安徽省宿州市2023届高三下学期第一次教学质量检测数学试题（解析版）

宿州市2023届高三教学质量检测数学试题

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.

1.已知集合A={T(U},8=m≤l},则AcB的元素个数为()

A.0B.1C.2D.3

K答案HC

K解析员

K样解》解出集合8再根据交集运算求出ACB即可得出结果.

K详析D由题意可得，B={x∣-l≤x-l<l}={x∣0<x≤2},

根据交际运算可得AB={0,l},所以ACB的元素个数为2.

故选：C

2.设复数Z满足(l-i)z=2i,则Z=()

A.-l+iB.-ɪ-iC.1+iD.1-i

K答案，A

K解析D

K祥解》(l-z)z=2z

K详析H由(l-i)z=2i得Z=」=i(l+i)=-l+i,故选A.

1-z

K考点定位Il本小题主要考查复数的四则运算,复数在高考中主要以小题形式出现，属容易题，主要考查复

数的概念、几何意义与四则运算是基础内容.

3.“cosa=L'是"cos20=-工”的()

22

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

K答案》A

K解析员

R祥解X根据二倍角的余弦公式以及充分、必要条件的定义即可得出结论.

K详析』由COSe=L可得cos2α=Zcosea-I,即充分性成立；

22

当COS2«=2cos°a-l=-,时，可得COSa=±4；所以必要性不成立；

22

所以“cosa=L'是"cos2。=-L，的充分不必要条件.

22

故选：A

4.我国《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方，如图所示，将1,2,3,9填入3x3的方格内，使

得每行、每列、每条对角线上的数的和都相等，便得到一个3阶幻方.一般地，将连续的正整数1,2,3,

/填入〃X〃个方格中，使得每行、每列、每条对角线上的数的和都相等，这个正方形叫作〃阶幻方.记〃

阶幻方的数的和（即方格内的所有数的和）为S“，如S3=45,那么下列说法错误的是（）

洛书幻方

4~9~2

3~τ7

~T^τ~6~

A.Sb=666

B.7阶幻方第4行第4列的数字为25

C.8阶幻方每行、每列、每条对角线上的数的和均为260

D.9阶幻方每行、每列、每条对角线上的数的和均为396

R答案DD

K解析2

（l+n2∖n

K祥解冰艮据〃阶幻方的定义,〃阶幻方的数列有项,为首项为1,公差为1的等差数列,故Sιι=ɪ一~ɪ

每行、每列、每条对角线上的数的和均为且"为奇数时，〃阶幻方匕4行匕△列的数字为该数列的

n22

中间值.

（

R详析济艮据九阶幻方的定义,〃阶幻方的数列有〃2项,为首项为1,公差为1的等差数列,故∖+rrJ∖rΓ

每行、每列、每条对角线上的数的和均为

n

il+62)×62…

对A，s-------——=666>A对;

6ft2

1+72

对B,7阶幻方有7行7歹U，故第4行第4列的数字该数列的中间值，即L2-=25,B对;

2

对C,8阶幻方每行、每列、每条对角线上的数的和均为区=Oi8上8I=260,C对;

82x8

对D,9阶幻方每行、每列、每条对角线上的数的和均为邑=Omh上=369,D错.

92×9

故选：D

5.函数/(χ)=(9η∙-g)in∣χ∣的图象大致是()

K答案，A

K解析H

R祥解D根据奇函数的定义证明/(X)为奇函数，再求函数的零点，通过取特殊值确定正确选项.

K详析D函数/(x)=[Wf-g)hl∣x∣的定义域为{x∣x≠0},

又/⑴二岛_g)MlXI可化为/(X)=

2(3,+1)11

所以Ar):年画叶小刀可帅A∕3'

所以函数/(x)为奇函数,

所以函数/(X)的图象关于原点对称，C,D错误；

令/(x)=O,可得(1-3、)InW=0,解得χ=±l或X=O(舍去),

所以函数/(x)的零点为玉=1,χ2=-l,

取可得ln∣2∣<0

X=2/(2)2(32+l)v11B错误,

故选：A.

n

6,设(1+2x)"=a。+qx+/炉++anx,若α7=%，则几=()

A.8B.9C.10D.11

K答案》D

K解析』

K祥解》根据二项展开式分别求出。7，%的表达式，解方程即可求得结果.

