概率论与数理统计复习题带答案

【关键字】复习题

悌一章

一、填空题

1.若事件AB且P(A)=0.5,P(B)=0.2,则P(A-B)=(0.3)。

2,甲、乙各自同时向一敌机炮击，已知甲击中敌机的概率为0.7,乙击中敌机的概率为

0.8.求敌机被击中的概率为(0.94)。

3.设A、B、C为三个事件，则事件A,B,C中不少于二个发生可表示为()。

4.三台机器相互独立运转，设第一，第二，第三台机器不发生故障的概率依次为0.9,0.8,

0.7,则这三台机器中至少有一台发生故障的概率为(0.496)o

5.某人进行射击，每次命中的概率为0.6独立射击4次，则击中二次的概率为

(0.3456)o

6.设A、B、C为三个事件，则事件A,B与C都不发生可表示为()。

7.设A、B、C为三个事件，则事件A,B,C中不多于一个发生可表示为()；

8.若事件A与事件B相互独立，且P(A)=05P(B)=0.2,则P(AIB)=(0.5)；

9.甲、乙各自同时向一敌机炮击，已知甲击中敌机的概率为0.6,乙击中敌机的概率为0.5.求

敌机被击中的概率为(0.8)；

10.若事件A与事件B互不相容，且P(A)=0.5,P(B)=0.2,则P()=(0.5)

11.三台机器相互独立运转，设第一，第二，第三台机器不发生故障的概率依次为0.8,0.8,

0.7,则这三台机器中最多有一台发生故障的概率为(0.864)。

12.若事件AB且P(A)=0.5,P(B)=0.2,则P()=(0.3);

13.若事件A与事件B互不相容，且P(A)=0.5,P(B)=0.2,则P()=(0.5)

14.A、B为两互斥事件，则(S)

15.A、B、C表示三个事件，则A、B、C恰有一个发生可表示为()

16.若，，0.1则(0.2)

17.A、B为两互斥事件，则=(S)

18.保险箱的号码锁定若由四位数字组成，则一次就能打开保险箱的概率为()。

2、选择填空题

1.对掷一骰子的试验，在概率中将'出现偶数点”称为(D)

A、样本空间B、必然事件C、不可能事件D、随机事件

2.某工厂每天分3个班生产，表示第班超额完成任务，那么至少有两个班超额完成任务可

表示为(B)

A、B、

C、D、

3.设当事件与同时发生时也发生，则(C).

(A)是的子事件；(B)或

(C)是的子事件；(D)是的子事件

4.如果A、B互不相容，则(C)

A、A与B是对立事件B、是必然事件

C、是必然事件D、与互不相容

5.若，则称与(B

A、相互独立B、互不相容C、对立D、构成完备事件组

6.若，贝!1(C)

A、与是对立事件B、是必然事件

C、是必然事件D、与互不相容

7.A、B为两事件满足，则一定有(B)

A、B、C、D、

8.甲、乙两人射击，A、B分别表示甲、乙射中目标，则表示(D)

A、两人都没射中B、两人都射中C、至少一人没射中D、至少一人射中

三、计算题

1.用3台机床加工同一种零件，零件由各机床加工的概率分别为0.4,0.4,0.2;各机床加工的零件的

合格品的概率分别为0.92,0.93,0.95,求全部产品的合格率.

解:设表示产品合格，表示生产自第个机床()

2.设工厂A、B和C的产品的次品率分别为1%、2%和3%,A、B和C厂的产品分别占50%、

40%和10%混合在一起，从中随机地抽取一件，发现是次品，则该次品属私厂生产的概率是

多少？

解:设表示产品是次品，表示生产自工厂A、B和C

3.设某批产品中，甲，乙，丙三厂生产的产品分别占45%,35%,20%,各厂的产品的次品率分

别为4%,2%,5%,现从中任取一件，

(1)求取到的是次品的概率；

(2)经检验发现取到的产品为次品，求该产品是甲厂生产的概率.

