空间直线方程

关于空间直线方程直线方程的三种表示法：一般式、点向式、参数式；主要内容空间直线的一般方程第2页,共64页，2024年2月25日，星期天直线的点向式方程其中方向向量已知点直线的参数方程第3页,共64页，2024年2月25日，星期天两直线的夹角公式；直线与平面的夹角公式。第4页,共64页，2024年2月25日，星期天定义空间直线可看成两平面的交线．空间直线的一般方程一、空间直线的一般方程第5页,共64页，2024年2月25日，星期天方向向量的定义：

如果一非零向量平行于一条已知直线，这个向量称为这条直线的方向向量．二、空间直线的点向式方程与参数方程注：同一条直线的方向向量有无穷多个。有单位向量，还有一般的向量。第6页,共64页，2024年2月25日，星期天//下面导出直线的点向式方程直线的对称式方程第7页,共64页，2024年2月25日，星期天令直线的一组方向数方向向量的方向余弦称为直线的方向余弦.直线的参数方程下面得出直线的参数方程在求直线上一点的坐标或交点时，利用直线的参数方程求解更加简便第8页,共64页，2024年2月25日，星期天直线的对称式方程直线的一般方程下面从对称式方程得出直线的一般方程第9页,共64页，2024年2月25日，星期天从空间直线的一般方程到对称式方程先在直线上任取一点。再求直线的方向向量。注：直线方程的表示形式均不唯一。第10页,共64页，2024年2月25日，星期天例1用点向式方程表示直线举例说明如何将直线的一般方程转化为点向式方程。方法一：用点向式表示直线方程方法二：用消元法求直线方程第11页,共64页，2024年2月25日，星期天解方法一：点向式下找所求直线的方向向量，由已知可知于是点(-4,2,0)是所求直线上的一点。先找直线上的一点，在直线方程中令z=0第12页,共64页，2024年2月25日，星期天用点向式写出直线方程第13页,共64页，2024年2月25日，星期天方法二：消元法求直线方程将方程分别消去x，y得到第14页,共64页，2024年2月25日，星期天于是直线方程为化简整理得直线方程为第15页,共64页，2024年2月25日，星期天练习解第16页,共64页，2024年2月25日，星期天第17页,共64页，2024年2月25日，星期天定义直线直线两直线的方向向量的夹角称之.（锐角）两直线的夹角公式三、两直线的夹角第18页,共64页，2024年2月25日，星期天两直线的位置关系：//直线直线例如，第19页,共64页，2024年2月25日，星期天解从题意可得：两直线的方向向量为于是，代入两直线的夹角公式第20页,共64页，2024年2月25日，星期天所以两直线的夹角为第21页,共64页，2024年2月25日，星期天练习解第22页,共64页，2024年2月25日，星期天第23页,共64页，2024年2月25日，星期天第24页,共64页，2024年2月25日，星期天直线方程的三种表示法：一般式、点向式、参数式；回顾空间直线的一般方程第25页,共64页，2024年2月25日，星期天直线的点向式方程其中方向向量已知点直线的参数方程第26页,共64页，2024年2月25日，星期天两直线的夹角公式；第27页,共64页，2024年2月25日，星期天解37页习题8-4第28页,共64页，2024年2月25日，星期天第29页,共64页，2024年2月25日，星期天解第30页,共64页，2024年2月25日，星期天定义直线和它在平面上的投影直线的夹角称为直线与平面的夹角．四、直线与平面的夹角第31页,共64页，2024年2月25日，星期天直线与平面的夹角公式第32页,共64页，2024年2月25日，星期天直线与平面的位置关系：第33页,共64页，2024年2月25日，星期天解从题意可得：已知平面的法向量就是所求直线的方向向量。于是，直线的方程为第34页,共64页，2024年2月25日，星期天解为所求夹角．练习第35页,共64页，2024年2月25日，星期天五、综合举例解设所求直线的方向向量为根据题意知取第36页,共64页，2024年2月25日，星期天所求直线的方程第37页,共64页，2024年2月25日，星期天解练习第38页,共64页，2024年2月25日，星期天于是所求平面方程为即第39页,共64页，2024年2月25日，星期天解即求方程组的解。

利用直线的参数方程求解更简便第40页,共64页，2024年2月25日，星期天

设

代入题中平面方程

代入参数方程中得：于是所求交点坐标为中得：第41页,共64页，2024年2月25日，星期天解练习第42页,共64页，2024年2月25日，星期天设代入平面方程综上，投影坐标为第43页,共64页，2024年2月25日，星期天例6方法一：点向式求直线方程。关键在于求出两条直线的交点。用过A的直线与垂直已知平面的交点来求。方法二：点向式求直线方程。假设交点坐标，解未知数的方法来求。方法三：利用所求直线是由两个平面的交线来求。这两个平面分别是：1、过已知点和已知直线的平面；2、过点A且垂直于已知直线的平面。第44页,共64页，2024年2月25日，星期天解先作一过点A且与已知直线垂直的平面再求已知直线与该平面的交点B,例6方法一：点向式求直线方程。关键在于求出两条直线的交点。用过A的直线与垂直已知平面的交点来求。第45页,共64页，2024年2月25日，星期天令代入平面方程得取所求直线的方向向量为第46页,共64页，2024年2月25日，星期天所求直线方程为第47页,共64页，2024年2月25日，星期天解先求出直线上任意一点B的坐标例6方法二：点向式求直线方程。假设交点坐标，解未知数的方法来求。第48页,共64页，2024年2月25日，星期天取所求直线的方向向量为第49页,共64页，2024年2月25日，星期天所求直线方程为第50页,共64页，2024年2月25日，星期天解例6方法三：利用所求直线是由两个平面的交线来求。这两个平面分别是：1、过已知点和已知直线的平面；2、过点A且垂直于已知直线的平面。第51页,共64页，2024年2月25日，星期天下求过已知点和已知直线的平面。第52页,共64页，2024年2月25日，星期天第53页,共64页，2024年2月25日，星期天练习第54页,共64页，2024年2月25日，星期天练习方法一：用所求直线在A与直线1确定的平面上，同时也在A与直线2确定的平面上来求。即所求直线为两平面的交线。方法二：点向式求直线方程。假设两个交点分别为B、C。利用交点与A共线来求。第55页,共64页，2024年2月25日，星期天解第56页,共64页，2024年2月25日，星期天第57页,共64页，2024年2月25日，星期天第58页,共64页，2024年2月25日，星期天第59页,共64页，2024年2月25日，星期天设直线L的一般方程为其中下面研究方程用平面束解题与不成比例通过直线L的所有平面的全体，称为通过直线L的平面束。第60页,共64页，