77777

K详析力由题可知，tz7x=C>r×(2x)=2C>,所以%=27c：；

同理可得火=28C：；

由由=必可得27C；=28C：,即C：=2C：,

n(rt-l)(n-2)∙∙∙(π-6)_n(n-l)(n-2)∙∙∙(n-7)n-1

r)∖以一乙X,即NX-1,

1×2×3×∙∙∙×71×2×3×∙∙∙×88

解得〃=11.

故选：D

22

7.已知A,B,C是双曲线§一多.=1(。>0,。>0)上不同的三点，且AC+BC=2OC,直线AC,BC的

斜率分别为占，k2Ckik2≠O),若%|+七|的最小值为1,则双曲线的离心率为()

A.旦B.—C.-D.2

222

K答案，A

R解析，

R祥解工根据向量共线可知AB两点关于原点对称，分别设出AB,C三点的坐标，利用点差法点差法表

示出勺和心，根据基本不等式求得取最小值时满足。=28，计算即可求得离心率.

R详析D根据题意，由AC+BC=20C可得原点。是AB的中点，所以AB两点关于原点对称；

不妨设A(Xl,X),B(-xl,-yl),C(x0,y0),因为kxk2≠0,所以Xo≠x∣,玉尸一玉，

L

易知匕=上2,%2="2L,又因为A、B,C都在双曲线'—二.=l(α>0,0>0)上，

XO—玉X0+Xlcι^h~

v2

X

2-F=1

所

以α两式相减可得生R=T"三，即K=

2

%

⅞2XO—玉a~%+χa-k2

-官

^α2=1

所以同曲』=与，由基本不等式可知同+隹性2亦府=子，当且仅当同=同=:时等号成立；

所以丝=1,即"=4k=4亿2-42),可得土=2,即离心率e=@.

a'//42

故选：A.

8.已知3'"=4,α=2'”—3，人=4'"—5，则()

A.a>Q>bB.b>0>aC.a>b>0D.b>a>O

K答案DB

K解析H

K祥解》由作差法，结合对数换底公式、对数运算性质、基本不等式比较得Iog23>log34>bg45,即

可判断大小.

R详析2由3"'=4n加=Iog34,

I匕一警2+lg42

log3.log4=lg3_lg4=lgl31lg2?lg4>2_J_2_=41g?3^8=1-9-1/8,0,

23ɪg2Ig3Ig2⅛3Ig2Ig34lg2%34lg2Ig3

加24簿3+lg5

I*4.log5=二一』Jg&lg3?lg5J∏Z-=41gFlg?15=靖6l/15)0,

34

Ig3Ig4lg3⅜4Ig3Ig441g3⅝441g3Ig4

/.Iog23>Iog34>Iog45,

.∙.h=4π,-5>4I08J5-5=0.a=2n,-3<2|%3—3=0，

∙'∙b>0>a.

故选：B.

二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多

项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.已知平面向量a=(—2,1),匕=(4,2),c=(2"),则下列说法正确是()

A.若α//c，则r=—1B.若bJ_c，贝IJr=-4

3

C.若f=l,则向量α在C上的投影向量为WCD.若/>-4,则向量。与C的夹角为锐角

K答案，AB

K解析U

K样解Il根据向量线性运算即数量积公式可得AB正确；根据投影向量定义可得向量α在C上的投影向量

3.

为—gc,即C错误；由f>T可得6c∙>0,但此时向量匕与C的夹角可以为零角并非锐角，可得D错误.

R详析X若混，根据平面向量共线性质可得用［，即，一所以A正确;

若b_Lc，可得6c=(),即4x2+2r=0,解得/=-4,所以B正确;

o,∙c-4+13

若f=l,C=(2,1),由投影向量定义可知向量”在C上的投影向量为『0=您弄0=一,。，即C错误；

若f>4则庆c=4χ2+Z>(),所以CoSGQ=能>0：

WIcI

但当「=1时，cos,,c)=l,,,c)=0,即此时向量b与C的夹角为零角，所以D错误.

