数学竞赛专题讲座七年级第5讲-计算-工具与算法的变迁(含答案)

第五讲计算——工具与算法的变迁研究数学、学习数学总离不开计算，随着时代的变迁，计算工具在不断地改变，从中国古老的算盘、纸笔运算开展到利用计算器、计算机运算．初中代数中运算贯穿于始终，运算能力是运算技能与逻辑能力的结合，它表达在对算理算律的理解与使用，综合运算的能力及选择简捷合理的运算路径上，这要求我们要善于观察问题的结构特点，灵活选用算法和技巧，有理数的计算常用的方法与技巧有：1．巧用运算律；2．用字母代数；3．分解相约；4．裂项相消；5．利用公式；6．加强估算等．“当今科学活动可以分成理论、实验和计算三大类，科学计算已经与理论研究、科学实验一起，成为第三种科学方法．——威尔逊注：威尔逊，著名计算物理学家，20世纪80年代诺贝尔奖获得者．【例1】现有四个有理数3，4，，l0，将这4个数(每个数用且只用一次)进行加、减、乘、除四那么运算，使其结果等于24，其三种本质不同的运算式有：(1)；(2)；(3)．(浙江省杭州市中考题)思路点拨从24最简单的不同表达式人手，逆推，拼凑．链接：今天，计算机泛应用于社会生活各个方面，计算机技术在数学上的应用，不但使许多繁难计算变得简单程序化，而且还日益改变着我们的观念与思维．著名的计算机专家沃斯说过：“程序=算法十数据结构”．有理数的计算与算术的计算有很大的不同，主要表达在：(1)有理数的计算每一步要确定符号；〔2〕有理数计算常常是符号演算；(3)运算的观念得以改变，如两个有理数相加，其和不一定大于任一加数；两个有理数相减，其差不一定小于被减数．程序框图是一种用规定、指向线及文字说明来准确、直观地表示算法的图形，能清晰地展现算法的逻辑结构，常见的逻辑结构有：顺序结构、条件结构和循环结构．【例2】如果4个不同的正整数满足，那么，等于()．A．10B．2lC．24D．26E．28(新加坡数学竞赛题)思路点拨解题的关键是把4表示成4个不同整数的形式．【例3】计算：(1)；(“祖冲之杯”邀请赛试题)(2)19492—19502+19512—19522+…+19972—19982+19992(北京市竞赛题)(3)5+52+53+…十52002．思路点拨对于(1)，首先计算每个分母值，那么易掩盖问题的实质，不妨先从考察一般情形人手；(2)式使人易联想到平方差公式，对于(3)，由于相邻的后一项与前一项的比都是5，可从用字母表示和式着手．链接：裂项常用到以下关系式：〔1〕；〔2〕；〔3〕．运用某些公式，能使计算获得巧解，常用的公式有：〔1〕；〔2〕．错位相减、倒序相加也是计算中常用的技巧．【例4】(1)假设按奇偶分类，那么22004+32004+72004+92004是数；(2)设，，，那么的大小关系是(用“>”号连接)；(3)求证：32002+42002是5的倍数．思路点拨乘方运算是一种特殊的乘法运算，解与乘方运算相关问题常用到以下知识：①乘方意义；②乘方法那么；③；④与的奇偶性相同；⑤在中(，r为非负整数，，0≤r<4)，当r=0时，的个位数字与n4的个位数字相同；当时，?的个位数字与的个位数字相同．【例5】有人编了一个程序：从1开始，交替地做加法或乘法〔第一次可以是加法，也可以是乘法〕，每次加法，将上次运算结果加2或加3；每次乘法，将上次运算结果乘2或乘3，例如，30可以这样得到：〔1〕证明：可以得到22；〔2〕证明；可以得到．思路点拨〔1〕试值可以得到22，从计算中观察得数的规律性，为〔2〕做准备；〔2〕连续地运用同一种运算以获得高次，在进行适当的变换可以求解．【例6】〔1〕、互为倒数，、互为相反数，且，那么的值为__________．(第19届江苏省竞赛题)〔2〕，那么小于的最大整数是______．〔第11届“华杯赛“试题〕思路点拨对于〔1〕从倒数、相反数的概念入手；〔2〕通过对数式的分组，估算的值的范围．【例7】按下面的程序计算，假设开始输入的值为正数，最后输出的结果为656，那么满足条件的的不同值最多有〔〕．A．2个B．3个C．4个D．5个〔义乌市中考题〕思路点拨看懂程序图，循环运算是解此题的关键．【例8】如下图是一的幻方，当空格填上适当的数后，每行、每列及对角线上的和都是相等的，求的值．〔两岸四地少年数学邀请赛试题〕思路点拨为充分利用条件，需增设字母，运用关系式求出的值．K=231

