直线的倾斜角和斜率

关于直线的倾斜角和斜率2问题情境直线—最简单的几何图形飞逝的流星沿不同的方向运动在空中形成美丽的直线第2页,共46页，2024年2月25日，星期天3问题情境确定直线的要素问题1：(1)_______确定一条直线.两点(2)过一个点有________条直线.无数条确定直线位置的要素除了点之外,还有直线的方向,也就是直线的倾斜程度....xyoyxo第3页,共46页，2024年2月25日，星期天问题1：如何确定一条直线在直角坐标系的位置呢？两点或一点和方向问题2：如果已知一点还需附加什么条件，才能确定直线？一点和方向问题3：如何表示方向？用角问题引入解决本节第一问题第4页,共46页，2024年2月25日，星期天一、直线的倾斜角1、直线倾斜角的定义：

当直线L与X轴相交时，我们取X轴作为基准，X轴正向与直线L向上方向之间所成的角叫做直线的倾斜角注意：

(1)直线向上方向；

(2)轴的正方向。x0y第5页,共46页，2024年2月25日，星期天例1.下列四图中，表示直线的倾斜角的是()练习巩固倾斜角的概念：

ABCDA

第6页,共46页，2024年2月25日，星期天xyol1l2l3想一想例2.看看这三条直线，它们倾斜角的大小关系是什么？设、、分别为、、第7页,共46页，2024年2月25日，星期天poyxypoxpoyxpoyx规定：当直线和x轴平行或重合时，它的倾斜角为0°2、直线的倾斜角范围的探索由此我们得到直线倾斜角α的范围为：)180,0[ooÎa第8页,共46页，2024年2月25日，星期天想一想你认为下列说法对吗？1、所有的直线都有唯一确定的倾斜角与它对应。2、每一个倾斜角都对应于唯一的一条直线。对错第9页,共46页，2024年2月25日，星期天3、直线倾斜角的意义

体现了直线对轴正方向的倾斜程度在平面直角坐标系中，每一条直线都有一个确定的倾斜角。

倾斜角相同能确定一条直线吗？相同倾斜角可作无数互相平行的直线第10页,共46页，2024年2月25日，星期天11问题情境楼梯的倾斜程度用坡度来刻画1.2m3m3m2m坡度=高度宽度坡度越大，楼梯越陡．第11页,共46页，2024年2月25日，星期天12级宽高级建构数学直线倾斜程度的刻画高度宽度直线xyoPQM直线的倾斜程度=ＭＰＱＭ类比思想第12页,共46页，2024年2月25日，星期天3、探究：由两点确定的直线的斜率如图，当α为锐角时，

能不能构造一个直角三角形去求？锐角

第13页,共46页，2024年2月25日，星期天如图，当α为钝角是，

钝角

第14页,共46页，2024年2月25日，星期天xyo(3)yox(4)1、当的位置对调时，值又如何呢？

当直线平行于y轴，或与y轴重合时，上述斜率公式还适用吗？为什么？已知直线上两点，运用上述公式计算直线斜率时，与两点坐标的顺序有关吗？第15页,共46页，2024年2月25日，星期天16数学应用例1：如图，直线都经过点，又分别经过点

,讨论斜率的是否存在,如存在,求出直线的斜率.xyol1l2l3l4解:直线l1的斜率k1=k2=k3=直线l4的斜率不存在直线l2的斜率直线l3的斜率PQ1Q2Q3Q4直线斜率的计算K1=1K2=-1K3=0斜率不存在第16页,共46页，2024年2月25日，星期天17纵坐标的增量xyo已知两点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，如果x1≠x2，则直线PQ的斜率为：

k

＝

建构数学直线斜率的定义横坐标的增量请同学们任意给出两点的坐标,并求过这两点的直线的斜率.数学实践形数第17页,共46页，2024年2月25日，星期天

2

32o

2-yx2、直线的斜率定义：直线倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。斜率通常用k表示，即：倾斜角α不是90°的直线都有斜率，并且倾斜角不同，直线的斜率也不同．因此，可以用斜率表示直线的倾斜程度．第18页,共46页，2024年2月25日，星期天19问题3：对于一条与x轴不垂直的定直线而言,直线的斜率是定值吗?是定值,定直线上任意两点确定的斜率总相等第19页,共46页，2024年2月25日，星期天从上可以看出直线的倾斜角与斜率之间的关系:直线形状平行于