故选：AB

10.已知函数/(x)=2Sin(S+0)卜>0,|同<3,其图象相邻对称轴间的距离为：，点，是其

中一个对称中心，则下列结论正确的是()

A.函数/(x)的最小正周期为兀

B.函数/(X)图象的一条对称轴方程是X=|兀

C.函数/(X)在区间上单调递增

D.将函数/(X)图象上所有点横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标缩短为原来的一半，再把得到的图象向左

平移四个单位长度，可得到正弦函数g(x)=sinx的图象

6

K答案DAB

K解析U

R祥解2由周期求出力，由图像的对称性求出8的值，可得/S)的K解析Il式，再利用正弦函数的图像

和性质，得出结论.

K详析X已知函数/(x)=2Sin(S:+*)(G>0,IOI<5),

其图像相邻对称中轴间的距离为色，故最小正周期T=兀，ω=2,

2

点TΞ'°)是其中一个对称中心，有2χ[-正]+*二Zπ,&∈Z,

φ=-~+kπ,k$Z,由|夕|<一，..φ--,

626

可以求得/(x)=2sin(2x+2].最小正周期丁=兀，故选项A正确；

由于/(四)=2sin("+£)=—2,所以％=；兀是函数/(x)图象的一条对称轴方程，故选项B正确;

3363

71兀兀兀571

Xe—时，2x+-∈正弦曲线的先增后减，故选项C错误；

123J6|_36

将函数/(X)图像上所有点横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标缩短为原来的一半，再把得到的图像向左平移B

6

个单位长度，可得到g(x)=Sin(x+1)，选项D错误.

故选：AB.

11.已知α>0∕>0,且a/?=’,则下列不等关系成立的是()

4

A.工+，24B.4a+4b≥41C.Iog9Iog2⅛≤1D.α+ln%≥'-ln2

ah2

R答案XABC

R解析】

K祥解D利用基本不等式易知选项AB正确；利用对数运算法则和重要不等式可知C正确；将不等式

a+lnh≥g-In2化简整理可得Q-InQ≥g-In',构造函数/(x)=x-lnx,x∈(θ,+8)利用函数单调性

即可证明D错误.

1

-时

K详析力由基本不等式可知,=24=4,当且仅当α2-等号成立，即A正

确;

当且仅当a=。=,时，等号成立，即B正确;

2

由重要不等式和对数运算法则可得:

1"°g*≤pj=(-1)2当且仅当且仅当时，等号成立,

幅(号2

即C正确;

由Qh=—可得Z?=—,所以Q+In/?=。+In—=Q-In4a=a-21n2-lnQ,

44a4cι

若Q+lnb≥—In2,即证明。-2In2—Ina≥—In2,即。一lna≥—Fln2=—In—

22222

即需证明Q-InQ≥4-In',

22

令函数/(X)=X-lnx,x∈(0,+∞),则f'(χ)=l--f

X

当x∈(l,+∞)时，f,(x)>O,即/*)在(1,+∞)上单调递增，

所以a∈(l,M)时，解不等式a-lna≥g-ln;可得a≥;即可，即Q∈(1,+OO)时不等式

a-lna≥--ln-成立；

22

当x∈(θ,1)时，/'(X)<O,即/(χ)在(0,1)上单调递减，解不等式a—Ina≥5—In/可得a≤5,即

时不等式Q-InQ≥J-In1才成立;

22

综上可知，当aw］。,；u(l,+OO)时，不等式α+lnθzg-ln2才成立，所以D错误.

故选：ABC

12.棱长为2的正方体ABa)-A4G。中，E,F,G分别为棱AD,AlBi,CG的中点，过点E,F,G

的平面记为平面ɑ,则下列说法正确的是()

A.FG//平面AC用

B.BD1，平面α

C.平面α截正方体ABCD-A4GR外接球所得圆的面积为2"

D.正方体ABC。-AAGA的表面上与点E的距离为石的点形成的曲线的长度为4；T

K答案DABD

R解析D

K祥解Il建立空间直角坐标系。-孙z,如图所示，

对AB,利用向量法判断线面平行、线面垂直；

对C,由向量法求点面距离判断外接球到及所截圆心重合，进而可求面积；

对D,将所求曲线转化为球截面上的圆弧长，进而逐个表面讨论即可.

