2021年广东省春季高考数学模拟试卷13

2021年广东春季高考数学模拟试卷（13）

解析版

注：本卷共22小题，满分150分。

一、单选题（本大题共15小题，每小题6分，满分90分）

1.下列函数中既是偶函数，又在（0,+8）内单调递增的为（）

▲-2ww-2—3―3

A.y=xB.y=-xC.y=xD.y=-x

【答案】B

【解析】

【分析】

根据累函数的基本性质对各选项中函数的奇偶性及其在（0,+8）上的单调性进行判断，可得出结论.

【详解】

对于A选项，函数y=x-2为偶函数，且在（0,+8）上单调递减；

对于B选项，函数y=—x-2为偶函数，且在（0,+。）上单调递增；

对于C选项，函数丁=r3为奇函数，且在（0,+8）上单调递减；

对于D选项，函数>=-厂3为奇函数，且在（0,+8）上单调递增.

故选:B.

【点睛】

本题考查函数奇偶性和单调性的判断，熟悉基函数的基本性质是判断的关键，考查推理能力，属于

基础题.

2.已知全集。=R,集合A={x|y=Igx},集合3={y|y=4+l},那么AcCu6=

（）

A.0B.（0,1]C.（0,1）D.（l,+oo）

【答案】C

【解析】

【分析】

先化筒集合A和B,再求财5和4门58.

【详解】

由题得A={x|x>0},B={y|y>l}>所以CuB-{y\y<1}".AcQB=(0,1).

故答案为c

【点睛】

（1）本题主要考查集合的化简和运算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.（2）集合

的运算要注意灵活运用维恩图和数轴，一般情况下，有限集的运算用维恩图分析，无限集的运算用

数轴，这实际上是数形结合的思想的具体运用.

3.若函数/（x）=d+2（a—l）x+2在区间（f,T]上是减函数，则实数。的取值范围是（）

A.[-3,+8）B.（—8,-3]C.（—co,5]D.[3,+co）

【答案】C

【解析】

【分析】

根据对称轴与区间端点值之间的关系，列式可解得结果.

【详解】

因为函数/（x）=f+2（。-1）兀+2在区间（-00,-4]上是减函数，

所以一（。-1）2-4,解得aW5.

故选：C.

【点睛】

本题考查了利用二次函数的单调性求参数的取值范围，抓住图象的开口方向以及对称轴与区间端点

的关系是解题关键,属于基础题.

4.记S“为等差数列｛4｝的前〃项和，公差d=2,%,a3,牝成等比数列，则纵=O

A.-20B.-18C.-10D.-8

【答案】D

【解析】

【分析】

由外,%，。4成等比数列，可以得到等式的2=%。4,根据等差数列的通项公式可以求出小，%，

代入等式中，这样可以求出卬的值，最后利用等差数列的前〃项和公式，求出S&的值.

【详解】

解：等差数列｛4｝的公差4=2,%,%，4成等比数列，

可得42=4%，即为（4+4）2=q（4+6）,解得q=-8,

则§8=8x(—8)+；x8x7x2=—8.故选：D.

由等比数列的中项性质和等差数列的通项公式和求和公式，计算可得所求和.

【点睛】

本题考查等差数列的通项公式和求和公式，等比数列中项性质，考查方程思想和运算能力.

5.已知某居民小区户主人数和户主对户型结构的满意率分别如图1和图2所示，为了解该小区户主

对户型结构的满意程度，用分层抽样的方法抽取20%的户主进行调查，则样本容量和抽取的户主对

四居室满意的人数分别为()

A.100,8B.8(),20C.1()(),20D.80,8

【答案】A

【解析】

由题设中提供的直方图与扇形统计图可知样本容量是"=100,其中对四居室满意的人数为

20%xl(X)x40%=8,应选答案A.

