专题05离散型随机变量及其分布列（2个知识点2个拓展1个突破7种题型2个易错点）

专题05离散型随机变量及其分布列（2个知识点2个拓展1个突破7种题型2个易错点）【目录】倍速学习四种方法【方法一】脉络梳理法知识点1.离散型随机变量知识点2.离散型随机变量的分布列拓展1.离散型随机变量分布列性质的应用拓展2.求离散型随机变量的分布列突破1.离散型随机变量的函数的分布列的求法【方法二】实例探索法题型1.随机变量的概念题型2.离散型随机变量的判定题型3.离散型随机变量的取值题型4.离散型随机变量分布列的性质题型5.离散型随机变量的分布列题型6.两个相关随机变量的分布列题型7.两点分布【方法三】差异对比法易错点1.对离散型随机变量的概念理解不清致误易错点2.对题意理解不清【方法四】成果评定法【知识导图】【倍速学习四种方法】【方法一】脉络梳理法知识点1.离散型随机变量一、随机变量的概念、表示及特征1．概念：一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω都有唯一的实数X(ω)与之对应，我们称X为随机变量．2．表示：用大写英文字母表示随机变量，如X，Y，Z；用小写英文字母表示随机变量的取值，如x，y，z.3．特征：随机试验中，每个样本点都有唯一的一个实数与之对应，随机变量有如下特征：(1)取值依赖于样本点．(2)所有可能取值是明确的．二、离散型随机变量可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量，我们称之为离散型随机变量．例1．单选题（2024·全国·高三专题练习）袋中有2个黑球、5个红球，从中任取2个，可以作为随机变量的是（