R详析》建立空间直角坐标系。一q2,如图所示，

则。(0,0,0),A(2,0,0),3(2,2,0),C(0,2,0),A(0,0,2),A(2,0,2),g(2,2,2),C∣(0,2,2),

E(Lo,0)*(2,1,2),G(0,2,1),

对A,设平面ACB∣的法向量为〃=(χ,y,z),ΛC=(-2,2,0),Λβ,=(0,2,2),FG=(-2,1,-1),

n∙AC=-2x+2y=Q/、

则有｛,令X=I得〃=(LL-1),

n-ABl=2y+2z=0

由〃?/7G-2+1+1=0例〃FG，而FG不在平面ACBI中,

故EG//平面AC8∣,A对;

对B,BD1=(-2,-2,2),EF=(1,1,2),由3。？尸G4-2-2=0⅛βD,FG,

BDjEF-2-2+4=()例3。EF,

,：EFFG=F,EF、EG?平面1,故BQJ"平面α,B对；

对C,设6。'AC=O，则。为正方体ABC。一ABG。外接球心，ODl=OB,外接球半径

∣BD∣√？7θ4

l-,

K-----------------------------------=下)

22

设80平面α=0∣,由。(1,1,1),EO=(0,1,1),Bz“平面α,则

BDE0

IooJ=忸OHCoS(Bn,E0)∖^∖.故。与。重合,

H1

故平面α截正方体ABC。一AAGA外接球所得圆的面积为兀代=3兀，C错;

对D,由题意，所求的点可看作正方体与半径为右的球E的交点，则由球的性质,

在表面A。AA上，：|/I=IEAl=石，故只有两个交点，不形成曲线；

在表面ABB∣4上，形成的曲线为以A为圆心，半径为，（石/_J.目2=2的圆与正方形ABQA交得的;

圆弧，长度为」x2兀x2=τt;

4

在表面BCGg上，形成的曲线为以BC中点为圆心，半径为J（G『-2?=1的圆与正方形BCCg交得

的T圆弧，长度为:χ2τtχl=兀.

由正方体的对称性，所求的曲线长度为2?（兀π）=4τr,D对.

故选：ABD.

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13.一组样本数据：（1,伪），（2也），（3也），（4也），（“也），由最小二乘法求得线性回归方程为y=3x—4,

若瓦+2+b3+b4+b5=25,则实数a的值为.

K答案D5

K解析》

K祥解》求出中心点，由线性回归方程过中心点列方程求解.

R详析Xy=」~-~~j~-~~-=5,X=-------------------ɪʒ-,由线性回归方程过中心点得

y=3x-4=4=5∙

故R答案X为：5

14.若抛物线CV=2pχ存在以点（3,3）为中点的弦，请写出一个满足条件的抛物线方程为.

K答案Dy2=4x（K答案》不唯一）

K解析H

K样解》抛物线存在以点（3,3）为中点的弦，则该点在抛物线开口内，列式求解即可.

K详析D抛物线存在以点（3,3）为中点的弦,则该点在抛物线开口内，即当x=3时，y=√67>3^p>∣.

可取〃=2,则满足条件的抛物线方程为√=Ax.

故K答案』为：V=4X（K答案』不唯一）

15.已知数列｛α,,｝的前八项和为S“，且S“=2勺-2,则数列<）的前"项和1=

（4+。（4+2）

2"-I

工答案,罚

K解析H

K样解Il根据给定的递推公式求出数列｛4｝的通项，再利用裂项相消法求解作答.

K详析H数列｛an｝的前〃项和为S,1,〃eN*，Sn=2«„-2,当〃≥2时，S,-=2%-2,

两式相减得：an=24“-2αn.l,即q=2%,而α∣=S∣=24∣-2,解得q=2,

因此数列｛4｝是首项为2,公比为2的等比数列，4,,=2x2"T=2",

a2n2×2,'2[(2"+∣+2)-(2"+2)]〜1

----------------=---------=-----------=2(---22+2)

(«„+!)(«„+2)(2"+1)(2"+2)(2,,+'+2)(2n+2)(2n+'+2)(2π+2)2"+2

71_2,,-l

所以›2⅛⅛)+()÷∙+()1

22+2----22+223+2----------2n+22n+l+22n+'+2^2(2,,+l)

