2022-2023学年湘豫名校联考高三一轮复习诊断考试二数学（理科）及答案

姓名____________

准考证号____________

绝密★启用前

湘豫名校联考

2022年11月高三一轮复习诊断考试（二）

数学（理科）

注意事项：

1.本试卷共6页。时间120分钟，满分150分。答题前，考生先将自己的姓名、准考证

号填写在试卷指定位置,并将姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上，然

后认真核对条形码上的信息，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂

黑。如需改动，用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。作答非选择题时，将答案

写在答题卡上对应的答题区域内。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将试卷和答题卡一并收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项

中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合4={2|一3《工42},8=（工|12+2工一340》,则人（"|（1；118）=（）

A.（1,2]B.[1,2]C.[-3,l）D.[-3,1]

2.设mSR.则“加>一4•”是“不等式/一工+m+1>0在R上恒成立”的（）

4

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

3.已知定义在R上的奇函数fCr）的周期为为当二£（0,21时J（N）=log2N-l,则f（2023）

的值为（）

A.-2B.-lC.1D.2

4.已知命题77£[1,21,2，+工一〃>0”为假命题.则实数々的取值范围是（）

A.（-00,5],B.[6,+8）c.（-oo,33D.[3,+oo）

x—21y42,

5.已知实数ny满足约束条件，3z—y23,贝ljz=2z+y的最小值为（）

A.1B.v7C.1耳QD.4

44

6.已知sin（a—：）•cos（7t+a）=V^cos2a,则sin2a的值为（）

A.1或卷B.-1或—1C.1或一春D.-1或名

5555

数学（理科）试题第1页（共6页）

7.已知点G是AABC的中线AF的中点，过点G的宜线交边AB于点D,交边AC于点

E.若俞=义瓦言。>0),戏=幺无不(户〉0),则义+〃的最小值为()

A.-J-B.1C.2D.4

8.秦九韶是我国南宋著名数学家，在他的著作《数书九章》中提出了已知三角形的三边求

面积的方法:“以小斜寨并大斜塞减中斜籍,余半之，自乘于上.以小斜幕乘大斜寨减上，

余四约之，为实.一为从隅，开平方得积.”以上文字用公式表示就是5=

.([2/—(1+/一加)1,其中a,b,c分别是AABC的内角A,B,C的对边，S是

△ABC的面积.在AABC中，若a=3,b=5,c=6,则aABC的内切圆的面积为()

A.竽B.噌“

C.竽D.竽

9.已知函数八工)=畀，若a=f(O.2as),6=f(Iog30.5),c=f(log,3)4lJa,6,c的大小关

系是()

A.a>6>cB.a〉c>6

C.c>a>6D.c>b>a

10.已知函数/(>r)=Asin(car+「)卜WR,A>0,3>0,1g|的部分图象如图所示，则

下列说法正确的是

A./(x+引为偶函数

BJ(z)的图象向右平移专个单位长度后得到y=Asin2r的图象

0

C./(工)图象的对称中心为(一佥+AK,0)MCZ

DJ(H)在区间[0,向上的最小值为一偌

11.已知体积为V的正三棱柱ABC-AIiG的所有顶点都在球。的球面上，当球O的表

面积S取得最小值时，该正三棱柱的底面边长a与高&的比值为()

A.1B.fC.fD.f

12.设r(幻是定义在R上的连续函数/(工)的导函数，且/(x)>2/(x).当工>0时，不等

式€2“/(品幻〈//3力恒成立，其中e为自然对数的底数，则实数&的取值范围为

()

A.(0用B,(7'+°°

C.(e,+8)D.(0,e)

数学(理科)试题第2页(共6页)

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知等差数列｛aJ中,％=4,a,=10,则数列｛a.｝的前9项和S,=.

14.已知向的数量积（又称向•量的点积或内积）：a・b=|a|•|6|＜：05〈。，&〉，其中

〈明8〉表示向量。,6的夹角.定义向量＜1"的向量积（又称向量的叉积或外积）：|0乂加=

lai-Ib|sin〈a,於，其中〈。,6〉表示向量＜1,&的夹角.已知点4（0,1）,8（一1,再）,0为坐

标原点，则I或X次|=.