x轴第一象限垂直于x轴第二象限的大小

的范围

的增减性

k=0无k>0递增不存在无k<0递增第20页,共46页，2024年2月25日，星期天21数学应用直线斜率的计算数学实践仿照例1，自编两题，使直线斜率分别为正数和负数想一想已知A(2,3),B(m,4),当m为何值时,k>0、k<0?当m>2时，k>0当m<2时，k<0第21页,共46页，2024年2月25日，星期天22建构数学问题5：直线的倾斜方向与直线斜率有何联系？k>0xpyO（1）.k<0xpyO（2）.k=0xpyO（3）.xpyO（4）.k不存在直线从左下方向右上方倾斜直线从左上方向右下方倾斜直线与x轴平行或重合直线垂直于x轴拓展研究第22页,共46页，2024年2月25日，星期天1.下列哪些说法是正确的（）A、任一条直线都有倾斜角，也都有斜率B、直线的倾斜角越大，斜率也越大C、平行于x轴的直线的倾斜角是0或πD、两直线的倾斜角相等，它们的斜率也相等E、两直线的斜率相等，它们的倾斜角也相等F、直线斜率的范围是RG、过原点的直线，斜率越大，越靠近y轴。E、F练习第23页,共46页，2024年2月25日，星期天24数学应用例2：经过点A(3,2)画直线，使直线的斜率分别为①0，②不存在，③2，④-2.解：①过(3，2)，(0，2)画一条直线即得②过(3，2)，(3，0)画一条直线即得A(3,2）xyo231132第24页,共46页，2024年2月25日，星期天25数学应用例2：经过点A(3，2)画直线，使直线的斜率分别为①0，②不存在，③2，④-2.xyo解：③（法一：待定系数法）设直线上另一个点为（x,0)，所以过点(3，2)和(2，0)画直线即可说明：也可设点为(0，y)或其它特殊点则：A(3,2）123231第25页,共46页，2024年2月25日，星期天26数学应用例2：经过点A(3，2)画直线，使直线的斜率分别为①0，②不存在，③2，④-2.法二：(利用斜率的几何意义）根据斜率公式，斜率为2表示直线上的任一点沿x轴方向向右平移1个单位，再沿y轴方向向上平移2个单位后仍在此直线上

即可以把点（3，2）向右平移1个单位，得到点（4，2），

再向上平移2个单位后得到点（4，4），因此通过点(3，2)，(4，4)画直线即为所求xykDD=④将点(3，2)向右平移1个单位，再向下平移2个单位后得到点(4，0)，过(3，2)和(4，0)画直线即为所求Axyo12412334（4，2）（4，4）第26页,共46页，2024年2月25日，星期天练习l1l2l3xyo5.结合图形，观察倾斜角变化时，斜率的变化情况．k2>k3>k13.直线的倾斜角为α，则直线的斜率为tanα？4.任意直线有倾斜角，则任意直线都有斜率？第27页,共46页，2024年2月25日，星期天28数学应用如果直线l上一点P沿x轴方向向右平移2个单位,再沿y轴方向向上平移4个单位后仍在直线l上,那么该直线的斜率为多少?问题6：拓展研究斜率为2问题7：直线l的斜率为2,将l向左平移1个单位得到直线l1,则l1的斜率为多少?斜率为2问题8：平行直线的斜率之间有怎样的关系?斜率相等或斜率都不存在第28页,共46页，2024年2月25日，星期天29课堂竞技场

斜率为2的直线，经过点(3,5),(a,7),(-1，b)三点，则a,b的值为()A、a=4,b=0B、a=-4,b=-3C、a=4,b=-3D、a=-4,b=3C第29页,共46页，2024年2月25日，星期天30课堂竞技场数学实践已知三点A(-3,-3),B(-1,1),C(2,7),求KAB，KBCKAB=2KBC=2问题9：如果KAB=KBC,那么A、B、C三点有怎样的关系？A、B、C三点共线第30页,共46页，2024年2月25日，星期天31判断下列三点是否在同一直线上

(1)A(0,2),B(2,5),C(3,7)(2)A(-1,4),B(2,1),C(-2,5)

如果三点A(1,1)、B(3,5)、C(-1,a)在一条直线上,求a的值(a=-3)课堂竞技场第31页,共46页，2024年2月25日，星期天32课堂竞技场

求过点M(0,2)和N(2,3m2+12m+13)(m∈R)的直线l的斜率k的取值范围。问题10：直线斜率的大小与直线的倾斜程度有什么联系？(课后研究)解:由斜率公式得直线l的斜率第32页,共46页，2024年2月25日，星期天33回顾反思3.平面解析几何的本质是用代数方法研究图形的几何性质，体现了数形结合的重要数学思想。两个概念—直线的斜率、倾斜角；2.两个问题—----（1）已知直线上两点如何求斜率；（2）已知一点和斜率如何画出直线。第33页,共46页，2024年2月25日，星期天34难点展示：例题一：直线l过点M(-1,1)且与以P(-2,2)Q(3,3)为两端点的线段PQ有公共点,求直线l的斜率的取值范围。

第34页,共46页，2024年2月25日，星期天例2。已知直线的斜率K的变化范围为（–1，1]，

求直线的倾斜角的取值范围。分析：因为直线的斜率正负不同，直线的倾斜角范围也不同，因此，应分斜率为负值和非负值两种情况讨论。当K∈

（–1，0）时,当K∈[0，1]时，解：直线斜率K的变化范围（–1，1]=（–1，0）∪[0，1]，所以直线的倾斜角范围为第35页,共46页，2024年2月25日，星期天练习第36页,共46页，2024年2月25日，星期天直线的倾斜角=30°，直线，求,的斜率。解：的斜率为的倾斜角为的斜率为oxy第37页,共46页，2024年2月25日，星期天练习解:第38页,共46页，2024年2月25日，星期天推导二:第39页,共46页，2024年2月25日，星期天练习：已知直线l的一个方向向量解：，求直线的斜率。则直线的斜率为:第40页,共46页，2024年2月25日，星期天例1如图，已知，求直线AB，BC，CA的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角．解：直线AB的斜率直线BC的斜率直线CA的斜率由及知，直线AB与CA的倾斜角均为锐角；由知，直线BC的倾斜角为钝角．求经过已知两点的直线的斜率和倾斜角：方法：先用经过两点的直线的斜率公式求斜率，再求倾斜角。由及知，直线AB与CA的倾斜角均为锐角；由知，直线BC的倾斜角为钝