汶上县第一中学2022-2023学年高二年级上学期阶段检测数学试卷（含答案）

汶上县第一中学2022-2023学年高二上学期阶段检测数学试卷

学校：姓名：班级：考号：

一、选择题

1、在空间四边形QABC中，Q4+45-GB等于()

AoABABCOCDAC

2、已知一个古典概型的样本空间Q和事件A,8如图所示.其中

〃(Q)=I2,”(A)=6,〃(3)=4,〃(A8)=8则事件A与事件耳()

A.是互斥事件，不是独立事件

B.不是互斥事件，是独立事件

C.既互斥事件，也是独立事件

D.既不是互斥事件，也不是独立事件

3、若α,Wc是空间任意三个向量,/LeR,下列关系式中,不成立的是()

^∙a+b=b+aB∕(a+Z?)=4a+助

C.(a+0)+c=a+(∕)+c)^b-λa

4、在一次随机试验中，已知A,B,C三个事件发生的概率分别为0.2,0.3,0.5,则

下列说法一定正确的是()

AB与C是互斥事件B.A+B与C是对立事件

C∙A+8+C是必然事件D.0.3≤P(A+B)≤0.5

5、若在同等条件下进行〃次重复试验得到某个事件A发生的频率/(小,则随着〃的逐

渐增大,有()

A∙∕(")与某个常数相等

B./(〃)与某个常数的差逐渐减小

C./(〃)与某个常数的差的绝对值逐渐减小

D."〃）在某个常数的附近摆动并趋于稳定

6、某射击运动员射击一次命中目标的概率为p,已知他独立地连续射击三次，至少有

一次命中的概率卫，则P为（）

64

A.1B.lC.巫D.也

4488

7、给出下列命题：

①若A,B,C,。是空间任意四点，则有A5+8C+CQ+D4=0;

②忖-W=∣α+U是共线的充要条件；

③若A3，CD共线，则AW/CQ；

④对空间任意一点。与不共线的三点A,B,C,若币OP=XQA+）,08+zOC（其中

X，V，z∈R），则P，A，B,。四点共面.

其中不正确命题的个数是（）

A.lB.2C.3D.4

8、一个电路如图所示，A,B,C为3个开关，其闭合的概率均为2,且是相互独立

的，则灯亮的概率是（）

27272727

二、多项选择题

9、某社区开展“防疫知识竞赛”，甲、乙两人荣获一等奖的概率分别为〃和4,两人是否

获得一等奖相互独立，则这两人中至少有一人获得一等奖的概率为（）

A.p（l-q）+q（l-p）+pqB.p+q

C.pqD.l-（l-p）（l-^）

10、设a，b为空间中的任意两个非零向量，下列各式中正确的有（）

C.(α∙∕>)=a∙hD.(α-b)=a-2a∙h+b

11、利用简单随机抽样的方法抽查某工厂的IOO件产品，其中一等品有20件，合格品

有70件，其余为不合格品，现在这个工厂随机抽查一件产品，设事件A为“是一等

品”，B为“是合格品”，C为“是不合格品”，则下列结果正确的是()

7Q

A.P(B)=,B.P(A8)==

1010

C.P(A∣5)=0D.∕3(AB)=P(C)

12、已知空间向量i、八人都是单位向量，且两两垂直，则下列结论正确的是()

A.向量i+j+k的模是3

B.{i∙+可以构成空间的一个基底

C.向量i+J+Z和女夹角的余弦值为乎

D.向量i+j与k共线

三、填空题

13、投掷两枚骰子，点数之和为8所包含的样本点有个.

14、己知空间向量∣4I=3,∣W=2，且〃m=2，则人在。上的投影向量为.

15、已知P(A)=O.5,P(B)=0.4,且A,B互斥,则P(AB)=.

16、已知MN是棱长为2的正方体ABC。-AfGA内切球的一条直径，则

AM-AN=---------------

四、解答题

17、做抛掷红、蓝两枚骰子试验，用(χ,y)表示结果，其中无表示红色骰子出现的点

数，y表示蓝色骰子出现的点数.写出：

(1)这个试验的样本空间；

(2)这个试验的结果的个数；

⑶指出事件A={(l,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)}的含义

ABO

18、如图所示，在平行六面体ABCQ—A4G。中，设A41=：，=W，4=[M,N,P

分别是AA，BC,Ca的中点，试用〉。:表示以下各向量:

⑴AP`

⑵A1N;

⑶MP+NCi-

19、有3个两两互斥的事件A,B,C,已知事件A3C是必然事件，事件A发生的

概率是事件B发生的概率的2倍，事件C发生的概率比事件B发生的概率大02分别

求事件A,B,C发生的概率.