15.求一个棱长为畲的正四面体的体积，通常采用如下的解法：构造一个棱长为1的正方

体，此正方体称为该四面体的“生成正方体”（如图①），则四面体BDAiG的体积

V|SSIi体aM]Ci~VAI-ABD-VC]-BC0-VB-4BIC]-VD-A,C1D1•

仿照此解题思路，对一个已知四面体，可构造它的“生成平行六面体”，两者的体积依次

记为V四而住和V生成¥底用体，由于“生成平行六面体'‘由该四面体和四个三棱锥组成，每个

三棱锥的底面积等于“生成平行六面体”的底面积S的一半，且高h相等，所以四面体

的体积等于“生成平行六面体”体积的;一个对棱长都相等的四面体，通常被

称为等腰四面体，已知一个等腰四面体的对棱长分别为，百,24,5（如图②），则该四

面体的体积为.

16.已知函数f（H）=（2H-l）e，-2az+l有两个极值点，则实数a的取值范围

为.

三、解答题：共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（本小题满分10分）

已知函数/（工）=。一声为（工611）的图象关于原点对称.

（1）求实数a的值；

⑵若VNC[0,+8）,不等式f（-1+归X2，）+f⑵一牛）＜0恒成立，求实数上的取

值范围.

数学（理科）试题第3页（共6页）

18.(本小题满分12分)

已知向=-73),n=(sinx,cosz),函数/(x)=(m+n)•n.在AABC中，内

角A,B,C的对边分别为a,b,c,且f(C)=l.

(1)求C的大小；

(2)若AABC的面积为§，点D在边AC上，且CD=」DA,求BD的最小值.

19.(本小题满分12分)

已知函数/(x)=aln工+*1•工*,g(x)=2x3—ax+2,a€R.

(1)讨论函数/Or)的单调性；

(2)若三皿e(0,+8),3xzG]-2,-11,使得2/(xi),求实数a的取值范围.

数学(理科)试题第4页(共6页)

20.（本小题满分12分）

已知数列L｝的各项均为正数,且对任意的”CN•都有与+,+…+黑=”.

4Nu

（1）求数列｛4｝的通项公式；

（2）设6.=”。.且数列｛6｝的前〃项和为7“,若不等式-2*+1+；1<7；-2对任意nWN，

恒成立，求实数4的取值范围.

21.（本小题满分12分）

如图，在四棱锥P-ABCD中，PA_LPD,PA=PD,侧面PADJ_底面ABCD,底面

ABCD为矩形,E为AB上的动点（与A,B两点不重合）.

（1）判断平面PAE与平面PDE是否互相垂直？如果垂宜，请证明；如果不垂直，请说

明理由；

（2）若AB=AD=2,试求二面角D-PE-C的余弦值的绝对值的取值范围.

数学（理科）试题第5页（共6页）

22.（本小题满分12分）

已知函数/（工）=e，-az+b,aeR,6eR.

（1）若义工）在点（0,f（0））处的切线方程为2工+,—1=0,求a,6的值；

⑵当a=0时，若函数/（z）42e，—xlnx在［"j',+g）上恒成立，求实数b的取值

范围.

数学（理科）试题第6页（共6页）

湘豫名校联考

2022年11月高三一轮复习诊断考试(二)

数学(理科)参考答案

题号123456789101112

答案AACDCCBCDADB

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的.

1.A【解析】因为集合B=(x|x2+2x-3<0)=lx|-3<x<1)，所以LRB={x[x<-3或x>1).又A={x|-

3<x<2)，所以An(CRB)=(X|1<X<2).故选A.

2.A【解析】由不等式x'-x+m+INO在R上恒成立,得△=(7M-4(m+1)",解得m2-1,所以

%>-一■”是“不等式x2-x+m+120在R上恒成立”的充分不必要条件.故选A.

