沪科版八年级数学下册 勾股定理 单元作业设计

沪科版八年级数学下册作业设计

第18章勾股定理

一、单元信息

基本学科年级学期教材版本单元名称

信息数学八年级第二学期沪科版勾股定理

单元

组织D1自然单元口重组单元

方式

序号课时名称设计教师

1第18章单元分析潜山市第三中学周鹏远

218.1勾股定理（第一课时）潜山市第三中学朱琳琳

课时

318.1勾股定理（第二课时）潜山市第三中学储慧贤

信息

18.2勾股的逆定理

4潜山市第三中学李兰

（第一课时）

18.2勾股的逆定理

5潜山市第三中学芮苹

（第二课时）

6第18章单元复习潜山市第三中学周鹏远

7第18章单元质量检测潜山市第三中学孔文进

二、单元分析

（-）课标要求

探索勾股定理及其逆定理，并能运用它们解决一些简单的实际问题。

课标在“知识技能”方面指出：经历图形的抽象、分类、性质探讨、运动、

位置确定等过程，掌握图形与几何的基础知识和基本技能。在“数学思考”方面

指出：建立数感、符号意识和空间观念，初步形成几何直观和运算能力，发展形

象思维与抽象思维；在参与观察、实验、猜想、证明、综合实践等数学活动中，

发展合情推理和演绎推理能力，清晰地表达自己的想法；学会独立思考，体会数

学的基本思想和思维方式。在''问题解决”方面指出：初步学会从数学的角度发

现问题和提出问题，综合运用数学知识解决简单的实际问题，增强应用意识，提

高实践能力；获得分析问题和解决问题的一些基本方法，体验解决问题方法的多

1

样性，发展创新意识；初步形成评价与反思的意识。

（二）教材分析

1.知识网络

（三）学情分析

从学生的认知水平看，在“三角形边角关系”一节，学生已经认识三角形三

边之间的不等关系，但学生对三边之间的二次方关系的研究还很陌生。而学习勾

股定理是进一步认识和理解直角三角形的需要，也是后续有关几何度量运算和代

数学习必要的基础，因而勾股定理具有学科的基础性和广泛的应用。

从学生的数学素养看，学生对几何图形的观察，几何图形的分析能力已初步

形成。部分学生解题思维能力比较高，能够正确归纳所学知识，通过小组讨论交

流，能够形成解决问题的思路。

从学生的身心特点看，初二学生的逻辑思维还是比较薄弱的，通过形象直观

的图形去感受发现新知识，教学中还是要从具体的实例入手。但另一方面他们比

较喜欢探索，求知欲强，容易接受新事物，这是探究新知识的益处。

三、单元作业目标与学习目标

1.经历对问题情景的观察、分析、一般化等思维活动，提出猜想，体验勾股

定理的探索过程，体会数形结合的思想.

2.了解勾股定理的证明，培养学生良好的思维习惯；

3.会运用勾股定理解决简单的实际问题.

4.结合具体情景，了解逆命题（逆定理）的概念；理解勾股定理的逆定理，

会用勾股定理的逆定理判定直角三角形.

8.通过实例了解勾股定理的历史与应用，体会勾股定理的文化价值.

四、单元作业设计思路

具体设计体系如下：

2

基础性作业

发展性作业

1.经历对问题情景的观察、分析、一般化等思维活动，提出猜想，体验勾

股定理的探索过程，体会数形结合的思想.

2.了解勾股定理的证明，培养学生良好的思维习惯；

3.会运用勾股定理解决简单的实际问题.

4.结合具体情景，了解逆命题（逆定理）的概念；理解勾股定理的逆定理,

会用勾股定理的逆定理判定直角三角形.

5.通过实例了解勾股定理的历史与应用，体会勾股定理的文化价值.

3

18.1勾股定理（第一课时）

一、作业目标

1.理解并掌握勾股定理的内容，并能熟练利用其解决三角形中的边的相关

计算；

2,对给出的边长不能确定是直角边还是斜边时，会进行分类讨论；

3.让学生掌握勾股定理在图形的折叠问题上体现出来的重要的方程思想；

4.通过分层作业的布置，让不同水平的学生都能得到不同的发展。

二、作业分析

本次作业的设计符合新课程标准对知识点掌握程度的要求，由浅入深、由易

到难，层次分明，符合不同学习水平的学生去练习。所有题目的设计重点在于强

调勾股定理的运用，也强调了数学思想的重要性，即分类讨论思想、方程思想。

基础题让学生牢牢巩固了勾股定理的内容，发展题让学生体会到勾股定理在综合

题中的重要作用。通过这些题目让学生了解了勾股定理是直角三角形中求边长的

重要定理之一，为九年级解直角三角形打下坚实的基础。

三、作业展示

基础性作业（时间：10分钟）

1.在用「I"。中，两条直角边的长分别为6和8,则斜边的长为।

A.6B.7C.10D.13

【设计意图】本题考查了勾股定理•由题意根据勾股定理，即可直接求出直角三

角形的斜边长。

【核心思想】数学运算

【答案】C

【解析】

解：由题意得：

该直角三角形的斜边长为：V62+82=10.