）A．取到的球的个数 B．取到红球的个数C．至少取到一个红球 D．至少取到一个红球的概率【答案】B【分析】根据随机变量的定义判断.【详解】选项A的取值是一个固定的数字，不具有随机性，故A错误；选项B取到红球的个数是一个随机变量，它的可能取值是0，1，2，故B正确；选项C是一个事件而非随机变量，故C错误；选项D中一个事件的概率值是一个定值而非随机变量，故D错误．故选：B.知识点2.离散型随机变量的分布列离散型随机变量的分布列及其性质1．定义：一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xn，我们称X取每一个值xi的概率P(X＝xi)＝pi，i＝1,2,3，…，n为X的概率分布列，简称分布列．2．分布列的性质(1)pi≥0，i＝1,2，…，n.(2)p1＋p2＋…＋pn＝1.两点分布如果P(A)＝p，则P(eq\x\to(A))＝1－p，那么X的分布列为X01P1－pp我们称X服从两点分布或0－1分布．例2．（2024·全国·高三专题练习）某县教育局从县直学校推荐的6名教师中任选3人去参加进修活动，这6名教师中，语文、数学、英语教师各2人．(1)求选出的数学教师人数多于语文教师人数的概率；(2)设X表示选出的3人中数学教师的人数，求X的分布列．【答案】(1)(2)分布列见解析【分析】（1）首先计算出所有基本事件数，再求出“选出的数学老师人数多于语文老师的人数”的基本事件数，利用古典概型计算公式可求得结果.（2）根据题意，列出的所有可能的取值，求出对应的概率，即可列出分布列.【详解】（1）从6名老师中选3人的方法种数有：.数学老师多于语文老师的选法有：①1名数学，2名英语的选法：种；②2名数学的选法有：种.所以数学老师多于语文老师的选法有：种.故数学老师多于语文老师的概率为：.（2）由题意，的可能取值为：0，1，2.，，.所以的分布列为：0120.20.60.2拓展1.离散型随机变量分布列性质的应用1．单选题（2024上·辽宁·高二校联考期末）设，随机变量的分布列为：589则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用分布列的性质，列式计算即得.【详解】由，得，所以.故选：D拓展2.求离散型随机变量的分布列2．（2024·湖南株洲·统考一模）品酒师需要定期接受品酒鉴别能力测试，测试方法如下：拿出n瓶外观相同但品质不同的酒让其品尝，要求按品质优劣为它们排序，经过一段时间，等他等记忆淡忘之后，再让他品尝这n瓶酒，并重新按品质优劣为它们排序，这称为一轮测试.设在第一次排序时被排为1，2，3，…，n的n种酒，在第二次排序时的序号为，并令，称X是两次排序的偏离度.评委根据一轮测试中的两次排序的偏离度的高低为其评分.(1)当时，若等可能地为1，2，3的各种排列，求X的分布列；(2)当时，①若等可能地为1，2，3，4的各种排列，计算的概率；②假设某品酒师在连续三轮测试中，都有（各轮测试相互独立），你认为该品酒师的鉴别能力如何，请说明理由.【答案】(1)答案见解析(2)①；②答案见解析【分析】（1）计算每种排序的值以及对应概率，由此可得的分布列；（2）①先计算出的值，然后可求；②先分析续三轮测试中，都有的概率，然后根据概率值的大小进行分析即可.【详解】（1）的排序共有种，且每种排序等可能，此时可取，又时，的排序为，，时，的排序为或，，时，的排序为或或，，所以的分布列为：（2）①的排序共有种，且每种排序等可能，而，故中有偶数个奇数，故必为偶数，当时，的排序与第一次排序无变化时，此时仅有种排序：，则，当时，的排序与第一次排序相比仅有相邻两个位置变化时，此时有种排序：、、，，所以；②因为各轮测试相互独立，所以“连续三轮测试中，都有”的概率为，所以是一个小概率，这表明仅凭随机猜测得到三轮测试都有的结果的可能性很小，所以我们认为该品酒师有良好的鉴别能力，不是靠随机猜测.【点睛】关键点点睛：本题考查离散型随机变量与概率的综合运用，着重考查学生理解问题与分析问题的能力，难度较大.解答第三问的关键在于，能通过独立事件的概率计算公式求解出目标事件的概率并能对概率值的大小进行分析，一般认为小于的概率为小概率.突破1.离散型随机变量的函数的分布列的求法1．单选题（2023上·山东德州·高二校考阶段练习）如图，我国古代珠算算具算盘每个档挂珠的杆上有颗算珠，用梁隔开，梁上面颗叫上珠，下面颗叫下珠，若从某一档的颗算珠中任取颗，记上珠的个数为，则（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由题意可知，的所有可能取值为，，，方法一：，方法二：.【详解】方法一：由题意可知，的所有可能取值为，，，则．方法二：由题意可知，所有可能取值为，，，则．故选：A【方法二】实例探索法题型1.随机变量的概念1．（2023上·高二课时练习）连续不断地射击某一目标，首先击中目标需要的射击次数是一个随机变量，则表示的试验结果是．【答案】前次未击中目标，第次击中目标【分析】根据当时，表示前次均未击中目标，第次击中目标，即可得出结论.【详解】由于随机变量表示首次击中目标需要的射击次数，所以当时，表示前次均未击中目标，第次击中目标，故表示的试验结果为前次未击中目标，第次击中目标．故答案为：前次未击中目标，第次击中目标.题型2.离散型随机变量的判定2．多选题（2023上·高二课时练习）（多选）给出下列四个命题正确的是（

）A．某次数学期中考试前，其中一个考场30名考生中做对选择题第12题的人数是随机变量B．黄河每年的最大流量是随机变量C．某体育馆共有6个出口，散场后从某一出口退场的人数是随机变量D．方程根的个数是随机变量【答案】ABC【分析】根据随机变量的概念可判断.【详解】选项ABC对应的量都是随机的实数，故正确；选项D中方程的根有2个是确定的，不是随机变量．故选：ABC.题型3.离散型随机变量的取值3．单选题（2023上·高二课时练习）随机变量ξ的分布列如下：其中，则等于（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用离散型随机变量的分布列中各概率之和为可求.【详解】，且，解得，.故选：D.题型4.离散型随机变量分布列的性质4．（2024上·吉林·高二校联考期末）随机变量的分布列如下表所示：12340.10.3则.【答案】0.7/【分析】利用分布列的性质求出的值，然后由概率的分布列求解概率即可．【详解】由分布列的性质可得，，可得，所以．故答案为：0.7题型5.离散型随机变量的分布列5．（2023上·高二课时练习）已知随机变量ξ的分布列为：ξ－2－10123P若，则实数的值可以是（

