2021版高考数学(人教A版理科)一轮复习攻略核心素养测评十八

核心素养测评十八

导数的存在性问题

(30分钟60分)

一、选择题(每小题5分，共20分)

1.若存在正实数x使ex(X2-a)G成立,则实数a的取值范围是()

A.(-1,+8)B.(0,+8)

C.(-2,+8)D.[-l,+8)

【解析】选A.存在正实数x使e、(X2-a)<1成立，即a>x?-上在区间(0,+8)上有解,

令f(x)=X2-J_,f'(x)=2x+—>0,

所以f(x)在区间(0,+8)上单调递增，

所以f(x)>f(0)=-1,

又a>X2-J-在区间(0,+8)上有解，

所以a£(-1,+8).

2.(2019•莆田模拟)若函数f(x)3X3-X2+2X没有极小值点,则a的取值范围是

()

A.0,1B.1+同

C.{0}U+8)D.{0}U&+8)

-1-

【解析】选C.f'(x)=ax2-2x+2,要使得f(x)没有极小值，则要求*(x)恒大于

等于0,或者恒小于等于0,或者该导函数为一次函数，当该导函数为一次函数的

时候，a=0,满足条件，当f‘(x)恒大于等于0的时候，则『，解得a

J=4-8fl<0

+8),当*(x)恒小于等于0的时候，则F<°，此时a不存在,

I?'丿匕=4-8a<0

故ae{0}U二+8).

3.已知函数f(x)=e2x,g(x)=lnx+-,对Va£R,3be(0,+°°),f(a)=g(b),则b-a

的最小值为()

A.后1B-甘

C.2Ve-lD.1+小

【解析】选D.设千(a)=g(b)=t,te(0,+oo),可得a=—,

令h(t)=b-a=。上?一些,t£(0,+8),则

hz

7t

令h'(t)=0,得t二丄，

2

由于h，(t)=丄是增函数，

所以t£(0.时，h，(t)〈O,t£g,+oo)时，

-2-

h'(t)>0,因此h(t)在(0,，上单调递减,h(t)

的最小值为«；)=1+号.

4.(2020・在(0,1)内存在极值点，则实数a的取

值范围是()

A.(-8,o)B.(0,+°°)

C.(-<=0,-1]D.[-1,0)

【解析】选A.函数f(x)=(工-9卜、，定义域为{x|x芋0},

产(x)=e1+xeL空+//*+□

因为f(x)在(0,1)内存在极值点,

贝I千'(x)GFf+°丿=0的实数根在(0,1)内，即X3+x2-ax+a=0的实数根在区

r2

间(0,1)内，令g(x)=X3+x2-ax+a,

可知，函数g(x)=X3+x2-ax+a在(0,1)内存在零点,

讨论a：a=0时，g(x)=X2(x+1)在(0,1)上无零点.a>0时，在(0,1)

上,g(x)=x3+x2+(1-x)a>0,无零点.a<0时:g(0)=a<0,g(1)=2>0,在(0,1)上有零

点.

所以实数a的取值范围是a<0.

二、填空题(每小题5分，共20分)

5.若函数f(x)』X3+x2-2在区间(a,a+5)上存在最小值,则实数a的取值范围是

33

-3-

【解析】由题意，*(X)=X2+2X=X(X+2),

故f(x)在(-8,-2),(0,+8)上是增函数，

在(-2,0)上是减函数，作y=f(x)的图象大致如图,

x=0或x=-3;则结合图象可知，

-3<a<0,解得,a£［-3,0).

4+5>0,

答案：［-3,0)

6.设f(x)与g(x)是定义在同一区间［a,b］上的两个函数,若函数y=f(x)-g(x)在

x£［a,b］上有两个不同的零点，则称f(x)和g(x)在［a,b］上是“关联函数”，区

间［a,b］称为“关联区间”.若f(x)=x-Lnx与g(x)=*+m在［1,3］上是“关联函

X

数”，则实数m的取值范围是.