故选C.

2.如图，正方形.1止万的面积是I

A.5B.25C.7D.1

【设计意图】本题考查勾股定理以及正方形的面积公式，要熟练运用勾股定理。

【核心思想】数学运算、逻辑推理

【答案】H

4

【解析】解：设正方形的边长为，，

由勾股定理可知：「："+卜’，

.'.r25,

故选：B.

3.已知等腰三角形的一条腰长是15,底边长是18,则它底边上的高为；

【设计意图】此题考查了勾股定理，用到的知识点是勾股定理、等腰三角形的性

质，关键是作出辅助线，构造直角三角形.

【核心思想】数学运算、直观想象、数学建模

【答案】12

【解析】解：过点A作

,-.BD=CD=-BC=-xlS=9,

22

AD=JAC?-CD。=7i52-92=12，

，它底边上的高为12；

4.如图，长方形Z8C。中，AB=3,AD=1,N8在数轴上，若以点/为圆心，

对角线ZC的长为半径作弧交数轴的正半轴于点M,则点”表示的实数

为;

【设计意图】本题主要考查实数与数轴、勾股定理等知识,

【核心思想】数学运算、直观想象

【答案】Vio-i

【解析】解：.•.四边形ABCD是长方形，

：.ZABC=90°,

:AB=3,AD=BC=T,

22

：.AC=^AB+BC=VF+F=Vio，

vAM=AC=,OA=l,

5

.•.点M表示点数为J元-1.

故选C

5.如图，在AXBC中，ADLBC,垂足为点/),.18.13,4C・1B.

(1)求.4。的长；

(2)求/*'的长.

【设计意图】本题主要考查勾股定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理公式及其

变形.

【核心思想】数学运算

【解析】解：1ID1BC

Z.ADB,(l),\=W.

在Rt^ADB中，丫ZADB=90*，

1/):•Hl):-AB1,

\l):wrm):HI.

.AD>0，

AD12.

⑵在用△ADC中，一/「。从=正，

.•.3+3・心，

、l.

.Cl)>0,

CD_9.

=〃/)+「〃=5+9=11.

发展性作业(时间10分钟)

6.若实数a、b满足|a-3I+VK14=0,且a,b恰好是直角三角形的两条边，则

该直角三角形的斜边长为()

A.5B.4C.；或ID.5或8

【设计意图】本题考查非负数的性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握

基本知识

【核心思想】数学运算、直观想象

【答案】C

【解析】

解：由忆一3|+正==0得a=3,b=4

1当a,b是直角边时，

直角三角形的斜边二，

2当b=4是斜边时，斜边为4,

故答案为5或4.

6

7.如图，四边形/8C。为矩形纸片.把纸片/8C。折叠，使点8恰好落在边8

的中点E处，折痕为/E若AD=6，则切7的值是.

【设计意图】本题主要考查的是翻折的性质，着重强调勾股定理的方程思想的运

用

【核心思想】数学运算、直观想象、逻辑推理

【答案】8

【解析】解：.••纸片ABCD为矩形，AD=6

：.AD=BC=6,AB=CD,

由翻折的性质可知：AB=AE,BF=EF.

设AB=AE=2x,BF-EF-y,

•••E是CD的中点，

DE=x.

在中，由勾股定理得：AD2+DE2=AE2,

即62+X2=4X2,

解得：x-2^3»

AB-AE=2x=4-\/3,

在。中，FC=BC-BF=6-y,

由勾股定理得；FC2+EC2=EF2,

即：(6-.)2+(2沟2=/.

解得V=4.

在Rt”8/中，由勾股定理得：

AF=yjAB2+BF2=^42+,石丫=8.

故答案为8

8.如图，已知△ABC中，NB=9tT,4816cm,SC-12km,P、Q是

边上的两个动点，其中点，从点.l开始沿I一〃方向运动，且速度为每秒1＜八，

点Q从点〃开始沿〃一c一I方向运动，且速度为每秒2〃「，它们同时出发，

同时停止.

