2024届新高考数学小题微点特训7 二次函数、幂函数含答案

2024高考数学微点特训微点特训•数学(新)

微点

7二次国数、哥国数学而不厌，诲人不倦。

特训7.二次函数、零函数

完成日期：______月______日

［考点对点练］一保分必拿［考点二］累函数

［考点一［二次函数10.已知寨函数y=/Q)的图象经过点(一2,一《).则

O

1.已知函数/(I)=〃/+〃彳+,，若/'(0)=

满足，(工)=27的x的值为()

则()A.3B,专

A.a>0,4a+〃=0B.a〈0,4a+〃=0

C.a>0,2a+〃=0D.a<0,2a+6=0C.27D.y

2.已知二次函数/(*)=&，+/〃在［1,+8)上单调递

减，则a”应满足的约束条件为()11.已知暮函数，=N4(p,qeN”,q>\且p,q互质)的

(a<0

(2a+5>0\2a+bX)

/70|a<0

(2a~F6^0*(2a+0

3.已知函数/(.r)=lg(aj-2—i+a)定义域为R,则实数a

的取值范围是()

A./,.q均为奇数,且/>1

B.(—8，T)U传,+8)B.q为偶数，力为奇数,且々>1

q

C(|，+oo)C.q为奇数”为偶数，且2<7>1

D.q为奇数，/>为偶数，且。巧<1

D.(­,-1)u［1,+-)

12.下列关系中正确的是()

4.若函数人工)=9工2+&|工|在区间［3,4］和—A-(1)+<(1)+<(1J

上均为增函数，则实数a的取值范围是()

A.［4,6］B.［—6•—4］

C.［2,3］D.［―3,—2］

5.函数/.(才)=012+晒+.(。/())的图象关于直线彳=

(c.(1)；<(1)"<(<

一小■对称.据此可推测•对任意的非零实数a",c，w,

D

〃，力，关于1的方程〃7［/("了+〃/(1)+。=0的解集-(T)<(1)<(1)

13.募函数3=尤"，当a取不同的正数时,在区间［0,1］上

都不可能是()

它们的图象是一组美丽的曲线(如图),设点A(l.

A.{1,2}B.{1,4}0).B(0,l),连结AB,线段AB恰好被其中的两个募

C,{1,2,3,4}D.{1,4,16,64}函数'=］"、>=，的图象三等分，即有BM=MN=

6.函数/(/)=］(|工|—1)在［〃?,〃］上的最小值为—NA,那么aT1=<)

最大值为2,则%一〃？的最大值为()

7./(j-)=jc2+64+c,若方程/(I)=w无实根,则方程

/(/(I))=E()

A.有四个相异实根B.有两个相异实根

C.有一个实根D.无实数根

14.若对任意的工€［。皿+2上均有(3工+。)3《8工3,则a

8.已知函数fCr)=-*2+4*+a,«r£［O,□，若f⑺有的取值范围是.

最小值一2•则/(/)的最大值为.15.已知函数人工)=厂；；°&"5：/八其中c>0.那

9.已知3，=/。)是偶函数.当工>0时，/1)=1一1)2,

(J:十JT,—

若当才£［—2,—时.恒成立，则fu­么/(/)的零点是_________；若/(N)的值域是

［一十,2卜则c的取值范围是.

rl的最小值为.

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微点特训•数学（新）

[馥栏]]素养提升练]——高分必抢

一、单项选择题

考

1.如图，函数3>=1、»=才、，=1的图象和直线才=1将

---------1平面直角坐标系的第一象限分成八个部分:①②③④8.已知函数/（Z）=2&r—2020支一2021,对任意/€R

在区间口-1"+1]存在两个实数了].了2，使"（了I）一

2⑤⑥⑦⑧.若幕函数八了）的图象经过的部分是④⑧，

义工2）1）1成立,则。的取值范围是（）

则八H）可能是（）

B.E-1,1]

C.（-oo,-l]U{0}ULl,+oo）

D.（-8,一^U{o}U[y>+°°j

二、多项选择题

9.下列说法正确的是（）

A.若暴函数的图象经过点（七,2〉则解析式为y

=”

B.若函数/（.r）=才一，则/（了）在区间（一8,0）上单

调递减

122.已知定义在R上的奇函数/（上）满足：当了）0时.