3.C【解析】因为奇函数f(x)的周期为4,所以f(2023)=f(4x506-1)=f(-1)=-f(1)=-(log21-1)=

1.故选C.

4.D【解析】因为命题"Vxe[L2]2+x-a>0”为假命题，则该命题的否定"mX。w[L2],2*。+x0-aSO

为真命题.所以a>(2«+x)„,„,xe[1.2],易知函数y=2"+x在[1.2]上单调递增，所以当x=1时，y=2*+

即(sina-cosa)(-cosa)=2(cos2a-sin2a),即cos2a+sina-cosa-2sin2a=0.

由原式可知cosa工0,等式两边同时除以cos?a,可得1+tana-2tan2a=0,

2

解得tana=1或tana=-1所以sin2a=件％cos«=tan,

sSa.cosatan0-1.

当tana=1时,sin2a■生

tar^•十

当tanor二一[时，sin2a一乙1

一二.故选C.

7.B【解析】由题意知.A^=:磔=：(耳它+品).

因为葡-：AB(A>0).京・牛8。)'所廨.牌+十釐.

数学(理科)参考答案第1页(共8页)

又D,G,E三点共线，所以：+；=1.即+—-4.

所以入+：+(；++)(人+")=孑(1+1+个+片)N+(2+JJW)=L

当且仅当77.二即1=〃_,时等号成立故选B

A2

8.C【解析】因为a=3,b=5,c=6,

所以SA檄=:卜2a2_(]T62X32-(丝43)2=214.

△ABC的周长I=3+5+6三14设△ABC的内切圆半径为r.

由SA拗■JHr,解得r0二」.所以AABC的内切圆的面积为无“=」.故选C.

9D【解析】因为f(-x)=J-"=f(x)所以f(x)为偶函数当x>0时f(x).「则f'(x)_：二」

e，"'r1'r-

所以当O〈xU时，f'(X)2O,所以函数f(X)在(0.1]上单调递增.

因为0.2。5=4-=-^=4，所以a=f(0.2。5)<f|J_

1-_

因为Iog3°.5=Iog3-1og32,f(log32)=f(log32),

Xlog32>log3,所以b=f(log3(),5)>f|A|.

因为log,3>log,2・；.所以c=f(log,3)>f|4|

/Ig2Ig4\2—/IaqX2

由叱“3=欧号啊44〈号)?g,。)。

Ig3Ig4Ig3Iu41g3Ig4Ig34

5

所以1y'〈logsZVIog^CI.所以f(log⑶〉f(Iog32)〉f|亏)>f(0.2°),即c>b>a.故选D.

10A【解析】由函数图象可知,A=2,最小正周期为T=41二1=兀，所以3=-'--2将点[二2)代入

I，.HxI6

函数解析式中，得2sin

•十以2M.s6Z.(iMglV千♦帚”*/(r>•»2sin(2x+

*।,xeR,选项Af(x+Z|=2sin[2(x+:|+'|=2sin(2x+二।=2cos2x,为偶函数，A正确；

选项B,f(x)的图象向右平移'个单位长度,得g(x)=2sin12(x-J.।+.一=2sin(2x-，(的图

象.B错误；选项C,令f(x)=2sin(

2x+二>=0得2x+7_kxkeZ所以x=-三+>kwZC错

fiI61'7

送：选项D,因为xe[。，"，所以2x+*e|.所以f(x)=2sin(2x+；|e[-1.2],最小值

为1.故D错误.故选A.

11.D【解析】如图.设正三棱柱ABC-AiBtC.的上、下底面的中心分别为0,和。2,则0.02的中点为0.

设球。的半径为R，则OA5R.设AB=BC=AC=a.AAi=h.

2

贝[J0。2丁丁h.OzA-xAB-a.SAABCa.

.一I一

所以正三棱柱ABC-ABCi的体积V=:；a?h,所以a2g:：V.