解:设表示产品是次品，表示生产自工厂甲，乙，丙

0.026

4.某工厂有三个车间，生产同一产品，第一车间生产全部产品的60%,第二车间生产全部

产品的30%,第三车间生产全部产品的10%。各车间的不合格品率分别为0.01,0.05,0.04,

任取一件产品，试求抽到不合格品的概率？

解:设。表示产品是不合格品，,A表示生产自第一、二、三车间

123

P(D)=fP(A)P(DIA)=0.6x0.01+0.3x0.05+0.1x0.04=0,025

ii

i=l

5.设工厂A和工厂B的产品的次品率分别为1%和2%,现从由A和B的产品分别占60%

和40%的一批产品中随机地抽取一件，发现是次品，则该次品属于A厂生产的概率是多少？

解:设。表示产品是次品，A,A表示生产自工厂A和工厂B

12

6.在人群中，患关节炎的概率为10%,由于检测水平原因，真的有关节炎能够检测出有关节炎

的概率为85%.真的没有而检测出有的概率为4%,假设检验出其有关节炎，问他真有关节炎

的概率是多少？

解:设A表示检验出其有关节炎，8表示真有关节炎

De-、P(B)P(A\B)0.1X0.85

P(BIA)=-----------------------------------=------------------------------=0.7025

P(B)P(AI5)+P(5)P(AI5)0.1x0.85+0.9x0.04

第二章

一、填空题

X—101

1已知随机变量X的分布律为：F。」0.40.5'则尸{X2=0}=(0.4)。

2.设球的直径的测量值X服从［1,4］上的均匀分布，则X的概率密度函数为

-,1<x<4

3)o

0,其他

3.设随机变量X~8(5,0.3),则E(X)为(1.5).

4设随机变量X~5(6,0.2)则X的分布律为

P{X=k}=00.2*0.86/«=0,l,...6)。

6

X-101

5.已知随机变量X的分布律为：F。」。,4。.5，则尸{X2=l}=(0.6

l-e-3x,当x>0,

6.设随机变量X的分布函数为尸。)=八业c则X的概率密度函数

0,当x<0.

3e-3x,当x>0,

);

0,当x<0.

X—口

7.设随机变量X~N(|1,O2)，则随机变量y=--服从的分布为

(5

X~N(0,l));

X-2-1013

8.已知离散型随机变量X的分布律为了，则常数

3a1/63aa11/30

a=(1/15);

A

9.设随机变量X的分布律为：P{X=/:}=—,k=1,2,,10.则常数A=(1)。

X—324

10.设离散型随机变量X的分布律为厂,F(x)为X的分布函数，则/(2)=

JLX-/•JX-/♦D

0.7);

5e-5x,%>0

ii.已知随机变量x的概率密度为/a)=<cC，则X的分布函数为

0,x<0

l-e-5x,x>0

F(x)=<)

0,x<0

12.已知随机变量X只能取/,0,1,2四个值，相应概率依次为则常数

。二(16/37).

已知x是连续型随机变量，密度函数为pQ),且pQ)在x处连续，/Q)为其分布函

13.

则尸Q=(

数,P(x))°

x是随机变量，其分布函数为bQ),则x为落在Q,引内的概率

14.

p[a<X<b}=(F(b)-F(a))=

已知X是连续型随机变量，。为任意实数，则P{x=a}=(

15.0)o

已知X是连续型随机变量，且X〜则密度函(PQ)=(

16.)°

727U

已知x是连续型随机变量，密度函数为pl),p[a<X<b]=

17.

心p(x)dx)o

a

已知X是连续型随机变量，且X〜①Q谑X的分布函数，若①0=0.3,则

18.

