2022-2023年研究生入学《数学二》预测试题3(答案解析)

2022-2023年研究生入学《数学二》预测试题(答案解析)C.见图C

D.见图D

正确答案：D

第壹卷本题解析：

设人为A的特征值，由于A2+A=O,所以入2+入=0,即(X+l)X=0o这样A的特征值为-1或0。

由于A为实对称矩阵，故A可相似对角化，即A〜A,r(A)=r(A)=3。

因此

--I

-1

A=

.综合考点题库(共50题)-1

0

即

1.设A为4阶实对称矩阵，且A2+A=0。若A的秩为3,则A相似于()。

o

0)

-1.已知曲线：点点设是上的动点，是直

-12Ly=4x2/9(x20),0(0,0),A(0,1),PLS

oj

线0A与直线AP及曲线L所围成图形的面积，若P运动到点(3,4)时沿x轴正向的速度

是4,求此时S关于时间t的变化率。

正确答案：

本题解析：

A.见图A设点P(x,y),为使S不恒为0,则直线0A与AP不能共线，即"0,此时直线AP的方程为：Y=

(4x/9-l/x)X+1(x*0)o

B.见图B设S所成面积为区域D,D={(X,Y)|4X2/9<Y<(4x/9-l/x)X+1,0<X<x},则

sJ&YdiJ加上严仃

D9

=「［4」)x+i-打3”

J。9x9

Af(e2-l).

B-?-(e2+l).

当x=3时,o

dv-C-^-(e2—1).

d/

BJItD手1+D.

4

士T3.

d(L.

sdvd-v

-d一.=27

=3

d.vdr

*d八zdr9

G

-dxy

d7

A.见图A

-10

B.见图B

C.见图C

D.见图D

正确答案：A

本题解析：

由积分上、下限知，积分区域

原式=(可;K^dy.而可看作圆心在原点，半径为广的十圆的面积，为子&儿

原式=£dxj*-，dy=彳■Jo+dr=y(e»-D.

A.见图A

4.设千(x)=x2(x-1)(x-2),则f，(x)的零点个数为()o

B.见图B

C.见图C

D.见图D

A.0

B.1

正确答案：A

C.2本题解析：

D.3

由题设，兀6方厂状〈力=_d+笈处_其中_/+2x+3》。,即(工_3)(工+1；&。，有TQa3,此为

6工)=—+2X+3,

正确答案：

D又(-N+Zx+syu—2X+2£＞0,解得工=1,故当一1«1时，导数大于当1＜工＜3时，导数

本题解析：小于0.所以61)=2为最大值，6-1)=43)=06一D=w(3)=0为最小值，即［0,2］为6力的值域.由

.$£］(上)(1—-)—=f,z1(1-x)dx=A«

f(x)=4x3+3x2—4x=x(4x2+3x—4)o令f，(x)=0,可得F(x)有三个零点。

”)ye原y的T"%£3钟口…」产小

设/(x)==_/+2x+3且》0,则lim/£产(〃-D〃+;⑺=

A卷6.设函数z=f(xy,yg(x)),其中函数f具有二阶连续偏导数，函数g(x)可导且在x

B1-

cxSvi-i,

=1处取得极值g(1)=1,求•

Cr

正确答案：

本题解析：

由g(x)可导且在x=l处取极值g(1)=1,所以g，(D=0o又因为

g⑴=3,旌1)=氏=-3,八3)

T-=fi(xy,yg(x))y+f\g(x)

ex由u(x)=/[g(x)]•/(力，有u'(D=f[g(l)]g'(D,其中故

2/⑴=八3)•/(1)=一十,

-T-T-=4'(q,jg(x))+MM；(盯,yg(x))+g(x)九(盯jg(x))]+gT(孙,yg(x))

exey

+*(X)助；(孙,jg(x))+g(x)左(肛,,rg(.r))]

所以当x=l,y=l时

会=加,1)+旅,1)+九(1,1)

CXC\'|x-l

尸1

8.设m,n为正整数，则反常积分.VX的收敛性()。

7.f(x)与g(x)的图像如图所示，设u(x)=f[g(x)],则U(1)一

A.仅与m取值有关

B.仅与n取值有关

C.与明n取值都有关

D.与m,n取值都无关

正确答案：D

本题解析：

分析过程如下。根据题目有

「虾尸心=1迪仁可&+C妈匚U

J。火J。五”而

正确答案:①对•’Nx进行讨论：被积函数只在x»0+时无界。因为

本题解析:如(1-X)二0

证明：(D因为f(X)在［0,1］上具有阚导数，所以f(x)在［0,1止连续，因此

lim旭/=0f(X)在［0,1止必然取得最大值，记最大值点为。下5R*0且三*1。

3近因为

£/(A-)dx=l

CO.如尸&则必有f(E)>1»反之若不成立，即对一切xw［0,1］,都有f(X)<1,又由f(0)

又反常积分Wx收敛，所以V-V收敛。=o,推得

£/(.v)dx<l

j;^pdx

与题设矛盾。

②对：y/x进行讨论：被积函数只在X-1一时无界。因为所以f(E)>1,因此卜o且％1。结合妫连续函数f(x)在［0,1］上的最大值点，

卜o且卜1,可得f'代)=0。

(H)因为f(x)在［0,1］上具有硼导数，根据(1)中所设，可得函数f(X)在点£

0.(1T)占0的泰勒展开式

巴______/&)=/(，)+/W(D+空

limg加尸=0

5VX令x=0,有o=f⑷+/(n)F/2!,则f"(n)=(-2)f(0乃2。由于f(E)

