黑龙江省齐齐哈尔市2024届高三年级上册期末数学试题（含答案解析）

黑龙江省齐齐哈尔市2024届高三上学期期末数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.已知集合/=卜卜2+2^-3<。｝,集合B={-3,1,2},则Nn8=()

A.{-3,2}B.{-3,0,1)C.{0}D.0

2.复数z=下在复平面上对应的点位于

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

3.在等比数列｛%｝中，/=2，%=4,则首项等于（）

A.2B.1c-TD-1

4.若平面向量方，B满足内=2,问=4,且3Z=4,则向量方与B夹角的大小是（）

兀71_712兀

A.-B.一C.-D.—

3463

5.设函数/(x)=x|x|_2x,则/(x)()

A.是偶函数，且在（1,+8）上单调递增B.是奇函数，且在（-U）上单调递减

C.是偶函数，且在上单调递增D.是奇函数，且在上单调递减

6.若函数/（x）=sin（0x+W（0>O）在（0,；；

1上单调，则。的取值范围是（）

A.(1,+8)B.[1,4-00)C.(0,1)D.(0,1]

7.若x=3为函数/（x）=gf-ax_31nx的极值点，则函数的最小值为（）

133.

A.——B.——C.------31n3D.3—3In3

222

8.圣•索菲亚教堂（英语：SAINTSOPHIACATHEDRAL）坐落于中国黑龙江省，是一座

始建于1907年拜占庭风格的东正教教堂，为哈尔滨的标志性建筑，被列为第四批全国

重点文物保护单位.其中央主体建筑集球、圆柱、棱柱于一体，极具对称之美，可以让游客

从任何角度都能领略它的美，小明同学为了估算索菲亚教堂的高度，在索非亚教堂的正

东方向找到一座建筑物48,高为（303■-30）m,在它们之间的地面上的点M（8,M,D

三点共线）处测得楼顶A教堂顶C的仰角分别是15。和60°,在楼顶A处测得塔顶C的

仰角为30。，则小明估算索菲亚教堂的高度为（）.（疝15。=也二马

4

试卷第1页，共4页

c

A.30mB.60mC.3oV3mD.60Gm

二、多选题

9.设向量值=(2,4),ft=(-2,1),则()

A.albB.allbC.卜+可=5D.归一可=5

10.设等差数列｛见｝的前"项和为，，若g+2g=&，则下列结论正确的是()

A.%=°B.S7最大C.5=风D.几=。

11.已知函数/(x)=3sinxcosx-6sin),则下列说法正确的是()

A.函数/(x)的最小正周期为兀

B.函数〃x)的图象关于点|《，-彳对称

\7

C.函数I〃x)|为偶函数

0JT

D.若函数/(x)的图象向左平移。个单位长度后关于V轴对称，则。可以为茎

12.如图所示，在棱长为2的正方体中，尸是线段G2上的动点，则

下列说法正确的是()

A.平面8片尸_L平面/BCD

B.8尸的最小值为28

C.若直线用尸与8。所成角的余弦值为?，则。尸=(

试卷第2页，共4页

D.若?是CQ|的中点，则N4到平面尸的距离为逑

5

三、填空题

13.已知函数/"(x)=sinx+cosx,则/(?=.

14.若数列｛。,｝是等比数列，且％为。13=8,则。3%1=.

15.已知。为坐标原点，点3(异于。点)在直线y=2x上，贝！|

OAOB

"--------

16.已知函数/(x)=sin(ox-l)(o>0)图象上相邻两对称轴的距离为兀，则函数

>=f(x)的图象与函数>=—1(-2<x<6,且xw1)的图象所有交点的横坐标之和

x-1

为.

四、解答题

17.在递增的等比数列｛%｝中，。「。2=8,%+。2=6,其中“eN*.

⑴求数列｛%｝的通项公式；

(2)若bn=2a,+3,求数列出｝的前"项和T„.

18.在“3C中，角A,B,。所对的边分别为。，b,c,^^--^=0.

acosC2b-c

(1)求角A；

(2)若a=2,求8C边上高的最大值.