6.设有直线丁=人(》一3)+1,当《变动时，所有直线都经过定点。

A.(0,0)B.(0,1)C.(3,1)D.(2,1)

【答案】C

【解析】

【分析】

将原直线方程变形为点斜式方程，即可知所有宜线都经过定点(3,1).

【详解】

原直线方程变形为根据点斜式方程可知，所有直线都经过定点(3,1).

故选；C.

【点睛】

本题主要考查直线系过定点问题的解法，属于基础题.

x-^>0

7.不等式组,x+y20表示的平面区域的面积为()

0<x<2

A.2B.3C.4D.5

【答案】C

【解析】

【分析】

作出不等式组表示的平面区域即可求解.

【详解】

x-y>0

作出不等式组<x+yNO表示的区域，如图(阴影部分)，

0<x<2

当x=2时，代入x-y=O,解得y=2,

代入x+y=O,解得y=-2,

所以平面区域的面积为即2=4.故选：C

【点睛】

本题考查了简单的线性规划问题，考查了数形结合的思想，属于基础题.

8.将函数/(尤)=gsinx—cosx的图象向右平移三个单位得到函数y=g(x)的图象，则

的值为()

A.-73B.-72C.6D.V2

【答案】A

【解析】

【分析】

先利用辅助角公式对己知函数进行化简，然后根据函数图象的平移可求g(x),代入-J即可求解.

【详解】

解：/(x)=>/3sinX-cosx=2sin尤一W)的图象向右平移2个单位得到函数>=g(x)的图象，

r.g(x)=2sinx—"———7T)=­2cosx,则g1—qj=—2cos［一片)=—>/§'.古攵选：A.

【点睛】

本题主要考查了三角函数辅助角公式及三角函数图象的平移，属于基础试题.

9.已知a、b、c分别是△ABC的内角A、B、C的对边，若"C<cosA,则AA3C的形状为()

sinB

A.钝角三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.等边三角形

【答案】A

【解析】

【分析】

将原式进行变形，再利用内角和定理转化，最后可得角B的范围，可得三角形形状.

【详解】

因为在三角形中，任一<cosA变形为sinCvsin8cosA

sinB

由内角和定理可得sin(A+8)<cosAsinB

化简可得：sinAcosB<0:.cosB<0

71

所以8>一

2

所以三角形为钝角三角形

故选A

【点睛】

本题考查了解三角形，主要是公式的变形是解题的关键，属于较为基础题.

10.已知等边三角形ABC的边长为1,BC—a,CA=b,AB=c,那么a./?+).c+c•0=().

33

A.3B.-3C.-D.——

22

【答案】D

【解析】

【分析】

利用向量的数量积即可求解.

【详解】

03

解析：a-b+b-c+c-a=lxlxcosl2Qc+lxlxcosl20+lxlxcosl20=——.

2

故选：D

【点睛】

本题考查了向量的数量积，注意向量夹角的定义，属于基础题.

11.如图，正方体中，两条异面直线与片，所成的角是。

A.30B.45C.60D.90

【答案】C

【解析】

【分析】

连接AA与用A,则NBQA为所求.再根据,g。A判断即可.

【详解】

连接D}A与4人,因为BC,//RA,则NBQiA为异面直线BC,BR所成的角.乂二月2A为正三

角形，故异面直线8a与44所成的角是60.

故选：C

【点睛】

本题主要考查了异面直线的角度问题，利用平行转移到同一三角形即可.属于基础题型.

12.为了提高幼儿园孩子认识数字的能力，老师任意选取两个小朋友，让他们每人从1,2,3,4,

5,6这六个数字当中任选一个数字(两人所选的数字可以相同)，如果所选出的两个数字相差不超过

b则称这两个小朋友“心有灵犀”.两个小朋友“心有灵犀''的概率为O

5754

A.—B.—C.—D.一

121299

【答案】D

【解析】

【分析】

基本事件总数"=6x6=36,利用列举法求出这两个小朋友“心有灵犀”包含的基本事件有16个，由此

能求出两个小朋友“心有灵犀''的概率.

