山东省新高考质量检测联盟2024届高三第一次质量检测数学（A） 含解析

2024届高三第一次质量检测

数学试题（A）

一、单项选择题：（本大题共8小题；每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，

只有一项是最符合题目要求的）

1.若曲线丁='"'在点（0』）处的切线与直线2x-y+l=°垂直，则a的值为（）

11]

A.——B.——C.4D.1

422

【答案】A

【解析】

【分析】运用导数几何意义及导数公式求得切线的斜率，结合两直线垂直进而求得〃的值.

【详解】由题设，知（0,1）处的切线的斜率为％=-,，

2

又因为y'=2a-e2”,

所以：/|-0=2。=一,，解得“=

24

故选：A.

2.甲、乙两所学校各有3名志愿者参加一次公益活动，活动结束后，站成前后两排合影留念，每排3人，

若每排同一个学校两名志愿者不相邻，则不同的站法种数有（）

A.36B.72C.144D.288

【答案】B

【解析】

【分析】先求出第一排有2人来自甲校，1人来自乙校，根据分步乘法计数原理求出不同的站法种数.同

理可得，第一排有2人来自乙校，1人来自甲校，不同的站法种数.然后根据分类加法计数原理，相加即

可得出答案.

【详解】第一排有2人来自甲校，1人来自乙校：

第一步，从甲校选出2人，有C；=3种选择方式；

第二步，2人站在两边的站法种数有A；=2；

第三步，从乙校选出1人，有C；=3种选择方式；

第四步，第二排甲校剩余的1人站中间，乙校剩余的2人站在两边的站法种数有A；=2.

根据分步乘法计数原理可知，不同的站法种数有3x2x3x2=36.

同理可得，第一排有2人来自乙校，1人来自甲校，不同的站法种数有36.

根据分类加法计数原理可知，不同的站法种数有36+36=72.

故选：B.

3.设(1+x)+(1+尤)-+•+(1+X)，+(1+X)'—a。+qx++oqx!+ci^x^，则a,=()

A.84B.56C.36D.28

【答案】A

【解析】

【分析】根据给定的展开式特征，列出々的表达式，再利用组合数性质计算作答.

【详解】依题意，

“2=C；+C；++C；=C；+C；++C；=C：+C；+—+C；=...=C；+C；=C；=84.

故选：A

4.某医院对10名入院人员进行新冠病毒感染筛查，若采用单管检验需检验10次；若采用10合一混管检

验，检验结果为阴性则只要检验1次，如果检验结果为阳性，就要再全部进行单管检验.记10合一混管

检验次数为当EC)=10时，10名人员均为阴性的概率为()

A.0.01B,0.02C.0.1D.0.2

【答案】C

【解析】

【分析】依据题意写出随机变量J的的分布列，利用期望的公式即可求解.

【详解】设10人全部为阴性的概率为P,混有阳性的概率为1-，，

若全部阴性，需要检测1次，若混有阳性，需要检测11次，

则随机变量片的分布列

111

PP1-P

£(J)=p+ll(l-p)=10,解得〃

故选：c.

5.某兴趣小组研究光照时长x(h)和向日葵种子发芽数量y(颗)之间的关系，采集5组数据，作如图

所示的散点图.若去掉0(10,2)后，下列说法正确的是()

%

.£(8,11)

8(2,6)

J-C(3,5)

7(1抖).0(10,2)

~Ox

A.相关系数r变小B.决定系数此变小

C.残差平方和变大D.解释变量x与预报变量y的相关性变强

【答案】D

【解析】

【分析】从图中分析得到去掉。(10,2)后，回归效果更好，再由相关系数，决定系数，残差平方和和相

关性的概念和性质作出判断即可.

【详解】从图中可以看出。(10,2)较其他点，偏离直线远，故去掉。(10,2)后，回归效果更好，

对于A,相关系数N越接近于1,模型的拟合效果越好，若去掉0(10,2)后，相关系数r变大，故A错

误；

对于B,决定系数R2越接近于1,模型的拟合效果越好，若去掉0(10,2)后，决定系数片变大，故B

错误；

对于C,残差平方和越小，模型的拟合效果越好，若去掉。(10,2)后，残差平方和变小，故C错误；

对于D,若去掉。(10,2)后，解释变量x与预报变量y的相关性变强，且是正相关，故D正确.

故选：D.

