(通用版)2018学高考数学二轮复习练酷专题课时跟踪检测(十一)直线与圆文

课时跟踪检测（十一）直线与圆1．已知直线l1：x＋2ay－1＝0，l2：(a＋1)x－ay＝0，若l1∥l2，则实数a的值为()A．－eq\f(3,2) B．0C．－eq\f(3,2)或0 D．2解析：选C若a≠0，则由l1∥l2，得eq\f(a＋1,1)＝eq\f(－a,2a)，所以2a＋2＝－1，即a＝－eq\f(3,2)；若a＝0，则l1∥l2.所以a的值为－eq\f(3,2)或0.2．在平面直角坐标系xOy中，若圆x2＋(y－1)2＝4上存在A，B两点关于点P(1,2)成中心对称，则直线AB的方程为()A．x－y－3＝0 B．x＋y－3＝0C．x＋y－1＝0 D．x－y＋1＝0解析：选B由题意得圆心(0,1)与点P(1,2)的连线垂直于直线AB，所以kAB·eq\f(2－1,1－0)＝－1，解得kAB＝－1.而直线AB过点P，所以直线AB的方程为y－2＝－(x－1)，即x＋y－3＝0.3．(2017·沈阳一模)已知直线l过圆x2＋(y－3)2＝4的圆心，且与直线x＋y＋1＝0垂直，则直线l的方程为()A．x＋y－2＝0 B．x－y＋2＝0C．x＋y－3＝0 D．x－y＋3＝0解析：选D圆x2＋(y－3)2＝4的圆心为(0,3)，又直线l与直线x＋y＋1＝0垂直，则其斜率为1，故直线l的方程为x－y＋3＝0.4．(2017·菏泽一模)已知圆(x－1)2＋y2＝1被直线x－eq\r(3)y＝0分成两段圆弧，则较短弧长与较长弧长之比为()A．1∶2 B．1∶3C．1∶4 D．1∶5解析：选A圆(x－1)2＋y2＝1的圆心为(1,0)，半径为1.圆心到直线的距离d＝eq\f(1,\r(12＋－\r(3)2))＝eq\f(1,2)，所以较短弧所对的圆心角为eq\f(2π,3)，较长弧所对的圆心角为eq\f(4π,3)，故两弧长之比为1∶2.5．(2017·惠州三调)已知圆O：x2＋y2＝4上到直线l：x＋y＝a的距离等于1的点至少有2个，则a的取值范围为()A．(－3eq\r(2)，3eq\r(2))B．(－∞，－3eq\r(2))∪(3eq\r(2)，＋∞)C．(－2eq\r(2)，2eq\r(2))D．(－∞，－2eq\r(2))∪(2eq\r(2)，＋∞)解析：选A由圆的方程可知圆心为(0,0)，半径为2.因为圆上到直线l：x＋y＝a的距离等于1的点至少有2个，所以圆心到直线l的距离d＜r＋1＝3，即d＝eq\f(|－a|,\r(2))＜3，解得－3eq\r(2)＜a＜3eq\r(2).6．(2018届高三·湖北八校联考)已知直线ax＋by－6＝0(a＞0，b＞0)被圆x2＋y2－2x－4y＝0截得的弦长为2eq\r(5)，则ab的最大值为()A.eq\f(5,2) B．4C.eq\f(9,2) D．9解析：选C圆x2＋y2－2x－4y＝0化成标准方程为(x－1)2＋(y－2)2＝5，因为直线ax＋by－6＝0(a＞0，b＞0)被圆x2＋y2－2x－4y＝0截得的弦长为2eq\r(5)，故直线ax＋by－6＝0(a＞0，b＞0)经过圆心(1,2)，即a＋2b＝6.又6＝a＋2b≥2eq\r(2ab)，即ab≤eq\f(9,2)，当且仅当a＝2b＝3时取等号，故ab的最大值为eq\f(9,2).7．(2017·西安模拟)圆：x2＋y2－2x－2y＋1＝0上的点到直线x－y＝2距离的最大值是()A．1＋eq\r(2) B．2C．1＋eq\f(\r(2),2) D．2＋2eq\r(2)解析：选A将圆的方程化为(x－1)2＋(y－1)2＝1，即圆心坐标为(1,1)，半径为1，则圆心到直线x－y＝2的距离d＝eq\f(|1－1－2|,\r(2))＝eq\r(2)，故圆上的点到直线x－y＝2距离的最大值为d＋1＝eq\r(2)＋1.8．在平面直角坐标系xOy中，已知A(－1,0)，B(0,1)，则满足|PA|2－|PB|2＝4且在圆x2＋y2＝4上的点P的个数为()A．0 B．1C．2 D．3解析：选C设P(x，y)，则由|PA|2－|PB|2＝4，得(x＋1)2＋y2－x2－(y－1)2＝4，所以x＋y－2＝0.求满足条件的点P的个数即为求直线与圆的交点个数，圆心到直线的距离d＝eq\f(|0＋0－2|,\r(2))＝eq\r(2)＜2＝r，所以直线与圆相交，交点个数为2.故满足条件的点P有2个．9．(2016·河南焦作一模)著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：eq\r(x－a2＋y－b2)可以转化为平面上点M(x，y)与点N(a，b)的距离．结合上述观点，可得f(x)＝eq\r(x2＋4x＋20)＋eq\r(x2＋2x＋10)的最小值为()A．2eq\r(5) B．5eq\r(2)C．4 D．8解析：选B∵f(x)＝eq\r(x2＋4x＋20)＋eq\r(x2＋2x＋10)＝eq\r(x＋22＋0－42)＋eq\r(x＋12＋0－32)，∴f(x)的几何意义为点M(x,0)到两定点A(－2,4)与B(－1,3)的距离之和，设点A(－2,4)关于x轴的对称点为A′，则A′为(－2，－4)．要求f(x)的最小值，可转化为|MA|＋|MB|的最小值，利用对称思想可知|MA|＋|MB|≥|A′B|＝eq\r(－1＋22＋3＋42)＝5eq\r(2)，即f(x)＝eq\r(x2＋4x＋20)＋eq\r(x2＋2x＋10)的最小值为5eq\r(2).10．在平面直角坐标系xOy中，设直线y＝－x＋2与圆x2＋y2＝r2(r＞0)交于A，B两点，O为坐标原点，若圆上一点C满足eq\o(OC,\s\up7(→))＝eq\f(5,4)eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\f(3,4)eq\o(OB,\s\up7(→))，则r＝()A．2eq\r(10) B.eq\r(10)C．