2023-2024学年北京市朝阳区高一年级下册阶段调研考试数学模拟试题

2023-2024学年北京市朝阳区高一下册阶段调研考试数学模拟试题

一、单选题

1.若Sina<0,且tanα>0,则&是

A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角

【正确答案】C

【详解】Sina<0,则α的终边在三、四象限；tana>()则α的终边在三、一象限,

sina<0,tana>0,同时满足，则1的终边在三象限.

2.如图所示，已知在43C中，。是边AB上的中点，则CD=()

1

质+

C.-BC-LBAD.2-

2

【正确答案】B

【分析】由题意得3O=’B4,再由CD=C3+3。=-3。+1区4,即可得到答案.

22

【详解】由于。是边AB上的中点，则

2

CD=CB+BD=-BC+二BA.

2

故选：B.

JT

3.将函数/(x)=sin2x的图像向左平移；个单位后，与函数g(x)的图像重合，则函数g(x)=.

6

A.sin^2x-∙ξ∙jB.sin^2x+∙^JC.sin(2x-1)D.sin(2x+])

【正确答案】D

【详解】分析：根据图像平移即得g(x)解析式.

详解：由题意可知g(x)=小+e)=sin2(x+V)=sin(2x+g),故选D.

点睛：三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩”，但"先伸缩，后平移”也常出现在题目中，所以

也必须熟练掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母X而言.

4.若向量Z=(l,x),Z>=(l-x,2),且Gj■0-1),则X的值为()

A.-1B.OC.1D.O或1

【正确答案】D

根据向量的坐标运算,结合垂直时向量的坐标关系,即可求得X的值.

【详解】根据向量的坐标运算,可知4—8=(l,x)-(lr,2)=(x,x-2)

因为4,(4-b),由向量垂直的坐标关系可得

(l,x)∙(x,x-2)=0,BPχ+χ2-2x=0

解方程可得χ=0或χ=l

故选:D

本题考查了向量的坐标运算,垂直时的坐标运算,属于基础题.

5.设α∈(-∕r,7r),且COSa=-5，则α=()

.2乃_2万n_p.Cn_∣*2万2zτ»Jt

A.——⅛(,-B.―--BX-C.——D.——SX.-

33333333

【正确答案】A

由已知角及范围，结合特殊角的三角函数值即可求解.

【详解】因为αe(一),万)，且CoSa=-g,

则α=-斗或条

ɔɔ

故选：A

本小题主要考查特殊角的三角函数值，属于基础题.

6.向量。，b在正方形网格中的位置如图所示，则b)=()

A.45B.60

C.120D.135

【正确答案】D

【分析】建立平面直角坐标系，利用数量积的坐标运算即可求解.

【详解】设小正方形的边长为1,

因为0≤(d,bjx≤π,所以＜d,很)=135.

故选：D

7.设α力是向量，=是“W=O”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【正确答案】B

【分析】根据向量的运算性质结合充分条件和必要条件的判定，即可得出答案.

【详解】当4=一?时，,+同=一/+5=#卜同，推不出W=O

当W=O时，［=0,则∣"+"=∣α+0∣=∣4∣

即aI=|α+"”是“%=0”的必要不充分条件

故选：B

本题主要考查了判断必要不充分条件，属于中档题.

8.若函数〃x)=sin(5-£j(o>())的图象向左平移。个单位后，所得图象关于原点对称，则”的

最小值为()

AɪC3-7C9

A.—B.—C.-D.一

4444

【正确答案】B

【分析】由题设得到/(x+g)=sin(s+要-力，由其图像关于原点对称则竽-1=wZ),结

33434

合已知即可求。的最小值.

【详解】由解析式，图象向左平移(个单位，则f(x+q)=sin[0(x+?)—?],

rrM7ΓTT3

・・・/(x+g)图象关于原点对称，即竽—J=Z)α∈Z),得G=3A+=,ω>Q,

3344

.∙.当Z=O时，。的最小值为金.

4

故选：B.