①(一〃)=

0.7)=

19.设随机变量X〜N(6,4),且已知①⑴=0.8413,则尸{44X48}=(0.6826)o

20.已知X是连续型随机变量，且X〜则密度函数为

1,

-----,a<x<b

b-a)°

0,其他

二、选择填空题

37

1三重贝努力试验中，至少有一次成功的概率为才则每次试验成功的概率为⑸。

113.一2

A，4匚4D，3

3

———,x&G),i)

2.设随机变量X的密度函数/Q)=<

1+X2，则常数C为(C)。

0,其他

兀24兀

A，2B.一C.一D，4

7171

,。2),则概率尸{X—|l<Zb}(D

3.X)

A.与日和。有关B.与日有关，与。无关

C.与。有关，与|Ll无关D.仅与k有关

4.已知随机变量的分布率为

X-1012

P0.10.20.30.4

/（X）为其分布函数，则/（|）=（C）o

A.0.1B.0.3C.0.6D.1.0

5.已知X〜N（o,l）,y=2X-l,则y〜（B）o

A.N（0,l）B,N（-1,4）c,N（-1,3）

D.

6.已知随机变量X的分布率为

X0123

P0.10.10.20.6

则尸（X>2）=（D）。

A.0.1B.0.2C.0.4D.0.6

7.在相同情况下，独立地进行5次射击，每次射击时，命中目标的概率为0.6,则击中目标的次数

X的概率分布率为(A)。

A.二项分布B(5,0.6)B.泊松分布P(5)C.均匀分布。6.6,5)D.正态分布

(\------,a<x<b

8.p\x)=<b-a，是(C)分布的概率密度函数.

0,其他

A.指数B.二项C.均匀D.泊松

三、计算题

1.设随机变量X~N(l,4),求：F(5)和尸{0<X<1.6}。

V_1<_1

解：/⑸=P{X<5}=P{-^—<—}=①(2)=0.9772

2.设X~N(3,42),求尸{4<X<8},尸{0<X<5}(可以用标准正态分布的分布函数表示)。

3.设随机变量X~N(2,02),且尸{2<X<4}=0.3,求尸{X<0}。

4.设随机变量X的分布律为

X-1-201

求y=X21的分布律。

X-1-201

y=X2.

03-10

1

Y-103

5.某工厂生产螺栓和垫圈，螺栓直径(以毫米计)X~N(10,0.22),垫圈直径(以毫米计)

y~N(10.5,0.22),x,Y相互独立，随机的选一只垫圈和一个螺栓，求螺栓能装入垫圈的

概率。

解：X—y〜N(—0.5,2x0.22)

6.设随机变量X的概率分布率如下表

123

求x的分布函数和pg<x<|}。

解：<X<5}=P{X=2}=§

'0.2,(-l<yWO)

7.设随机变量I7的概率密度函数为？G)=0.2+cy,(0<yVl),求(1)常数c;

0,(其他)

(2)P{0<y<0.5}s

解.(1)J+o°p(y)dy=J°Q.2dy+J1(0.2+cy)dy=0.2+0.2+|=1

c=1.2

(2)P{0<y<0.5}=f05(0.2+1.2y)rfy=0.2x0.5+0.6x0.25=0.25

0

第三章

一、填空题

i.设连续型随机变量x,y的概率密度分别为4(x)，A(y),且x与y相互独立，贝u(x,y)的

(x)(y)

概率密度-)=(44)。

2.已知X~N(—l,32),y~N(l,42)且x与V相互独立，则x+y

X~N(0,25)

二、计算题

1.设X与Y相互独立，其概率分布如表所示，求：（1）（X,Y）的联合分布，（2）E（X）,

D（Y）o

X-1-200.5Y-0.513

Y-0.513

X

-1

-2

0

0.5

2.设（x,y）的分布律如下

123

11/61/91/18

21/31/92/9

求x与y的边缘分布.并判别x与Y是否独立。

X12

P

Y123

P

X与Y不独立。

3.设随机变量（X,Y）的概率分布如下表所示:

-1012

-10.20.150.10.3

20.100.10.05

求X与Y的边缘分布，X和Y是否独立

X-12

P0.750.25

Y-1012

P0.30.150.20.35

X与Y不独立

第四章

一、填空题

1.若随机变量X服从泊松分布X~p(入)，则D(X)=(X)。

2.若随机变量X和Y不相关，则。(X-F)=(D(X)+D(Y))。

3.若随机变量X和Y互相独立，则E(XY)=(E(X)E(Y))。

4.若随机变量X服从正态分布X~N(凡02),则D(X)=(。2)。

5.若随机变量X在区间［1,4］上服从均匀分布X~U(1,4),则E(X)=(2.5)。

6.已知随机变量X与Y的期望分别为E(X)=3,E(Y)=5,随机变量Z=3X-2Y,则期望E(Z)=

(-1)。

9.若随机变量X服从二项分布X~B(4,0.5),则D(X)=(1);;

11若已知E(X),D(X),则E(X2)=O(X)+((E(X))2)0

12.已知随机变量X与Y的期望分别为E(X)=2,E(Y)=5,随机变量Z=5X-2Y,则期望E(Z)=

(0),

13.若随机变量X服从二项分布X~B(n,p),则D(X)=(np(1-p))。

14.设X~U(1,3),则E(X)=(2)o

15.随机变量X和Y相互独立，且D(X)=5,D(Y)=6求随机变量Z=2X-3Y的方差D(Z)=

(74)

16.X是随机变量，且X〜p(5),则E(X)=(5)。

二、选择填空题

1.已知X〜尸&=k)=^-e-i(k=0,1,2,3,•••),1)!!!EtQ2-13=_D__。

A.3B.12C.30D.33

2.随机变量X〜y=X2,则相关系数Pxy=(B)

A.-1B.0C.1D.2

3.随机变量X的分布率为P&=左｝='1=0,1,23-),则口(2*)=—D__。

62人！

A.1B.2C.4D.8

4.已知随机变量X服从二项分布，且E(X)=2.4,D(X)=1.44,则二项分布的参数,p的值分别为

(B)o

A.〃=4,p=0.6B.n=6,p=0.4c,〃=8,p=0.3D,〃=24,p=0.1

b"则X的数学期望E(X)=(B

已知x的密度函数为pQ)=<0.5,xe

5.)o

、其他,

1

A.-B.1C.2D.4

2

6.X,y是互相独立的随机变量，E(x)=6,E(y)=3,则E(2X—y)=(A)o

A.9B.15C.21D.27

1-工>0

7.设X的概率密度函数为1°'，—，则E(2X+1)=(C)o

0,x<0

A.1.4B.41C.21D.20

8.x,y是互相独立的随机变量，o(x)=6,o(r)=3,则。Gx—y)=(D)。

A.9B.15C.21D.27

三、计算题

1.设二维随机变量的联合概率分布为

01

0.30.10.1

10.050.20

20.200.05

求：(1)X与Y的边缘分布，(2)E(X),D(Y)o

X-112Y-201

0.50.250.250.550.30.15

1vY

2.已知X-N(l,3”一N(0,42),P「下设Z—+E，求Z的期望与方差,求X与Z

的相关系数。

3.设(X,Y)服从分布

x-X012

03/289/283/28

13/143/140

21/2800

，试求cov(X,Y)及Po

X.Y

279

D(Y)=E(Y2)-(E(Y))2=—--=0.4018

cov(x,y)

p=,,―=-0447

xy7D(T)7W7

3,(x,y)eG

4.设随机变量(X,Y)具有密度函数/(x,y)=，，其中区域G由曲线

0,其它

>=%2与》=，2围成，求cov(X,Y)及P

XY

解：

cov(x,y)