19.如图，在四棱锥尸-48co中，底面48CD是矩形，侧棱尸底面4BCD,点E是

尸。的中点，43=1,AD=PA=2.

⑴求PC与4E所成角的大小；

(2)求尸C与平而ACE所成角的正弦值.

试卷第3页，共4页

20.已知包｝为等差数列，、偶:，记E，，(分别为数列｛%｝，也｝的前

〃项和，84=32,1=16.

(1)求｛。”｝的通项公式；

(2)求数列｛a｝的前,项和给

21.如图，多面体/2CAE厂中，四边形/BCD为菱形，ED1ABCD,FB||ED,

AD=ED=2,BF=1,/BAD=60°.

(1)若G是3c的中点，证明：平面。下G，平面

(2)求二面角A-EF-C的正弦值.

22.已知函数/(耳=勺R+:/.

⑴当”=1时，求曲线尸〃x)在点(-IJ(-1))处的切线方程；

⑵若函数/(x)有两个不同零点三,三,求。的取值范围，并证明尤1+工2>0.

试卷第4页，共4页

参考答案：

1.D

【分析】先化简集合/,再利用集合的交集运算求解.

【详解】由川+2X-3<0,得(x+3)(尤-l)<0,解得-3<x<l,

所以N={x卜3<x<l},又3={-3,1,2},

所以/c8=0.

故选：D

2.A

【分析】先进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共软复数，分母变成一个实数,

分子进行复数的乘法运算，整理成复数的标准形式，写出对应点的坐标，看出所在的象限.

【详解】•复数乙==乂2=?,.•.复数对应的点的坐标是,

l+i1-1l+i222

复数--在复平面内对应的点位于第一象限，故选A.

1+1

3.C

【分析】根据等比数列基本量关系求解即可.

=2

【详解】—2,:.q=2,a3=axq,：.ax=—=—.

生42

故选：C

4.A

【分析】根据向量的夹角公式进行计算即可.

【详解】设向量方与B的夹角是巴

万a-b41

则8"=丽=而=5.

JT

又因为ovev无，所以

故选：A.

5.B

【分析】根据奇偶性的定义判断函数的奇偶性，画函数图象，然后结合图象得函数的单调区

间.

【详解】因为函数/(X)=HX|-2X的定义域为R,Rf(-x)=-x|x|+2x=-(x|x|-2x)=-f(x),

答案第1页，共13页

所以/（X）是奇函数，又f（x）=xN-2x=F；2：尤,0,作出函数八力图象如下图:

-x-2x

由图知，函数/（X）在（-8,-1）和（1,+8）上单调递增，在上单调递减.

故选：B

6.D

【分析】由。<X<,得到尤+H+9,然后根据/（X）在（0,外单调求解.

36636\J

【详解】解：因为0<%<三，

所以巴<0%+乌<q0+工，

6636

因为“X）在（0,5单调，

所以；①+;4大，

362

0<<1,

故选：D.

7.C

【分析】先由x=3为函数〃x）=g--办-31nx的极值点求得°,再利用导数法求解.

【详解】r（x）-x-a-p

因为x=3是函数〃x）的极值点，

所以/•'（3）=3-。-1=0*则a=2,

所以/'（尤）=X_2_3=（X3）（X+1）,

XX

答案第2页，共13页

当xe(O,3)时,r(x)<0,当尤e(3,+⑹时，f^x)>0,

所以函数/(x)在(0,3)上单调递减，在(3,内)上单调递增,

3

所以〃xL=〃3)=-a-3ln3.

故选：C

8.D

AA/fqjn15°

【分析】在中，利用正弦定理，得加叱;：，再结合锐角三角函数的定义,

sin30

求得CD,得解.

【详解】由题意知，ZCAM=45°fZAMC=180°-15°-60°=105°,

所以4c"=180。—105。—45。=30。，

ABAB

在RM/BM中，AM=

sinZ.AMBsin15°

AMCM

在中，由正弦定理得,

sin30°sin45°

匚匚i、［fZMsin45045sin45。

所以=

sin150-sin30°

(306-30)xgxg

sin450-sin60°

在RMOCN中，CD=CMsin60。=

sin15。•sin30。V6-V21

------------------X—

42

所以小明估算索菲亚教堂的高度为608米.