9.在ABC中，A=pAB=2,AC=I.D是BC边上的动点，则AD-BC的取值范围是()

A.[-4>1]B.[1,4]C.[-1川D.[―4>~1]

【正确答案】A

【分析[假设3O=fBC∕e[0,l],根据向量的加法、减法运算，用AS,AC表示分别出AD,BC,结合

数量积公式以及函数单调性，可得结果.

【详解】设比>=fBCje[0,1],所以A。=A6+8f>=AB+rBC

又BC=AC-AB，可知Af>=(l-f)A8+∕AC

所以A/>8C=[(lT)A8+fAC](AC-48)

22

化简可得皿BC=(I)ABXAU+(1-2f)AB∙AC

TT

又4=7,AB=2,AC=I

2

所以A8∙AC=∣A8∣k4cosA=0

则皿8C=4(f-l)+f

即AO∙8C=5-4,fe[0,l]

又AO∙8C=5r-4在fe[0,l]递增

所以(Az)∙3C)=5×0-4=-4

(ADBC}=5×1-4=1

故ADBC4-4,1]

故选:A

10.关于函数/(x)=SinWTSinX有下述四个结论：其中所有正确结论的编号是()

①/(x)是偶函数；②/(x)在区间作司上单调递增；

③“X)的最大值为1;④/(x)在区间[-兀,可上有3个零点.

A.①②B.②④C.①④D.①③

【正确答案】A

【分析】先化简函数解析式再结合三角函数性质进行求解.

【详解】由函数解析式易得A©=SinIXI-ISinXl的定义域R,

且对任意XWR,有/(-X)=Sinl-Xl-ISin(-x)I=SinlXI-ISinXl=/(x),

F(X)为偶函数，故①正确；

当"0,易得/(x)=<,k∈N,

[2sinX,X∈[Λ-+2kπ,2π÷2kπ]

当Xeg,2")时，/(x)=2SinX,易知此时f(x)单调递增，故②正确；

由函数解析式易得函数/(x)=SinlXI-ISinXl在[0,+8)上的最大值为2,故③错误；

当XeHr,%]函数F(X)=SinIXI-ISinXl=0,有无数解，故④错误.

故选：A.

二、填空题

JT

11.函数f(x)=cos(2x-二)的最小正周期为___________.

6

【正确答案】兀

24

由题意得G=2,再代入复合三角函数的周期公式T=「求解.

|@|

【详解】解：根据复合三角函数的周期公式T=U得，

TT

函数，(x)=cos(2x-刍的最小正周期是7，

故筋.

本题考查了三角函数的周期性，以及复合三角函数的周期公式7=若应用，属于基础题.

12.在平面直角坐标系Xoy中，角α和角月均以3为始边，它们的终边关于X轴对称.若Sina=

则Sin夕=.

【正确答案】一;

【分析】根据终边关于X轴对称的两个角的正弦值互为相反数，得出结论.

【详解】角α与角尸均以Qr为始边，它们的终边关于X轴对称，

若Sina=；,则sin/=一Sina=-ɪ,

故T

13.已知α=(3,3),6=(1,7),c=(l,2).若(a+财)〃c,则实数冗的值为.

【正确答案】T

【分析】可求出。+劝=(4+3,3-4),然后根据(4+州)〃6即可得出2(2+3)-(3-4)=0,然后解出力的

值即可.

【详解】解：a+λb=(λ+3,3-λ),c=(1,2),且(〃+劝)〃¢,

2(4+3)—(3—Λ)=0,解得力=-1.

故一1.

TEπ

14.将函数/")=ASin(5+°)(4>0,ω>0,I加<1)的图象上所有点向左平行移动2个单位长

度，所得函数的部分图象如图所示，则/(X)=.

【正确答案】2sin(2x-?J

先写出平移之和的解析式，根据图象最值可得A=2,求出函数周期可求出。，再将点，聿，O卜弋入可

求得夕，即得f(x)解析式.