P=0.434

xy

5.设(X,Y)服从分布

X"――X012

03/289/283/28

13/143/140

21/2800

试求E(X),E(XY),D(Y)o

解：

279

D(y)=E(y2)-(E(y))2=-=0.4018

24xy,0<x<l,0<y<l,x+y<l

6.设随机变量(X,y)具有概率密度，f(x,y)=<

0,

求E(X),E(Y),E(XY)o

ivY

7.已知，X~N(1,32),Y~N(0,16),P”设Z=5+可求z的期望与方差，求X与Z

的相关系数。

解:E(z)=：E(x)+gE(y)q

第五章

一、填空题

1如果从总体X中抽取样本为X,X,XX则样本均值为

123n

(X=-^X)。

ni

i=l

2.如果从总体X中抽取样本为X,X,XX则样本方差为

123n

(S2=」_X(X-X)2)o

n-\i

i=l

3.设X~N(2,16),S2为样本方差，贝1]E(S2)=(16)„

4.样本(X］，…，Xn)取自标准正态总体N(0,1),X,S分别为样本均值及样本标

准差，贝In又〜(N(0,l))。

5.样本（X],…，Xn）取自标准正态总体N（0,1）,X,S分别为样本均值及样

本标准差，则XXj21（）。

i=l

6.样本（X],…，Xn）取自正态总体N（四，02）,X,s分别为平均数及标准差,

02

则XN(pi,一)).

n

相互独立，服从同一分布,且石&）=02〉0,

7.若随机变量看,%,%,…,X

nii

令文=1^X，则O2

）。

n,n

i=l

二、选择填空题

1.设总体x~N（|1,O2）,其中四已知,b2未知,工苒是取自总体X的样本，则下列

各量为统计量的是（A）

X—pi

AX+XB2X+o|iCX++CT2D------

12I1O

2.样本X,X，…,X是来自正态总体的简单随机样本；下列各统计量服从标准正态分布的

12n

是(D)

.L(X+X+…+X)

A.B.X2+X2+…+X2

n12n12n

IT?—2X—pi

C.(X-X)D.-------h

n—1o/yin

i=l

3.从总体中抽取容量为5的一个样本1.10.91.21.21.1,贝拉=(B)

A.1B.1.1C.1.2D.5.5

4.若X~%2(5),则D(X)=(B)

A.1B.10C.5D.0

5.从总体中抽取容量为5的一个样本10.19.910.210.210.1,贝l]x=(B)

A.10B.10.1C.10.2D.50.5

6.若X〜殍(5),则E(X)=(C)

A.1B.10C.5D.0

三、计算题

1.从正态总体中抽取5个样本如下：8.1,8.2,8.3,7.8,7.6,；求样本均值与样本方差。

“_8.1+8.2+8.3+7.8+7.6。

解★"-----------------------=8

2.从总体抽取5个样本如下：5.1,5.2,5.4,4.6,4.7,求样本均值和样本方差。

3.从正态总体中抽去了容量为5的一个，样本，数据如下：7.3、7.2、7.1、6.8、6.6；求样本

均值与样本方差。

第七章

一、填空题

1.设6是未知参数。的一个估计量，若EM)=®，则称6为参数。的一个(无偏)估计量。

2.设总体X~N(pt,O2),为未知，目为未知，设X,X为来自总体X的一个样

128

7s27s2

本，则02的置信度为0.95的置信区间为((———,-------))»

殍(7)殍(7)

0.0250.9755

3.设6是未知参数。的一个估计量，若(£(e)=o)，则称6为参

数e的一个无偏估计量。

4.设总体X~N(pt,O2),02为已知，目为未知，设X,X，…,X为来自总体X的一个

12n

样本，则N的置信度为1-a的置信区间为((X——-=Z,X+lz))o

a：

二、选择填空题

1.下列统计量(A)既是总体均值目的无偏估计量又是矩估计量.

—1—

AXBS2CS2D-X

on

2.在单正态总体期望N区间估计中(02已知)，已知置信度为0.95,下面说法正确的是

(A)。

A.使用分位数a=1.96B.使用分位数/(15)=1.7531

0.0250.05

C.加大样本容量会使置信区间变大D.降低置信度会使置信区间变大

三、计算题

1.设总体X服从正态分布N(5,l),X,X,X为一个样本，试验证

123

都是m的无偏估计量，那一个估计量更好。

2.设总体X的概率密度为

其中。是未知数，X,X,X是取自X的样本，求参数a的矩估计。

12n

解:

3.以X表示某种小包装糖果的重量(单位以克计)，X〜N(N,4),今取得样本容量为10

的样本均值为56.61,求日的置信度95%的置信区间。("=1.96,1/=1.645)