■"/（支）=/,若不等式/（一4，）>/（2"?+"/）对任意实C.-函数y=T"（a>0）始终经过点（0,0）和（1.D

____13数，恒成立.则实数，”的取值范围是（）D.若函数/（▲♦）=Jx，则对于任意的1,交e[。，

"（一8’一⑸+8）有/5）/y牛）

B.（-72.0）

10.已知函数〃/）=/图象经过点（）则下列命题

-------.1c.（-oo.o）U（^.4-0°）4,2,

正确的有（）

2D.（—oo,—V2）U（",+8）

A.函数为增函数

3,已知a,〃GR・设函数八1）=/+々1+〃，函数gQ.）=

B.函数为偶函数

---------9/+cr+d,若函数_y=/（g（i））—g（/（z））没有零点，则

C.若工>1.则/（a-）>l

4（）

A.a=e,且〃=4B.aWc,且〃=4D.若0„，则/5y5）</（中）

5C.a=c,且〃#dD.a三rc、,填且空〃题片d

已知二次函数（），若对任意的NU，

4./I=+6N+C,2”11.下面命题：①幕函数图象不过第四象限；②^二工。图

有）一/（彳?）则的取值范围是

--------e[—1,1],1/5I&6,b象是一条直线；③若函数》=2"的定义域是《川工*

0》.则它的值域是④若函数尸十的定义

A.[—5,5]B,[-4,4]

_____8C.[-3,3]D.[—2・2]

域是{川2>2}.则它的值域是卜■卜⑤若函数

5.已知函数f（x）=x2—2加①一3♦若对于x€[1,2],

--------9义工）<2一,”恒成立则实数，”的取值范围为（）»=/的值域是{aloWyM4},则它的定义域一定是

-一一-A.（T，+8）B,[-y.+°°）{川一2&/42}.其中不正确命题的序号是____

12.已知函数/（"=|/+3川，/GR.若方程/（7）一*

1=0恰有4个互异的实数根，则实数。的取值

_____.16.已知/（工）=472+〃工+r（a#0）,其中〃=a+c,若对任范围为.

意的实数4,「都有不等式/（庐+/）二八2/»）成立，则[真题体晶综]一实就抢分

方程/（工）=0的根的可能性为（）

1.（2021•全国甲卷,4文科）下列函数中是增函数的为

A.有一个实数根B.两个不相等的实数根

（）

C.至少一个负实数根D.没有正实数根

7.已知函数八=）=函（工2一|工|+1）,若函数八工）在开A.=—J:B./（z）=（弓）

区间+R）上恒有最小值，则实数/的取值

（）2

范围为（）C.fx=xD.

2.（2021•新高考II卷，14）写出一个同时具有下列性质

①②③的函数/（彳）：.

①/（叫及）=/（5）/（必）；②当/£（o,+8）时.

/'（3>0;③/'（]）是奇函数.

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微点特训•数学(新)

=f(工)而亩章及于y轴痣称行》=八一工),再高，,番的图象关于直线彳=-4对称，故如果方程/(1)=，〃在

3个单位御到,即y=/(一(z-3))=/(3-i).于是函数区间［—6,—21上的两根为心，亚•则巧也=-4,即

y=/1+l)与函■数3，=/(3—工)的图象关于直线工=

—1-I-Q

对称,所以③错误：设(，，)是函数(图为+必=-8.故正确命题的序号为①②④

2~=1PN3/1)真题体验练二一实战抢分

象上的任意一1点，点P关于原点对称点P，(—Z,一了)必1.B

2.B［考查函数的对称性.属于偏难的题目./(1+2)是偶

在y=-的图象上，有一y=—=7，即y=一二，于

X-乜T1-T~T1J：—1函数•即/1+2)=/(2—7)•可得/(彳)的对称轴为z=

是/(1)=白丁所以④正确.］2,/(22+D为奇函数，即f(1+2］)=一为(1-2*),可得

/(外的对称中心为(1,0).此时，1=0和7=2关于(1,0)

8.AC［选项A：因为f(一#)=(-1)3=—%3=一/(比)，对称.J/(n)是偶函数.此时有/(一1)=八1)=0.其他

所以函数y=#3是奇函数，它的图象关于原点对称，如选项不一1定成立.」

下图所示：3.C［因为/(1+l)=/(—7),所以/(工)关于轴1=/对

称，

又因为/(7)是奇函数・・•・/(1+1)=一/⑺，/(2+4)=

一/(1+1),

・•・/(2+z)=/Xi),

・•・/(才)是周期为2的函数，

故选C.］

4.D［因为/(1+1)为奇函数，所以f(l)=0,即。+4=0.