121右边的数为X

那么右上角=110+X

121的对角线和K的列相等去掉中心项121+110+X=K+X

所以K=231根底训练一、根底夯实1.(1)计算:211×(-455)+365×455-211×545+545×365=_________;(2)假设a=-,b=-,c=-,那么a、b、c的大小关系是___________(用“〈”号连接〉.2.计算:(1)0.7×1+2×(-15)+0.7×+×(-15)=________;(第15届江苏省竞赛题)(2)-=________.(第12届“希望杯”邀请赛试题)(3)++…+=________;(天津市竞赛题)(4)(13.672×125+136.72××1.875)÷17.09=________.(第14届“五羊杯”竞赛题)3.在下式的每个方框内各填入一个四那么运算符号(不再添加括号),使得等式成立:6□3□2□12=24.(第17届江苏省竞赛题)4.1999加上它的得到一个数,再加上所得的数的又得到一个数,再加上这次得数的又得到一个数,……,依此类推,一直加到上一次得数的,那么最后得到的数是_________.5.根据图所示的程序计算,假设输入的x值为,那么输出的结果为().A.B.C.D.(2002年北京市海淀区中考题)6.a=-,b=-,c=-,那么abc=().A.-1B.3C.-3D.1(第11届“希望杯”邀请赛试题)7.如果有理数a、b、c满足关系a<b<0<c,那么代数式的值().A.必为正数B.必为负数C.可正可负D.可能为08.将322、414、910、810由大到小的排序是().A.322、910、810、414B.322、910、414、810C.910、810、414、322D.322、414、910、810(美国犹他州竞赛题)9.阅读以下一段话,并解决后面的问题:观察下面一列数:1,2,4,8,…,我们发现,这一列数从第2项起,每一项与它前一项的比都等于2.一般地,如果一列数从第二项起,每一项与它前一项的比都等于同一个常数,这一列数就叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比.(1)等比数列5,-15,45,…的第4项是________;(2)如果一列数a1,a2,a3,a4,…是等比数列,且公比为q,那么根据上述的规定,有=q,=q,=q,…,所以a2=a1q,a3=a2q=(a1q)q=a1q2,a4=a3q=a1q3,…,an=_______(用a1与q的代数式表示).(3)一个等比数列的第2项是10,第3项是20,求它的第1项与第4项.(2003年广西省中考题)10.(1)a、b、c都不等于零,且+++的最大值是m,最小值为n,求的值.(2)求证:5353-3333是10的倍数.二、能力拓展11.计算:(1)=_________.(第15届“希望杯”邀请赛试题)(2)2-22-23-24-25-26-27-28-29+210=___________;(3)=_______________.(4)98+998+9998+…+=_________.(2003年“信利杯”竞赛题)12.(1)32001×72002×132003所得积的末位数字是________;(第17届江苏省竞赛题)13.假设a、b、c、d是互不相等的整数(a<b<c<d),且abcd=121,那么ac+bd=________.14.你能比拟20012002与20022001的大小吗?为了解决这个问题,我们先写出它的一般形式,即比拟nn+1与(n+1)n的大小(n是自然数),然后,我们从分析n=1,n=2,n=3,……中发现规律,经归纳、猜测得出结论.(1)通过计算,比拟以下各组中两数的大小(在空格中填写“)”、“＝”、“〈”号〉.①12_____21;②23______32;③34______43;④45______54;⑤56_____65;……(2)从第(1)题的结果经过归纳,可以猜测出nn+1和(n+1)n的大小关系是_______.(3)根据上面归纳猜测得到的一般结论,试比拟以下两个数的大小20012002___20022001.(江苏省常州市中考题)15.如果++=1,那么的值为().A.