【详解】

解：基本事件总数〃=6x6=36,

所选出的两个数字相差不超过1,基本事件有：

(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(2,3),(3,2),(3,3),(4,3),(3,4),(4,4)(4,5),(5,4),(5,5),(5,6),(6,5),(6,6),

共有16个.

164

=

，两个小朋友“心有灵犀”的概率为p3-6-9-

故选：D.

【点睛】

考查古典概型的应用，基础题.

13.若直线去一y+l=O与圆x2+y2+2x—4y+l=0有公共点，则实数k的取值范围是()

A.[—3,+8)B.(Y0,-3]C.(0,+OO)D.(-CO,+00)

【答案】D

【解析】

【分析】

由题意得圆心到直线的距离d=।I-----।W2,解不等式即可得解.

VF+1

【详解】

圆f+y2+2x—4y+l=0的圆心为(―1,2),半径为2，

由题意可知圆心到直线的距离d=卜了+1<2，化简得3^-->!+->0,

VF+1I3J3

故攵e(-00,+00).

故选：D.

【点睛】

本题考查了直线与圆的位置关系，考查了计算能力，属于基础题.

14.设。>0,b>0,若石是5“与5”的等比中项，则的最小值为。

ab

1

A.8B.4C.1D.-

4

【答案】B

【解析】

【分析】

利用等比中项可得a+人=1,由L利用基本不等式即可求解.

ab\ab)

【详解】

因为后是5〃与5”的等比中项，

则(逐了=5"-5J所以。+匕=1,

所以，+_1=(_1+_!?|(0+与=2+2+322+2，/^=4,

ab\ab)ab\ab

当且仅当a=/?=■!•时取等号，

2

故选：B

【点睛】

本题考查了基本不等式求最值，注意验证等号成立的条件，属于基础题.

15.元旦将近，调查鲜花市场价格得知：购买2只玫瑰与1只康乃馨所需费用之和大于8元，而购

买4只玫瑰与5只康乃馨所需费用额小于22元；设购买2只玫瑰花所需费用为A元，购买3只康

乃馨所需费用为8元，则4B的大小关系是().

A.A>BB.A<BC.A=BD.48的大小关系不确定

【答案】A

【解析】

【分析】

设出玫瑰与康乃馨的单价，根据题意列出不等式，求出4B的表达式，利用不等式的性质求解即可.

【详解】

2x+y>8

设玫瑰与康乃馨的单价分别为x，y(单位为：元)，则有ucc，2x=A,3y=8.

4x+5y<22

A+->8(1)

AP4

所以有x=3，y=',因此，

232^+y<22(2)

(1)x5+(2)x(7)可得:A>6；

⑴x2+(2)x(—1)可得：B<6,因此A>B.

故选：A

【点睛】

本题考查了数学阅读能力，考查了不等式性质的应用，考查了数学建模思想，考查数学运算能力.

二、填空题

(1V2-

4

16.-+81-log636=.

【答案】29

【解析】

【分析】

根据指数、对数的运算性质可得结果.

【详解】

解：原式=4+33-log662=4+27-2=29.

故答案为：29.

【点睛】

本题考查指数、对数的计算，属基础题.

17.某四面体的三视图如图所示，则该四面体的体积为.

32

【答案】—

3

【解析】

【分析】

根据三视图作出三棱锥的实物图，计算出三棱锥的底面积和高，然后利用锥体的体积公式可计算出

该几何体的体积.

【详解】

根据三视图可知，该四面体侧棱底面ABC,且AB_LAC，AB=4,AC=4，R4=4,

是正方体的一个角，

I132

所以，该四面体的体积为±x-x42x4==.

323

32

故答案为：—.

3

【点睛】

本题考查几何体体积的计算，涉及到儿何体的三视图，解题的关键就是将几何体的实物图作出，考

查空间想象能力与计算能力，属于中等题.