(1)P、Q出发I秒后，求，Q的长;

7

备用图

（2）当点Q在边CA上运动时，出发几秒钟后，能形成直角三角形？

【设计意图】本题为三角形的综合应用，涉及勾股定理、等腰三角形的性质等积

法、及分类讨论思想等知识.用时间，表示出相应线段的长，化"动''为"静’'是解

决这类问题的一般思路

【核心思想】数学运算、直观想象

【解析】解：1「运动时间为4秒，

..-2x4-8(cm),BP-AB.IP16-1x4=121，,

在*/q〃中，根据勾股定理得:

PQ=y/Bfy+BP*=\/图+12?=Ix/UJlONl;

i12i当点Q在Cl边上，且形成直角三角形时,

过点〃作的垂线，垂足即为点Q,如图，

在伙'中，根据勾股定理得：

.11=丫］/尸+121=2O（C"|,

根据三角形面积公式可得：即=更段=粤5=：,

AC2115

在用一OCQ中，根据勾股定理得

：12+-,।v2-!）ti|秒I,

5

当点Q运动到点.1时，CQ3也形成直角三角形，12•20：216（秒）.

・・当点Q在边上运动时，出发。.。或K秒钟后，rQ〃能形成直角三角形.

8

四、作业评价

等级

评价指标备注

ABC

A等，答案正确、过程正确。

B等，答案正确、过程有问题。

答题的准确性

C等，答案不正确，有过程不完整；答案不准确，过程错

误、或无过程。

A等，过程规范，答案正确。

答题的规范性B等，过程不够规范、完整，答案正确。

C等，过程不规范或无过程，答案错误。

A等，解法有新意和独到之处，答案正确。

解法的创新性B等，解法思路有创新，答案不完整或错误。

C等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程。

AAA、AAB综合评价为A等；ABB、BBB、AAC综合

综合评价等级

评价为B等；其余情况综合评价为C等。

9

18.1勾股定理（第二课时）

一、作业目标：

1.掌握勾股定理，能运用勾股定理及直角三角形的判定方法来解决简单的

实际问题。

2,通过小组合作与交流，会选择恰当的数学模型解决实际问题。

3.理解勾股数的概念，并掌握简单的勾股数。

4.通过勾股定理的简单应用体会数形结合思想和分类讨论思想。

5.通过画图实践感悟勾股定理的应用价值。

二、作业分析

本次作业设计贴合课程纲要的主题，内容按照课程标准的要求进行设计。设

计本着作业的实用性、趣味性、层次性、探究性，促使学生在完成作业的同时，

积极探索数学的本质，开拓学生的视野、思维。在设计作业的时候，为了照顾到

学生个体的差异发展的需求，我还设计了层次性作业，不仅使得优等生能在巩固

基础知识的同时不断拓展，使自己的知识量和灵活性都有所提升，而且中等生在

保证基础知识扎实的情况下有较大的进步，在知识的灵活性运用方面有所提高，

而学困生则确保能掌握课标设定的教学底线，从而使每个人都能学有所得。在作

业完成后，我又组织学生首先自查自纠、自己总结，使学生在不断反思总结中能

力得到进一步的提升。

三、作业展示

基础性作业（时间：10分钟）

1.如图，一棵大树被台风刮断，若树在离地面5m处折断，树顶端落在离树底部

12m处，则树折断之前高（）.

A.13mB.17mC.18mD.20m

【设计意图】勾股定理的定理的简单应用，根据题意构造直角三角形，利用勾股

定理来计算解决问题。

【核心素养】数学建模、数学运算。

【答案】C

【解析】

如图：

在RtaABC中，AB=5米，BC=12米,

10

由勾股定理，得：AC=7AB2+BC2=近2+122=13米

.-.AC+AB=13+5=18米,即大树折断之前有18米高.故选C.

2.如图，一艘轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮

船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后，

则两船相距（）

A.25海里B.30海里C.40海里D.50海里

【设计意图】熟练运用勾股定理进行计算，基础知识，比较简单。

【核心素养】数学建模.

【答案】C

【解析】两船行驶的方向是东北方向和东南方向，

ZBAC=90°,

两小时后，两艘船分别行驶了16x2=32海里，12x2=24海里，

根据勾股定理得：：V302+242=40（海里）故选C.

3.如图，潜山三中学校内有一块长方形花坛，有极少数人为了避开拐角走“捷径”,

在花坛内走出了一条“路”，他们仅仅少走了步，却踩伤了花草（假设2

步为1米）

【设计意图】本题是勾股定理的简单应用，善于观察题目的信息是解题以及学好

数学的关键。

【核心素养】数学运算。

【答案】4

【解析】根据勾股定理得，斜边的长：回不平=5米，

少走：3+4-5=2米，

因为两步为1米，所以少走了2x2=4步.故答案为4.

4.如图，一个工人拿一个2.5米长的梯子，底端A放在距

离墙根C点0.7米处，另一头B点靠墙，如果梯子的顶部

下滑0.4米，那么梯子的底部向外滑米.

【设计意图】勾股定理在实际生活中的应用，关键是掌

握直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方.