）A．5 B．7C．9 D．10【答案】ABC【分析】根据随机变量ξ的分布列，求出随机变量的分布列，再找出满足的即可.【详解】由随机变量的分布列，知：的可能取值为，且，，，，则，.若，则实数的取值范围是.故选：ABC.题型6.两个相关随机变量的分布列6．（2023上·高二课时练习）设离散型随机变量X的分布列为：X01234P0.20.10.10.3m求随机变量的分布列．【答案】答案见详解【分析】由离散型随机变量的性质，可得，再由的对应关系可得解.【详解】由离散型随机变量的性质，可得，依题意知，η的值为0，1，4，9，16.列表为：X01234014916从而的分布列为：η014916P0.20.10.10.30.3题型7.两点分布7．（2024上·辽宁·高二校联考期末）已知服从参数为0.6的两点分布，则.【答案】/【分析】根据两点分布的基本性质即可求解【详解】.故答案为：【方法三】差异对比法易错点1.对离散型随机变量的概念理解不清致误1．单选题（2023上·高二课时练习）下列表中能称为随机变量X的分布列的是（

）A．X－101P0.30.40.4B．X123P0.40.7C．X01P0.30.40.3D．X123P0.30.40.4【答案】C【分析】由离散型随机变量分布列的性质可知，概率非负且和为1，可得答案.【详解】对于A，由，故A错误；对于B，由，故B错误；对于C，由，故C正确；对于D，由，故D错误.答案：C2．判断题（2023上·高二课时练习）判断正误（正确的写正确，错误的写错误）（1）随机变量的取值可以是有限个，也可以是无限个．()（2）在抛掷一枚质地均匀的硬币试验中，“出现正面的次数”为随机变量．()（3）随机变量是用来表示不同试验结果的量．()（4）甲进行3次射击，甲击中目标的概率为，记甲击中目标的次数为ξ，则ξ的可能取值为1，2，3.()【答案】正确正确正确错误【分析】根据随机变量的概念，以及随机变量的含义，逐个判定，即可求解.【详解】对于（1）中，根据随机变量的概念，可得随机变量的取值可以是有限个，也可以是无限个，所以（1）正确；对于（2）中，根据随机变量的定义，可得在抛掷一枚质地均匀的硬币试验中，“出现正面的次数”为随机变量，所以（2）正确；对于（3）中，根据随机变量的定义知，随机变量是用来表示不同试验结果的量，所以（3）正确；对于（4）中，甲进行3次射击，甲击中目标的概率为，记甲击中目标的次数为，则的可能取值为0，1，2，3，所以（4）错误.故答案为：（1）正确；（2）正确；（3）正确；（4）错误.易错点2.对题意理解不清3．（2023上·辽宁·高三校联考开学考试）踢毽子在我国流传很广，有着悠久的历史，是一项传统民间体育活动.某次体育课上，甲、乙、1丙、丁四人一起踢毽子.毽子在四人中传递，先从甲开始，甲传给乙、丙、丁的概率均为；当乙接到毽子时，乙传给甲、丙、丁的概率分别为，，；当丙接到毽子时，丙传给甲、乙、丁的概率分别为，，；当丁接到毽子时，丁传给甲、乙、丙的概率分别为，，.假设毽子一直没有掉地上，经过次传毽子后，毽子被甲、乙、丙、丁接到的概率分别为，，，，已知.(1)记丁在前2次传毽子中，接到毽子的次数为，求的分布列；(2)证明为等比数列，并判断经过150次传毽子后甲接到毽子的概率与的大小.【答案】(1)分布列见解析(2)证明见解析，经过150次传毽子后甲接到毽子的概率大于【分析】（1）根据相互独立事件概率计算求得的分布列.（2）利用凑配法证得是等比数列，从而求得，进而判断出【详解】（1）的所有可能取值为0，1，，，所以的分布列为01（2）当时，.当时，，，，所以，因为，所以，所以，所以，因为，，所以，所以.所以是首项为，公比的等比数列，所以，即，所以，故经过150次传毽子后甲接到毽子的概率大于.【方法五】成果评定法一、单选题1．（2021·高二课时练习）设是离散型随机变量，则下列不一定能成为的概率分布列的一组概率的是（