6.已知事件A8满足尸(A)=0.5,P(B)=0.2,则()

A.若8三A,则P(AB)=0.5

B.若A与B互斥，则P(A+6)=0.7

C.若A与8相互独立，则P(入看)=0.9

D.若「(B|A)=0.2,则A与B不相互独立

【答案】B

【解析】

【分析】根据事件的包含关系，互斥事件的概率加法，以及独立事件的概念及判定，以及概率乘法公式，

逐项判定，即可求解.

【详解】对于A,若3=则P(AB)=P(B)=0.2,所以A错误；

对于B,若A与B互斥,则P(A+B)=尸(A)+P(3)=0.7,所以B正确；

对于C,若A与8相互独立，可得入与否相互独立，

所以P网=P而.P(B)=(l-0.5)(l-0.2)=0.4,所以C错误;

对于D,由尸(B|A)=0.2,可得尸(61A)==.宴)=0-2,

U.2)

所以P(AB)=0.1,所以P(AB)=F(A)P(B),所以A与B相互独立，所以D错误.

故选：B.

7.某人在"次射击中击中目标的次数为X，X3(〃,0),其中〃€?4*,()<〃<1,击中奇数次为事件人，

则()

A.若〃=10,。=0.8,则P(X=Q取最大值时％=9

B.当"=(时，O(X)取得最小值

C.当0<p<g时，P(A)随着"的增大而增大

D,当;<p<l时，P(A)随着"的增大而减小

【答案】C

【解析】

【分析】对于A,根据X3(10,0.8)直接写出尸(X=A),然后根据P(X=Z)取最大值列式计算即可

判断；对于B,根据X3(〃,p),直接写出。(X)即可判断；对于CD,由题意把P(A)表示出来，然后

利用单调性分析即可.

【详解】对于选项A,在10次射击中击中目标的次数X8(10,0.8),

当X=k时对应的概率P(X=%)=C：。x0.8"x02fM=0,1,2,,10),

因为P/(XK)、取最大值，所P(以X=k}>由P(X=k=-^-\}

fCfox0.8*xo.210^>C^'X0.8&+IX。29M

即〔ClxQ.SkxQ.2'°-k>Cf；x0.8<_,xO.2"-1'

k+124(10-%)

解得,

4(11-A:)>^

因为ZsN且OV无410,所以％=8,即％=8时概率P(X=8)最大.故A不正确;

对于选项B,D(X)=np(l-p)=n一(0一3)+；，当P=；时，O(X)取得最大值，故B不正确；

对于选项C、D,P(X=Q=C：xp*x(l(攵=。」，2,,«)

；・P(A)=C,Xpix(1-p)"'+C：xp3x(l-p)""+c：xp，x(I-p)""+,

1-P(A)=C：x〃0x(l—〃-2x(1—〃广2+c：x〃4x(l—〃)一+.,

.p(4)」(l-p)+p]"-[(1-P)一疔」-(l-2p)”

V'22

1/、

当0<p<3时，0<l—2，<1《's卜为正项且单调递增的数歹U,所以P(A)随着〃的增大而增

22

大,故C正确；

当g<p<l时，一1<1-2，<0,{(1—2，)”}为正负交替的摆动数列，所以P(A)不会随着〃的增大而减

小，故D不正确；

故选：C.

【点睛】关键点睛：本题考查二项分布及其应用，其中求P(A)是难点，关键是能找到其与二项展开式之间

的联系.

8.已知函数/(x)=xlnx,g(x)=xe",若存在f>0，使得/(占)=8(工2)=»成立，则尤|一2々的最

小值为()

A.2-ln4B.2+ln4C.e-ln2D.e+ln2

【答案】A

【解析】

【分析】由题设知/a)=/(e*)=t,研究f(x)的单调性及最值，画出函数图象，数形结合确定》=，〉0、

/(x)的交点个数得x=ej进而将目标式化为玉-2%=M-21n玉且玉>1,构造函数研究最小值即可.

【详解】由题设xjn%=/铲=e*Ine*=/,即/(%,)=f(eX2)=t,

由/'(x)=l+lnx,则(0,3上尸(x)<(),f(x)递减；(1,收)上八龙)>0，f(x)递增；

ee

/(%)>/(-)=--,且/⑴=0,/(X)图象如下：

ee

由图知：fe(0,+oo)时，X1=e-,即々=ln玉且%>1,所以玉—2々=%一21n%,

2x-2

令〃(x)=x-21nx且xe(l,+oo),则h'(x)=1——=----，

xx

1cx<2时,〃'(x)<0,1x)递减;x>2时，h'(x)>0,1x)递增;

所以〃(x)min=^(2)=2-21n2=2-ln4,即玉-2%的最小值为2-ln4.