2w-1

故K答案』为：——

2(2z,+1)

16.已知函数/。）=2e"-丁+2⑪-/（e为自然对数的底数），若/（x）Z-3在x∈（0,+∞）上恒成立,

则实数。的取值范围是

K答案H[ln3-3,√5]

K解析W

K祥解》先将命题转化为2e’—丁+2℃—片+320在Xe（O,+。。）上恒成立，令

g(x)=2e*-f+2OC_/+3,运用二阶求导法讨论g(χ)的单调性及最值，对。分类讨论，利用g(x)最小

值列不等式求解即可.

K详析》由/(x)N—3=⅛∙2e*—x~+2ΛV-+3NO,令

g(x)=2ev-X2+2ax-a1+3=g<x)=2(e*-x+α),

令〃(X)=2(e*-x+α)=>〃'(X)=2(e*-1)〉O,则MX)在(。,+⑹上单调递增，〃(0)=2(l+a).

(1)当a≥-1时，g'(x)≥O恒成立，即函数g(x)在(O,+e)上单调递增，则有g(0)=5-∕≥o,解得

。？蒯,石；

⑵当α<-4时，则存在%>0使得〃(∙⅞)=0,则x∈(θ,Xo)时，g'(x)=∕z(x)<O,g(x)在(O,AO)上

单调递减；xe(∙⅛,÷∞)时，g'(x)=/Z(X)>0,g(x)在(%,+。。)上单调递增.

%2

g(-^)miιl=g(x0)=2e-(x0-a)+3≥0,又/?(x())=2(e"-/+a)=OneM=玉)_q,...

2

g(x).=2e*-C,)-+3瀚D⅞(0,ln3].

∙.∙α=Xo-e%,令M(X)=X-e"x∈(0,ln3],则ΛΓ(x)=l-ejr<0,二M(x)在(0,ln3]上单调递减.

则Λ∕(x)≥Λ∕(ln3)=ln3-3,〃(X)<用(0)=—1,故α?[In33,-1).

综上，α∈[ln3-3,λ∕5j.

故K答案』为：[ln3-3,6]

K[点石成金口含参不等式恒成立问题，一般构建函数，利用导数研究函数的单调性及最值，对参数分类

讨论，将问题转化为函数最值的不等式求解.

四、解答题：本大题共6小题，满分70分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.

17.在.√WC中，角A,B,C的对边分别是α,h,c,且S-C)(Sin5-SinC)=αsinA-8sinC.

(1)求角A的大小；

(2)求sinB+sinC的取值范围.

R答案U(Oy

<2>性6

R解析》

R祥解II(I)由正弦定理，将角化边，再根据余弦定理，求解即可.

则百+聿)=百，根据正弦型三角函数的

(2)由(1)可知,A=pSinB+sinC=Sin[8sin[A+2)

图象和性质，求解即可.

R小问1详析』

由正弦定理可得S—c）S—c）=α∙α—机∙，^b2+c2-a2=bc

由余弦定理的变形得cosA=UI-=If

Ibc2

又AW（O,兀），所以月=去

R小问2详析』

2兀（2兀、

由A+8+C=兀得C=——B,且8∈[0,I,

所以SinC=Sin等-3）=Sin兀一（3+1=Sin+

所以Sing+sinC=sin3+sin（B÷-∣=—sinB+-cosB=ʌ/ɜsinfB+—

I3j22I6

因为8∈[θ,]Ti）,从而3+%∙w1%■，京■兀

所以∈

sin[B+∙^jP1,从而sin8+sinC∈

即sin8+sinC的取值范围为,√3.

18.如图，四棱锥P—ABC。中，P4_L底面ABC。，AD/∕BC,BCLCD,BC=6,QA=AD=JDC=2,

E为棱PC靠近点P的三等分点.

(1)证明：DE〃平面RW；

(2)求。E与平面PBC所成的角的正弦值.

K答案，(1)证明见K解析》

⑵也

2

K解析D

K样解F(I)记尸为棱PB靠近点P的三等分点，连接EEA尸，证明DE//A/，根据线面平行判定定理

证明DE〃平面P钻；

(2)建立空间直角坐标系，求直线OE的方向向量和平面PBC的法向量，根据向量夹角公式求两向量的夹角

余弦，由此可得。E与平面PBC所成的角的正弦值.