）A．0.1，0.2，0.2，0.3，0.3B．0.1，0.2，0.3，0.4C．，（为实数）D．，，，，（，）【答案】C【分析】利用分布列的性质判断.【详解】对于A，概率和不为1，一定不符合；显然B满足，故一定符合；对于D，有，又且，，所以它满足分布列的性质，对于C，由于为实数，不妨取，显然，不满足概率的非负性，而当时，满足分布列的性质，所以C不一定符合，故选：C．2．（2023下·上海金山·高二华东师范大学第三附属中学校考期末）设随机变量X的分布列，则的值为（

）A．1 B． C． D．【答案】B【分析】由离散型随机变量的分布列性质求出，然后求解即可.【详解】因为随机变量X的分布列，所以，解得：，.故选：B.3．（2021·高二课时练习）一串钥匙有6枚，只有一枚能打开锁，依次试验，打不开的扔掉，直到找到能开锁的钥匙为止，则试验次数X的最大可能取值为（

）A．6 B．5 C．4 D．2【答案】B【分析】根据逐次试验可得正确的选项.【详解】由于是逐次试验，可能前5次都打不开锁，那么剩余的钥匙一定能开锁，故选：B.4．（2023下·高二课时练习）设随机变量X的概率分布列如下：则（

）X－1012PA． B． C． D．【答案】C【分析】根据分布列的性质求得m的值，由确定变量的取值，结合分布列求得答案.【详解】由分布列性质可得：，则，由,故选：C5．（2023下·安徽宿州·高二安徽省泗县第二中学校考阶段练习）若随机变量的分布列如表，则的值为（

）1234A． B． C． D．【答案】A【分析】根据概率分布列的性质求出a的值，由求得结果．【详解】根据题意可得，所以.故选：A.6．（2023下·高二课时练习）若随机变量的概率分布如下：则当时，实数x的取值范围是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据分布列中的概率分布数据可确定结果.【详解】，，当时，.故选：C.7．（2021·高二课时练习）设离散型随机变量X的分布列为X01234P0.20.10.10.3m若随机变量Y=X2，则P(Y=2)等于（

）A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7【答案】A【分析】由离散型随机变量分布列的性质计算即可.【详解】由0.2+0.1+0.1+0.3+m=1，得m=0.3.又P(Y=2)=P(X=4)=0.3．故选：A．8．（2023上·高二课时练习）如果X是一个离散型随机变量，则假命题是（

）A．X取每一个可能值的概率都是非负数B．X取所有可能值的概率之和为1C．X取某几个值的概率等于分别取其中每个值的概率之和D．X在某一范围内取值的概率大于它取这个范围内各个值的概率之和【答案】D【分析】根据离散型随机变量的概率分布的性质，每一个变量对应的概率都非负，所有变量对应的概率之和是1，每一个变量对应的事件是互斥事件，得到结论．【详解】对于A，每一个可能值的概率都是非负数，故A为真命题；对于B，取所有可能值的概率之和为1，故B为真命题；对于C，X取某几个值的概率等于分别取其中每个值的概率之和，故C为真命题；对于D,X在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和，故D为假命题.故选:D.二、多选题9．（2022上·高二课时练习）(多选题)甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分，共下三局.用表示甲的得分，则表示的可能结果为（