故选：A

【点睛】关键点睛：利用同构得到/(%)=/(廿)=/,导数研究/⑴的性质，结合［6(0,+8)得到

x,=e"为关键.

二、多项选择题：(本大题共4小题；每小题4分，共16分.每小题有多个选项符合题目

求.全部选对得5分，选对但不全得2分，有选错的得0分)

9.“天宫课堂”是为发挥中国空间站的综合效益，推出的首个太空科普教育品牌.为了解学生对“天宫课堂”

的喜爱程度，某学校从全校学生中随机抽取200名学生进行问卷调查，得到以下数据，则()

不喜欢天宫课

喜欢天宫课堂

堂

男生8020

女生7030

n^ad-bc^'

参考公式及数据：①/2=〃二0+人+0+4.②当夕二^^^时,

(a+0)(c+d)(a+c)(O+d)

%=3.841.

2

A.从这200名学生中任选1人，已知选到的是男生，则他喜欢天宫课堂的概率为《

9

B.用样本的频率估计概率，从全校学生中任选3人，恰有2人不喜欢天宫课堂的概率为一

64

C.根据小概率值。=0.05的独立性检验，认为喜欢天宫课堂与性别没有关联

D.对抽取的喜欢天宫课堂的学生进行天文知识测试，男生的平均成绩为80,女生的平均成绩为90,则

参加测试的学生成绩的均值为85

【答案】BC

【解析】

【分析】根据古典概型的概率公式判断A,首先求出样本中喜欢天宫课堂的频率，再根据独立重复试验的

概率公式判断B,计算出卡方，即可判断C,根据平均公式判断D.

【详解】对于A：从这200名学生中任选1人，已知选到的是男生，则他喜欢天宫课堂的概率

804

P=--故A错误:

80+20

QHI7()3

对于B：样本中喜欢天宫课堂的频率空~从全校学生中任选3人,

2004

恰有2人不喜欢天宫课堂的概率片=C；(1-39

X—=故B正确;

464

对于,因…端-

所以根据小概率值a=0.05的独立性检验，认为喜欢天宫课堂与性别没有关联，故C正确;

对于D：抽取的喜欢天宫课堂的学生男、女生人数分别为80、70,

又男生的平均成绩为80,女生的平均成绩为90,所以参加测试的学生成绩的均值为

80x80+70x90254

故D错误;

80+70―亍

故选：BC

10.随机变量自的分布列如表：其中孙工0,下列说法正确的是()

012

PXz

3

B.石⑷号

A.x+y=l

c.。（3有最大值D.。传）随y的增大而减小

【答案】ABC

【解析】

【分析】利用分布列的性质以及期望与方差公式，列出表达式，结合二次函数的性质判断选项的正误即可.

【详解】由题意可知x+2+互=1,即x+y=l,故A正确;

33

E（J）=0xx+lx]+2xg=m，故B正确；

。偌）=

252；

（1一~—y+3y，

3

因为孙。0,x+y=\,易得0<y<l,

2527

而〃y）=gV+By开口向下,对称轴为＞=而

所以/（y）在上单调递增，在上单调递减,

27

故/（y）在y=否处取得最大值,

27

所以。传）随着〉的增大先增大后减小，当丁=石时取得最大值，故C正确，D错误.

故选：ABC.

11.设甲袋中有3个红球和4个白球，乙袋中有1个红球和2个白球，现从甲袋中任取1球放入乙袋，再

从乙袋中任取2球，记事件A="从甲袋中任取1球是红球”，记事件8="从乙袋中任取2球全是白

球”，则（）

9

A.事件A与事件B相互独立B.P（B）=

14

13

C.P（A⑻ngD.P（而）

-14

【答案】CD

【解析】

【分析】由古典概型概率计算公式，以及条件概率公式分项求解判断即可.