【详解】设f(x)向左平移。个单位长度得到g(x),则g(x)=4sin[s+∣^+s

则由图可知A=2,且(=/-(-V)=；，.∙.T=π,：.ω==2,

/∖c.(c2;T、

.,.g(x)=2sιnl2x÷-+^9I,

TTTT

.∖φ+-=2kπ9k≡Z,β∖lφ=2kπ--,ke.Z,

,,ππ

IeIV5,∙,∙φ―――,

.,./(x)=2sin(2X-

故答案为.2sin(2x-?

方法点睛：根据三角函数/(x)=ASin(OX+G)部分图象求解析式的方法:

(1)根据图象的最值可求出A；

(2)求出函数的周期，利用T=生求出。；

ω

(3)取点代入函数可求得9.

15.已知正方形ABC。的边长为2,点E是AB边上的动点，则。E∙CB=

【正确答案】4

【分析】画出图形，利用三角形法则表示出向量OE=D4+AE，然后根据向量数量积计算即可.

【详解】如图所示:

由OE∙C8=(D4+AE)∙CB=D4∙CB+AE∙CB,

又在边长为2的正方形中BCLAE,

所以AE∙C3=O,β(4∙CB=∣DA∣■∣Cβ∣cosO=2×2×cos0=4

所以OE∙CB=4,

故4.

16.已知函数/(x)=sin(2γ)+g,若不等式"x)2∣在区间-Vm上有解，则机的最小值为

Tr

【正确答案】y

【分析】由题意，当Xe~,m时，sin2x-3H能成立，故有2,"-∙J≥g,由此求得机的范围.

LɔJkθ√62

【详解】∙.∙函数/(x)=sij2x-M+L若不等式/(x)≥］在区间［-£,〃?］上有解，

k6√22L3」

sin∣2X-VJNl在区间上-?，〃？有解，

即当Xe,加时，sin(2x-F)多能成立

H-对-7∙∙,W,"W则〃2的最小值为安

故答案为：y∙

三、解答题

17.已知函数/(x)J-cos2χ

sinx

⑴求/(X)的定义域：

⑵若/⑻=-半，且匹仔,2π),求tan(π-6)的值.

【正确答案】(l){x∣xeR且x≠E∕eZ}.

⑵2

【分析】(1)根据函数“X)有意义，得到SinXX0,进而求得函数的定义域；

(2)由〃夕)=一乎，得到Sine=-半，求得COSe=-咚，得出tanθ=2,结合诱导公式，即可

求解.

【详解】(1)解：由函数F(X)="-S?”有意义,贝Il满足SinXH0,解得XWAπ∕eZ,

sinx

即函数f(x)的定义域为{xIXeR且X≠E,A€Z}.

12

(2)解：由/(χ)=∙c°s-x=sinx,其中x≠EMeZ,

SinX

因为/(0)=一孚，可得Sine=-半，

又因为。€(/，2兀)，可得CoSe=JI-Sin2θ=,

所以tan。=@世∙=-2,又由tan(兀-6)=-tan夕=2

cosθ

18.已知向量α,b,C是同一平面内的三个向量，其中

(1)若∣C∣=2√5,C与“平行且反向，求向量C的坐标；

(2)若∣b∣=l,且“J√4-2b),求。与b的夹角6.

【正确答案】(I)C=(-2,2)

若

【分析】(1)设出c=(-k,A),Z>0,根据模长求出k=2,求出C的坐标；(2)根据向量数量积运算法

则列出方程，将∣4=√TTT=√iM=ι代入，求出CoSe=等，从而得到夕

【详解】(1)设C=(Yk),QO,由同=石户=2五，

解得：k=2,故C=(々2)

(2)由〃1,伍-2〃)得:

a∙(a-2b)=a2-2a∙b=∖a^-2∣6t∣∙∣ft∣cos0=O,

因为同=jππ=0M=ι,

所以2-2λ∕Σcos6=0，解得：cosθ=-ɪ,

因为6∈[0,π],

所以e=fTT

4

19.已知函数F(X)=Sin(S+e)∣ω>(ψ唱)，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为

一组已知条件，使/(X)的解析式唯一确定.

(1)求f(x)的解析式，并写出单调减区间；

⑵求函数g(x)=小+日在区间0,；上的最值.