）A．甲赢三局B．甲赢一局输两局C．甲、乙平局三次D．甲赢一局平两局【答案】BC【分析】列举出的所有可能的情况，由此得解.【详解】甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分，所以有两种情况，即甲赢一局输两局或甲、乙平局三次．故选：BC．10．（2023下·山东潍坊·高二统考期中）围棋起源于中国，据先秦典籍《世本》记载：“尧造围棋，丹朱善之”，至今已有四千多年的历史.在某次围棋比赛中，甲，乙两人进入决赛.决赛采用五局三胜制，即先胜三局的一方获得比赛冠军，比赛结束.假设每局比赛甲胜乙的概率都为，且每局比赛的胜负互不影响，记决赛中的比赛局数为X，则（

）A．乙连胜三场的概率是B．C．D．的最大值是【答案】BD【分析】根据题意列出决赛中的比赛局数为X的概率分布列，然后对照选项逐项分析即可判断.【详解】乙连胜三场时比赛局数可能是3,4,5，若比赛局数为3时，乙连胜三场的概率是；若比赛局数为4时，乙连胜三场的概率是；若比赛局数为5时，乙连胜三场的概率是；故选项A错误；由题意可知，决赛中的比赛局数的可能取值为，则；；故选项B正确；;故选项C错误；令，则，因为，所以当时，，当时，；当函数在上单调递增，在上单调递减，则当时，函数取最大值，所以的最大值是，故选项D正确；故选：BD.11．（2023下·江苏常州·高二统考期中）“信息熵”是信息论中的一个重要概念，设随机变量X的所有可能取值为，且，，定义X的信息熵，则下列说法中正确的是（

）A．当时，B．当且时，C．若，则随着n的减小而减小D．当时，随着的增大而减小【答案】ABC【分析】根据给定的定义，逐项计算判断作答.【详解】对于A，当时，,，A正确；对于B，当时，，，B正确；对于C，，，则随着n的减小而减小，C正确；对于D，当时，，当时，，当时，，两者相等，D错误.故选：ABC12．（2021·高二课时练习）下列变量中，不是离散型随机变量的是（