数学(理科)参考答案第2页(共8页)

2

在RtAOO^cp.R2=OA2=OO^O2A2mJh2+J.a

球0的表面积S=4兀R2=4〃|+h2+一a2)

方法一：S=47TR2=4兀।廿2+a2)=4兀।h2+±a2+.La2)>

lii\ica

4兀x3什h?x总a?x-j-a2・12兀a2h|.12兀x一4兀

当且仅当「h2-」a2,即：一二时，S取得最小值.故选D.

1»>/«z

方法二：由V=4ia2h.得a?」,'V.

所以S=4TTR2=4兀|h2+-a2)=4TCyh2+-yx^-y-V|=4nyh2+-^^Vx

令。(h)--j-h2+-Tf1Vxj(h>0)，则。’(h)-4h-^-Vxp-.

令/(h)=0得h=h。.？」V；当hw(0h0)时°,(h)<00(h)单调递减；当hw(h02R)时(h)>0

3,

0(h)单调递增.所以当取得最小值，此时a=2V,.所以：----山-=」.故选D.

*;

-Vi

12.B【解析】令g(x)一等,则g'(x)■匚「【不-''’.因为f'(x)>2f(x)"2，>0,所以g'(x)〉。恒成立.

所以函数g(x)在R上单调递增.当x>0时,小->0,不等式e2a«f(lnx)<x2f(ax)可化为‘’，「」>

恒成立，即g(ax)>g(lnx)恒成立.又函数g(x)在R上单调递增,所以不等式ax>Inx在(0.+8)恒

e

,1xx—Inxi..

成立，所以a>mx在(o,+8)恒成立.令0(x)』nx则(x)=x=1nx令(x)=°得x=

XXx,

e.当xw(0,e)时，0'(x)>0,所以。(x)在(0,e)上单调递增；当x£(e,+8)时，0<)<0,所以。6)在@+8)

上单调递减.所以。(x)*09).用LJ_所以a》」故所求实数a的取值范围为।,+8)故选B

二、填空题：本题共4小题，每;卜题5分，共20分.

,ai+2d=4,a1-1,

13.63【解析】方法一：设等差数列laj的公差为d.因为a3=4,a7=10,所以｛a1+6d=10,解得•

所以a0二+(n7)d=1+(n7)x3=__『_L,n巨N*所以ag：=13

999

所以数列0｝的前9项和S产“上「」一'''-63.

方法二：因为数列匕』是等差数列，根据等差数列的性质，得23+27=225.因为23=4,⑥=10,所以加=7.所以

S9=9a5=9x7=63._

—»—»

14.1【解析】因为点A(0,1).B(-1.J3)，所以OA^O,1),0B=(-1.3).

所以|6A|=J02+〃=1,|Ofe|=(-1)2+(J3)2=2.

春.益口•—I—•_1

所以cos<oA.Ofe>=雪吧

IOAlIOB

数学(理科)参考答案第3页(共8页)

因为W[O,扪，所以<0A,0fe>-:.

所以OAx^BI

=OBsin<OAOB>=1x2xsin=1

15.4；8(第一个空2分.第二个空3分)【解析】设"生成平行六面体”的底面积为S,高为h,则其体积为Sh.

所以V四面体BDA[C]=丫生成平行六面体-VA^ABD-VCJ-BCD-VB-A^JC,-V(TA[C[D].

1

所以V四面体BDAE二Sh-'XLsh-X±sh-X'Sh-'X.ShLSh

BPV四面体―十丫生成平行六面体.

如图，构造该四面体的“生成长方体”，设其棱长分别为X.y,Z.

则有f厚工脑得｛二,■

z2+y2=25,、z=4.

所以V四面体■'V生成长方体一\x2x3x4-8

16(-ev：,0)【解析】因为函数f(x)=(2x-1)e，-2ax+1有两个极值点，

所以方程f'(x)=(2x+1)e*-2a=0有两个不同的实数根，即(2x+1)e>二2a有两个不同的解.

令g(x)=(2x+1)e*,则函数y=g(x)的图象与直线y=2a有两个不同的交点.