【核心素养】数学运算。

DA

【答案】0.8

【解析】，»8=2.5米，AC=0.7米，

，BC=，4B2-ac2=2.4（米）

•.•梯子的顶部下滑0.4米，

，BE=0.4米，

.,.EC=BC-0,4=2米，

.•.DC=A/DF2-EC2=1.5（米）

；•梯子的底部向外滑出AD=1.5-0.7=0.8（米）.

5.一块土地的形状如图所示，ZB=ZD=90°,AB=20米，BC=15米，CD=7米,

求这块土地的面积？

【设计意图】通过对简单实际问题的解决，加深对勾股定理的理解，使学生能利

用它们解决一些简单的实际问题。

【核心素养】数学抽象、数学运算.

【分析】连接AC,则aABC和4ACD均为直角三角形，根据AB,BC可以求

出AC,根据AC,CD可以求出AD,根据直角三角形面积计算可以求出4ABC

和4ACD的面积，四边形ABCD的面积为两个直角三角形面积之和.

【解析】解：连接AC,将四边形分割成两个三角形，其面积为两个三角形的面

积之和，

在直角AABC中，AC为斜边，

在直角4ACD中，AC为斜边

则AD=V252-72=24（米），

四边形ABCD面积S=1ABxBC+|ADxCD=234（平方米）.

答：此块地的面积为234平方米.

12

发展性作业（时间：10分钟）

6.AABC中，AB=15,AC=13,高AD=12,则aABC的周长为（）

A.42B.32C.42或32D.37或33

【设计意图】此题考查了勾股定理及解直角三角形的知识，在解本题时应分两种

情况进行讨论，易错点在于漏解，同学们思考问题一定要全面，有一定难度。

【核心素养】数学运算、直观想象。

【答案】C

【解析】解答：此题应分两种情况说明

DBCD

(1)(2)

（1）当△ABC为锐角三角形时，在RtZ\ABD中，

BD=V/1S2-AD2=V152-122=9,

在RtAACD中,

CD=y/AC2-AD2=V132-122=5

.\BC=5+9=14

.'.△ABC的周长为：15+13+14=42；

（2）当△ABC为钝角三角形时，

在RtAABD中，BD=y/AB2-AD2=V152-122=9,

在RtAACD中，CD=V/1C2-AD2=V132-122=5,

/.BC=9-5=4.

二AABC的周长为：15+13+4=32

.•.当AABC为锐角三角形时，^ABC的周长为42；当AABC为钝角三角形时,

△ABC的周长为32.故选C.

7.如图是一种“牛头形”图案，其作法是：从正方形1开始，以它的一边为斜边，

向外作等腰直角三角形，然后再以其直角边为边，分别向外作正方形2,以此类

推，若正方形1的边长为64cm,则正方形7的边长为cm.

【设计意图】熟练运用勾股定理进行计算，根据探索的规律解决问题。

【核心素养】数学建模.

【答案】8

13

【解析】解：假设正方形1的边长为内，正方形2的边长为42,……正方形7

的边长为47,由题意得

22=222

<22+«2«1,2a2=a\,a2=翡。

同理可得夜&3=a2,a3=7I=，皋，

V^4=a3，•,皿二居二盘■，可推测，a7=*8(cm).

故答案为8

8.如下图，壁虎在一座底面半径为2.5米，高为20米的糖罐的下底边沿A处，它

发现在自己的正上方糖罐上边缘的B处有一只蚂蚁，便决定捕捉这只蚂蚁，为了

不引起蚂蚁的注意，它故意不走直线，而是绕着糖罐，沿一条螺旋路线，从背后

对蚂蚁进行突然袭击.结果，壁虎的偷袭得到成功，获得了一顿美餐.请问壁虎

至少要爬行多少路程才能捕到蚂蚁？(兀取3)

【设计意图】这题是稍微有点难度的问题，使学生不仅对勾股定理的知识有了更

深的认识，而且使学生的逻辑思维能力有了一定的提升。在解答时将实际问题转

化为数学问题是解答的关键.

【核心素养】逻辑思维、数学运算。

【分析】首先画出如图的圆柱侧面展开图，再连接AB,再根据勾股定理求出

AB的长就是壁虎所爬的路程.

【解析】

解：把这个油罐看成一个圆柱体，再画出它的侧面展开图(是一个长方形)如下

图所示：nD

因为A、B两点间线段最短，所以壁虎至少要爬行线段AB这段路程，才能捕捉

到蚂蚁.由题意，得AC=5TI,在RtZXABC中，由勾股定理，得

AB2=AC2+BC2=(2TIX2.5)2+202=152+202=625,

.,.AB=25米.

...壁虎至少要爬行25米才能捕到蚂蚁.