条件①：f(χ)的最小正周期为兀；

条件②：f(x)为奇函数；

条件③：f(x)图像的一条对称轴为X=：.

注：如果选择多组条件分别解答，按第一个解答计分.

JTTT

【正确答案】(l)f(x)=sin2x,单调增区间为一公+E,^+也，％eZ,单调减区间为

π.3π.._

—+κπ,—+κπ,Z∈Z：

[_44」

⑵/(x)mm="(x)ma*=l

【分析】(I)若选①②，先由周期求得。=2,再利用奇函数求出夕=0即可；若选①③，先由周期求

得0=2,再利用对称轴为X=m求出9=0即可；若选②③，举例说明解析式不唯一，不合题意：

4

(2)根据题意，得到函数g(x)的解析式，然后即可得到其值域.

【详解】(1)若选①②，贝∣j7=*=π,解得。=2,X∕(-x)=-∕(x),即sin(—2x+s)=-sin(2x+0),

解得*=E,Z∈Z,

又|。|<］,故°=°，则/(%)=Sin2x,令一］+2kπ≤2x≤ɪ+2&兀,⅛∈Z,解得-:+E≤x≤;+⅛π,Z∈Z;

TT3JTJT3JT

令一+2kπ≤2x<一+2kπ,keZ,解得一+E≤x≤—+Λπ,⅛∈Z,

2244

故单调增区间为+⅛π,f+E,Z∈Z,单调减区间为f+⅛π,当+E,⅛∈Zζ

44J|_44_

若选①③，则7=a=兀，解得。=2,又一条对称轴为X=9,可得2x=+e=W+E,ZeZ,解得

ω442

φ=kιι,keZ,

又‘故O=。,则/(元)=sin2x,令一］+2E≤2x≤+2⅛π,k∈Z,解得一(+E≤x≤(+⅛π,%∈Z；

TT3冗π3元

令一+2kπ≤2x≤—+2kπ,%∈Z,解得一+E≤x≤—+E,Z∈Z,

2244

π7ΓTr3兀

故单调增区间为-二+E.+EΛ∈Z,单调减区间为-÷⅛^-+⅛πΛ∈Z;

4444

若选②③，/(x)=sin2x和/(x)=Sin6x均是奇函数，且sin(2x：)=l,sin(6x：)=-1,可得均满足一条

对称轴为X=：,故/(x)解析式不唯一，不合题意；

(2)由(1)可知f(x)=sin2x,贝IIg(X)=/1+1)=sin(2x+弓)，

由Xeθ,ɪ,可得2x+∕e/,子,

4J6L63

所以当2χ+E=弓时，"X)而“=g,

当2嘴杉时，"5X=L

四、双空题

20.已知函数/(x)=2sin(0x+s)[(y>O,M∣<∙∣).

①若/(0)=1,贝IJe=;

②若Hr∈R,使/(x+2)-/(X)=4成立，则。的最小值是.

【正确答案】ɪ:

62

1

【分析】①由已知可得SinS=；,利用正弦函数的图象及特殊角的三角函数值，结合范围IpK5π，即

可得解9的值；

②化简已知等式可得Sin(S+20+夕)-Sin(Ox+°)=2,由正弦函数的性质可得。=(勺-&)兀-],kl,

%wZ,结合范围。>0,即可得解0的最小值.

【详解】解：①由已知可得2sing=l,可得sino=g,

φ=2kπ+2或O=2kπ+—,&eZ,

66

7rTt

l^l<-,当&=0时，φ=工.

26

②ΞxeR,使24469(>+2)+。]-2411(5+9)=4成立，

gpsin(div+2ω+φ)-sin(69x+0)=2,

.∙.Ξv∈R,使69x+2o+e=2Kπ+∙^,ωx+φ=2k2π+^∙,ZeZ,

兀7T

••导co—k[it—∕G,H——=(K—k-t)ττ——fk∣,NeZ,

又cυ>O,••⑷的最小值是彳.

2

故97.