故选：D.

9.ACD

【分析】根据向量垂直和平行的坐标表示可判断AB正误；由向量模长坐标运算可知CD正

误.

【详解】对于A,•.VZ=2x(-2)+4xl=0,二,A正确；

对于B：2x114x(-2-1不平行,B错误;

对于C,•.•N+B=(0,5),.-.|a+^|=Vo2+52=5,C正确；

对于D,•1-a-^=(4,3),.加一,=J42+32=5,D正确.

故选：ACD.

10.AD

答案第3页，共13页

【分析】由已知条件可得%+6d=0,然后逐个分析判断即可

【详解】因为。4+2。8=。6，所以1+3d+2(4+71)=%+5d,得4+6d=0,即%=0,则

A正确.

当《<0时，d>0,则Sf,S]最小,故B错误.

因为%+64=0,所以％=-6d,所以？=_6加+,

对称轴为〃=1]3,所以且="，则C错误.

因为$13=13%=0，所以D正确.

故选：AD

11.ABD

【分析】对于A,利用辅助角公式和周期公式即可判断；对于B,求出/(x)后利用对称中

心点的计算即可判断；对于C,利用偶函数的判断标准判断即可；对于D,根据三角函数变

换法则进行变换后，利用关于V轴对称进行判断即可.

【详解】因为/'(x)=3sinxcosx-A/5sin'=3sin2x+^cos2x-&in'x+—X,

222y6J2

所以/(无)的最小正周期为7=^=兀，故A正确；

当尤=_工时，2彳_/=0,

126

所以函数/(X)的图象关于点对称，B正确；

易知函数I〃x)|的定义域为R,

又|/(-x)|=扇11(_2x+^-y-|=|V3sin(2x-^+y-

丰氐山卜+高一字=|/(X)|,

所以函数|〃x)|不是偶函数，故C错误；

函数/(x)的图象向左平移夕个单位长度后得到的图象对应的函数为

答案第4页，共13页

V3_£.C,,疝!_V3

g(x)=V3sin2(x+(p)+—一3=4sm(2x+02°+.卜—,

6

由题意，函数g(x)的图象关于V轴对称，

所以2夕+巴=析+二，ksZ,gp=—+—,ksZ,

6226

、i,,.”，71712元,,

当％=1时，=—+—=——,故D正确.

263

故选：ABD

12.ABD

【分析】根据面面垂直的判定定理即可判断A；结合正方体结构特征判断当点尸与。重合时,

BP取最小值，即可判断B；建立空间直角坐标系，求出相关点坐标，根据空间角的向量求

法可判断C；将线面距离转化为点面距离，根据空间距离的向量求法求得点A到平面84P的

距离，即可判断D.

【详解】在正方体《3仪》-44中，因为平面/BCD,B4u平面JB4产，

所以平面2月尸，平面48cZ),故A正确；

连接8G，由，G，平面84GC，8C|U平面84clc,得

故在中，当点P与£重合时，8尸取最小值2近，故B正确；

如图，以ZM、DC、所在直线分别为X轴，y轴，Z轴，建立空间直角坐标系。-砂Z,

则8(2,2,0),4(222),2(0,0,2),设尸(0,见2),0<m<2,

则率=(一2,〃?一2,0),西=(一2,-2,2),

假设存在点P，使直线BXP与3,所成角的余弦值为叵,

答案第5页，共13页

B]PBDT|8—2m|V15

则cos〈4尸,5。1〉=

耐M"+(m-2?.265

解得加=-2（舍去），或加=1,此时点P是CQ］中点，2尸=1,故C错误；

由44］且441a平面5耳尸，平面尸，知说〃平面85［尸，

则AAX到平面B与尸的距离，即为A到平面84尸的距离；

产是CQ1的中点,故尸（0,1,2）,在=（0,2,0）,V=（-2-tO）,西=（0,0,2）,

设平面8月尸的法向量为而=（x/,z）,贝!I一」，即二_八，

m-BB[=0

取x=l,则y=—2,z=0,故比=(1,—2,0),

AB-m\44小

所以点A到平面BBXP的距离为

\m\亚5

故选：ABD

13.0

【分析】求出/（x）,代值计算可得出了'

【详解】因为/'(x)=sin尤+cosx,则/''(X)=cos尤-sinx,

故答案为：0.