因为g’(x)二(2x+3)ex,令g(x)=0,得x=-<

所以当XE(-8「二！时,g'(x)<o,g(x)在(-8卢单调递减：

当xe(__L+8)时，g'(x)>0,g(x)在(-△+8)上单调递增所以g(x)m=g(-J.1=-2e]

7>2I

因为当X-—8时，g(x)-0：当X—+8时，g(x)1+8,

所以当x<-=时.g(x)(-2e.0)；当x>-*4•时.g(x)w(-2eY,+8).

所以函数y=g(x)的图象与y=2a的图象有两个不同的交点的充要条件是：-2eY<2a<0,即-e-米

a<0,故实数a的取值范围为(-4,0).

三、解答题：共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.

17•【解析】⑴方法一：由题意知.函数f(x)为R上的奇函数，

所以对任意的xwR，都有f(-x)=-f(x)...............................................................................................1分

即(a--,)所以2a=—1—+_Z_1=2...........................................................2分

所以a=1......................................................................................................................................................3分

方法二：由题意知，函数f(x)为R上的奇函数，所以f(0)=0................................................................1分

所以f(0)=a-£1=°..........................................................................................................................2分

解得a=1......................................................................................................................................................3分

(2)由(1)得f(x)=1--]xwR.取XI,X2®R,且Xj<x2,

则f(x,)-f(x2)=(F.,)-(匚/一)=(2»?；1)~2；：1).

因为Xi<X2.所以2X|<2*2,所以2X>-2x2<0,又2X«+1>0,2X2+1>O,

数学(理科)参考答案第4页(共8页

所以f(xi)-f(X2)<0,即f(xj<f(X2).所以函数f(x)在R上单调递增........................5分

不等式f(-1+kx2")+f(2x-4x)<0,即f(-1+kx2x)<-f(2X-4X).

又f(x)为R上的奇函数，所以f(-1+kx2xX-f(2«-4x)=f(4«-2x).

又f(x)在R上单调递增,所以-1+kx2y4--2*在xe[0.+8)时恒成立.

因为x20时所以k〈2*+在xe[0,+8)时恒成立................................7分

令t=21则t21,设g(t)=t+_L-1.因为函数g(t)=t+_L-1在[1.+8)上单调递增..........8分

t/

所以g(t)2g(1)=1,此时x=0.

所以k<1......................................................................................................................................................9分

所以实数k的取值范围为(-8J)..........................................................................................................10分

18.【解析】(1)因为f(x)=(m+n}_•n=(1+sinx,-3+cosx)•(sinx,cosx)

=sinx(1+sinx)+cosx(-J3+cosx)

=sinx-3cosx+1=2sin(x--1-|+1,....................................................................................................3分

又f⑹=2sin(c-q)+1=1,所以sin(c-^i|=0..........................................................................5分

所以C0三+k〃,kwZ.因为0〈C〈a所以C■三.............................................6分

33

(2)由(1)得建题=」_absinC=_Labx_■一i,解得ab=2................................................................7分

222

因为CD-.DA,所以CD-4-b....................................................................................................................8分

在ZS.BDC中由余弦定理得BD2=CB2+CD2-2CB•CD•cosC=a2+"-2a-'-cosC=

91

a2+~-4ab>2a?-'ab-'ab-.................................................................................................10分

当且仅当a一】b,且ab=2,即a=叱,b=6时,等号成立...................................11分

33

所以BD的最小值为」.....................................................................12分

19【解析】(1)因为f(x)=alnx+「x"x>0,所以f'(x)=.-，x>0.................................1分

7t『

当a20时,f'(x)>0,所以函数f(x)在(0，+8)上单调递增.....................................2分

当a<0时，金£(x)-匕；-0,得x二-a,或x二--(舍去)............................3分

t

当XS(0,j-a)时,f.(x)〈0,所以函数1;小)在(0,j-a)上单调递减；

当xw(-a,+8)时(x)〉0,所以函数£^)在(-a.+8)上单调递增.4分

综上所述，当a20时,f(x)在(0.+8)上单调递增：当a〈0时,f(x)在(0,-a)上单调递减，

在(-a、+3)上单调递增..................................................................5分