【详解】现从甲袋中任取1球放入乙袋，再从乙袋中任取2球可知：

从甲袋中任取1球对乙袋中任取2球有影响，事件A与事件8不是相互独立关系，故A错误;

34

从甲袋中任取1球是红球的概率为：P（A）=］，从甲袋中任取1球是白球的概率为:

7

所以乙袋中任取2球全是白球的概率为:

c'c2c'c2175

P(B)=%+斗£=故B错误;

(7C；C；C；C；14714

C©z.\P（AB）1141

P（A8）=所以P（A，）=尢/=1；'二=于故©正确;

P(而)=1—P(4?)=l—\=j|,故D正确.

故选：CD

12.已知a,beR,/(x)=e*—ax,g(x)=/?Jx2+1，则()

A.对于任意的实数存在使得/（X）与g（x）有互相平行的切线

B.对于给定的实数小,存在以儿使得g（%）之"/）成立

C.丁=/（力一<?（"在［0,+心）上的最小值为0,则〃+后的最大值为2公

D.存在久〃，使得V（X）-^（x）|<e2+2对于任意xeR恒成立

【答案】ABC

【解析】

［分析］时于A,对两函数求导，再求出导函数的值域,由两值域的关系分析判断，对于B,由g（X。）N/（%）

可得。27孑黄，从而可判断，对于C,令〃（x）=/（x）-g（x）,再由>0可得。+份42痴，

由题意设方为力（力的极小值点，然后列方程表示出。力，从而可用厮表示a+麻，再构造函数，利用导

数可证得结论，对于D,根据函数值的变化情况分析判断.

bx

【详解】对于A,f'(x)^e-a>-a,g\x)=-=

Vx2+1

当短。时，卜岛"向«一瓦网)，

当X<0时，g'3=7^…瓦=-Z?j^«一跳附，

综上，g'(x)e(-网J加，

所以对于任意的实数。，存在/?,使(-。,欣)与(-网,网)有交集，

所以对于任意的实数。，存在。，使得/(x)与g(x)有互相平行的切线，所以A正确,

对于B,由于给定的实数%,当。给定时，则/(々))为定值，由g(Xo)N”Xo)，得

%/焉+12e与一”，bNj.+］，所以存在b使上式成立，所以B正确，

对于C,^h^x)=/(x)-g(x)=ex-ar-Z?>/x24-l,而

7/f—=e^——a—^-h=Ve^+V5Z?j,

12,222

由题意可知，当xe［0,+oo)时，〃(x)20恒成立，所以〃(g)20,

所以加一,卜+行人卜。，即a+&Z>42加，

若/z(x)在［0,+8)上递增，

因为〃(%)=-g(x)在［0,+8)上的最小值为0,

所以〃(0)=1—8=0,得b=l,

所以人⑺=e*—依一Vx2+1，则/(x)=e*-a---=N0在［0,+。)上恒成立,

元

即e>"J21Na在1°，+°°)上恒成立，

2

令d-7^(x2。)，则«x)=e-T+7220(x20),

V厂+1(x+Ijyjx+1

所以f(X)在［0,+。)上单调递增,

所以(x)N[O)=l,所以a<l,

所以a+后b=a+后W1+也<2厩,

若〃（%）在［0,+。）上不单调，

因为〃（X）=/（X）-g（%）在［0,+8）上的最小值为0,

所以设修为〃（x）的极小值点，则

hM=^-axo-b,[x^=O3=回片7。+1)

、一心bx_,解得__,

〃(x°)=er0==°n1=e』(l一%)4rT

所以Q+(x；+1)+6e*。(l-x0)&+l

由得

“(Xo)=o,x()e*"x0+l-\[5y[x^+l+>/5(1-x0)=0,

x0=0或％++1+石（I—/）e~==0,

«+1

解得入0=。，或Xo=-1（舍去），或工0=-5（舍去），或不=5,

当O<Xo<g时，（P（XO）>O,当时，0（工0）<°，

所以夕（用）在上递增，在［g,+8）上递减,

2^e,

综上〃+回42五，所以C正确，

对于D,./(%)-^(x)=eA-ax—b\/x2+1,当x->+°°时，f(x)—g(^)—>+°o,所以D错误,

故选：ABC

【点睛】关键点点睛：此题考导数的综合应用，考查导数的几何意义，考查利用导数求函数的最值，对

/7（%）=。

于选项C解题的关键是由题意设%为/z（x）的极小值点,则《求出a,b,则可表示出a+痘

“（X。）=0

再构造函数，利用导数可得结果，考查数学转化思想和计算能力，属于难题.