【分析】根据等比数列的性质求解即可.

【详解】根据等比数列的性质，有4%3=d，

贝！|=姆=8，解得%=2,

所以a3ali=a；=4.

故答案为：4.

15.±75

【分析】由点B（异于。点）在直线y=2x上设出其坐标，然后得出向量坐标，由数量积公

式和模长公式求得答案.

答案第6页，共13页

【详解】点3（异于。点）在直线y=2x上，可设3（加,2加），,

可得力=(1,-3),OB=(m,2m),

则血砺=加一6帆=-5加，且倒=石|日

OAOB-5m,/T

所以

0B丽

故答案为：土石.

16.4

【分析】由题意可知V=/卜）和y=—1（-2<x<6）且xw1）的图象关于点（1,0）中心对称,

X—1

作出两函数图象，即可得出答案.

【详解】由题知，函数/（X）的最小正周期为2兀，萼=2兀，所以0=1,

贝1]/(尤)=$也5_1).又/(1)=$吊0=0,

所以了=/（尤）的图象关于点（1,0）中心对称,

作出了=/（无）和V=（-2<x<6,且xH1）的图象如图所示,

x-1

可知两函数图象共有4个交点，且关于点（1,0）中心对称,

将4个交点从左到右设为,x3,x4,

则玉+%=2,x2+x3=2

17.⑴%二2〃；

⑵4=2"+2+3〃-4.

答案第7页，共13页

【分析】（1）根据给定条件，求出｛%｝的首项、公比即可作答.

（2）利用分组求和法及等比数列前n项和公式求和作答.

【详解】（1）由4•%=8,%+%=6,等比数列｛%｝是递增数列，得%=2吗=4,

因此数列,〃｝的公比4=?=2,则氏=为尸=2",

所以数列｛。“｝的通项公式是a,=2".

（2）由⑴得,，=2七+3=2向+3,

T=b,+6,+…+仇=曲1一」）+3?=2"+2+3/-4.

〃12W]

71

18.⑴、

⑵G

【分析】（1）用正弦定理边化角即可求解；

（2）用余弦定理结合基本不等式即可求解.

【详解】（1）由正弦定理及色器;-可J=0,得sin,*?nC

acosC2b-cSIIL4COSC2SIIW-sine

因为sinCw0,所以2sin5cos4-sinCcos^-sirUcosC=0,

所以2sin5cos4—sin（%+C）=0,所以2si“cosZ—sinB=0.

1jr

因为sin5wO,所以cos/=—.因为0</<兀，所以/=；.

23

（2）由（1）及余弦定理得：b2+c2=4+bc>2bc,所以6c44,

所以S.ABC=；6csiM<V3,当且仅当b=c=2时等号成立，

设BC边上的高为〃，又因为Sac=ga[7="，所以〃vG.

即3C边上高的最大值为G.

19.（呜

喈

【分析】（1）以A为坐标原点，AB,AD,/P所在的直线为x,V,z轴建立空间直角坐

标系，求出无、冠，利用定.荏=0可得答案；

答案第8页，共13页

(2)求出平面/CE的一个法向量，利用线面角的向量求法可得答案.

【详解】(1)/B，又尸/_L底面ABCD,AD、ABu底面ABCD，PA1AD,PA工AB,

故以A为坐标原点，AB,AD,/P所在的直线为无，y，z轴建立如图所示的空间直角坐

标系，则4(0,0,0),5(1,0,0),C(l,2,0),尸(0,0,2),£(0,1,1),

所以定=(1,2,-2),荏=(0,1,1),所以正.万=lx0+2xl-2x1=0,

_____JT

所以正1.荏，即尸C与NE所成角的大小为5；

(2)由(1)知定=(1,2,-2),就=(1,2,0),左=(0,1,1).