(2)因为3x,G(O,+oo),mxzw为2,-1］，使得2f(X因Sg(X2),

所以2f(x)wWg(x)皿...................................................6分

当a=0时，VX|w(0,+8)YXZ,有2f(X1)>0>g(x2),不符合题意：

1_

当a>0时，取X)=min{1.e22a}.X2=-1-

所以时符合题意:

则2f(x,)=2alnx1+xH2alq--Lj+1=a=g(x2),a>0

数学(理科)参考答案第5页(共8页)

1a

当a<0日寸，由(1)矢口/f(x)min-f(-a)=aIn-a(-a)?二aln-a-"2""........8分

2

因为g(x)=2x?-ax+2,所以g'(x)=6x-a>0.所以函数g(x)在［-2,-1］上单调递增.所以g(x)max

=g(l)=a............................................................................................................................................................10分

由2f(x)min《g(x)max»得2aln-a-a<a,解得a<-

e2................................................................................................11分

综上所述，实数3的取值范围为(-8,・©2］“0,+

oo)..................................................................................................12分

20.【解析】(1)因为学+1+.一+；：=0廿2,当然2时，》+1'+...+貌=”1,两式相减，得三=

n

l(n>2)，即an=2(n>2)...................................................................................................................................2分

又当n=lB寸，?_1,得a1=2,满足上

式...................................................................................3分

所以a„=

2n,nGN'.............................................................................................................................................................................

n

(2)由(1)知an=2L则bn=nan=n,2.

所以Tn=1x2+2x2?+3x2?+…+n2,

23nn+1

贝!)2Tn=0+lx2+2x2+...+(n-1)-2+n2.

两式相减得=2+22+23+...+2n-n2n-i^2X(|-r>-n・2"】=(l-n)2n*i-2

I2

n+1

所以Tn=(n-l)2

+2................................................................................................................................................................................8

分

因为不等式・2n+】+入<『-2对任意n£N•恒成立，

所以+入<(n-1)2»】，即入<rv2"i对任意n£N,恒成

立•............................................10分

易知数列｛n・2nT｝单调递增，所以(n・2n+】)m*1x21’】=4,所以入<4............................................................

11分

所以实数人的取值范围为(-

00,4)....................................................................................................................................................12分

21.【解析】(1)平面PAE与平面PDE垂

直•.........................................................................••…1分

证明如下：

因为底面ABCD为矩形，所以AB±AD.您

又侧面PAD_L底面ABCD,且平面PADC1平面ABCD二AD,所以ABJ.平面PAD...................................

又PDU平面PAD,所以AB±PD.

又PDJ.PA,且PACIAB二A,所以PD_L平面PAB

又PDU平面PDE,所以平面PDE_L平面PAB,即平面PAE_L平面

PDE.............................................................4分

(2)取AD的中点O,BC的中点F,连接OPQF.因为PA=PD,所以PO±AD.

因为侧面PADJ,底面ABCD,且平面PADn平面ABCD=AD,

所以POJ_底面

ABCD...............................................................................................................................................................................

5分

以点0为原点，建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz.

因为PA_LPD,AD=2,所以PA=PD=2,P0=

PA?-IAD)?=1.

又AB=2,所以P(又0,1),D(-100)<(-L2D).

因为_E为AB上的动点，过E(l,t,O),0<t<2_

所以Pt)=(-1,0,-1),Pt=(-1,2z-1),Dt=(2,t,0),

Ct=(2rt-2,0).............................................................................................6分

设m=(xi,yi,zi)为平面PDE的法向量，

数学(理科)参考答案第6页(共8页)

「既。即

-d<i-Zi=0/

则(不妨令

|mr占-0,

2xi+tyi=0.

可得平面PDE的一个法向量为m=(十，-

1),二.........