山西洪洞新英学校2020-2021学年高二期中考试数学（理）试卷

理科数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．直线经过，两点，那么直线的倾斜角的取值范围（）A． B． C． D．2．过点的直线与以，为端点的线段有公共点，则直线的斜率的取值范围是（）A． B．C． D．3．设实数，满足，则的最大值是（）A． B． C． D．4．如图，网格纸上小正方形的边长为，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为（）A． B． C． D．5．设，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列命题中正确的是（）A．若，，则 B．若，，，则C．若，，则 D．若，，，则6．已知直线与平行，则等于（）A．或 B．或 C． D．7．过点，，且圆心在直线上的圆的标准方程为（）A． B．C． D．8．已知，，光线从点射出，经过线段(含线段端点)反射，恰好与圆相切，则（）A． B．C． D．9．直线与曲线有且只有一个交点，则的取值范围是（）A． B．C．或 D．10．直三棱柱中，，，分别是，的中点，，则与所成角的余弦值为（）A． B． C． D．11．已知，直线，为上的动点，过点作的切线，，切点为，，当最小时，直线的方程为（）A． B．C． D．12．《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马；将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥为鳖臑，平面，，，三棱锥的四个顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为（）A． B． C． D．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．等边三角形AOB的边长为a，建立如图所示的直角坐标系xOy，用斜二测画法得到它的直观图，则它的直观图的面积是．14．已知点在直线上运动，则的最小值是．15．我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水．天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸．若盆中积水深九寸，则平地降雨量是寸．(注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸)．16．若关于的方程()在区间有实根，则最小值是．三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）如图，在四棱锥中，四边形是矩形，平面平面，为中点．求证：（1）平面；（2）．18．（12分）已知圆内有一点，过点作直线QUOTE交圆于、两点．（1）当经过圆心时，求直线的方程；（2）当直线QUOTE的斜率时，求弦的长．19．（12分）已知点，圆．（1）若直线与圆相交于，两点，且弦的长为，求的值；（2）求过点的圆的切线方程．20．（12分）已知圆经过，，三点．（1）求圆的方程；（2）若过点作圆的两条切线，切点分别是，，求直线的方程．21．（12分）如图，在四棱锥中，底面是菱形，．（1）证明：；（2）若面面，，，，求到平面的距离．22．（12分）已知圆，点是直线上的一动点，过点作圆的切线、，切点为、．（1）当切线的长度为时，求点的坐标；（2）求线段长度的最小值．理科数学答案第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【答案】D【解析】设直线的倾斜角为，，根据斜率的计算公式，可得的斜率为，易得，由倾斜角与斜率的关系，即，由正切函数的图象，可得的范围是，故选D．2．【答案】D【解析】如图，由题得直线过定点，∵，，∴要使直线与线段有交点，则的取值范围是或，即，故选D．3．【答案】D【解析】根据不等式组作出可行域如图所示阴影部分，令目标函数，目标函数可转化为直线系，即直线的斜率，直线系在可行域内的两个临界点分别为和，当直线过点时，；当直线过点时，，即的取值范围为，所以的最大值为，故选D．4．【答案】C【解析】依据多面体的三视图，画出它的直观图，如图所示；在棱长为的正方体中，四面体就是满足图中三视图的多面体，其中、点为所在棱的中点，所以，四面体最长的棱长为，故选C．5．【答案】C【解析】A，因为垂直于同一平面的两个平面可能平行或相交，不能确定两平面之间是平行关系，故不正确；B，若，，，则或相交，故不正确；C，由垂直同一条直线的两个平面的关系判断，故正确；D，若，，，则或相交，故不正确，故选C．6．【答案】C【解析】由题意可知，且，解得，故选C．7．【答案】B【解析】直线方程为，、的中点为，∴的垂直平分线为，∴圆心坐标为，解得，即圆心坐标为，半径为，∴圆的方程为，故选B．8．【答案】D【解析】如图，关于对称点，要使反射光线与圆相切，只需使得射线，与圆相切即可，而直线的方程为，直线为．由，，得，，，结合图象可知，故选D．9．【答案】C【解析】因为曲线方程表示一个在轴右边的单位圆的一半，则圆心坐标为，半径，画出相应的图形，如图所示：∵当直线过时，把代入直线方程得，当直线过时，把代入直线方程得，∴当时，直线与半圆只有一个交点，又直线与半圆相切时，圆心到直线的距离，即，解得(舍去)或，综上，直线与曲线只有一个交点时，的取值范围为或，故选C．10．【答案】C【解析】直三棱柱中，，，分别是，的中点，如图：的中点为，连结，平行且等于，则是平行四边形，与所成角就是，∵，设，∴，，，，在中，由余弦定理可得，故选C．11．【答案】D【解析】化为，圆心，半径．∵，∴要使最小，则需最小，此时与直线垂直．直线的方程为，即，联立，解得，则以为直径的圆的方程为．联立，可得直线的方程为，故选D．12．【答案】A【解析】由题意，平面，，，∵和都是是直角三角形，则为直角，此时满足垂直于，垂直于进而得到垂直于，此时满足为直角三角形，底面外接圆的圆心是斜边的中点，球心在过底面圆心并且和平行的直线上，并且球心到圆心的距离为1，直角三角形外接圆的半径为，∴，即．∴球的表面积，故选A．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．【答案】【解析】过作，，则，，作数轴轴和轴，使得，在轴上取点，，使得，．在轴上取点，使得，过点作轴，使得，连结，，，则是的直观图，由直观图作法可知，，过作于，则，∴，故答案为．14．【答案】【解析】根据题意，点在直线上运动，又由，其几何意义为原点到直线上任意一点的距离，则其最小值为点到直线的距离，即的最小值为，故答案为．15．【答案】【解析】如图：由题意可知，天池盆上底面半径为寸，下底面半径为寸，高为寸，因为积水深寸，所以水面半径为寸，则盆中水的体积为(立方寸)，所以则平地降雨量等于(寸)，故答案为3．16．【答案】【解析】将看作是关于的直线方程，所以表示点与点之间距离的平方，点到直线的距离为，又，令，因为在上单调递增，所以，所以的最小值为，故答案为．三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．【解析】（1）证明：连接，交与点，连接，∵为的中点，为的中点，∴，∵平面，平面，∴平面．（2）证明：∵平面⊥平面，平面平面，平面，，∴平面，∵平面，∴．18．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）圆的圆心为，因为直线过点、，所以直线的斜率为2，即直线QUOTE的方程为，所以．（2）当直线的斜率时，直线QUOTE的方程为，即，圆心到直线的距离为，圆的半径为，所以弦AB的长为．19．【答案】（1）；（2）或．【解析】（1）由圆方程知：圆心，半径，到直线的距离，，，即，解得．（2）当直线斜率不存在时，其方程为，为圆的切线；当切线斜率存在时，设其方程为，即，到它的距离，解得，即切线方程为，过点的圆的切线方程为或．20．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）根据题意，设圆的圆心坐标为，半径为，则有，解可得，则圆的方程为．（2）根据题意，过点作圆的两条切线，切点分别是，，设以为圆心，为半径，其半径为，则有，则圆的方程为，即，又由直线为圆与圆的公共弦所在的直线，则有，解得，则的方程为．21．【答案】（1）证明见解析；（2）．【解析】（1）证明：连接交于，连接，在菱形中，，是的中点，又因为，所以，又因为，所以面，又因为面，所以．（2）因为面面，面面，，面，所以面，即是三棱锥的高．依题意