20、如图所示，在平行六面体ABCo-44G0中，E、尸分别在和DQ上，且

13

BE=-BB>DF=-DD..

4,141

(1)证明A,E,C∣尸四点共面；

(2)若EF-xAB+yAD+zAAl，求x+y+z值∙

21、某项选拔共有四轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考

核，否则即被淘汰.已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮的问题的概率分别为

&、。、2、且各轮问题能否正确回答互不影响.

5555

(1)求该选手进入第四轮才被淘汰的概率；

(2)求该选手至多进入第三轮考核的概率.

22、已知平行六面体ABC。-GA的所有棱长均为1,

NBAD=ZBAAt=ZPA41=60°.用向量解决下面的问题

(1)求Aa的长；

(2)求证：AC∣,平面A1BO.

参考答案

1、答案：C

解析：根据向量的加法、减法法则，

^0A+AB-CB

=OB-CB

=OB+BC

=OC，

故选C.

2、答案：B

解析：因为“(C)=12,〃(A)=6，〃(B)=4,n(AlB)=8

所以“(43)=2,∏(A5)=4，〃(豆)=8，

所以事件A与事件B不是互斥事件，

所以P(AZ)=2=L

123

P(A)P®=三x2=g,

12123

所以P(A历=P(A)P(B),所以事件A与事件B是独立事件.

故选:B.

3、答案：D

解析：A项,由平面向量加法的交换律可知〃=b+”,故A项正确,不符合题意.

B项,由平面向量数乘运算知'(α+㈤=∕U+4b,故B项正确,不符合题意.C项，

由平面向量加法结合律可知,(α+㈤+c=α+S+c),故C项正确,不符合题意D项,

因为α与b不一定共线,所以b=∕l4不一定成立,故D项错误,符合题意.

故本题正确答案为D.

4、答案：D

解析：在一次随机试验中，A,B,C三个事件发生的概率分别为0.2,0.3,0.5,

在A中，B与C有可能同时发生，不是互斥事件，故A错误；

在B中，A+B和C有可能同时发生，不是对立事件，故B错误；

在C中，A,B,C不一定是互斥事件，故C错误；

在D中，三个事件A,B,C不一定是互斥事件，

P(4+B)≤0.5,P(B+C3)<O.8,

P(A+B+C)≤∖,0.3≤P(A+3)≤0.5故D正确.

故选：D.

5、答案：D

解析：由频率和概率的关系知，在同等条件下进行〃次重复试验得到某个事件A发生

的频率/(〃)，随着〃的逐渐增大，频率/(〃)逐渐趋返于概率，故选D.

6、答案：A

解析：因为射击一次命中目标的概率为p,

所以射击一次未命中目标的概率为1-〃，

因为每次射击结果相互独立，

所以三次都未命中的概率为(l-p)3,

因为连续射击三次，至少有一次命中的对立事件为三次都未射中，

所以连续射击三次，至少有一次命中的概率1_(1一〃)3=三,

解得P=L

4

故选A.

7、答案：C

解析：

8、答案：A

2λZ2A8

lzl厮

解析：因为A开关闭合概率为∣∙,B,C至少有一个闭合概率为1-11-mXnɪ--i=-

3√k3y9

以灯亮的概率是P=2χE=3.

3927

故选：A

9、答案：AD

解析：

10、答案：AD

解析：由数量积的性质和运算律可知AD是正确的；

而出运算后是实数，2没有这种运算，B不正确;

(α∙⅛)2=(∣α∣∙∣⅛∣cos^)2Hα∣2∙∣⅛∣2cos2^≠∣α∣2∙∣⅛∣2=a2b2»

故选:AD.

11、答案：ABC

解析：由题意知A,B,C为互斥事件,故选项C正确；从100件产品中抽取一件产品共有

100种情况,其中抽取的一件产品是合格品的有70种情况,抽取的一件产品是一等品

的有20种情况,抽取的一件产品是不合格品的有10种情况.所以

P(B)=L,P(A)=ɪ,P(C)=ɪ则P(A8)=2,故选项A,B正确,选项D错误.