14

作业评价

等级

评价指标备注

ABC

A等，答案正确、过程正确。

B等，答案正确、过程有问题。

答题的准确性

C等，答案不正确，有过程不完整；答案不准确，过程错

误、或无过程。

A等，过程规范，答案正确。

答题的规范性B等，过程不够规范、完整，答案正确。

C等，过程不规范或无过程，答案错误。

A等，解法有新意和独到之处，答案正确。

解法的创新性B等，解法思路有创新，答案不完整或错误。

C等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程。

AAA、AAB综合评价为A等；ABB、BBB、AAC综合

综合评价等级

评价为B等；其余情况综合评价为C等。

15

18.2勾股定理的逆定理（第一课时）

一、作业目标

1.掌握勾股定理的逆定理，会用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否是

直角三角形。

2.理解勾股数的概念，并掌握简单的勾股数。

3.通过勾股定理的逆定理的简单应用体会数形结合思想、分类讨论思想、

方程思想。

4.通过画图实践感悟勾股定理的逆定理在实际生活中的应用价值。

5.通过分层作业的布置，让不同水平的学生都能得到不同的发展。

二、作业分析

1.帮助学生正确理解勾股定理的逆定理，掌握应用勾股定理的逆定理解题

的格式，通过简单的计算，体会勾股定理的逆定理是判断一个三角形是

不是直角三角形的重要依据。

2.通过作图题让学生了解勾股定理的逆定理是运用直角三角形各种性质的

先决条件，它体现了数形结合的重要数学思想，在生产实践与现实生活

中有着广泛的应用。

3.通过勾股定理的逆定理的简单应用题，培养数学思维以及合情推理意识,

加深学生对数形结合思想的理解。

4.勾股定理的逆定理和勾股定理一样，不是凭空想象出来的，而是古代科

学家们在实践中逐步发现和认识的，所以我们在学习勾股定理时，也应

通过实践来认识和理解它。画图、实践活动的设计，能让学生学会用数

学的眼光去观察世界，用数学的思维去思考世界，让学生对勾股定理的

逆定理印象深刻，认识清楚，理解透彻。

三、作业展示

基础性作业（时间：10分钟）

1.下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（）

A.5,11,12B.3,4,5C.4,6,8D.6,12,13

【设计意图】理解勾股数的概念，掌握常见的勾股数。

【核心素养】数学运算

【答案】B

【解析】

4因为52+112H122,所以三条线段不能组成直角三角形；

A因为32+42=52,所以三条线段能组成直角三角形；

C.因为42+62。82,所以三条线段不能组成直角三角形；

。.因为62+122。132,所以三条线段不能组成直角三角形.

故选&

2.△ABC满足下列条件中的一个，其中不能说明△ABC是直角三角形的是（）

A.=（a+c）（a—c）B.a：b：c=1：V3：2

16

C.Z.C=Z.A—Z-BD.ZJ4：Z.5：乙C=3：4：5

【设计意图】梳理直角三角形的基本判定方法：有一个角是直角的三角形是直角

三角形；有两锐角互余的三角形是直角三角形；勾股定理的逆定理。特别要区分

角的关系和边的关系，不能混为一谈。

【核心素养】数学抽象

【答案】D

【解析】

A.由b2=(a+c)(a—c)可得：c2+b2=a2,可以组成直角三角形，故此选项不

符合题意；

B.12+(V3)2=22,可以组成直角三角形，故此选项不符合题意;

C.由NC=zA-zB,zA+zB+zC=180°,可得：NA=90。，可以组成直角三

角形，故此选项不符合题意；

D.vzA：Z.B：zC=3：4：5,Z.A+zB+Z.C=180°,•••最大角zC=75°,二不

能构成直角三角形，故选项符合题意;

故选：D.

3.如图所示，每个小正方形的边长都相等，A,B,

C是小正方形的顶点，则乙4BC的度数为

【设计意图】勾股定理的逆定理的简单应用，并结合

等腰三角形的判定“等角对等边”来考察，初步体会数

形结合的思想。

【核心素养】逻辑思维.

【答案】45°

【解析】如图，连接AC,

设每个小正方形的边长都是a,

根据勾股定理可以得到：AC=BC=V5a,AB=V10a,

v(V5a)24-(V5a)2=(VlOa)2,

•••AC2+BC2=AB2,

ABC是等腰直角三角形,

•••ZABC=45°

4.如果AABC三边长为a,b,c满足|a-5|+Vb-12+(13-c)2=0,则该三

角形是三角形.

