东南大学工程矩阵理论样卷及答案_第1页
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第页工程矩阵理论试卷样卷10c一,已知矩阵，的子集1,证明：V是的子空间；2,求V的一组基及V的维数；3,证明，并求A在上小题所提基下的坐标；4,试给出的两个不同的子空间及，使得解：1,设，所以，V对加法和数乘封闭，故V是的子空间。2,设，所以V的基为，2维。3,，在下的坐标为。4,实际为核子空间，，令即可构成，则有EMBEDEquation.DSMT4的极大线性无关组。（此处概念有点不清晰，是否正确，请周老师指教！），的极大线性无关组为。二,假设3维线性空间V上的线性变换在V的基下的矩阵为。问：当满意什么条件时，存在V的一组基，使得的矩阵是？解：EMBEDEquation.DSMT4,为同一线性变换下的矩阵，故∽，有相同的jordan

标准形，相同的特征值，相同的迹，相同的秩。依据,迹相同(即主对角元素的和相同)得：，，时，，求得时，EMBEDEquation.DSMT4，或，三,设矩阵，上的变换定义如下：1,证明：是线性变换；2,求在的基下的矩阵M；3,求的值域及核子空间的基及它们的维数；4,试求M的jordan标准形，并写出的最小多项式；5,问：能否找到的基，使得的矩阵为对角阵？为什么？解：1,证明：设故关于加法和数乘封闭，为线性变换。2,3,，的基，，2维。，的基，，2维。4,5,不能找到四,求下列矩阵的广义逆矩阵：1,；解：2,，其中，。解：故对B进行满秩分解，五,已知矩阵A的特征多项式及最小多项式相等，均为，给出可能的jordan标准形。解：依据矩阵A的特征多项式及最小多项式相等，均为，可得当,则：令，求出代入，求出：令，求出代入，求出六,矩阵函数：1,设，求矩阵函数，并给出的特征多项式。解：求：令，求的特征多项式：的特征值为，的特征值即为，故的特征值为，。2,设，试将表示成关于A的次数不超过2的多项式，并求。解：，当时，令求出代入，求出七,设的子空间，，求使得。该题及“工程矩阵理论试卷样卷10a”第三题类似，为找正投影问题。八,证明题：1,证明：若酉矩阵A满意，则。证明：令，EMBEDEquation.DSMT4为的化零多项式，EMBEDEquation.DSMT4的特征值肯定是的根，（重数未知），（重数未知），设（可能为0，也可能为1）为酉矩阵，肯定相像于，即∽，由此得的重数为0，，（只可能为0），得证。2,

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