18.已知两点A(1,O)、8(0,2),点尸是圆(x+lf+y2=i上任意一点，则加为5的面积的最小值

为.

【答案】2-好

2

【解析】

当点P到直线AB的距离最小时，AftAB的面积的最小，所以圆上的点到直线的最小距离是圆心到

直线的距离减去半径.

直线A3的方程为2x+y-2=。，所以〃==

所以S=3A3|/i=2—好。

2112

19.第24届国际数学家大会会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础进行设计的.如图所示，会

标是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形.如果小正方形的面积为1,大正

方形的面积为25,直角三角形中较小的锐角为6,那么tan(e+?)=.

【答案】7

【解析】

【分析】

由已知条件可得每个直角三角形的两条直角边的长度之差为1、斜边的长度为5,设直角三角形的两

条直角边分别为“与”+1,勾股定理求出a即可得直角三角形三边长，求出tan。，代入两角和的正

切公式即可得解.

【详解】

由小正方形的面积为1知每个直角三角形的两条直角边的长度之差为1,

由大正方形的面积为25知每个直角三角形的斜边的长度为5,

设直角三角形的两条直角边分别为a与«+1,

则a2+(a+1)2=25n2a2+2。—24=0,解得a=3或a=(舍去)，

则直角三角形的两条直角边为3、4,斜边为5,

tan6+tan"-+1

所以tan9=—,tanI0+—__________4_=4_=7

4I4,n兀、3

1—tan0tan—1—

44

故答案为：7

【点睛】

本题考查三角函数，两角和与差的正切公式，属于基础题.

三、解答题

20.已知数列｛4｝为正项等比数列，满足。3=4,且牝，3%，牝构成等差数列，数列｛〃｝满足

=1

^Og2«„+lOg2«„+l.

(1)求数列｛%｝,｛4｝的通项公式;

(2)若数列｛"｝的前〃项和为S“，数列｛c,J满足《，二彳二，求数列｛c,J的前〃项和

43“-1

【答案】(I)4=2"T,b=2n-\.(II)7；,=-_-

n2n+l

【解析】

【分析】

(I)先设等比数列｛%｝的公比为q(q>0),根据/=4，目.%，3%，%构成等差数列，求出q，即

可得出｛4｝的通项公式，再由d=log2tz,(+log2a,i+l,可得出｛/?„｝的通项公式；

(II)先由等差数列的前〃项和公式求出S“，再由裂项相消法求出，即可.

【详解】

解：(I)设等比数列｛《,｝的公比为q(q>0),由题意，得

a5+a6=6a4nq+q，=6解得q=2或q=-3(舍)

n-1

又。3=4=>q=1所以=axq=2"

〃伍+%)_〃口+(2〃-1)]2

——ll

(ID5n

4〃2T22〃一l2n+l

1--++

2n-12〃+12n+l

【点睛】

本题主要考查等差数列与等比数列，以及求数列的前〃项和，熟记等差数列与等比数列的通项公式

即可求解，属于常考题型.

21.如图所示，圆柱。。中，母线AB与底面垂直，是。的直径，点D是。的圆周上异于

B,C的点.

(1)求证：平面平面ADC；

(2)若BD=2,C£>=4,AC=6,求圆柱。0的表面积.

【答案】(1)证明见解析；(2)(8占+10)万

【解析】

【分析】

(1)推导出AB_LCD,BD工CD，从而CDJ_平面曲，由此能证明平面平面ADC.

(2)由勾股定理求出BC,AB，由此能求出圆柱。。的表面积.

【详解】

证明：(1)由己知可知A3_L平面3cO，CDu平面BCO,

.点。是。。的圆周上异于异于3,。的点，8c是。0的直径，

.•.ZBOC是直角，即BO_LCD

又-ABu平面ABD，BDu平面ABD，ABBD=