-1B.1C.±1D.不确定(2003河北省竞赛题)16.如果ac<0,那么下面的不等式<0,ac2<0,a2c<0,c3a<0,ca3<0中必定成立的有().A.1个B.2个C.3个D.4个17.设S=+++…,T=+++…,那么S-T=().A.B.1-C.-1D.+1(第14届“五羊杯”竞赛题)18.10个互不相等的有理数,每9个的和都是“分母为22的既约真分数(分子与分母无公约数的真分数)”，那么这10个有理数的和为().A.B.C.D.(第11届江苏省竞赛题)19.图中显示的填数“魔方”只填了一局部,将以下9个数:,,1,2,4,8,16,32,64填入方格中,使得所有行、列及对角线上各数相乘的积相等,求x的值.(上海市竞赛题)20.设三个互不相等的有理数,既可分别表示为1,a+b,a的形式,又可分别表示为0,,b的形式,求a2002+b2001的值.三、综合创新21.(1)三个2,不用运算符号,写出尽可能大的数;(2)三个4,不用运算符号,写出尽可能大的数.(3)用相同的3个数字(1～9),不用运算符号,写出最大的数.22.如图,是一个计算装置示意图,J1、J2是数据输入口,C是计算输出口,计算过程是由J1、J2分别输入自然数m和n,经计算后得自然数K由C输出,此种计算装置完成的计算满足以下三个性质:(1)假设J1、J=2分别输入1，那么输出结果为1;(2)假设J=1输入任何固定的自然数不变,J2输入自然数增大1,那么输出结果比原来增大2;(3)假设J2输入1,J1输入自然数增大1,那么输出结果为原来的2倍.试问:(1)假设J1输入1,J2输入自然数n,输出结果为多少?(2)假设J2输入1,J1输入自然数m,输出结果为多少?(3)假设J1输入自然数m,J2输入自然数n,输出的结果为多少?(2002年扬州中学招生试题)答案：1.(1)154000,(2)a>b>c.2.(1)-43.6;(2)-3;(3);(4)48,注意13672=8×1709.3.略4.1999000提示:原式=1999×(1+)(1+)×…×(1+)5.C6.A7.B8.A9.(1)-135;(2)an=a1qn-1;(3)a1=5,a4=40.10.(1)-16提示:=±1,m=4,n=-4;(2)5353与3333的个位数字相同.11.(1);(2)6提示:2n+1-2n=2n;(3);(4)12.(1)9;(2)11520013.-1214.(1)略;(2)当n<3时,nn+1<(n+1)n;当n≥3时,nn+1>(n+1)n;(3)>.15.A16.C17.B提示:18.A19.这9个数的积为××1×2×4×8×16×32×64=643,所以,每行、每列、每条对角线上三个数字积为64,得ac=1,ef=1,ax=2,a,c,e,f分别为,,2,4中的某个数,推得x=8.20.2提示:这两个三数组在适当的顺序下对应相等,于是可以断定,a+b与a中有一个为0,与b中有一个为1,再讨论得a=-1,b=1.21.(1)222;(2)444=4256>444;(3)设所用数字为a,可得下面4种写法:①当a=1时,111最大;②当a=2时,222最大;③当a=3时,333最大;④当a≥4时,a最大.22.由题意设输出数,设C(m,n)为k,那么C(1,1)=1,C(m,n)=c(m,n-1)+2,C(m,1)=2C(m-1,1).(1)C(1,n)=C(1,n-1)+2=C(1,n-2)+2×2=…=C(1,1)+2(n-1)=1+2(n-1)=2n-1(2)C(m,1)=2C(m-1,1)=22·C(m-2,1)=…=2m-1C(1,1)=2m-1.(3)C(m,n)=C(m,n-1)+2=C(m,n-2)+2×2=…=C(m-1)+2(n-1)=22C(m-2,1)+2(n-1)=…=2m-1C(1,1)+2n-2=2m-1+2n-2.提高训练1．假设，那么=______．〔“希望杯”邀请赛试题〕2．符号“”表示一种运算，他对一些数的运算结果是：〔1〕，，，，…〔2〕，，，，…利用以上规律计算：______．〔贵阳市中考题〕3．等于〔〕．A．B．C．D．〔“希望杯”邀请赛试题〕4．的值为〔〕．A．B．C．D．(江苏省竞赛题)5．自然数满足，那么等于〔