【设计意图】通过三角形边长求解的变式训练，加深对勾股定理的逆定理的理解,

并对常见的勾股数有基本的掌握。

【核心素养】数学运算

【答案】直角

【解析】

•••|a-5|+Vb-12+(13—c)2=0,

・・・a-5=0,b—12=0,13-c=0,

解得a=5,b=12,c=13,

17

a2+b2=c2,»

・•.△ABC为直角三角形.）

故答案为直角.//

5.潜山市第三中学校园内有如图所示的形如四八，//

边形ABCD的花坛，现测量出48="/

3m,AB1BC,AD=12m,CD=13m,请/

求出该花坛的面积.尸n一,

【设计意图】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理的应用，培养学生的逻辑

推理能力及合情推理的意识，让学生学会用数学的语言表达世界。

【核心素养】数学运算

【分析】解此题的关键是能求出^ABC和^CAD的面积，而易错点在于一定要先

用勾股定理的逆定理说明出△CAD是直角三角形才能求面积。

【答案】36m2

【解析】

连接AC,

在△ABC中，

vZ.B=90°,AB=4m,BC=3m,

:.AC=VAB2+BC2=5(m),

2

SAABC=Ix3x4=6(m),

在△ACD中，

•・,AD=12m,AC=5m,CD=13m,

AD2+AC2=CD2,

ACD是直角三角形，

1

2

SAACDx12=30(m).

2

二四边形ABCD的面积=S&ABC+S^ACD=36m.

发展性作业（时间：10分钟）

6.已知在△ABC中，AB=V5>AC=2V5>BC=5.试在如图

4x4的方格纸上补全4ABC,使它的顶点都在方格的顶点

上.（每个小方格的边长为1）

【设计意图】通过画图进一步理解勾股定理的逆定理的应用，在

画线段的过程中体会勾股定理和勾股定理的逆定理辩证统一的关

系。

【核心素养】直观想象、数学抽象

【分析】此题主要考查了作图-应用设计与作图，关键是掌握如

果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形就

是直角三角形.

【答案】如图所示:

18

【解析】根据勾股定理确定B点位置，再连接即可.

此题主要考查了作图-应用设计与作图，关键是掌握如果三角形的三边长a,b,

c满足a2+b2=c2,那么这个三角形就是直角三角形.

7.市教育局为了进一步引导广大青少年积极参与

科技创新活动，推动“双减”政策在基层学校落地

落效，举办中小学机器人创客竞赛。我校选手在

积极备赛过程中，设计了如图所示的一个三角形

赛道，在AABC中，ZC=90°,乙4=30。，BC=

3nl.机器人甲从点/出发，沿向点B运动，机

器人乙从点B出发,沿向点C运动，如果机器人甲以2m/s,机器人乙以1小/

s的速度同时出发匀速运动，设运动时间为t(s),机器人在运动过程中，当t

为秒时，机器人甲、乙所在的位置点P、点Q与点B

构成直角三角形。

【设计意图】此题考查了勾股定理的逆定理及直角三角形中30。所对的直角边是

斜边的一半的知识，发展学生应用分类讨论思想解决问题的意识，提升学生的综

合数学素养。

【核心翥养】数学建模、逻辑推理

【分析】此题关键是根据勾股定理的逆定理解答，解答时容易漏解，要考虑到当

直角顶点分别是点Q或点P时，也就是当BP=2BQ或BQ=2BP时，分别列出

关于t的方程即可求解。

【答案】当t为弓或装秒时，机器人甲、乙所在的位置点P、点Q与点B构成直

角三角形。

【解析】

VZC=90°,4A=30。，BC=3m

・•・AB=2BC=3x2=6m

・・•动点P以2m/s,Q以Im/s的速度出发

・・・BP=AB—AP=6—23BQ=t

•••△PBQ是直角三角形

•••BP=2BQ或BQ=2BP

当BP=2BQ时，

6-2t=2t

解得t4

当BQ=2BP时,

t=2(6-2t)

解得t=£

所以，当t为|或9秒时，机器人甲、乙所在的位置点P、点Q与点B构成直角

三角形。

19

8.已知等腰三角形ABC的底边BC=2而cm,。是腰AB上一点，且CD=4cm,

BD=2cm,

(1)求证:CDLAB.

(2)求△ABC的面积.

【设计意图】通过勾股定理及勾股定理的逆定理的简单综合应用，让学生深入体

会勾股定理及逆定理的应用价值，发展学生应用方程思想解决问题的意识。

【核心素养】数学建模、逻辑推理

【分析】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理逆定理，勾股定理，熟记两个

定理并判断出△BCD是直角三角形，然后求出AB的长是解题的关键.

(1)首先根据BD、CD、BC长可利用勾股定理逆定理证明CD1AB：

(2)设AD=xcm,则AB=(x+2)cm,在Rt△ACD中利用勾股定理列出方程求

解即可得到AD,进一步得到AB,即可得解.