62

21.在2022年2月4日举行的北京冬奥会开幕式上，贯穿全场的雪花元素为观众带来了一场视觉盛宴,

象征各国、各地区代表团的91朵“小雪花”汇聚成一朵代表全人类“一起走向未来”的“大雪花”的意境惊

艳了全世界（如图①），顺次连接图中各顶点可近似得到正六边形ABcDEF（如图②）.已知正六边

形的边长为1,点M满足AM=g（AB+AF）,则IAM=；若点P是其内部一点（包含边界），

则AP∙AB的最大值是

图②

【分析】由题可得IM=IM=LS24尸）=与，利用向量的数量积的运算法则即得WM=g,然后

利用数量积的定义结合正六边形的性质即得.

【详解】由题可知=∣AF∣=«AB,A尸）=1，

AM2=；（AB+AFy=J（AB2+2AB∙A尸+4F）=J（1-2XJ+1）=:,

∙∙∙M=P

TT

设向量AP,AB的夹角为6,设P在直线AB的射影为P',要使APSB的最大则®曰。,'），因为

”.钻=网.碎（》0=网网,如图可知当尸在C处时,AP∙AB最大,

l⅛⅛∣AP∣=∣AC∣=√3,6>=p4P∙AB=√3×l×y-=∣.

故L-

五、解答题

22.已知点A(0,2),B(l,3),C(3,帆)满足∣8A+84=∣8A-BC∣.

⑴求小的值：

(2)设。为坐标原点，动点P满足OP=O4+几43，求当IOPl取最小值时点P的坐标.

【正确答案】(1)1

⑵P(Tl)

【分析】(1)首先求出54,BC的坐标，再根据数量积的运算律得到B4BC=O,再根据数量积的坐

标表示得到方程，解得即可；

(2)首先表示出op,再根据向量模的坐标计算及二次函数的性质求出IoPl的最小值，即可得解；

【详解】(1)解：因为A(0,2),8(1,3),C(3,m),

所以β4=(0,2)-(1,3)=(-1,-1),BC=(3,∕n)-(l,3)=(2,m-3),

因为WA+BC∣=∣a4-Bq,所以(BA+Be)?=(8A-BC)2,

->ɔɔɔUUUUU

WBA+IBA-BC+BC=BA-2BABC+BC，⅛PBABC=O'

所以-1x2+(T)X(W-3)=0,解得％=1；

(2)解:因为A(0,2),8(1,3),

所以OA=(0,2),AB=(1,3)—(0,2)=(1,1),

因为OP=OA+2AB=(0,2)+∕ψ,l)=(∕U+2)

2222

所以IOP卜y∣λ+(λ+2)=√2Λ+4Λ+4=λ∕2(A+l)+2

所以当久=一1时IoPL=0,此时OP=(T1),即P(T,1)；

23.建设生态文明是关系人民福祉、关乎民族未来的长远大计.某市通宵营业的大型商场，为响应国家

节能减排的号召，在气温低于0°C时，才开放中央空调，否则关闭中央空调.如图是该市冬季某一天的

气温(单位：0℃)随时间f(0≤t≤24,单位：小时)的大致变化曲线，若该曲线近似满足

3兀

f(t)=Asin(ωt~2—)+b(A>0,G>0)关系.

⑴求y=∕(∕)的表达式；

(2)请根据(1)的结论，求该商场的中央空调在一天内开启的时长.

【正确答案】(l)”f)=8sin[^f-^)+4(0≤f≤24)

(2)8小时

【分析】(1)直接利用函数图像，求出A,。,。，进而求出/⑺的表达式；

(2)利用条件和由(1)中所求结果建立不等式Sin(E再借助y=sinx的图像与性质

即可求出结果.

【详解】(1)如图，

因为/。)=4$皿[0-彳「仅4>0初>0)图像上最低点坐标为(3,-4),与之相邻的最高点坐标为

(15,12),

所以A=巴㈢=8,工=15-3=12,6=-4+A=-4+8=4，

22

所以T=音=24,又。>0,所以0=展，

所以/(f)=8sin(j-,)+4(0≤f≤2