设平面/CE的一个法向量为力=(x),2),则｛_.,

nAE=Qp+z=0

取J=1,贝！J尤=-2,z=-1,

所以力=(-2,1,-1)是平面/C£的一个法向量，

设尸C与平面4CE所成角为0,

।—।PC-n2屈

则sin。=cosPC,n\=：

11\PC\\nJ\3xV6-9

所以尸C与平面ZCE所成角的正弦值为逅.

9

20.(1)%=2〃+3

-n2+为偶数

22

—n2+-n-5,〃为奇数

22

【分析】(1)设等差数列｛4｝的公差为d,用/、d表示S〃及北，即可求解作答；

(2)方法1,利用(1)的结论求出S〃、bn,再分奇偶求和求出北即可；方法2,利用(1)

答案第9页，共13页

的结论求出S"、b„,再分奇偶借助等差数列前〃项和公式求出7；即可.

,、\a,-6,n=2k-1*

【详解】（1）设等差数列｛。“｝的公差为d,而r，*N*,

〃一,左

则”=%—6,b2=2a2-2al+2d也=牝-6=%+2d—6,

S4=4q+6d=32

于是解得%=5，d=2,a=a+(n-\)d=2〃+3,

4=4%+4d—12=16nx

所以数列｛%｝的通项公式是。“=2〃+3；

[2/2-3,H=2k-1*

(2)方法1：由(1)知，S“=〃(5+；+3)=/+4〃b=\，JGN*,

”[4n+6,n=2k

当〃为偶数时，"_1+”=2(九一1)—3+4〃+6=6〃+1,

13+(6及+1)n27

=­3n+—n

222

3735

22

当〃为奇数时，Tn=Tn+l-bn+l=-(«+1)+-(«+1)-[4(«+1)+6]=-«+-»-5.

为偶数

22

所以北=35、

—n2+—n-5/为奇数

[22

2n-3,n=2k-l

方法2：由（1）知，S.=〃（5+；〃+3）=/+而，左£N*,

4n+6,n=2k

当〃为偶数时,

-1+2(〃-1)-3n14+4〃+6n

1=(4+4+…+b〃_1)+32+a+~+b.)------------------------।----------------

2222

当〃为奇数时，若〃23,则北=（瓦+&+…+"）+电+"+…+”_J

一〃一〃一n—\

---1-+---2------3---H--+--1-1--1--4-+---4-(------1-)-+---6-------3+3-5

222222

45

显然（二4=-1满足上式，因此当〃为奇数时，—5.

3/+Z%”为偶数

22

—n2+—n-5,〃为奇数

22

21.（1）证明见解析

*

答案第10页，共13页

【分析】（1）由线线垂直证明线面垂直，再证明面面垂直；

（2）建立空间直角坐标系，用向量法结合坐标运算即可求解.

【详解】（1）证明：连接8。，因为四边形为菱形，且4840=60。，

所以A4BD与4BCD为等边三角形.

又3C中点为G,所以。GL8C.因为4D〃8C,所以DGL4D,

因为ED_L平面/BCD,OGu平面/BCD,所以。G_LED.

又EDcAD=D,平面所以。G_L平面

因为DGu平面。尸G,所以平面DPG_L平面4DE.

（2）解：连接/C,BD,谈BD,/C交于点O,取"中点〃，连接。H,所以OH〃ED,

OHl^ABCD.

以。为原点，以。3，OB＞砺分别为x轴，V轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，

则/（百,0,0）,C（-V3,0,0）,尸（0,1,1）,£（0,-1,2）,

所以或=（若,-1「1）,以=（百,1,一2）,FC=（-V3,-1,-1）,£C=（-Al,-2）,

设平面EFA的一个法向量为行=（尤1,必,Z1）,

m-FA=0,一弘-4=0,

则_kn

m-EA=0,+%-2?|=0,

令占=石,得比=（6,1,2卜

设平面EFC的一个法向量为五=,Z2）,

+%+?2=°，

_%+2z?=0,

令尤2=6,得万=（6,-1，一2）；

3-1-41

所以|cos成司=

V8xV84

所以二面角/-族-C的正弦值为