）A．到年月日止，我国被确诊的患新型冠状病毒肺炎的人数B．一只刚出生的大熊猫，一年以后的身高C．某人在车站等出租车的时间D．某人投篮次，可能投中的次数【答案】ABC【分析】根据离散型随机变量的定义逐项判断可得出合适的选项.【详解】根据离散型随机变量的定义，即可以按照一定次序一一列出，可能取值为有限个或无限个，选项A不是变量，B、C中的变量为连续型随机变量，而选项D中的变量是离散型随机变量，故选：ABC.三、填空题13．（2023下·安徽滁州·高二安徽省定远中学校考阶段练习）已知病毒在某溶液中的存活个数的概率满足，已知只要该溶液中存在一个病毒，就可以导致生物死亡，则该溶液能够导致生物死亡的概率为．【答案】【分析】根据题意，由的分布列可得的值，又由溶液能够导致生物死亡的概率，计算可得答案．【详解】根据题意，病毒在某溶液中的存活个数的概率满足，则，若该溶液中存在一个病毒，就可以导致生物死亡，则该溶液能够导致生物死亡的概率．故答案为：．14．（2023下·高二课时练习）若随机变量服从二点分布，，则.【答案】/【分析】根据分布列的性质，列出方程，即可求解.【详解】因为随机变量服从二点分布，且，可得，可得.故答案为：.15．（2022下·山东烟台·高二统考期中）设随机变量的分布列为，（，2，3），则a的值为.【答案】/【分析】利用离散型随机变量分布列的性质，列式计算作答.【详解】依题意，，解得，所以a的值为.故答案为：16．（2022·高二课时练习）设随机变量的分布列如下：123456P其中，，…，构成等差数列，则的最大值为.【答案】【分析】由题知，进而结合等差数列性质得，进而得，再根据二次函数性质求解最值即可.【详解】解：因为，，…，构成等差数列，所以，，因为，所以，即，所以，所以当时，取得最大值.故答案为：四、解答题17．一个袋中装有个形状大小完全相同的小球，其中红球有个，编号为、、；黑球有个，编号为、；白球有个，编号为.现从袋中一次随机抽取个球.（1）求取出的个球的颜色都不相同的概率；（2）记取得号球的个数为随机变量，求随机变量的分布列.【答案】（1）；（2）见解析.【分析】（1）利用组合计数原理计算出基本事件的总数以及事件“取出的个球的颜色都不相同”所包含的基本事件数，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率；（2）由题意知的可能取值有、、、，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量的概率分布．【详解】（1）从袋中一次随机抽取个球，基本事件总数，取出的个球的颜色都不相同包含的基本事件的个数为，所以取出的个球的颜色都不相同的概率为；（2）由题意知的可能取值有、、、，，，，.所以的分布列为：【点睛】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列的求法，是中档题，解题时要注意排列组合的合理运用．18．（2024上·河南·高二校联考期末）学校羽毛球社团中的甲､乙､丙三名社员进行羽毛球比赛，约定如下：先从甲､乙､丙三人中随机选择两人打第一局，获胜者与第三人进行下一局的比赛，率先获胜两局者为优胜者，比赛结束，且每局比赛均无平局.已知甲贏乙的概率为0.3，乙贏丙的概率为0.5，丙赢甲的概率为0.7.(1)若甲､乙二人率先开局比赛，求比赛局数的概率分布列；(2)求甲成为优胜者的概率.【答案】(1)答案见解析(2)0.132【分析】（1）根据题意比赛局数的可能取值为，，，根据对应的事件求其概率即可；（2）分别求甲乙、甲丙、乙丙开局时甲成为优胜者的概率，再根据全概率公式可得.【详解】（1）比赛局数的可能取值为.比赛两局结束，则甲连胜两局或乙连胜两局，所以，比赛三局结束，则第二局､第三局丙连胜，所以，比赛四局结束，所以，所以的分布列为：2340.440.350.21（2）记甲､乙比赛第一局为事件，甲､丙比赛第一局为事件，乙､丙比赛第一局为事件，甲成为优胜者为事件.第一局比赛双方可能是甲乙､甲丙､乙丙共三种情况，则，所以，.所以.所以甲成为优胜者的概率为0.132.19．（2024上·辽宁抚顺·高二校联考期末）某地要从2名男运动员､4名女运动员中随机选派3人外出比赛.(1)若选派的3人中恰有1名男运动员和2名女运动员，则共有多少种选派方法？(2)设选派的3人中男运动员与女运动员的人数之差为，求的分布列.【答案】(1)种(2)分布列见解析【分析】（1）根据分步计数原理即可求解；（2）求出男运动员与女运动员的人数之差为的可能取值，并得到其概率，最后写出分布列即可.【详解】（1）共有种选派方法.（2）由题意知，的取值范围为，，所以的分布列为31120．（2024·全国·高三专题练习）北方某市组织中学生开展冰雪运动的培训活动，并在培训结束后对学生进行了考核，记考核成绩不小于80分的为优秀．为了了解本次培训活动的效果，在参加培训的学生中随机抽取了60名学生的考核成绩，如下表：成绩人数55152510(1)从参加培训的学生中随机选取1人，请根据表中数据，估计这名学生考核优秀的概率；(2)用分层抽样的方法，在考核成绩为的学生中任取8人，再从这8人中随机选取4人，记取到考核成绩在的学生数为X，求X的分布列．【答案】(1)(2)分布列见解析【分析】（1）利用古典概型计算即可；（2）先求出各层人数，写出随机变量