【解析】因为f(x)=x-lnx与g(x)=-2+m在［1,3］上是“关联函数”，

T

令y=h(x)=f(x)-g(x),

所以函数y=h(x)=f(x)-g(x)=x-1nx+--m在［1,3］上有两个不同的零点，

r

即h(x)=0在［1,3］有两个不同的实数根，所以x-lnx+--m=0,即m=xfnx+-.

YT

设F(x)=x-lnx+-,

-4-

2、

即y-m与F(x)=x-mx+-有两个交点,

x

_―

所以F'(x)>0,得x>2；F'(x)<0,得0<x<2,

所以F(x)在［1,2］上递减，在［2,3］上递增，F(1)=3,F⑵=3-1n2,F(3)=H-|n3.

作出函数F(x)图象，如图.

作直线y二m,平移可知当3-ln2<m^H-|n3时符合题意，所以实数m的取值范围

a

是(3-In2,—-1n3］.

3

答案：(3-ln2,1-In3］

7.设函数f(x)=X2-xlnx+2,若存在区间［a,b］G-j+co),使f(x)在［a,b］上的

值域为［k(a+2),k(b+2)］，则k的取值范围为.

【解题指南】判断f(x)的单调性，得出f(x)=k(x+2)在1

.7

函数图象，利用导数的意义求出k的范围.

【解析】f'(x)=2x-lnx-1,

-5-

设g(x)=f'(x),则g'(x)=2-士

X

所以当X》二时,g'(x)20,

7

所以f'(x)在，

.2

所以V(x)2f‘e)=ln2>o,

所以f(x)在-

.7

因为［a,b］G二+3),所以千(x)在［a,b］上单调递增，因为f(x)在［a,b］上的

值域为［k(a+2),k(b+2)］,

所以［f"'=及'0+2［所以方程f(x)=k(x+2)在［丄+8)上有两解a,b.

If(b)=k(b+V①)

作出y=f(x)与直线y=k(x+2)的函数图象，则两图象有两交点.

则kH笄若直线尸k(x+2)与y=f(x)的图象相切，设切点为(x,y),

k=Zx0-lnx0-1,

=kbo+2丿，

y=g-xlvtX+2,

I0Q0

-6-

解得k=1.

所以1<k

10

答案:。空亞名

8.已知函数f(x)=X3-ax2在(T,1)上没有最小值,则a的取值范围是

n

【解析】f'(x)=x(3x-2a),

令&(x)=0,解得：x=0或*=巴，

a

碎W(-8,7］即aW-2时，f(x)在(-1,0)上递减，在(0,1)上递增,

此时x=0时，此x)取最小值,舍去，

-1之)上递增,在停，0)上递减，在(0,1)上递增,

由题意f(x)在(-1,1)上没有最小值，

(y2a八

—1V—<0

则3，解得:-1<a<0,

fro丿>f(-v

③当a=0时，f(x)在(-1,1)上显然没有最小值，成立,

④当0<也<1时,f(x)在(7,0)上递增,在(o,上递减,

3

由题意f(X)在(-1,1)上没有最小值,

(0<—<1

则《3,

VB>fT

解得:0<ad,

-7-

⑤巴力即a。三时，

32

f(x)在(-1,0)上递增，在(0,1)上递减，

故f(x)在(-1,1)上没有最小值，

综上，a>-1.

答案:(-1,+°°)

三、解答题(每小题10分，共20分)

9.(2020,黄冈模拟)已知函数f(x)=ex,(a+lnx),其中a£R.

(1)若曲线y=f(x)在x=l处的切线与直线y=e垂直,求a的值.

P.

(2)记f(x)的导函数为g(x).当ae(0,In2)时,证明:g(x)存在极小值点x,且

0

f(x)<0.

0

【解析】(l)f'(x)=ex•(a+lnx)+ex•丄

二ex•(a+乙+/几x),

依题意，有f'(1)=e•(a+1)=e,

解得a=0.

⑵令g(x)=e、•(Q+：+,

所以g'(x)=e*•(Q+:+出x)+e、・一己)

二ex・(Q+j+In^y

因为ex>0,

所以g'(x)与a+--—+1nx同号.

