时附加一个力偶，其力偶矩等于原力对新作用点O的力矩。109力的平移定理a）力F作用在A点b）在O点添加一对平衡力F′和F″c）力平移到O点110力的平移定理是一般力系向一点简化的理论依据，也是分析力对物体作用效应的一个重要方法。如图a所示的厂房柱受到吊车梁传来的荷载F的作用，为分析F的作用效应，可将力F平移到柱轴线的O点上，根据力的平移定理得一个力F′，同时还必须附加一个力偶，如图b所示。力F经平移后，它对柱的变形效果就可以很明显地看出，力F′使柱轴向受压，力偶使柱弯曲。111柱的受力平移a）柱受力图b）力平移到O点后的受力图112二、平面一般力系的平衡条件平面一般力系向作用面内任一点O简化后，一般可以得到一个力和一个力偶，力称为主矢量，大小为

。力偶称为主矩，大小为MO=M1+M2+…+Mn=MO（F1）+MO（F2）+…+MO（Fn）=∑MO（Fi）。作用在刚体上的平面一般力系，当其主矢量F′和主矩MO同为零时，刚体便处于平衡状态；反之，当刚体处于平衡状态时，作用在其上的平面一般力系的主矢量F′和主矩MO必同时为零。因此，平面一般力系平衡的充分必要条件是：力系的主矢量F′和对任意一点的主矩MO同时为零，即F′=0，MO（F）=0。由此平衡条件可导出不同形式的平衡方程。1131. 平衡方程的基本形式上式称为平面一般力系平衡方程的基本形式，又称一矩式。∑Fx和∑Fy

分别是力系中各力在两个直角坐标轴上的投影的代数和；∑MO（F）为各力对任意一点O的力矩的代数和。上式中前两式为投影平衡方程，第三式为力矩平衡方程，这三个方程彼此独立，用来求解平面一般力系的平衡问题时，最多只能求解三个未知量。在运用平衡方程解题的过程中，必须看清问题的具体条件，选择坐标系、矩心及平衡方程时都应注意尽量使每个方程只包含一个未知量，力求简化计算，达到事半功倍的效果。1142. 平衡方程的其他形式平面一般力系的平衡方程除了基本形式外，还有其他两种形式。（1）二矩式（三个平衡方程中有两个力矩平衡方程）式中，A、B两矩心连线不能与x