>1.所以［f(D用2］>1,所以f"(n)<-2o

且反常积分5VI-X收敛，所以：琳收敛。

产尸)水

综上，无论正整数m和n取何值，反常积分.VX都收敛，故选D。10.在下列微分方程中，以y=C1ex+C2cos2x+C3sin2x(C1,C2,C3为任意的常数)为通

解的是()。

Jo7（,X）dt=lA.y?+y〃-4y，

9.已知函数f(x)在［0,1］上具有2阶导数，且f(0)=0,f(1)—4y=0

证明：B.y?+y"+4yz+4y=0

(I)存在&c(o,D,使得f'(4)=o；C.y?-y/z-4y'+4y=0

(U)存在nc(o,1),使得产(71)<-2oD.y?-y"+4y'-4y=0

正确答案：正确答案：D

本题解析:本题解析：

由y=Clex+C2cos2x+C3sin2x,可知其特征根为入1=1,K2,3=±2i,故对应的特征值方程为

(A-l)(X+2i)(A-2i)=(X-1)(入2+4)=入3—入2+4入-4

w,

所以所求微分方程为y?—y+4y-4y=0o计算如下顺

£(o)=lirn区皿=Ita源出由=0

xx

cm、i-Rsin12xsinx八

/l(0)=litn--------=lim-----=0

xfx*-*®*x

可得f_yo)=f+*(o),f(x)在x=Q^可导；

颤

11.下列函数中，在x=0处不可导的是()o"小i-Rsin桐］.*sinQ.

f(0);lini--------=Inn---------=0

x-0-XX

A.f(x)=IxIsinIxI

《(。)=1皿巴生胞=血,修=。

B./(x)小曲相…XifX

可得f_yo)=f#(0),f(x)在x=Qj?b可导;

C.f(x)=cosIXI+

c项

D-/(.r)=cos^xj

f、0)=lim""忖=lim'=0

I-X।rTTX

1、

£'(0)=hm空比Lmn£=。

I.XZX

#

可得f_yo)=f+(o)，f(x)在X・眺可导;

A.见图AD项

尸小rCOS招-1-5(r)1

B.见图B/(0)=hm--±----=lim----=—

X-CTXxMX2

—1

C.见图C,cosJ|x|-l-5X1

f(0)=lim-----lim—=--

7x—x2

D.见图Dr

可得f_，(0)*f+(0)，f(x)在*=魄不可导。

正确答案：D

本题解析:

12.

①若人工）严格单增且有上界，则数

设函数f（X）连续，"小皿e=，（&3”=1，2,3,“・.关于下列两个结论:②若人工）严格单减且有界,则数列

正确的选项是

A.仅①正确

B.仅②正确D.—2f(xy)/x

C.①②正确

正确答案：A

D.①②都错误

本题解析：

正确答案：DZ=』/⑸)

由X有

本题解析：

8,二二一■K/⑶)+—r⑶)

对于①，取人满足条件。令的=—1，则az=-2,…,a.=-2"T,变产1

oxX

对于②.取/(*)=--arctan*,满足条件.Q21

数列不收敛，②错误.k=-/(v)+Wg

令。1=1,则。2=-1「・・,％=(-1尸7,］加小不存在,

一cyx

所以

+-。⑸)+M5)+1/⑸)+66)=2必(七)

yexc\-XX

13.设

V、

z=-f(xy)

x14.

_x_d_z+—cz=设函数z=zCr,y)由方程尸(步,2=0确定，其中F为可微函数，且值

其中函数f可微，则12V()o

则工克+、票=(

dx,dy

A.2yf'(xy)

B.一2yf'(xy)

C.2f(xy)/xA.x

B.yC.f(1)/f(-1)<e2

C.zD.f(2)/f(-1)<e2

D.0

正确答案：B

正确答案：c本题解析：

因T(x)>f(x)>0,f(x)—f(x)>0,从而e—(x)—f(x)］>0,即［e—xf(x)r>0。

本题解析：从而e-xf(x)在［-2,2］上单调递增，故e-0f(0)>elf(-1),得f(0)>ef(—1)。

又f(x)>0,故f(0)/f(-1)>e,故应选B项。

［分析］方程)=0两边同时对“求偏导数，得由e-lf(1)>elf(-1),得f(1)/f(-1)>e2,选项C错误；

由)得)选项错误；

dze-2f(2>elf(-1),f(2/f(-1)>e2,D

XZ--Z对于选项A,因(x)>0,故f(x)单调递增，从而f(一1)>f(-2),得f(-2)/f(-1)<1,选

R•C)+R・-~=°，项A错误。

於_=用+vF；

解得中一一笔J

将方程两边同时对y求偏导数•得

虫16.设A为3阶矩阵，将A的第2列加到第1列得矩阵B,再交换B的第2行与第3行得

Fi•-4-Fz•曲■=(),

1x单位矩阵。记

虫=一耳

解得力可<100、

3z,dz之厉

于是工小矿77—4=110

00b

100、

P:=001

01°>

15.设函数f(x)在区间［—2,2］上可导，且*(x)>f(x)>0,则()o

则A=()。

A.f(-2)/f(-1)