函数几种特性与初等

1函数的几种特性初等函数小结思考题作业第三节函数的几种特性与初等函数第一章函数21.有界性

(bounded)设函数y=f(x)在区间I上有定义,则说f(x)在区间I上有上界.(下)使得对所有若存在常数A都有函数的几种特性与初等函数(B),一.函数的几种特性3

若存在常数使得对所有则称f(x)在I上有界.在I上无界;映射与函数都有

若这样的M不存在,则称f(x)即为对于任何总存在使则称f(x)在I上无界.有界无界4在定义域上有界的函数叫做例是有界函数;是无界函数,但它在区间上在区间上

注

一定要把区间明确出来!即，函数的有界性与定义域有关不是有界函数,就是无界函数.显然,映射与函数(boundedfunction)有界函数.有界等同于既有上界又有下界.有下界,有界.5六个常见的有界函数映射与函数62.单调性(monotonicity)是严格单调增加;映射与函数如果对恒有

monotoneincreasing7

注

应指明单调区间,否则会产生错误.是严格单调减少.映射与函数如果对恒有monotonedecreasing即，函数的单调性与定义域有关83.奇偶性偶函数的图形称f(x)为偶函数(evenfunction);映射与函数9奇函数的图形称f(x)为奇函数(oddfunction).

映射与函数10(1)不要把奇偶函数当作两个完全相反的(2)奇偶性是对称区间而言的,否则无从谈奇偶函数的运算性质:(1)奇(偶)函数的代数和仍为奇(偶)函数;(2)偶数个奇(偶)函数之积为偶函数;奇数个奇函数的积为奇函数.(3)一奇一偶的乘积为奇函数.注映射与函数概念.奇、偶.11练习判别给定函数的奇偶性,[解题提示]奇函数的有效方法.判别下列函数的奇偶性:奇函数偶函数有时也用其运算性质.映射与函数主要是根据奇偶性的定义,12结论：定义于对称区间上的任意函数f(x)总可以表示为一个奇函数与一个偶函数之和。于是映射与函数134.周期性(periodicity)的周期.周期函数(periodfunction).映射与函数如果存在一个正数且总有称为f(x)通常称周期函数的周期是指最小正周期.周期为的周期函数设函数f(x)的定义域为D,则称f(x)是14映射与函数例狄利克雷(Dirichlet)函数狄利克雷(德)1805-1859有理数点无理数点•1xyo(当x是有理函数时)(当x是无理函数时)这是一个周期函数,任何正有理数r都是它的周期.因为不存在最小的正有理数,所以没有最小正周期.15周期函数的运算性质:映射与函数函数,为周期的的最小公倍数为周期的函数.[解题提示]判别给定函数是否为周期函数,主要是根据周期的定义,有时也用其运算性质.16映射与函数5.函数的运算设函数的定义域分别为则可定义这两个函数的下列运算:和(差)积商且线性组合为实数,171)

幂函数(powerfunction)

定义域与的取值有关.二.初等函数(elementaryfunction)(basicelementaryfunction)映射与函数(1)基本初等函数182)指数函数(exponentialfunction)定义域为值域为映射与函数193)对数函数(logarithmfunction)定义域为值域为映射与函数204)三角函数(trigonometricfunction)正弦函数定义域为值域为映射与函数21余弦函数定义域为值域为映射与函数22正切函数余切函数定义域值域定义域值域映射与函数235)反三角函数(inversetrigonometricfunction)定义域值域

主值映射与函数反正弦函数24定义域值域

主值映射与函数反余弦函数25

主值定义域值域映射与函数反正切函数反余切函数

主值定义域值域

幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数统称为基本初等函数.26(2)初等函数(elementaryfunction)初等函数.如都是初等函数.不是初等函数.映射与函数

由常数和基本初等函数经过有限次四则运算(加、减、乘、除)和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数,称为27注一般分段函数不叫初等函数,想一想

可看作分段函数,是否又可看作是初等函数?答:故又可看作是初等函数.是!由于映射与函数不是用一个式子表达出来的.因为它28奇函数.偶函数.1)双曲函数

叠加法映射与函数(3)双曲函数与反双曲函数双曲正弦双曲余弦29奇函数,有界函数,映射与函数双曲正切30双曲函数常用公式映射与函数312)反双曲函数奇函数,可得映射与函数

反双曲正弦的反函数,单调增加.32映射与函数

反双曲余弦单调增加.33奇函数,映射与函数

反双曲正切单调增加.34三、小结初等函数.映射与函数函数的几种特性有界性,单调性,奇偶性,周期性.35思考题映射与函数及其定义域.