0.0250.05

解：日的置信度95%的置信区间为

4.设总体X服从正态分布X,X为一个样本，试验证

12

m=1x+jx,m都是m的无偏估计量，那一个估计量更好。

1515223132

解：

5.以X表示某种小包装糖果的重量(单位以克计)，X~N(u,4),今取得样本容量为10

的样本均值为56.61,求日的置信度95%的置信区间。(比=1.96,"=1.645)

0.0250.05

解:H的置信度95%的置信区间为

6.设总体X服从正态分布N(机,1),X,X为一个样本，试验证

12

1713

m=-X+X,m=-X+X都是m的无偏估计量，哪一个估计量的估计效果

1313224142

更好。

解：

7.设总体X具有分布。其中参数(0<0<1)未知，已经取得样本x=l,x=2,x=1,求。

123

的最大似然估计值。

P[X=x}=2(3-X)(X-1)03一%(1—0)^-1

L(0)=Pl2(3-,)(,-1)03-,(l-0),-i=2勺"一%+(1-。)上

i=l

解:lnL(9)=X(3—x)(x-l)ln2+(Z3-x)lnO+(Ex-l)ln(l-O)

iiii

i=li=li=l

,,「/A、'-x(工-1)

dInL(0)ii

----------=4=4--------——^4--------二0

dQ01-0

0=-

6

8.有一大批葡萄。从中随机抽取样30份袋，算经检测糖含量的均值与方差如下：

1=14.72,52=(1.381》=1.9072,并知道糖的含量服从正态分布，求总体均值目的置信水平

为0.95的置信区间。

(t(29)=2.0452/(30)=2.0432,r(29)=1.6991,r(30)=1.6973)

0.0250.0250.050.05

解：H的置信水平为0.95的置信区间

9.设总体X的概率密度为

X123

P

\e+i)%0,o<%<i

，(羽。)=<，其中。为待估参数，设Xf”,是来自X

o淇他

的样本求。的矩估计量

解：

10.从总体X~N(N,25)中抽取容量为4的样本，其中日未知，则以下估计量哪一个更好。

11.设总体X~N(|1,O2),日与G2均未知，从总体中抽取容量为12的样本，算得

~=66.3,s=9.4,求置信度为0.95的日的置信区间，(其中

t(11)=2.2010,r(12)=2.1788"(11)=1.7959/(12)=1.7823)

0.0250.0250.050.05

解：日的0.95置信区间

12.以X表示某工厂制造的某种器件的寿命(以小时计)，设乂~N(u,1296),今取得一容量

为27的样本，测得样本均值为1478,求M的置信水平为0.95的置信区间。

解：目的置信水平为0.95的置信区间

第八章

一、填空题

1.假设检验的统计思想是概率很小的事件在一次试验中可以认为基本上不会发生的，该原

理称为(实际推断原理)。

2.在正态总体中，抽取样本X,X,X,...X进行检验，其中总体的均值和方差都未知，要

123100

对总体的方差进行假设检验，则使用(%2)检验进行检验。

3.设显著水平为a,当原假设不正确时，由于样本的随机性，作出了“接受假设”的决策，

因而犯了错误，称为犯了(取伪)错误。

4.在检验问题中，当水平a确定后，为了减少决策时犯错误的概率，我们通常采用的方法是

(增大样本量)。

5.设总体X~N(pi,O2),日、b2已知，X,X，…,X是取自总体X的样本，则检验统计

12n

6.设显著水平为a,当原假设正确时，由于样本的随机性，作出了“拒绝接受假设”的决策,

因而犯了错误，犯该错误的概率为(a)。

7.设总体X~N(pt,O2),日、b2未知，X,X，…,X是取自总体X的样本，

12n

则检验统计量T=(一二产)

s/yjn

二、选择填空题

1.如果总体服从正态分布，总体的期望和方差未知，在对总体的期望进行检验时要采用的检

验方法是(D)检验。

A.X2B.FC.UD.t

2.在检验总体