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13.某学校门口现有2辆共享电动单车，8辆共享自行车.现从中一次性随机租用3辆，则恰好有2辆共享

自行车被租用的概率为.

7

【答案】—

【解析】

【分析】根据古典概型列式结合组合数计算求解概率即可.

【详解】恰好有2辆共享自行车被租用的概率为P=告•=---=—

°JL/U1J

,7

故答案为：—.

14.若（3x—4）=4+4（尤-1）HF%1），则4+2%+3a3+4a4+5a5=-

【答案】240

【解析】

【分析】观察已知条件，通过求导赋值构造出式子4+24+3%+4%+5%计算即可.

【详解】已知（3x—4）5=%+4（x—1）+…+%（x—if，对式子两边同时求导，

得15（3x_4）=q+2a,（x_l）+3t?3（x—1）一+—・+5%（x—1），

4

令x=2,得15x（3x2-4）=q+2a2H---------卜5%-240.

故答案为：240

15.某校高二学生的一次数学诊断考试成绩（单位：分）服从正态分布N（100,IO?）,从中抽取一个同学

的数学成绩X,记该同学的成绩80<X4100为事件A,记该同学的成绩70<X<90为事件B,则在

A事件发生的条件下B事件发生的概率P（B\A）=.（结果用分数表示）

附参考数据：尸（〃一crvX<〃+cr）20.68,P{/n-2a<X<ju+2cr）«0.95.

【答案■

【解析】

【分析】利用正态分布性质和条件概率公式求解即可.

【详解】由题知，

事件A6为''记该同学的成绩80<X<90",

因为〃—2cr=100—20=80,100—10=90,

0os0.68_27

所以尸(AB)=P(〃-2b<X«〃一cr)a彳

-I--200

oQ51Q

又P(A)=P(〃-2<T<X<〃卜石-=和

P(AB)274027

所以P(aA)------7v~~--------X-

P(A)2001995

故答案为：w

16.f(<x)=x\nx+x2-rwc+^~x>0,则实数加最大值为.

【答案】3

【解析】

【分析】二次求导，结合隐零点得到方程与不等式，变形后得到(九0+1乂/』一/)之0,从而匕2。。之小,

lnx0<2-x0,代入加=111工0+2工0+1-62一项，得到加的最大值.

【详解】f[x^=xlnx+x2-tvx+^~x>0,定义域为x£(0,+oo),

则/'(%)=lnx+2x+l-m-e2-A,

令/z(x)=lnx+2x+l-w-e2T,

则〃(x)=，+2+e2r>0,h(x)在(0,+oo)上单调递增,

且X—>0时，〃(x)—>—8,当X—>+00时，〃(％)—>+8

.•.切G(o,+<x>),使得网飞)=0,即r(/)=o.

当xe(O,Xo)时/'(x)<0,当XG(如+00)时f(x)>0,

故/(x)在xe(O,Xo)上单调递减，在xe(为，+<»)上单调递增,

所以“冷血二/5六/岳与+片一叫+e2rl20②，

由/'（玉）=0得In/+2%+1-机—e?-阳=0①，

即/”=Inx。+2%o+l-e?』，代入②得，玉）In与+片—（in玉）+2x<）+1—e*-M）/+e2-&N0,

整理得伉+。卜2』一面）20

x0+l>0,

2-

e^>x0,

/.Inx0<2-x0,

加=InXQ+2x0+1一e"<2—x（）+2x（）+1—x（）=3,

故加的最大值为3.

故答案为：3

【点睛】隐零点的处理思路：

第一步：用零点存在性定理判定导函数零点的存在性，其中难点是通过合理赋值，敏锐捕捉零点存在的区

间，有时还需结合函数单调性明确零点的个数；

第二步：虚设零点并确定取范围，抓住零点方程实施代换，如指数与对数互换，超越函数与简单函数的替

换，利用同构思想等解决，需要注意的是，代换可能不止一次.