2eq\r(5) D.eq\a\vs4\al(5)解析：选B已知eq\o(OC,\s\up7(→))＝eq\f(5,4)eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\f(3,4)eq\o(OB,\s\up7(→))，两边平方化简得eq\o(OA,\s\up7(→))·eq\o(OB,\s\up7(→))＝－eq\f(3,5)r2，所以cos∠AOB＝－eq\f(3,5)，所以coseq\f(∠AOB,2)＝eq\f(\r(5),5)，又圆心O(0,0)到直线的距离为eq\f(|2|,\r(2))＝eq\r(2)，所以eq\f(\r(2),r)＝eq\f(\r(5),5)，解得r＝eq\r(10).11．已知圆O：x2＋y2＝4，若不过原点O的直线l与圆O交于P，Q两点，且满足直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，则直线l的斜率为()A．－1或1 B．0或－eq\f(4,3)C．1 D．－1解析：选A设直线l：y＝kx＋b(b≠0)，代入圆的方程，化简得(1＋k2)x2＋2kbx＋b2－4＝0，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1＋x2＝－eq\f(2kb,1＋k2)，x1x2＝eq\f(b2－4,1＋k2)，kOP·kOQ＝eq\f(y1,x1)·eq\f(y2,x2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(k＋\f(b,x1)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(k＋\f(b,x2)))＝k2＋kbeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,x1x2)))＋eq\f(b2,x1x2)＝k2＋kbeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2kb,b2－4)))＋eq\f(b21＋k2,b2－4)＝eq\f(b2－4k2,b2－4)，由kOP·kOQ＝k2，得eq\f(b2－4k2,b2－4)＝k2，解得k＝±1.12．已知AC，BD为圆O：x2＋y2＝4的两条互相垂直的弦，且垂足为M(1，eq\r(2))，则四边形ABCD面积的最大值为()A．5 B．10C．15 D．20解析：选A如图，作OP⊥AC于P，OQ⊥BD于Q，则|OP|2＋|OQ|2＝|OM|2＝3，∴|AC|2＋|BD|2＝4(4－|OP|2)＋4(4－|OQ|2)＝20.又|AC|2＋|BD|2≥2|AC|·|BD|，则|AC|·|BD|≤10，∴S四边形ABCD＝eq\f(1,2)|AC|·|BD|≤eq\f(1,2)×10＝5，当且仅当|AC|＝|BD|＝eq\r(10)时等号成立，∴四边形ABCD面积的最大值为5.故选A.13．已知点A(4，－3)与B(2，－1)关于直线l对称，在l上有一点P，使点P到直线4x＋3y－2＝0的距离等于2，则点P的坐标是________．解析：由题意知线段AB的中点C(3，－2)，kAB＝－1，故直线l的方程为y＋2＝x－3，即x－y－5＝0.设P(x，x－5)，则2＝eq\f(|4x＋3x－17|,\r(42＋32))，解得x＝1或x＝eq\f(27,7).即点P的坐标是(1，－4)或eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(27,7)，－\f(8,7))).答案：(1，－4)或eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(27,7)，－\f(8,7)))14．(2017·南京学情调研)在平面直角坐标系xOy中，若直线ax＋y－2＝0与圆C：(x－1)2＋(y－a)2＝16相交于A，B两点，且△ABC为直角三角形，则实数a的值是________．解析：由题意得圆的半径为4，因为△ABC是直角三角形，所以圆心C到直线AB的距离为2eq\r(2)，即eq\f(|a＋a－2|,\r(a2＋1))＝2eq\r(2)，解得a＝－1.答案：－115．在平面直角坐标系xOy中，已知过原点O的动直线l与圆C：x2＋y2－6x＋5＝0相交于不同的两点A，B，若点A恰为线段OB的中点，则圆心C到直线l的距离为________．解析：圆C的标准方程为(x－3)2＋y2＝4，圆心C(3,0)，半径r＝2，设过原点O的动直线l的方程为y＝kx，由题意，设A(a，ka)，B(2a，2ka)，将A点坐标代入圆C的方程得(1＋k2)a2－6a＋5＝0.记AB中点为D，则Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)a，\f(3,2)ka))，所以CD⊥AB，所以eq\f(\f(3,2)ka,\f(3,2)a－3)＝－eq\f(1,k).②联立①②，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\f(5,4)，,k＝±\f(\r(15),5)，))可得点D坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(15,8)，±\f(3\r(15),8)))，所以圆心C到直线l的距离为|CD|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(15,8)－3))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3\r(15),8)))2)＝eq\f(3\r(6),4).答案：eq\f(3\r(6),4)16．(2017·云南模拟)已知动圆C过A(4,0)，B(0，－2)两点，圆心C关于直线x＋y＝0的对称点为M，过点M的直线交圆C于E，F两点，当圆C的面积最小时，|EF|