K小问1详析］

记尸为棱PB靠近点P的三等分点，连接EE,A/

又E为棱PC靠近点P的三等分点.

所以EF//BC,且EF=gBC,

又AO〃JBC且AD=』BC,

3

所以防〃AD且防=Ar＞，即四边形AOEF为平行四边形，

所以DE//AF，又因为AbU平面Q46,OECZ平面

所以DE〃平面PAB.

P

K小问2详析》

在BC上取一点G,使得3C=3GC,所以GC=AD=2,

又ADllBC,BC_LCO知四边形AGC。为矩形，从而AGLAO,

又PAL底面ABC。，所以AG,AD,AP两两垂直，以A为坐标原点，AG,AD,AP所在直线分别为X轴,

y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系。一孙z,则

8(2T,0),C(2,2,0),O(0,2,0),P(0,0,2)

(244∖

从而BC=(0,6,0),CP=(-2,-2,2),D£=y,--,-L

设平面PBC的法向量为n=(x,y,z),则

∏∙BC=O6y=0

,即＜

“CP=O-2X—2y+2z=0

取X=1,可得y=O,z=l,

”=(1,0,1)为平面PBC的一个法向量,则

24

ΓΛZΓ1×---F1×一

"DE_33也,

cos(DE)=

∣n∣∙∣DE∣V2∙Λ∕42

设DE与平面PBC所成的角力。，则

Sina=COSZ)E∣=①,

^^2-,

即DE与平面PBC所成的角的正弦值为变

2

19.在数列｛4,,｝中，q=g=l,且4+2+(T)Z=4.

(1)令d=4,τ,证明：数列也｝为等差数列，并求数列也｝的通项公式；

(2)记数列｛%｝的前〃项和为Sn,求§23.

K答案Il(I)证明见K解析％bn=4n-3

(2)297

R解析D

K祥解II(I)由递推关系结合等差数列定义证明数列｛勿｝为等差数列，再由等差数列通项公式求数列｛〃｝的

通项；

(2)由递推关系证明%.+2+%"=4,利用等差数列求和公式和组合求和法求S23.

K小问1详析』

因为α,,+2+(T)U=4,

所以见用+(T产τ4,ι=4，即4向一%-1=4，

又"=%，

bbfl4

所以n+i-n=‰∣-2,,-l=>又仇=4=］，

所以，数列｛"“｝为以1为首项，4为公差的等差数列，

所以H=1+(1)X4=4〃-3.

R小问2详析)

因为4+2+(T)Z=4,

2n

所以%,,+2+(-Dα2n=4,即α2n+2+α2π=4

所以S23=G]+?++。23

=(q+%++&3)+(%+%++%2)

=(4+%++%)+［。2+(a+1)+3+%))++(β2O÷β22)］

12x(1+45),,.八___

=————-+(l+4×5)=297.

20.宿州号称“中国云都”，拥有华东最大的云计算数据中心、CG动画集群渲染基地，是继北京、上海、合

肥、济南之后的全国第5家量子通信节点城市.为了统计智算中心的算力，现从全市n个大型机房和6个小

型机房中随机抽取若干机房进行算力分析，若一次抽取2个机房，全是小型机房的概率为』.

3

(1)求"的值；

(2)若一次抽取3个机房，假设抽取的小型机房的个数为X,求X的分布列和数学期望.

9

K答案H(1)4(2)分布列见R解析H,-

K解析》

C21

K祥解W(I)根据古典概型计算公式可得匚言-=三，即可解得“=4；(2)易知随机变量X的可能取值,

2

5C+6J3

利用超几何分布可求得其对应概率即可得分布列和期望值.

R小问1详析』

由题知，共有n+6个机房，抽取2个机房有C二种方法，

其中全是小机房有C；种方法，

C21

因此全是小机房的概率为尸-］，解得〃=4.

CL63

即"的值为4.

R小问2详析』

X的可能取值为O1,2,3.