四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.某学校研究性学习小组在学习生物遗传学的过程中，为验证高尔顿提出的关于儿子成年后身高y（单

位：cm）与父亲身高工（单位：cm）之间的关系及存在的遗传规律，随机抽取了5对父子的身高数

据，如下表：

父亲身高X160170175185190

儿子身高y170174175180186

（1）根据表中数据，求出y关于x的线性回归方程，并利用回归直线方程分别确定儿子比父亲高和儿子

比父亲矮的条件，由此可得到怎样的遗传规律？

（2）记々=%—y=y——3,（i=1,2,・，/），其中%为观测值,%为预测值，的为对应（王，%）的

残差.求（1）中儿子身高的残差的和、并探究这个结果是否对任意具有线性相关关系的两个变量都成立？

若成立加以证明；若不成立说明理由.

5555

参考数据及公式：=880,=155450,=885,=156045

i=\i=li=]/=!

可（X-刃

b=上---------------,a=y-bx.

ZU--）2

/=1

【答案】（1）y=0.5x+89，x<178时，儿子比父亲高；x>178时，儿子比父亲矮，

儿子身高有一个回归，回归到全种群平均高度的趋势.

（2）0；任意具有线性相关关系的变量£6=0,证明见解析

1=1

【解析】

【分析】（1）根据已知求得回归方程的系数，即可得回归方程，解不等式可得到结论：

（2）结合题中数据进行计算，可求得儿子身高残差的和，从而可得结论，结合回归方程系数的计算公式

即可证明.

小问1详解】

，皿工册—160+170+175+185+190170+174+175+180+186

由题意得x=-------------------=176,y=--------------------=177,

5

二1，一5个156045-5x176x177156045-155760285…

b=--------=-----------------=--------------=---=05

2

£2u—2155450-5X176155450-154880570

~5x

i=l

4=9—^=177—0.5x176=89,所以回归直线方程为y=0.5x+89，

令0.5x+89-x>0得x<178,即x<178时，儿子比父亲高；

令0.5X—89-x<0得x>178,即x>178时，儿子比父亲矮，

可得当父亲身高较高时，儿子平均身高要矮于父亲，即儿子身高有一个回归，回归到全种群平均高度的

趋势.

【小问2详解】

由y=0.5x+89可得y=0.5x160+89=169,y2=174,乃=176.5,y4=181.5,K=184,

5

所以Z少=885,

i=l

55555

又£%=885,所以W（X-X）=EX-Ex=0,

/=!/=1/=1i=li=l

结论：对任意具有线性相关关系的变量16=0,

/=1

证明：-a)=Yiyi-b^xi-na=riy-nbx-n(y-bx)=O.

z=lz=lX=i'i=li=l

18.已知函数/(工)=。"一。，8(工)=111(%+0),其中aeR.

(1)讨论方程“》)=》实数解的个数；

(2)当x±l时，不等式/(x)三g(x)恒成立，求a的取值范围.

【答案】(1)答案见解析

(2)(―l,e—1]

【解析】

【分析】(1)由“X)=x即方程e'—a=x有没有解的问题，转化为函数y=e*-x—a与x轴有没有交点

问题，分类讨论即可得出结果.

(2)不等式/(X)士g(x)可化为：e*—aNIn(x+a),x>—a,就—l<a<—1H—、aN—1H—分类讨

ee

论后可得参数的取值范围.

【小问1详解】

由/(x)=x可得，e'-a=x，

☆s(x)=e*-x-a,s'(x)=e*-l,令y'=0,可得x=0,

当XG(-oo,0),s'(x)<0,函数s(x)单调递减，

当XW(O,+8),S'(X)>O,函数s(x)单调递增，

所以函数s(x)在x=0时取得最小值1一。，

所以当a<1时，方程〃X)=X无实数解，

当。=1时，方程/(力=》有一个实数解，

当a>l时,l-a<0,故s(x)疝口<0,

而s(-a)=e—">0,s(a)=e"-2a,

设“(a)=e"—2aM>1,则〃'(a)=e"—2>0,

故”(a)在(1,+R)上为增函数，故"(。)>"(1)=6-2>0,

故s(x)有两个零点即方程“X)=》有两个实数解.