所以函数y=/是圆。的一个太极函数，故本说法正

确；选项心如下图所示：函数N=g(z)是偶函数~=所以b=—a,

又/(0)=/(-l+l)=-/(l-Fl)=-/(2)=-4a-6=

g(z)也是圆。的一个太极函数，故本说法不正确；

-3a.

/(3)=/(1+2)=/(—1+2)=/(1)=0•由/(0)+/(3)

=6.得a=-2,

=/(2+T)=/(2-T)=/(-1)=

选项C：因为y=sin1是奇函数，所以它的图象关于原点)=一/(>2)=-/(一++2)

对称,而圆/+/=］也关于原点对称.如下图所示：因

此函数y=sin才是圆O的一个太极函数.故本说法是正

确的；

—亍。=岁-・故选D.］

微点特训7二次函数、率函教

考点对点练——保分必拿

1.A［由八0)=/(4),得f(#)=a/+法+。图象的对称

轴为_r=一/=2,所以4a+力=0•又/(0)>/(1),/(4)

>f(l)•所以f(z)先减后增，于是a>0•故选A.］

选项D：根据选项B的分析，圆O的太极函数可以是偶

2.D［因为/(")在［1,+8)上单调递减.所以aVO,且

函数•不一定关于原点对称，故本说法不正确.］

9.AC［因为/(1)为定义在R上的奇函数，所以/(0)=一(W1,所以｛5个/〈0.1

La［/a十

0•因为g(N)=/(/—l),所以g(l)=/(0)=0•故A正

确；因为八才)％定义在R上的减函袤.且/(2)=-1.3.C［已知/Cr)=］g(a/-z+a)的定义域为R.即。丁一工

恒成立.当a=0时•一尤不恒成立，

f(2)Vf(l)V<0),即一1V<1)VO.所以一lVg(2)V+a>0>0

0,故B不一定成立；因为g(.jr)=/(I一1),所以g(—J.)・•・(：-］.»八，解得：•所以实数a的取值范围

=/(一工一1)=—/(z+1)•所以g(—z)+g(z)=［△=1—4a<0Z

/(1一1)一八1+1)•因为/("是定义在R上的减函数.是(｝，+8).］

所以比+1),所以/(jr-l)-/(jr+l)>0,

即g(-%)+g(i)>0,故C正确；因为g(2)=八1一1),4.DE/(jr)=-y.r2+aIa-I»V/(—j?)=-y(-.r)2+a|—xI

所以g(—7+1)=f(~x)=一/Q),g(i+1)=f(x)，

所以g(-/+l)+g(_r+l)=—f(z)+/(N)=0•选项D=yx2+aI*=/(#).，f(x)为实数集上的偶函数，因

错误.［

为在区间［］和［］上均为增函数•所以八了)在

10.［0,1］］因为“工)为偶函数./(一1)=一。.所以3,4-2,—1

区间［3,4］递增和在口.2］上递减，，函数/(2)=十口

/⑴=/(一1)=一十.又/(z)在［0,+8)单调递减.

+。|才|,1>0的对称轴.匕=-aG［2,3］,得aG［—3.

—21,故选D.］

/(2/—1)｝一｝・所以-1<21-1,解得1.

5.D［设关于/(N)的方程〃汇/(了)了+〃/(工)+/>=0有

所以”的取值范围为两根，即/(Z)=，1或/(父)=%•而/(/)=af+〃工

11.①②④［令/=-2,得/(2)=/(—2)+/(2),故的图象关于1=一或对称，因而/(1)=£］或/<%)=与

f(-2)=0.义函数f(.r)是偶函数，故八2)=6；根据①

可得/(］+4)=/(1)，则函数/'(1)的用期是4.由于偶的两根也关于工=一/对称.而选项D中生岁力

函数的图象关于y轴对称，故.r=-4也是函数y=

/(n)图象的一条对称轴；根据函数的周期性可知.函数管.故选D.1

/Xi)在［8,10］上单调递减，③不正确；由于函数f(x)

・110•

微点特训•数学(新)

6.B[当x>0时，义二)=立(|H|-l)=f-x=(x-t)21T

(i)3<(l)3，故选D.]