03

P(X=0)=*CC4_1

-

Clo12030

P(X=D=詈端得

C2C1601

P(X=2)=皆

jo1202

C3C020_1

P(X=3)=~^-

jo1206

则随机变量X的分布列为

XO123

13_i_

Pɪ

301026

13119

则X的数学期望E(X)=OX一+lx，+2x-+3x—=-.

3010265

21.已知椭圆C:三+'=l(0>b>O)左，右焦点分别为月，F2,离心率为与，M为椭圆上异于左

右顶点的动点，的周长为4+2夜.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)过点M作圆0:f+y2=i的两条切线，切点分别为A,B,直线AB交椭圆C于P,。两点，求AOPQ

的面积的取值范围.

22

K答案，(1)—+ɪ=1

42

f√30√6^

(2),----

I82

∖J

K解析H

R祥解Il(I)根据椭圆离心率和焦点三角形周长可求得α=2,c=√∑,即可得出椭圆C的标准方程：

(2)易知AB的轨迹是以OM为直径的圆与圆0：/+y2=1的交点，求出AB所在的直线方程，并于椭

圆方程联立根据弦长公式求得AOPQ的面积的表达式，再化简变形构造函数即可求得其取值范围.

小问1详析』

设椭圆焦距为2c,根据椭圆定义可知，

△M/但的周长为M制+|峭|+忻用=24+2c,离心率e=£=正

a2

联立VQ2，解得α=2,c-V?»

2a+2c=4+2^/2

所以=β2—c2=2,

22

即椭圆C的标准方程上+匕=L

42

K小问2详析』

设点M(Λ0,%),又A,B为切点,可知OBJ.BM,OAj.AM,

所以O,A,B,M四点共圆，即AB在以OM为直径圆上，

则以OM为直径的圆的方程为IX-+1y-%∙]=受支,

I2J√2)4

又AB在圆0:/+)2=1上，

两式相减得直线AB的方程为XoX+%y=1，如下图所示:

___—J

设尸(x∣,χ),Q(X2,%),由J42,

XOX+%y=ι

消去y整理后得(2x；+yl)x2-4x0x+2-44=0,

设aQPQ的面积为5,则

5马尸0|斓」“2遥*"：+^^^./1

2l122x；+y；府房

_2#也;+1_+1_2瓜XJx；+1

4x(÷4—xθ3XQ+4ɜ(ɪo÷1)÷1

=2Λ∕6×—------

3也：+1+"7~Γ-'

M+1

其中片∈[0,4),令t=旧不,贝V∈[l,√^),

设/«)=3，+；,/€[1,指)，则/'«)=3—5>0,

「16^5

所以在区间[1,6)上单调递增，从而得/(f)e4,Y二，

.7

工―(回√6^

于是可得S£s~~,

I82_

即AOPQ的面积的取值范围为(华,坐.

、82_

Kr点石成金9关键点r点石成金』：本题关键在于根据过点M的两条切线求出切点AB所在的直线方程，

并与椭圆联立利用韦达定理和弦长公式求出AOPQ面积的表达式，再通过构造函数利用导数研究单调性求

面积取值范围即可.

be

22.已知函数/(x)=χ2+α(χ-Inx)-一(e为自然对数的底数)，”，^∈R.

X

(1)当/?=0时，讨论/(x)在(0,+8)上的单调性；

(2)当匕=1时，若存在x∈[l,e],使/(x)>0,求α的取值范围.

K答案』(I)K答案》见E解析》

(2)(-l-e,+∞)

K解析H

K祥解Il(I)对“分类讨论，由导数法求函数单调性；

(2)法一，由分离变量法，转为由导数法研究函数最值，得出结论；法二，将函数拆分为前后两个函数,

对α分类讨论，由导数法分别研究两函数单调性及最值，得出结论；

R小问1详析)

a_2x2+ax-cι

当b=0时，/(x)=χ2+α(χ-lnx),/(x)的定义域为(O,+"),f'(x)=2x+

XX

当/+8α≤0,即一8≤α≤()时，/'(x)≥O且不恒为0,所以/(力在(0,+巧上单调递增；

当a<—8时，方程21+以一.=0有两不等正根一"±姆,

4

,..,,.C—a—Jq-+8α—a+ʌ/ɑ1+84,,,

结合a定义域由,凡λX)>O可得X∈0,——+--------——=