【小问2详解】

由题意可知，

不等式/(x)之g(x)可化为，er-a>\n(x+a),x>-a,

即当时，e'-In(x+«)-ez>01®

所以—av1>即ci>—1,

令力(x)=er-ln(x+a)-a,/(x)=e"————,

则〃'(x)在[1,内)上单调递增，而“⑴=e-土，

当力⑴之0即〃之一1+4时,"(x"O,/z(x)在[1,400)上单调递增,

故/z(x)nin=〃(1)=.一功(1+々)—々，

e-ln(l+a)-a>0

由题设可得41,

a>——

e

设u(a)=e-ln(l+a)-Q,则该函数在(一£,+8)上为减函数，

而u(e-l)=0,故一，<a<e-l.

e

当人(1)<0即_]<Q<_1+(时，因为“(14+1)=ew+,一同+；+J0,

故h\x)在(1,y)上有且只有一个零点x0,

当1<了<毛时，而x>玉)时，/Z(x)>0,

故/z(x)在(1,%))上为减函数，在(龙0,+8)上为增函数，

故。(1)“而=1"-111(天)+々)一〃20,

]

而e"故x()=-ln(Xo+a),故e&+Xo-aNO

因为玉)>1,故e~+x°>l+e〉”，故一1<。<一1+」符合,

e

综上所述，实数〃的取值范围为(—l,e-1].

【点睛】关键点睛：本题考查函数的单调性、最值问题，考查导数应用以及分类讨论思想、转化思想,

考查函数恒成立问题，属于中档题.

19.已知甲箱、乙箱均有6件产品，其中甲箱中有4件正品，2件次品；乙箱中有3件正品，3件次品.

(1)现从甲箱中随机抽取两件产品放入乙箱，再从乙箱中随机抽取一件产品，求从乙箱中抽取的这件产

品恰好是次品的概率；

(2)现需要通过检测将甲箱中的次品找出来，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到能将次品全

部找出时检测结束，已知每检测一件产品需要费用15元，设X表示能找出甲箱中的所有次品时所需要的

检测费用(单位：元)，求X的分布列与数学期望.

【答案】(1)—

24

(2)分布列见解析，E(X)=64

【解析】

【分析】(I)由全概率公式计算从乙箱中抽取的这件产品恰好是次品的概率；

(2)计算X所有可能取值的概率，进而列出分布列，计算期望.

【小问1详解】

设A="从甲箱中抽取的两件产品均为正品"，B="从甲箱中抽取的两件产品为一件正品，一件次品"，C=

"从甲箱中抽取的两件产品均为次品"，"从乙箱中抽取的一件产品为次品"，由全概率公式，

得P(D)=P(A)xP(D\A)+P(B)xP(D\B)+P(C)xP(D|C)

C；3C；C'4C?511

=-yX--1-----X--1---X—=--.

c：8C；8C；824

【小问2详解】

X的所有可能取值为30,45,60,75.

则p(x=3。)嚏q；

P(X=45)=^L《；

唳=60)=与+&*」

、615

C；C：A：_8

p(X=75)=

A：15

所以X的分布列为

X30456075

1248

r

15151515

i248

x的数学期望E(X)=30x—+45x—+60x—+75x—=64(元).

20.已知函数/(%)=*-欣-lna-1有三个零点.

CD求。的取值范围；

(2)设函数/(X)的三个零点由小到大依次是玉,X2，七•证明：ae">e.

【答案】(1)a>\

(2)证明见解析

【解析】

【分析】(1)求导，根据xN2,0<x<2分类讨论研究函数的单调性，确定零点个数，构造函数，研究函

数值的符号即可得到导函数的符号，即可求出原函数的单调区间，从而确定零点个数；

(2)把原函数有三个零点转化为匕竺=皿竺D有三个根，构造r(x)="竺，求导研究函数单调性，

eAaexx

1

结合根的分布得aeX]=e',aex3=e”,要证ae*内>e，等价于证工用>2-女，

等价于XI+X3>1+Z,构造函数从而证明q(%3)>](1+左一%)，即证ef—1+1叫<0,^G(0,1),

构造函数，利用导数单调性即可证明.