【答案】(1)见解析(2)10cm2

【解析】

证明：VCD=4cm,BD=2cm

ACD2+BD2=424-22=20

vBC=2遍cm,

BC2=20

ACD2+BD2=BC2

BDC是直角三角形

ACD1AB

(2)设AD=xcm,贝UAB=(x4-2)cm,

vAB=AC,

AC=x+2,

在心△ACD中：CD2=AC2-AD2,

42=(x+2)2-x2,

解得x=3,

•••AB=3+2=5cm,

则SAABC=；xABxCD=10cm2

20

作业评价

等级

评价指标备注

ABC

A等，答案正确、过程正确。

B等，答案正确、过程有问题。

答题的准确性

C等，答案不正确，有过程不完整；答案不准确，过程错

误、或无过程。

A等，过程规范，答案正确。

答题的规范性B等，过程不够规范、完整，答案正确。

C等，过程不规范或无过程，答案错误。

A等，解法有新意和独到之处，答案正确。

解法的创新性B等，解法思路有创新，答案不完整或错误。

C等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程。

AAA、AAB综合评价为A等；ABB、BBB、AAC综合

综合评价等级

评价为B等；其余情况综合评价为C等。

21

18.2勾股定理的逆定理(第二课时)

一、作业目标

1.掌握勾股定理的逆定理，并能运用勾股定理的逆定理来解决实际问题；

2.理解勾股数的含义，探索常用勾股数的规律：

3.运用勾股定理的逆定理，提高运算能力、逻辑推理能力和应用意识；

4.运用三角形三边的数量关系来判断三角形的形状，体验数与形的内在联

系，感受定理与逆定理之间的和谐及辩证统一的关系；

5.通过分层作业的布置，让不同水平的学生都能得到不同的发展。

二、作业分析

本次作业的设计符合新课程标准对知识点掌握程度的要求，由浅入深、由易

到难，层次分明，符合不同学习水平的学生去练习。所有题目的设计重点在于强

调勾股定理的逆定理的运用，也强调了数学思想的重要性，即分类讨论思想、方

程思想。在探究勾股定理的逆定理的活动中，通过一系列富有探究性的问题，渗

透与他人交流、合作的意识和探究精神。通过动脑解决问题，提高综合运用数学

知识和方法解决实际问题，增强应用意识，提高实践能力。在探究勾股定理的逆

定理的活动中，通过一系列富有探究性的问题，渗透与他人交流、合作的意识和

探究精神。

三、作业展示

基础性作业(时间：10分钟)

1.已知三角形三条边的长度分别是：①1,V2,V3；②2,3,4；

③3n,4n,5n(n>0)；@32,42,52.其中一定能构成直角三角形的有()

A.1组B.2组C.3组D.4组

【设计意图】通过简单运算，加深对勾股定理的逆定理的理解。

【核心素养】数学运算

【答案】B

【解析】

解：①仔+(应)2=(g)2,故是直角三角形，正确；

②22+32=42,故不是直角三角形，错误；

③(3/1)2+(4/1)2=(571)2,故是直角三角形,正确;

④g+(42)2"2)2,故不是直角三角形，错误.

故选B.

2.三角形的三边为a,b,c,由下列条件不能判断它是直角三角形的是()

A.a:b:c=8:16:17B.a2—b2=c2

C.a2=(b+c)(6—c)D.a:b:c=13:5:12

【设计意图】通过探究三边比例数量关系，加深对勾股定理的逆定理的理解。

【核心素养】数学运算

22

【答案】A

【解析】

解：4、因为82+162。172,所以不是直角三角形；

B、因为02-接=。2即c2+b2=a2,所以是直角三角形；

C、因为a2=(b+c)(b—c),EPa2+c2=d2,所以是直角三角形;

0、因为52+122=132,所以是直角三角形.

故选A.

3.一个三角形的三边分别是2小，V2m,V2m,则它的三个内角中最大的角是

________度.

【设计意图】抓住三边关系的关键，探究最大边与另外两边是否存在相关的数量

关系，加深对勾股定理的逆定理的掌握。

【核心素养】数学运算

【解析】

解：*/(V2m)2+(V2m)2=(2m)2=4m2,

这个三角形是直角三角形，

...它的三个内角中最大的角是90。，

故答案为90.

4若一个三角形三边的长度之比为3:4:5,且周长为60cm,则它的面积是

______cm2.

【设计意图】勾股定理的逆定理的简单应用，得出三角形是直角三角形，根据面

积公式求出结果.

【核心素养】数学运算

【答案】150cm2

【解析】

一个三角形三边的长度之比为3:4:5,且周长为60sn,

...三角形三边为15czn,20cm,25cm,且三角形为直角三角形，

三角形的面积为：1x15cmx20cm=150cm2,

5.在△ABC中，AB=13cm,BC=10cm,BC边上的中线/£)=12cm.求AC.