-8-

设h(x)=a+---+1nx,

x/

贝|Jhz(x)三「一j"JU+1.

y3工？

所以对任意x£(0,+8),有h'(x)>0,

故h(x)在(0,+8)上单调递增.

因为ae(0,In2),

所以h(1)=a+1>0,

h(L)=a+ln-<0,

故存在.1),使得h(x°)=0.

令h(x)=0,得到a+lnx=£210.

oo_2

所以f(x)=pxo,(a+1nx)

0,0

-9-

=exo・1-2^0<0,

Xn

【变式备选】

1.已知函数f(x)/X2-31nx.

7

⑴求f(X)在(1,f(1))处的切线方程.

(2)试判断f(x)在区间(1,e)上有没有零点?若有,则判断零点的个数.

【解析】(1)由已知得f'(x)=x-±有f'(1)=2,f(1)二丄，

所以在(1,f(1))处的切线方程为y-U-2(x-1),化简得4x+2y-5=0.

(2)由⑴知f'(x):&

因为x>0,

令f'(x)=0,得x=v3,

所以当x£(0,u?)时，有f'(x)<0,则(0,v3)是函数千(x)的单调递减区间；

当xe(\@+8)时，有尸(x)>0,则4③+8)是函数f(x)的单调递增区间.

当x£(1,e)时，函数f(x)在(1,v®上单调递减,在(\过,e)上单调递增；

又因为f(1)f(e)=厶2-3>0,f(V3)二(1-1n3)<0,

99?

所以f(x)在区间(1,e)上有两个零点.

2.(2019•淄博模拟)已知函数f(x)=lnx-ax+ab(a>0,bGR).

(1)若存在正数a,使f(x)WO恒成立,求实数b的最大值.

-io-

(2)设a=l,若g(x)=xex-2x-f(x)没有零点，求实数b的取值范围.

【解析】(1)因为f(x)=lnx-ax+ab,

所以f，(x)丄-a=-"0a),

rx

所以

在(二+8)上单调递减.

所以f(x)=f仕)=Tna-1+ab.

maxJ丿

所以存在正数a,使ab《1+lna成立,

即存在正数a,使得皿成立.

a

令h(x)巨艺,x£(0,+8),因为h'(x)=4,

所以y=h(x)在(0,1)上单调递增，

在(1,+8)上单调递减.

所以h(x)=h(1)=1,所以bW1.

max

故b的最大值为1.

⑵因为a=1,所以f(x)=Inx-x+b.

所以g(x)=xex-xTnx-b.

所以g'(x)=(?x」)(x+1).

令x£(0,1),使得ax。=丄.

0

两边取自然对数，得X=-Inx,

00

-11-

所以g(x)在(0,x)上单调递减，在(x,+8)上单调递增.由题设可知，要使函数

00

g(x)没有零点，则要g(x)=g(x)>0即可，

min0

g(x)=x•丄-x+x-b=1-b>0,所以b<1.

00

°°x0

10.(2019•石家庄模拟)设f'(x)是函数f(x)的导函数，我们把满足f'(x)=x

的实数叫做函数y=f(x)的好点.已知函数f(x)3e2x-aex-三LIX?.

27

⑴若0是函数f(x)的好点，求a.

⑵若函数f(x)不存在好点,求a的取值范围.

【解析】(1)因为f(x)」e2LaeL《Zlx2,

2?

所以f'(x)=e2x-aeL(a2-]_)x,

由f'(x)—x,得e2x—ae*-(経—1)x=x,

即e2x-ae«-a2X=O.因为0是函数f(x)的好点,

所以1-a=0,解得a=1.

(2)由(1)知f'(x)=e2x-aex-(a2-l)x,

由f'(x)=x,得e2x-aex-(a2-1)x=x,即

e2x-aex-azx-0.

设g(x)=e2x-aex-a2X,令g(x)=0,问题转化为讨论函数g(x)的零点问题.

函数f(x)不存在好