【小问1详解】

因为/(x)定义域为(0,+8),又引(%)「』,(2/一巧―%〉。),

(i)当xZ2J，(x)<0J(x)单调递减；

5)当X«0,2),记8(力=专=，则g，(力业2*1,

当xe(0,l),g'(x)>0；当xe(l,2),g'(x)<0,

所以g(x)在(0,1)单调递增，在(1,2)上单调递减，g(x)Wg⑴=1,

又g(0)=(),g(2)=0,所以0<g(x)Wl,

①当ae(O』,/'(x)WO,则/(x)单调递减，至多一个零点，与题设矛盾；

②当，,八”卜⑴―j，由(止)知，尸(x)有两个零点，

a>\,f(x)=-------\/

记广(X)两零点为九"，且

则/(X)在(0,加)上单调递减，在(〃?,〃)上单调递增，在(〃,+<»)上单调递减，

因为/(«)>/(1)>0,令p(x)=xe1-x,(0<x<1),则y(x)=(l-x)el-Jt>0,(0<x<1),

1f1A]i-l1i-l

所以_=—e«-l<-e1-1=0,

a\a)a1

所以/(〃)>0,/(6)<0,且x趋近0,/(x)趋近于正无穷大，x趋近正无穷大，/(x)趋近负无穷

大，

所以函数/(另有三零点，

综上所述，6?>1；

【小问2详解】

/(x)=0等价于处=她也，即世J(aex),

e*xevaex

令r(x)=叵，则(力=与竺，

XX

所以，X)在(O,e)上单调递增，在(e,+8)上单调递减，

由(1)可得不<—<x<1<x,则aex<e,ex,<e,aex>e,e">e,

a2313

所以E(qexJ=/(e"=/(e*3),所以ae玉=e\ae%3=ex?,

x-lar,=Inetz=k

则为，M满足<,k>\,

x3—lnx3=Ine^z=k

要证ae*3>e，等价于证X七>2一女，

易知《，令<7(x)=x-lnx,则d(x)=----,

X-y—IILXO=KX

令q'(x)<0得0<x<l,令q'(x)>0得尤>1,

所以函数q(x)在(0,1)上单调递减，在(1,卡a)上单调递增，

下面证明玉+工3>1+左，由玉<1〈七，即证4（F）>乡（1+左一项），

即证k>1+%—Xj—ln（l+左一xj,

即证0>1_司_ln（l+x-In%-玉）=1一%-ln（l_lnxj,

即证-1+lnX]<0,2G（0,1）,

令c（x）=ei-l+lnx,x£（0,l）,c（x）=—,

☆y=—xei+l,则y'=（x-l）eir<0,（x£（0,l））,所以y=—心『'+1〉0,

_“1—X_L1

所以d（九）:一_〉0，则c（x）<c⑴=0,所以eF—l+l叫<0,石«0,1）,

x

所以Xi+工3>1+左，所以MW-121叫工3=xl+x3-2k>\+k-2k=l-k,

所以玉当>2-左，所以原命题得证.

【点睛】利用导数研究零点问题：

（1）确定零点的个数问题：可利用数形结合的办法判断交点个数，如果函数较为复杂，可用导数知识确

定极值点和单调区间从而确定其大致图像；

（2）方程的有解问题就是判断是否存在零点的问题，可参变分离，转化为求函数的值域问题处理.可以

通过构造函数的方法，把问题转化为研究构造的函数的零点问题；

（3）利用导数研究函数零点或方程根，通常有三种思路：①利用最值或极值研究；②利用数形结合思想

研究；③构造辅助函数研究.

21.5G网络是新一轮科技革命最具代表性的技术之一.已知某精密设备制造企业加工5G零件，根据长期检

测结果，得知该5G零件设备生产线的产品质量指标值服从正态分布N（〃,b2）.现从该企业生产的正品中

随机抽取100件、测得产品质量指标值的样本数据统计如图.根据大量的产品检测数据，质量指标值样本数

据的方差的近似值为100,用样本平均数元作为4的近似值，用样本标准差s作为o■的估计值.已知质量

指标值不低于70的样品数为25件.

频率

附：P(/z-cr<X<//+cr)«0.683,P(/.i-2(j<X</.i+2a)»0.954,

P(〃-3bWX<〃+3b)a0.997.

(1)求亍(同一组中的数据用该组区间的中点值代表)；

(2)若质量指标值在［54,84］内的产品称为优等品，求该企业生产的产品为优等品的概率；

(3)已知该企业的5G生产线的质量控制系统由〃(〃wN,〃23)个控制单元组成，每个控制单元正常工

作的概率为p(0<〃<1),各个控制单元之间相互独立，当至少一半以上控制单元正常工作时，该生产线

正常运行生产.若再增加1个控制单元，试分析该生产线正常运行概率是否增加？并说明理由.

【答案】(1)64

(2)0.819

(3)质量控制系统有奇数个控制单元，增加1个控制单元设备正常工作的概率变小；质量控制系统有偶数

个控制单元，增加1个控制单元设备正常工作的概