【设计意图】本题是勾股定理与逆定理综合运用，让学生能区分两个定理的不同

并利用它们来解决一些简单的问题。

【核心素养】数学运算、逻辑思维

【答案】

13cm.

【解析】

解：40是上的中线，AB=13cm,BC=10cm,AD=12cm,

1

BD=CD=-BC=5cm,

23

52+122=132,故△ABD是直角三角形,

垂直平分BC.

AC=AB=V52+122=13cm.

发展性作业(时间10分钟)

6.若^ABC的三边长分别为a,b,c且满足(a+b)(a2+b2-c2)=0,则4ABC

是()

A.等腰三角形或直角三角形B.直角三角形

C.等腰三角形D.等腰直角三角形

【设计意图】考查两式乘积为0时的“或命题”，熟练运用勾股定理的逆定理进行

计算，根据探索的规律解决问题。

【核心素养】数学运算、逻辑推理

【答案】B

【解析】

解：(a+b)(a2+b2-c2)=0,

a+b#0,且a2+/—c2=0,

即a?+b2=c2,

...△ABC是直角三角形.

故选B.

7.如图，在四边形4BCD中，AB-.BC-.CD-.DA=2:2:3:1,且乙4BC=90°,则

ZDAB的度数是°.

【设计意图】本题考查勾股定理、勾股定理的逆定理的联合应用，培养学生的逻

辑推理能力及合情推理的意识，考验学生几何语言的表达能力。

【核心素养】数学运算、逻辑推理

【答案】135

【解析】

解：AB-.BC-.CD-,DA=2:2:3:1,且ZABC=90°,

AB=BC,

：.^BAC=/.ACB=45°,

24

AB\BC:AC=2:2:2&,

AC:CD-.DA=2V2:3:1,

AC2+AD2=CD2,

：.Z.DAC=90°,

...Z,DAB=450+90°=135°.

故答案为：135.

8.在四边形/CBD中，DE1AB于点E,DE=12,S^ABD=60,AC=6,BC=8,

求ZC的度数.

【设计意图】本题考查勾股定理、勾股定理的逆定理的综合应用，培养学生的逻

辑推理能力及合情推理的意识，考验学生几何语言的表达能力。

【核心素养】数学运算、逻辑思维、逻辑推理

【答案】"=90°.

【解析】

解：DE1AB于点E,

AB=10,

又+BC2=62+82=100,AB2=102=100,

AC2+BC2=AB2,

二△4BC是直角三角形，

即4=90°.

25

作业评价

等级

评价指标备注

ABC

A等，答案正确、过程正确。

B等，答案正确、过程有问题。

答题的准确性

C等，答案不正确，有过程不完整；答案不准确，过程错

误、或无过程。

A等，过程规范，答案正确。

答题的规范性B等，过程不够规范、完整，答案正确。

C等，过程不规范或无过程，答案错误。

A等，解法有新意和独到之处，答案正确。

解法的创新性B等，解法思路有创新，答案不完整或错误。

C等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程。

AAA、AAB综合评价为A等；ABB、BBB、AAC综合

综合评价等级

评价为B等；其余情况综合评价为C等。

26

第18章勾股定理（复习课）

一、作业目标

1.掌握勾股定理，会运用勾股定理解决简单的实际问题.

2,理解勾股数的概念，并掌握简单的勾股数.

3.理解勾股定理的逆定理，会用勾股定理的逆定理判定直角三角形.

4.会利用勾股定理的逆定理解决简单的实际问题.

5.通过画图实践，感悟勾股定理及其逆定理的应用价值.

二、作业分析

1.帮助学生进一步理解勾股定理，能应用勾股定理解决一些简单的问题.

2.帮助学生进一步理解勾股定理的逆定理，能应用勾股定理的逆定理解决

简单问题.

3.体会勾股定理的逆定理在直角三角形判定中的重要作用.

4.勾股定理与特殊三角形存在性相结合，它体现了分类讨论的重要数学思

想，培养学生的发散思维.

5.勾股定理与坐标系、数轴的结合，培养数学思维，加深学生对数形结合

思想的理解.

6.画图、实践活动的设计，能让学生学会用数学的眼光去观察世界，用数

学的思维去思考世界，让学生对勾股定理及其逆定理印象深刻，认识清楚，理解

透彻。

基础性作业（时间：12分钟）

1.由下列线段a,b,c能组成直角三角形的是（）.

A.a—\,b=3,c=3B.a=\,b—3,c=/

C.a=3,b=5,c=7D.a=2,b=#,c=3

【设计意图】勾股定理的逆定理的应用.

【核心素养】数学运算.

【答案】D.

【解析】因为2?+（＞/可=9=3?,即当a=2,b=-\/5,c=3时，/+〃=©?成立，此

时a,b,c能组成直角三角形.故答案为D

2.在平面直角坐标系中，点尸（