13.A〔因为BM=MN=NA,点、A(1・0),B(0,1).所以

—与L一工4，

M,N分别代入y=、》=，中,a

当X<0时,/(7)=1(|/|—1)=一/一%=一(I+十)2(I'f)(f)T)-

12111

=log|飞、b=logi，所以a—i=log|—

+T'loglf

作出函数f(l)的图象如图：=0,故选A.3

当才》0时,由/(])=/-I=2.解得1=2.LI.[因为对任意的才6[a・a+2],均有(3z+

当z=J时•/(；)=—r-a)：'&8/，函数y=./在R上单调递增，所以3支+0&

乙乙421在i£[a,a+2]上恒成立•即i+a40,所以a+2+

。<0,得到a&-1.1

4,15.—1和0(0,4[[当(•时，由1十=。得w=0.

—4土/l+dX*_

即4*+41—1=0,解得工=当一2W1V0时•由①？+1=0,得①=一1,所以函数

2X4

/(7)的零点为一1和0.当时，/(/)=',所

-4±—4±4-1七&

8=8=-2-以04.尸(工)《石；当一2WnV0时，/(/)=/+H=

.・・此时工=二1^,卜+})一十,所以此时一十《/(/)<2,若/(z)的

・〃]上的最小值为一十，最大值为2.值域是[—,2]•则有7TW2.即0Vc44.即c的取值

范围是(0,41]

・_O_\一戊1r1

••w—Z,-------£必05，素养提升练——高分必抢

1.B[由图象知•赛函数/(/)的性质为：(1)函数/(①)的

工??一加的最大值为2----1?品=微-+孝，1定义域为(0,+8)；(2)当OV#V1时，/(a)〉l•且/(工)

〈十；当x>l时，0Vf(%)Vl,且十；所以/(x)

可能是3=二.故选B.1

4工

2.A[当％<0时./(①)=—/(—/)=./=>/(])=/(7G

R)=f(I)在R上是增函数，=>一4上>2加+〃"2对任意实

数f恒成立=>0>〃“2+4f+2〃z对任意实数f恒成立0•

｛晨;6-8/<o-C(—8,一⑶，故选A.[

3.C[若?=/'(区—没有零点，即/(g(z))=

7.D[因为抛物线/(才)=/+。1+。开口向上，由方程*(/(1))无解，即/(/)=g(/)=.Z-无解.所以丁+3一

/(])=]无实数根可知，抛物线/(彳)=>+Zu、+c必在l).r4-6=.r2+(c—l)i+〃无解,整理得(a—c)i=d—〃

直线y=i上方.即对任意的iGR./(]•)>]=>/(/Q))无解，所以a=c,b^d.]

>/(z)>z,所以方程/(/(N))=/没有实根.故选D.1

4.C厂••二次函数/(z)=]2+k+c=(久+勺丫+。一

8.1[函数/(w)=—f+4/+々=一(工一2尸+4+a,/W

[0.1],且函数有最小值一2.