10101010

12、答案：BC

22222

解析:对于A这项,∣i+j+⅛∣=(i+j+k)=∖+j+k+2i-j+2i-k+2j-k=3^

.∙,∣i+j+⅛∣=λ^,A选项错误；

对于B选项,因为空问向量i,∕,A都是并位向量,且两两垂直,则i+八均为非零向

量，

(i+j)∙(i—j)=i2—j2=Q^(,i+j)∙k=i∙k+j∙k=Q,(i-j)∙k=i∙k-j∙k=O

所以,i+j,以两两租直,则｛i+D,2｝可以构成空间的一个基底,B选项正确：

对于C选项，COS<i+j+k,k>=(匕^k)∙k=4=且，C选项上确;

IZ÷j+ΛI∙I⅛I√3×13

对于D选项,(i+j).(k-j)=i∙k一i∙j+j-k-ji=-v

∣i+∕ι=屈77=&+/+2~/=0，同理可得11-加后，

gj)∙(kT)-1_1

所以,cos<i÷j,k

-∣i+jl∙R-jl√2×√2^2

0≤<i+j,k-j>≤兀则<i+j,k—j>―――,D选项错误.

品选:BC.

13、答案:5

解析：投掷两枚骰子,点数之和为8所包含的样本点为(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2)共5

个.

14、答案：L

9

解析：IQI=3,∣Z?I=2JIa.人=2，

2

=α

在α上的投影向量为结9-

故答案为：2〃.

9

15、答案：O

解析：由于A,B互斥，即不可能同时发生,所以P(AB)=O,故答案为O

16、答案:2

解析：因为正方体ABe。-ABCQl的棱长为2,所以其内切球的半径r=(χ2=l∙

又球心一定在该正方体的体对角线的中点处,且体对角线长为亚百万=26，

所以设该正方体的内切球的球心为O,则AO=√5，OM=ON=1

易知AM=Ao+0M,AN=A0+0N，

所以

AMAN=(AO+OM)∙(AO+ON)=∖AO∖1+AO(OM+ON)+OM∙02V=3+O-1=2∙

故答案为：2

17、答案：(1)见解析

⑵36个

⑶7

解析：(1)样本空间

Ω={(l,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),

(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),

(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}

⑵由(1)知：这个试验的结果的个数共有36个.

⑶由1+6=2+5=3+4=4+3=5+2=6+1=7可知：事件A表示抛掷红、蓝两枚骰

子，掷出的点数之和为7.

18、答案：⑴α+4+c

2

→→1→

(2)-6Z+b+—c

2

3τ1→3—

(3)—«+—/?+—c

222

解析：(1)P是GA的中点,

→→→→→→1→→→ɪ→→ɪ→→

AP=AA+AR+RP=a+AD+—DC=α+c~∖—AB=Qd—b+c•

i1122

(2)N是BC的中点,

—>→→→—>—>ɪ—>―>―>ɪ—>―>—>ɪ—>

AN=AA+AB+BN=—α÷∕?+-BC=-«+/?+—AD=-a+b+-c•

ii222

(3)M是AA的中点,

1]T(Tf1-÷A[f]TT

MP=MA+"=5AA+AP=一5。+[。+。+胪卜丁+”+C

又∣1→→

NG=NC+CCj=]c+Λ41=AD+Λ41一c+α，

2

3→173→

.∙.MP+NC==—6f+-/?+—c.

122JI2J222

19、答案：P(A)=O.4，P(B)=O.2,P(C)=O.4

解析：设P(B)=X,则P(A)=2P(B)=2χ,P(C)=P(B)+0.2=x+0.2∙

由题意知P(AIBC)=P(A)+P(5)+P(C)=2x+x+(x+0.2)=4x+0.2=l,解得

%=0.2-

所以P(4)=0.4，P(B)=O.2,P(C)=OA.

20、答案:(1)见解析

⑵L

2

_13

解析：(1)证明：在平行六面体ABCO-AgGA中，BE=-BB1，DF=-DD1>

AC1=AB+AD+A41

13

AB+AD+-AAiAAi

3

=(AB+^BB,j+(Λr>+∣DDl

4

=AB+BE+AD+DF

=AE-∖-AF,

,

所以AC1，AEAF共面，且A为公共点,

所以A£G干四点共面；

33

(2)AF=AD+DF=AD+-DD.=AD+-AA,

4,4、

AE=AB+BE=AB+-BB.=AB+-AA，

44i

.∙.EF=AF-AE=(AD+AA1j-fΛB