故当£=0时•函数有最小值，当1=1时,函数有最丁，对称轴x----1，①--7V—1即。>2时，函数

大值./Q')在[-1,口递增，/(H)min=/(-1)=1一〃+。，

,/当1=0时，/(0)=。=-2,・・・/(2)=—彳2+4彳-2,-x=/⑴=l+6+c,故/(一1)一/(1)=-2〃，

・•・当1=1时，八*)皿x=/(l)=—#+4X1—2=1,故1/⑴一/(一1)|=|2"<6得2Vz<3，②一4>>1时，

填1.1

9.1[当工<0时，-z>0,/(z)=/(—/)=(z+1产，因为即4<一2时,|/(1)一/(一1)I=12用《6得一3W。〈一

—C所以/(x)min=y<-l)=0,/(x)mlx=2,③-1&—,即-2(。&2时，函数/(])在]—1,

/(—2)=1,所以〃?》1,•m—1.所以ni—ti的最一3]递减'函数/(E)在[一夕.1-递增.工1/(1)一

小值是L1

10.D[因为寐函数k/的图象经过点(一2,一4)，所/(一■1■)W6.且一[(一■^)1=6,即|?+〃+1

以(一2尸=一].所以。=一3.又因为/'(/)=27,所,2

OIW6,且|彳■一人+11W6.解得：-3WbW3,又一2W〃W2,

以-3=27,所以7=}.]故〃的取值范围是[-3,3].]

5.A[1,2],/(?)V2—〃？恒成立，等价于iW[1,2],

11.D[由赛函数的图象关于)，轴对称，可知该函数为偶/(x)-2+/w<0恒成立.

函数，所以〃为偶数，则q为奇数，因为图象在第一象限

令g(K)=/Xz)—2，〃?=/—2mx+m—5,对称轴为x

内向上凸起，且在(0,+8)单调递增，所以=m.

q即等价于ie[l,21,ga(Z)V0即可.

12.D[因为产(4)是单调递减函数《〈•j•.所以当”W1时，得到I’嚼心一，.,yc•解得：-4

X2.(g(2)=4—4/??—//I—5<.03

(T)3>(T)3,因为森函数尸>在(。,+8)上递Vw4l.

：，当1V?〃V2时•得到g(2)=4-4m+〃?-5V0,解

增，春〈亭所以传)'<信广即(+)<[g⑴=1-2加+〃?一5<0

得：lVmV2.

・111•

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当，”>2时.得到常,「小，解得：加_(+%丫=/］十八+2/工\入_可+/2_

1)—1—Z???~???—5<.0R~r~J~42

>2.

2J2?一%一>(A/J7-y^r)2而

综上所述：m>■—］-----------4----------------4---------------------------<°-即

6.C［因为△=62-4ac=(a+c)2-4a，=(a-c)2)o,/"〉；/")</(笔上)成立,所以D正确.］

所以/(J-)=0至少有一个根①.

因为对任意的实数人(•都有不等式/(ft2+?)>/(26c)11.②③④⑤［系函数图象不过第四象限.①正确；y=,

图象是宣线y=l上去掉点(0,1),②错误；函数丁=2’

成立Jf+1>2女恒成立，所以/(J-)=ax2+Zu+c(a产

的定义域是HbWO),则它的值域是｛，0<yWD,③

0)在区间(一/，十8)上单调递增，所以«>0,

错误；函数尸十的定义域是｛工|彳>2｝,则它的值域是

若6=0.由b=aJrc得c=-a«

此时/(1)=ax2—a=0有一个负根和一个正根；卜lOVyV十卜④错误；若函数》=/的值域是｛了|0

若£>0,则j-=-^<0.WyW4).则至的定义域也可能是｛i|0WiW2｝,⑤错

误,故填②③④⑤.］

结合①可知八二=0至少有一个负根；12.(0・l)U(9,+8)］(方法一)在同一坐标系中画/(I)

若4<0,由a>0,Z?=a+e,得eVO.

=If+3"，和g(i)=ai—1I的图象(如图)，问题转

则/(i)=0有一个负根和一个正根.］

化为

7.A［对于内层函数〃=/—laT+l=(|工|—J)+

Q11

工，所以，当|#|=4•时，即当1=±4■时•内层函数〃=

4ZZ

JCZ—IX+1取得最小值，此时，函数丁=/(#)取得最

小值.

由题意可知—+或1W(，，/+1),即

『T芦尸「

尸(了)与g(z)图象恰有四个交点.当y=a(/—1)与y=

x2+3x(或3=-a(i—1)与y=—>—31)相切时，

/(.r)与g(%)图象恰有三个交点.把.y=“(]-1)代入y

解得一V一或一十</<十•=—+3N,得.y+31=a(2—1),即/+(3—a)彳+a=

0,由△=(),得(3—a)2—4a=0,解得a=l或a=9.又当

因此，实数f的取值范围是(一年,一十)1)(一\4"a=0时，f(i)与g(i)仅两个交点，•'•OVaWl或。>9.